24.2 第2课时 垂径分弦（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦“垂径定理及其推论”，通过赵州桥视频导入，以主桥拱跨度、拱高求半径的实际问题引发思考，结合折叠圆探究对称性，逐步推导定理，构建从具体情境到抽象定理的学习支架。 其亮点在于以赵州桥等现实问题培养数学眼光，通过合作探究与逻辑证明发展推理思维，借助弦长计算、弓形高分析等例题强化数学语言表达。总结辅助线添法与数量关系，分层练习提升学生几何直观与应用能力，为教师提供完整教学链条，助力高效教学。

第2课时 垂径分弦 24.2 圆的基本性质 第24章 圆 优翼九下数学教学课件（HK） 视频引入 点击视频开始播放→ 导入新课 赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，你知 道如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 垂径定理及其推论 合作探究 问题1 在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O 的一条直径将 ⊙O 折叠，你发现了什么？ O 圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线. 新课讲授 问题2 已知：如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦， 且 CD⊥AB，垂足为 E. 求证：AE = EB， ， . 证明：连接 OA，OB，则 OA = OB. ∵ CD⊥AB，∴ OE⊥AB. ∴ OE 平分 AB，即 CD 垂直平分 AB． ∴ 点 A 与点 B 关于直线 CD 对称. · O A B D E C 分析：只要能说明⊙O 关于直线 CD 对称，那么所有结论都能得证. 同理，如果点 P 是⊙O 上任意一点，过点 P 作直线 CD 的垂线，与⊙O 相交于另一点 Q，则点 P 与点 Q 也关于直线 CD 对称． ∴ ⊙O 关于直线 CD 对称. ∴ AE = EB， ， . P · O A B D E C Q 垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. ∵ CD 是 ⊙O 的直径，CD⊥AB， 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要会相互转化，形成整体，才能运用自如. 归纳总结 ∴ AE = BE， ， 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么. 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为 AB，CD 都不是直径 O A B C A B O E A B D C O E A B O C D E 垂径定理的几种基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？ 思考： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 AE = BE. (1) CD⊥AB 吗？为什么？ (2) 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？ · O A B C D E 解：(1) CD⊥AB，理由如下： 连接 AO，BO，如图，则 AO = BO. 又∵AE = BE，OE = OE， ∴△AOE≌△BOE（SSS）. ∴∠AEO =∠BEO = 90°，即 CD⊥AB. (2)由垂径定理可得 = ， = . 思考：“不是直径”这个说明能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 例 1 如图，⊙O 的半径为 5 cm，弦 AB 为 6 cm，求圆心到弦 AB 的距离. · O A B E 解：连接 OA，过 O 作 OE⊥AB 于 E， 则 又∵OA = 5 cm，∴在 Rt△OEA 中， 垂径定理及其推论的计算 典例精析 答：圆心到弦 AB 的距离是 4 cm. 圆心到弦的距离叫做弦心距 【变式题】如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm， OE = 6 cm，则 AB = cm. · O A B E 解析：连接 OA，如图. ∵ OE⊥AB， ∴ AB = 2AE = 2×8 = 16（cm）. 16 ∴ 例 2 如图，⊙O 的弦 AB = 8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC = 2 cm，求半径 OC 的长. · O A B E C D 解：连接 OA．∵ CE⊥AB 于 D， ∴ 设 OC = x cm，则 OD = (x － 2) cm. 根据勾股定理，得 解得 x = 5. 即半径 OC 的长为 5 cm. x2 = 42 + ( x－2)2， 例3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证： = . . M C D A B O N 证明：作直径 MN⊥AB，如图. ∵ AB∥CD，∴ MN⊥CD. 则 = ， = .（垂直 平分弦的直径平分弦所对的弧） ∴ － = － . ∴ = . 解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 归纳总结 例4 赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，求赵州桥主桥拱的半径. 垂径定理的实际应用 由垂径定理，得 AD = AB = 18.7 m， 设⊙O 的半径为 R. 在 Rt△AOD 中，AO = R， OD = R - 7.2，AD = 18.7. 由勾股定理，得 A B O C D 解得 R ≈ 27.9. 即赵州桥主桥拱的半径约为 27.9 m. ∴ R2 = (R - 7.2)2 + 18.72， 解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交 AB 于点 D，则 CD = 7.2 m. 练一练：如图 a、b，一弓形弦长为 　cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿___＿＿____. C D C B O A D O A B 图a 图b 2 cm 或 12 cm 在圆中解决有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d (圆心到弦的距离)，弓形高 h 的计算问题时，常常通过连半径或作弦的垂线段构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 垂径定理中常见辅助线的添法 弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间的关系： 弓形中的重要数量关系 d + h = r O A B C · 归纳总结 A B C D O h r d 1. 已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm. 5 2. 已知⊙O 的直径 AB = 20 cm，∠BAC = 30°，则弦AC = cm. 3.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为 10 cm，弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 cm. 14 或 2 当堂练习 4. 如图，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，求证：四边形 ADOE 是正方形． D · O A B C E 证明：∵ ∴ 四边形 ADOE 为矩形， 又∵ AC = AB， ∴ AE = AD. ∴ 四边形 ADOE 为正方形. ∴ 5. 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点. 你认为 AC 和 BD 相等吗？为什么？ 解：AC = BD. 理由如下： 过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E. 则 AE = BE，CE = DE. ∴ AE－CE = BE－DE， 即 AC = BD. . A C D B O E 方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径． 解：连接 OC，如图. ● O C D E F ┗ 根据勾股定理，得 6. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 (即图中的 ，点 O 是 的圆心)，其中 CD = 600 m，E 为 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m. 求这段弯路的半径. 设这段弯路的半径为 R m， 则 OF = (R - 90) m. ∵OE⊥CD，∴CF = CD = 300 (m). ● O C D E F ┗ 解得 R = 545. ∴ 这段弯路的半径约为 545 m. ∴ 6. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 (即图中的 ，点 O 是 的圆心)，其中 CD = 600 m，E 为 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m. 求这段弯路的半径. 拓展提升： 7. 如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB = 8，P 为 AB 上的一个动点，那么 OP 长的取值范围是 . 3≤OP≤5 B A O P 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（知二推三） 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 两种辅助线： 连半径；作弦心距 构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程 基本图形及变式图形 课堂小结 $