24.2 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系（作业课件）【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦九年级下册“圆心角、弧、弦、弦心距间关系”核心知识点，通过概念辨析题导入，衔接圆的基本性质前序知识，以“学习理解-应用实践-迁移创新”三级梯度为学习支架，帮助学生逐步掌握四者关系。 其亮点在于采用分层变式训练，如逆向变式、教材例题改编及新情境进度条问题，培养学生数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力）。通过一题多问、证明题规范表达，强化数学语言运用，助力学生提升逻辑推理与实际应用能力，为教师提供系统教学素材，提高课堂效率。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·HK 第24章　圆 24.2　圆的基本性质 第3课时　圆心角、弧、弦、弦心距间关系 目 录 CONTENTS 01 A学习理解 02 B应用实践 03 C迁移创新 知识点一　圆心角的有关概念 1. 新课标概念辨析 下面四个图中的角为圆心角的 是(　D　) D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2. 在半径为2的☉O中，弦AB所对的圆心角为 60°，则AB的长为 ⁠. 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 在☉O中，AB是弦，且AB＝ OA，则劣弧 所对圆心角的度数为 ⁠. 90°　 逆向变式 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 知识点二　圆心角、弧、弦、弦心距间关系 3. 易错题 下列说法正确的是(　A　) A. 等弧所对的弦相等 B. 相等的弦所对的弧相等 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 相等的圆心角所对的弦相等 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4. 一题多问 如图，在☉O中， ＝ . (1)若AB＝5cm，则AC的长度为 ⁠； (2) ABC与 ACB的关系是 ⁠； 5cm　 相等　 (3)若AB的弦心距为1cm，则AC的弦心距 为 ⁠； (4)连接OA，OB，OC，则∠AOB ∠AOC (填“＞”“＜”或“＝”). 1cm　 ＝　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5. 教材P19例4变式 如图，正五边形ABCDE的五 个顶点都在☉O上，则∠AOD＝ ⁠°. 144　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6. 如图，点A，B，C都在☉O上，B是 的中 点，∠OBC＝50°，则∠AOB＝ ⁠°. 80　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7. 如图，点C是 的中点，点B是 的中点， OC交AB于E，OB交CD于F，则下列结论中：① ＝ ＝ ；②OE＝OF；③AB＝2BD，正 确的有 (填序号). ①②　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8. (2025·亳州一模)如图，A，B，C，D是☉O上 四点，且AD＝CB. 求证：AB＝CD. 证明：∵AD＝CB，∴ ＝ . ∴ ＋ ＝ ＋ ， 即 ＝ .∴AB＝CD. 证明：∵AD＝CB，∴ ＝ . ∴ ＋ ＝ ＋ ， 即 ＝ .∴AB＝CD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9. 教材P19例5变式 如图，在△ABC中，AB＝ AC，以BC为直径的☉O交AB，AC于点E，F. 求证：BE＝CF. 证明：如图，连接OA，作OG⊥AB于点G， OH⊥AC于点H. 在等腰三角形ABC中，AO是底边上的中线， ∴AO平分∠BAC. 又∵OG⊥AB，OH⊥AC， ∴OG＝OH. ∴BE＝CF. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10. 如图，AB是☉O的直径，点A，B，C，D均 在圆上，若BC＝CD＝DA＝4cm，则☉O的直径为 (　D　) A. 5cm B. 6cm C. 9cm D. 8cm D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11. (2025·合肥瑶海区期末)如图，在两个同心圆 中，大圆半径OA是小圆半径OC的2倍，点D， E，B均在圆上，∠AOB＝∠COD＝∠DOE，连 接AB，CD，DE和CE. 若CD和DE的弦心距分别 为d1和d2，则下列说法不正确的是(　D　) D A. d1＝d2 B. ＝2 C. AB＝2DE D. AB＝CE 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12. 新情境进度条 计算机处理任务时，常以圆形 进度条的形式显示任务完成的百分比.如图是某个任 务进行到不同阶段时的进度条示意图，当任务完成 的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x).下列描 述正确的是(　D　) D A. 当x1＜x2时，d(x1)＜d(x2) B. 当d(x1)＜d(x2)时，x1＜x2 C. 当x1＝2x2时，d(x1)＝2d(x2) D. 当x1＋x2＝1时，d(x1)＝d(x2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13. 原创题 如图，在☉O中， ＝ ，AB＝ 10，BC＝12，D为BC的中点，则OD＝ ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 [解析]如图，连接OA，OC. ∵D为BC的中点， ∴OD⊥BC. ∵ ＝ ，AB＝10， ∴AB＝AC＝10，A，O，D三点共线.∵AC＝ 10，CD＝ BC＝6，∴AD＝8.设OD＝x，则OA ＝OC＝8－x， ∴(8－x)2－x2＝36，解得x＝ .∴OD＝ . [解析]如图，连接OA，OC. ∵D为BC的中点， ∴OD⊥BC. ∵ ＝ ，AB＝10， ∴AB＝AC＝10，A，O，D三点共线. ∵AC＝10，CD＝ BC＝6，∴AD＝8.设OD＝x， 则OA＝OC＝8－x， ∴(8－x)2－x2＝36，解得x＝ . ∴OD＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14. 如图，已知AB是☉O的直径，弦AC∥OD. (1)求证： ＝ ； (1)证明：如图，连接OC. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO. ∵AC∥OD，∴∠OAC＝∠BOD，∠DOC＝ ∠ACO. ∴∠BOD＝∠COD. ∴ ＝ . (1)证明：如图，连接OC. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO. ∵AC∥OD，∴∠OAC＝∠BOD， ∠DOC＝∠ACO. ∴∠BOD＝∠COD. ∴ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14. 如图，已知AB是☉O的直径，弦AC∥OD. (2)若 的度数为58°，求∠AOD的度数. (2)解：由(1)得∠BOD＝ ∠BOC ＝ ×(180°－58°)＝61°. ∴∠AOD＝180°－61°＝119°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15. [课本再现] 如图①，A，B是☉O上的两点， ∠AOB＝120°，C是 的中点. (1)求证：四边形OACB是菱形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (1)证明：如图①，连接OC. ∵∠AOB＝120°，C 是 的中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°，AC＝BC. ∵OA＝ OC， ∴△ACO是等边三角形.∴OA＝AC. ∴OA＝AC ＝BC＝OB. ∴四边形OACB是菱形. (1)证明：如图①，连接OC. ∵∠AOB＝120°，C是 的中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°，AC＝BC. ∵OA＝OC， ∴△ACO是等边三角形. ∴OA＝AC. ∴OA＝AC＝BC＝OB. ∴四边形OACB是菱形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15. [课本再现] 如图①，A，B是☉O上的两点， ∠AOB＝120°，C是 的中点. (2)如图②，将线段OA绕圆心O逆时针旋转30°， 得到线段OA'，OA'交AC于点E，连接BE，若CE ＝1，求BE的长. [拓展延伸] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)解：如图②，连接OC. ∵△ACO是等边三角形， ∴∠AOC＝60°. ∵将线段OA绕圆心O逆时针旋转30°， 得到线段OA'，∴∠AOA'＝30°. ∴∠A'OC＝∠AOC－∠A'OA＝30°， ∠BOE＝∠AOB－∠AOA'＝90°. ∴OE平分∠AOC. ∴OE⊥AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 ∴AC＝BC＝OB＝2.∴OE＝ ＝ . ∴BE＝ ＝ . ∴AC＝BC＝OB＝2.∴OE＝ ＝ . ∴BE＝ ＝ . ∴AE＝CE＝AC＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 $