精品解析：2026年安徽省南陵县部分学校中考一模九年级数学试卷

2026年中考一模九年级数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡上答题，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 16的算术平方根为（　　） A. B. 4 C. 2 D. 2. 如图，一张桌子摆放在平面上，则它的俯视图大致是（　　） A. B. C. D. 3. 计算：的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 将一块含有角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，且直角三角板有一个顶点落在直尺边上．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　） A. 一定在原点左侧 B. 一定在原点右侧 C. 一定在1的左侧 D. 一定在1的右侧 6. 把分解因式，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知一次函数，且随的增大而减小．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，中，，以为圆心，为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，则长为（　　） A. B. 5 C. D. 9. 从不等式组的整数解中任选两个作为，的值，则一元二次方程有实数根的概率是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，为正方形边上一点，，作关于对称，得到于点，为上一点，且满足，连接，则的最小值为（　　） A. B. C. 7 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是____． 12. 我国神舟二十号飞船在轨道运行速度约为，则按该速度飞行100天路程用科学记数法表示为___________． 13. 如图，四边形中，为边中点，，，在上，且．若，，则___________． 14. 对于个连续正整数，任取其中两个数，形如和记为同一种取法．若“所取的两数之和大于”的不同取法为，如当，共有两种不同取法，则． （1）当___________； （2）对于正整数和，当时，___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，图1是一款笔记本电脑支架实物图片，图2是支架侧面的示意图，为固定底座，为可调节活动点，实验数据显示当时使用者最舒适，求此时支架点到水平面的高度．（参考数据：，，精确到） 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 下面对每一列数，通过观察归纳，给出每个序列中的后继项： （1），，，，，___________； （2）2，5，9，14，20， ； （3）小明把从0开始的自然数按照以下规则排序，按照从左到右的顺序，第行最后一个数是___________（用含的式子表示），并求出2026是第几行从左到右数的第几个数． 18. 项目式学习 项目主题 风筝的设计与制作 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史，以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． （1）步骤一：设计 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，请你以轴为对称轴画出风筝骨架的另一半，并直接写出点的对称点的坐标为___________． （2）步骤二：制作 将设计与制作的风筝进行试飞，根据当天风速等实际状况试飞，发现当与比值为黄金分割比时，风筝飞的最稳，则的长应设置为___________． （3）步骤三：结论 在步骤二的条件下，风筝所需材料（四边形）的面积为___________． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 端午节是中国传统节日，某商场在端午节前采购200盒粽子，其销售状况如下表所示，其中盈利记为正，亏损记为负．剩余的粽子商场以20元/盒的价格卖给厂家，由厂家回收后统一无害化处理． 销售期 销售规则 盈余/元 销售量/盒 端午节前 按照标价九折销售 42 102 端午节后 按照标价六折销售 85 （1）求粽子每盒的销售标价； （2）商场销售完这批粽子的总利润是多少元． 20. 如图，为圆的内接三角形，为圆直径，为弧中点，交于点 与延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若 ，求的值． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目背景】一般指一个国家或地区在一定时期内所生产的所有最终商品和服务的市场价值总和，为了解安徽省近五年来经济发展状况，数学兴趣小组通过调查安徽省2023年和2025年上半年全省16市值，为安徽省经济蓝图发展提出建议． 将收集的数据进行如下分组： 组别 A B C D 绘制2023，2025上半年安徽省各市频数分布直方图 （1）任务一：分别补全上述两幅条形统计图； （2）任务二：【数据收集与整理】单位（亿元，数据来源：安徽省统计局发布） 2023年C组值 1409 1332 1181 1065 1057 1030 2025年C组值 1462 1351 1311 1225 1173 1135 2023年上半年16市数据中位数是年上半年16市数据中位数是，则___________，___________； （3）任务三：下列说法正确的是___________； ①相比2023年，2025年A组个数增加； ②相比2023年，2025年D组个数减少； ③不计算，记2023年C组数据方差为年C组数据方差为，则． （4）任务四：结合两幅统计图，对安徽省经济增降情况做出判断并给出条合理的建议． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，平行四边形中，，为边，上两点，经过中点且，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）若， ，求周长； （3）如图2，当时，连接，交于点，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线与抛物线交于轴负半轴上点和轴上点处，直线分别交抛物线于两点不重合），点到直线之间距离分别记为两点之间距离记为． （1）求的值； （2）当随的增大而增大，求的取值范围； （3）当变化时，，之间有怎样的数量关系，猜想并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考一模九年级数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡上答题，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 16的算术平方根为（　　） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ，且为正数， ∴ 的算术平方根为． 2. 如图，一张桌子摆放在平面上，则它的俯视图大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据俯视图的定义，从物体正上方观察桌子的形状，结合桌腿的可见性可得桌子的俯视图大致是 3. 计算：的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了乘方和乘法的意义，解题的关键是区分个相乘与个相加的不同，以及个相加的表示方法． 个相乘表示为；个相加表示为；将两部分结果相加即可． 【详解】解：个相乘，根据乘方的意义，可表示为；个相加，根据乘法的意义，可表示为； 因此，原式的结果为． 故选：B． 4. 将一块含有角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，且直角三角板有一个顶点落在直尺边上．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解． 【详解】解：∵一块含有角的直角三角板，， ∴ ∵直尺的两边互相平行， ∴ 5. 数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　） A. 一定在原点左侧 B. 一定在原点右侧 C. 一定在1的左侧 D. 一定在1的右侧 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数的性质得到比例系数的符号，求解得到的取值范围，再结合数轴上数的大小关系判断点的位置即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为， ∴点一定在的左侧． 6. 把分解因式，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进一步分解． 【详解】解：∵ ， ∴结果为． 7. 已知一次函数，且随的增大而减小．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据y随x增大而减小得到，再将各选项点的坐标代入解析式，求出k的值，验证是否满足即可得到答案． 【详解】解：∵ 一次函数中，随的增大而减小， ∴ ， A、 将代入解析式，得：， 解得，符合题意； B 、将代入解析式，得：， 整理得，等式不成立，不符合题意； C 、将代入解析式，得：， 解得，不符合的条件，不符合题意； D 、将代入解析式，得：， 解得，不符合题意． 8. 如图，中，，以为圆心，为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，则长为（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由题意可知，，可知四边形为矩形，那么，接着利用勾股定理可求得，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，，连接，如图所示： ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵中，， ∴． 9. 从不等式组的整数解中任选两个作为，的值，则一元二次方程有实数根的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算得出不等式组的整数解，由可能的组合中找出符合一元二次方程有实数根的组合，求其概率即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的整数解为，，， 则，的组合共有、、、、、共六种， 若一元二次方程有实数根， 则， 在上述组合中，仅有这种组合满足题意， 即，， ∴其概率为． 10. 如图，为正方形边上一点，，作关于对称，得到于点，为上一点，且满足，连接，则的最小值为（　　） A. B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】取，记的中点为O，连接、、，根据正方形的性质和轴对称的性质可推出，，从而证得，进而得到，由直径所对圆周角是直角，可知点是在以为直径的半圆上，则当点在上时，最小，最后利用勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：如图，取，记的中点为O，连接、、， ∵正方形，，关于对称，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ， ， ∴点是在以为直径的半圆上， ∴当点在上时，最小， ∵， ∴， ∴的最小值． 【点睛】利用辅助线构造出相似三角形，结合直径所对圆周角是直角，求得点H的轨迹是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于零． 根据分式有意义的条件，分母不等于零即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 我国神舟二十号飞船在轨道运行速度约为，则按该速度飞行100天路程用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算100天的总飞行小时数，再根据路程等于速度乘时间计算总路程，最后根据科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数，将结果表示出来即可． 【详解】解：100天的总飞行时间， 飞行总路程． 13. 如图，四边形中，为边中点，，，在上，且．若，，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】记交于点M，根据题意易得四边形是平行四边形、，然后根据平行四边形的性质和相似三角形对应边成比例可求得，，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，记交于点M， ∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，为边中点， ∴，， ∴， ∴，，即点M是的中点， 又∵，， ∴， ∴． 14. 对于个连续正整数，任取其中两个数，形如和记为同一种取法．若“所取的两数之和大于”的不同取法为，如当，共有两种不同取法，则． （1）当___________； （2）对于正整数和，当时，___________． 【答案】 ①. 6 ②. 10 【解析】 【分析】（1）根据定义，列出时，所有的不同取法，即可得到k的值； （2）分两种情况：当为偶数和为奇数，分别探究出对应的k的规律，然后代入，解得n值即可． 【详解】解：（1）当时，这两个数分别是：，共6种 ． （2）由题意可知，当时，有，则； 当时，有，则； 当时，有，则； 当时，则； 当时，有，则； ∴当为偶数时，所有取法；当为奇数时，所有取法， 当时，若为偶数，则，整理得，解得（负值已舍去）； 若为奇数，则，解得为无理数，舍去， 故． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 如图，图1是一款笔记本电脑支架实物图片，图2是支架侧面的示意图，为固定底座，为可调节活动点，实验数据显示当时使用者最舒适，求此时支架点到水平面的高度．（参考数据：，，精确到） 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点，分别求出，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：如图，作，垂足为．设． 在中， ． 在中， ． ，解得． 答：支架点到水平面的高度约为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 下面对每一列数，通过观察归纳，给出每个序列中的后继项： （1），，，，，___________； （2）2，5，9，14，20， ； （3）小明把从0开始的自然数按照以下规则排序，按照从左到右的顺序，第行最后一个数是___________（用含的式子表示），并求出2026是第几行从左到右数的第几个数． 【答案】（1） （2） （3），2026为第64行从左到右数的第11个数 【解析】 【分析】根据题意找数字变化规律即可． 【小问1详解】 解：根据题意观察得：； 【小问2详解】 解：根据题意观察得： 则 则为：； 【小问3详解】 解：由题可知， 第一行第一个数为：0， 第二行第一个数为：1， 第三行第一个数为：， 第四行第一个数为：， 第五行第一个数为：， 第行第一个数为：， 第行最后一个数为：， 当时，第一个数为：， 则到共11个数， 故为第行从左到右数的第个数． 18. 项目式学习 项目主题 风筝的设计与制作 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史，以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． （1）步骤一：设计 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，请你以轴为对称轴画出风筝骨架的另一半，并直接写出点的对称点的坐标为___________． （2）步骤二：制作 将设计与制作的风筝进行试飞，根据当天风速等实际状况试飞，发现当与比值为黄金分割比时，风筝飞的最稳，则的长应设置为___________． （3）步骤三：结论 在步骤二的条件下，风筝所需材料（四边形）的面积为___________． 【答案】（1） 解：下图即为所求： ∵与点关于轴对称， ∴坐标为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）找出点关于轴对称的点，然后连接，再写出坐标即可； （2）根据题意，可知，求解即可； （3）根据三角形面积公式求得，再根据，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵当与比值为黄金分割比， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵与关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴风筝所需材料（四边形）的面积为 ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 端午节是中国传统节日，某商场在端午节前采购200盒粽子，其销售状况如下表所示，其中盈利记为正，亏损记为负．剩余的粽子商场以20元/盒的价格卖给厂家，由厂家回收后统一无害化处理． 销售期 销售规则 盈余/元 销售量/盒 端午节前 按照标价九折销售 42 102 端午节后 按照标价六折销售 85 （1）求粽子每盒的销售标价； （2）商场销售完这批粽子的总利润是多少元． 【答案】（1）粽子每盒的销售标价为180元 （2）商场销售完这批粽子的总利润为1964元 【解析】 【分析】（1）设每盒粽子价格为元，分别表示出节前和节后粽子的进价，然后根据进价相等列出方程，即可解答； （2）先根据粽子的销售标价求得每盒粽子的进价，然后计算节前的销售利润、节后的销售亏损以及回收的亏损，据此列式解答． 【小问1详解】 解：设每盒粽子价格为元， 则可列方程为， 解得． 答：粽子每盒的销售标价为180元． 【小问2详解】 解：粽子每盒成本为， 商场销售完这批粽子的总利润为（元）． 答：商场销售完这批粽子的总利润为1964元． 20. 如图，为圆的内接三角形，为圆直径，为弧中点，交于点与延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为弧中点，为直径， ，， ，， 又， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理和直径所对圆周角是直角可推出 ，，然后结合圆周角定理可知，从而证得结论； （2）由垂径定理可得，从而求得、，然后根据勾股定理求得、，接着利用两组角对应相等可证 ，进而根据相似三角形对应边成比例可求得，从而求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为直径，，，， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， 又∵， ， ，即， 解得， ． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目背景】一般指一个国家或地区在一定时期内所生产的所有最终商品和服务的市场价值总和，为了解安徽省近五年来经济发展状况，数学兴趣小组通过调查安徽省2023年和2025年上半年全省16市值，为安徽省经济蓝图发展提出建议． 将收集的数据进行如下分组： 组别 A B C D 绘制2023，2025上半年安徽省各市频数分布直方图 （1）任务一：分别补全上述两幅条形统计图； （2）任务二：【数据收集与整理】单位（亿元，数据来源：安徽省统计局发布） 2023年C组值 1409 1332 1181 1065 1057 1030 2025年C组值 1462 1351 1311 1225 1173 1135 2023年上半年16市数据中位数是年上半年16市数据中位数是，则___________，___________； （3）任务三：下列说法正确的是___________； ①相比2023年，2025年A组个数增加； ②相比2023年，2025年D组个数减少； ③不计算，记2023年C组数据方差为年C组数据方差为，则． （4）任务四：结合两幅统计图，对安徽省经济增降情况做出判断并给出条合理的建议． 【答案】（1） 补全两幅条形统计图如下： （2）1061；1268 （3）①③ （4）解：从数据来看，安徽省经济呈现发展趋势，建议加大经济较弱地区的扶持，实现共同富裕． 【解析】 【分析】（1）先分别算出2023年D组个数和2025年B组个数，然后补全条形统计图即可； （2）根据题意，16个数据从小到大排列，中位数是第8个和第9个数据的平均数，然后计算即可得出答案； （3）根据题目所给数据一一判断各选项的正确性即可； （4）从数据来看，安徽省经济呈现发展趋势，然后给出合理的建议即可． 【小问1详解】 解：2023年D组个数为：（个）， 2025年B组个数为：（个） 【小问2详解】 解：根据题意，16个数据从小到大排列，中位数是第8个和第9个数据的平均数， ∵2023年中，A组2个城市，B组2个城市，C组6个城市，D组6个城市， ∴2023年中，中位数为C组的第2个和第3个数据的平均数， ∵2023年C组值按从小到大排列如下：1030，1057，1065，1181，1332，1409， ∴中位数； ∵2025年中，A组3个城市，B组2个城市，C组6个城市，D组5个城市， ∴2025年中，中位数为C组的第3个和第4个数据的平均数， ∵2025年C组值按从小到大排列如下：1135，1173，1225，1311，1351，1462， ∴中位数； 【小问3详解】 解：∵2023年A组2个城市，2025年A组3个城市， ∴相比2023年，2025年A组个数增加了，故①正确； ∵2023年D组6个城市，2025年D组5个城市， ∴相比2023年，2025年D组个数减少了，故②错误； ∵2023年C组值按从小到大排列如下：1030，1057，1065，1181，1332，1409，2025年C组值按从小到大排列如下：1135，1173，1225，1311，1351，1462，2023年C组值波动较大， ∴，故③正确； 【小问4详解】 略 七、（本题满分12分） 22. 如图1，平行四边形中，，为边，上两点，经过中点且，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）若， ，求周长； （3）如图2，当时，连接，交于点，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形为菱形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得四边形为平行四边形，结合，即可证四边形为菱形； （2）证明，求出的长度，易求周长； （3）作，垂足为，先得出的比值，设，则，再得出和的表达式，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长为． 【小问3详解】 解：如图，作，垂足为． 由题意可知，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线与抛物线交于轴负半轴上点和轴上点处，直线分别交抛物线于两点不重合），点到直线之间距离分别记为两点之间距离记为． （1）求的值； （2）当随的增大而增大，求的取值范围； （3）当变化时，，之间有怎样的数量关系，猜想并证明． 【答案】（1）， （2）当或时，随着的增大而增大 （3）， 证明如下： 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得 ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， 设直线与直线交于点，过点C作于点N，过点D作于点M， 则，， ∵直线与y轴平行， ∴， ∴， ∵点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴， ， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）先将代入可得点B的坐标和c的值，然后令，从而求得点A的坐标，进而求得b的值； （2）根据点A和B的坐标，分；；三种情况讨论； （3）先求得直线的解析式，设直线与直线交于点，过点C作于点N，过点D作于点M，则，，，从而得到，然后根据点C、E、D的坐标表示出和即可证得结论． 【小问1详解】 解：令，代入， ， 点坐标为， ， 令，代入可得， 解得， 又点在轴负半轴， 点坐标为， 将代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，，，， 图象如图所示， ∴①当时，随的增大而减小； ②当时，， ∴抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； ③当时，随的增大而增大； 综上所述，当或时，随着的增大而增大； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $