精品解析：四川省德阳市第五中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

德阳五中高2025级2026年春期第一次自主性检测 数学试题 满分：150分；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“”的否定为“”. 2. 与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】与角终边相同的角的集合是.故A正确； 表示终边在直线上的角的集合，故B错误； 表示终边与的终边重合的角的集合，故C错误； 表示终边在直线上的角的集合，故D错误. 3. 设函数，则（　　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数， . 4. “点在第三象限”是“角为第四象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数符号，可确定象限角，从而可得到判断. 【详解】由点在第三象限，可知，所以角为第四象限角， 即“点在第三象限”是“角为第四象限角”的充分条件， 再由角为第四象限角，可知，即点在第三象限， 所以“点在第三象限”是“角为第四象限角”的充要条件， 故选：C 5. 的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角差的正弦公式即可求解． 【详解】 故选：B． 6. 已知函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，利用最值、周期、特殊点确定、、的值，即可得出结论. 【详解】由图象知，函数的最小正周期， 即，，由五点对应法则代入知， ，即，因为，解得， 所以，则. 故选：B 7. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本（均值）不等式求和的最小值. 【详解】因为为正数，所以， ， 当且仅当，即时取等号, 由和解得，此时取得最小值. 故选：A 8. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的图象，对于A：直接观察即可；对于B：根据图象得到，，进一步计算求解；对于C：通过求解；对于D：令，求出的根，代入，继续根据图象可求根的个数. 【详解】因为， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象如下： 对于A：关于x的方程有四个不同的根， 即函数与的图象有4个交点，由图象可得，故A错误； 对于B：由图象知，所以，且， 所以， 又由， 所以，故B错误； 对于C：知，即，解得，故C正确； 对于D：对于函数，令，则， 即，因为，，， 可得， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 综合得函数有个零点，故D错误. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知函数．则能够使得变成函数的变换为（ ） A. 先横坐标变为原来的，再向左平移 B. 先横坐标变为原来的2倍，再向左平移 C. 先向左平移，再横坐标变为原来的 D. 先向右平移，再横坐标变为原来的 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象变换过程即可得出结果. 【详解】先将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象；再将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，故选项A正确，选项B错误； 先将的图象向左平移个单位，得到函数的图象；再将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到函数的图象，故选项C正确； 先将的图象向右平移个单位，得到函数的图象；再将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到函数的图象，故选项D正确. 故选：ACD 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】分别由两角差的正弦公式，两角和的正切公式和倍角公式即可依次判断． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：AB． 11. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 函数是奇函数 D. 4是的周期 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令可得，即可得解；对于B，以代可得，即可得证；对于C，先假设是奇函数，得出，与矛盾，即可判断；对于D，令，可得，，即可得证. 【详解】对于A：令，，整理得，由可知不恒为，故，故A正确； 对于B：以代，得， 又因为，故有， 整理得，由可知不恒为， 故，又因为的定义域是，故是偶函数，故B正确； 对于C：若函数是奇函数，则有，令，得，即，与矛盾，故函数不是奇函数，故C错误； 对于D：令，因为，故可得， 即，将替换为，则， 所以，故4是的周期. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：=______ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 13. 已知，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式计算即可求解. 【详解】由题意知，. 故答案为：. 14. 已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过逐步分析画出在一个周期内的函数图象，根据长度的最小值得到等量关系，解方程可得结果. 【详解】令，则原函数可化为， ∴，的最小正周期为， 作出在上的函数图象，如图1， ∴在上的函数图象如图2， 由得，，的最小正周期为，故在的图象如图3， 如图，当点为一个周期内的最高点和最低点时，的长度最小，此时， ∵， ∴，即，解得. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分. 15. （1）计算：； （2）化简： ． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【详解】（1）； （2）. 16. 如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点． （1）若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． （2）化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． 【答案】（1）菱形，理由如下： 由条件知， 即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形． （2） ． 作出向量如图所示． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可； （2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可. 【小问1详解】 由条件知， 即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形． 【小问2详解】 由平行四边形及三角形中位线的性质可知． 所以． 作出向量如图所示． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期，对称中心坐标和的单调递减区间； （2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值. 【答案】（1），对称中心为，单调递减区间 （2）最小值为， 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式，余弦公式，辅助角公式化简函数解析式；利用周期公式求周期，利用整体思想，结合正弦函数的性质依次求对称中心坐标和单调递减区间即可； （2）由自变量的取值范围确定变量的取值范围，利用正弦函数的性质，即可求最小值和取得最小值时x的值. 【小问1详解】 ， 所以，函数的最小正周期为. 由，解得， 所以函数的对称中心为； 由，解得. 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，， 当，即时，函数取得最小值，最小值为． 18. 某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度与时间成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为且是常数），如图所示： （1）根据图象写出关于的函数表达式； （2）据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求分段函数的解析式； （2）由解不等式，根据不等式的解即可得出药物有效时长. 【小问1详解】 因为当时，血液中的药物浓度与时间成正比，且过点，所以， 当时，与的函数关系式为且是常数）， 且过点和， 所以，所以，所以， 所以 【小问2详解】 当时，令，得； 当时，令，得． 因此当时，药物有效，有效时长为． 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在请求出一个的值；若不是请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值. 【答案】（1）存在一个的值为. （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）根据以及即可根据“伴随函数”的定义求解， （2）（i）根据“伴随函数”的定义可得是周期为的函数，即可利用周期性以及对称性求解；（ii）作出在上的图象如图所示，根据周期性结合图象，对进行讨论即可求解. 【小问1详解】 存在正常数，使得是“伴随函数”. 因为，所以， 因为，所以， 所以存在一个的值为. 【小问2详解】 （i）由，得， 所以是周期为的函数. 由，得，所以为的一条对称轴， 当时，. 当时，， 所以由对称性可知. 所以当时，. （ ii）易知在上的图象如图所示， 长度为，恰好包含 2 个完整周期， 根据周期性结合图象， 当，或，或时，方程在区间内有 4 个根，两两关于 、对称，； 当时，方程在区间内有 7个根，； 当时，方程在区间内有 6个根，； 当或时，方程在区间内有 8个根，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳五中高2025级2026年春期第一次自主性检测 数学试题 满分：150分；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，则（　　 ） A. B. C. D. 4. “点在第三象限”是“角为第四象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 的值为（    ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 0 7. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知函数．则能够使得变成函数的变换为（ ） A. 先横坐标变为原来的，再向左平移 B. 先横坐标变为原来的2倍，再向左平移 C. 先向左平移，再横坐标变为原来的 D. 先向右平移，再横坐标变为原来的 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 函数是奇函数 D. 4是的周期 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：=______ 13. 已知，则___________． 14. 已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为______. 四、解答题:本题共5小题，共77分. 15. （1）计算：； （2）化简： ． 16. 如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点． （1）若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． （2）化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期，对称中心坐标和的单调递减区间； （2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值. 18. 某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度与时间成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为且是常数），如图所示： （1）根据图象写出关于的函数表达式； （2）据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长. 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在请求出一个的值；若不是请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $