精品解析：四川省德阳市广汉市广汉中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷

广汉中学高2024级高一下期6月月考 数学试题 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A B. C. D. 2. 在直角三角形中，，，，以边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周，所得几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某四边形的直观图是正方形，且，则原四边形的面积等于（ ） A. B. C. 4 D. 4. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n是两条不同直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 8. 如图，已知正方体棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．） 9. 若a，，且，则下列说法正确是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值4 C. 有最小值 D. 有最小值 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的解集为 D. 将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 11. 《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2的“刍童”，其中，则（ ） A. 该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点 B. 该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为 C. 该“刍童”外接球的表面积为 D. 该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分共15分.将答案直接填在答题卡上） 12. 已知向量，若，则________. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为__________. 14. 在中，，在边上存在一点，满足，作，为垂足，若为的最小内角，则的取值范围是__________． 四、解答题（共5题，共77.0分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求C的大小； （2）求的面积． 16. 已知复数，m为实数. （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若复数z在复平面上对应的点在第二象限，求m的取值范围； （3）若，求的值. 17. 在中，角，，的对边分别是，，，向量，向量，且满足. （1）求角的大小； （2）若外接圆的半径是1，求当函数取最大值时的周长. 18. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：平面ACE； （2）若，求三棱锥B—AEC的体积． 19. 若函数（），非零向量，我们称为函数的“相伴向量”，为向量的“相伴函数”． （1）已知函数，求的“相伴向量”； （2）记向量的“相伴函数”为，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数，若，，求的值； （3）对于函数，是否存在“相伴向量”？若存在，求出的“相伴向量”；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广汉中学高2024级高一下期6月月考 数学试题 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则化简复数，利用共轭复数的定义可得结果. 【详解】，则，因此，的共轭复数的虚部为. 故选：A. 2. 在直角三角形中，，，，以边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周，所得几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据圆锥的定义以及圆锥的体积公式即可求出． 【详解】根据题意以及圆锥的定义可知，将该直角三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为，高为，所以其体积为. 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆锥的定义以及圆锥的体积公式的应用，属于容易题． 3. 如图，某四边形的直观图是正方形，且，则原四边形的面积等于（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直观图中在轴上且、轴结合直观图定义还原原图形即可求解. 【详解】因为直观图正方形满足， 故可得正方形边长为， 又由直观图可知在轴上，轴， 故如图所示，结合直观图定义可知：原图形且在轴上，轴且， 所以由图可知，原四边形的面积为. 故选：B. 4. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 5. 已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，则或，所以A不正确； 对于B中，若，则或与是异面直线，所以B不正确； 对于C中，如图所示，在正方体中， 设平面为平面，平面为平面，平面为平面， 此时满足，则，所以C不正确； 对于D中，由，可得，因为，所以，所以 D正确. 故选：D. 6. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意表示出，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可. 【详解】设，由题意得，而， 得到，在中，，， 由余弦定理得，解得，故B正确. 故选：B. 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 8. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，根据线面平行的判定定理，证得平面，平面，进而证得平面平面，得到当时， 平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，在中，求得，结合，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在正方体中，可得且， 因为，分别是棱的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段， 因为正方体的边长为，可得，， 在中，可得，且， 则，所以的最小值为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．） 9. 若a，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值4 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用求解判断各选项即可. 【详解】实数，且满足， 选项A：（当且仅当时等号成立）. 则有最大值，A正确； 选项B：， 当且仅当时等号成立， 则有最小值4，B正确； 选项C：， 当且仅当时等号成立， 所以有最小值，C正确； 选项D：由， 当且仅当时等号成立， 所以，即有最大值，D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的解集为 D. 将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数图象易得与周期，即可求出，再利用待定系数法求出，即可求出函数解析式，即可判断A；结合正弦函数的单调性代入验证即可判断B；根据正弦函数的性质解不等式即可判断C；根据平移变换求出变换后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性即可判断D. 【详解】解：由图可得， ，所以，所以， 所以， 将点代入得，，即， 又，所以， 所以，故A正确； 当，则， 所以函数在上不单调递，故B错误； 若，则， 所以， 即， 所以的解集为，故C正确； 将图像向左平移个单位长度， 可得函数， 则函数为偶函数，关于轴对称，故D错误. 故选：AC. 11. 《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2的“刍童”，其中，则（ ） A. 该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点 B. 该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为 C. 该“刍童”外接球的表面积为 D. 该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】判断“刍童”不是棱台，可判断A的真假；求出侧棱与底面所成角的正弦，判断B的真假；求“刍童”外接球半径，进而求外接球表面积，判断C的真假；先求球心到平面的距离，再求“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值，判断D的真假. 【详解】对A：根据“刍童”的概念可知：“刍童”不是棱台，所以“刍童”的所有侧棱的延长线不会交于一点，故A错误； 对B：设在平面上的射影为、在直线上的射影为，如图： 易知，该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角均相等. 则,，, 所以， 可得， 设，则，故B正确； 对C：如图： 若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”外面，设其外接球半径为，，（） 则， 所以该“刍童”的的外接球的表面积为：. 若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”里面，设其外接球半径为，，（） 则，不合题意，故舍去. 所以该“刍童”的的外接球的表面积为：.故C正确； 对D：如图： 等腰梯形中，，，，所以， 即等腰梯形外接圆的半径. 所以该“刍童”的的外接球球心到平面的距离为：， 所以该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：球面上任意点到某平面的距离的最大值，等于球的半径与球心到平面的距离之和. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分共15分.将答案直接填在答题卡上） 12. 已知向量，若，则________. 【答案】-2 【解析】 【分析】利用向量共线列方程，即可求出. 【详解】因为向量，且， 所以， 所以. 故答案为：-2. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用奇函数的定义，将求时的解析式转化为时的情况，直接代入已知解析式即可. 【详解】解析：因为是奇函数，当时，， 所以当时，. 故答案为：. 14. 在中，，在边上存在一点，满足，作，为垂足，若为的最小内角，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，结合图形，利用正弦定理、三角形的性质进行求解. 【详解】 由题意可知，，在中，由正弦定理可知，， 因为，，所以， 在中，由正弦定理有：， 两式相除有：， 因为是直角三角形，，所以， 所以，，， 即． 故答案为：. 四、解答题（共5题，共77.0分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求C的大小； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后由三角函数恒等变换公式化简可求出C的大小， （2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求得三角形的面积 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因为， 所以, 所以， 因为，所以， 因为，所以 【小问2详解】 由余弦定理得 ， 所以， 所以，解得， 所以 16. 已知复数，m为实数. （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若复数z在复平面上对应的点在第二象限，求m的取值范围； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出等式与不等式得解； （2）根据复数对应的点在第二象限列出不等式组求解； （3）根据复数模的性质及模的定义求解. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数， 即纯虚数， 所以，解得. 【小问2详解】 因为在复平面上对应的点在第二象限， 所以，即， 解得， 即m的取值范围为. 【小问3详解】 当时，， . 17. 在中，角，，的对边分别是，，，向量，向量，且满足. （1）求角的大小； （2）若外接圆的半径是1，求当函数取最大值时的周长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据，，且，利用数量积运算和正弦定理化简得到，再由余弦定理得求解. （2）由（1）知，再根据取最大值的条件，由二次函数的性质求得即可. 【详解】（1）因为，，且， 所以， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 所以， 因为， 所以. （2）由（1）知， ， ， 因为，所以， 所以当时，有最大值， 此时，. 故的周长是. 【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 18. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：平面ACE； （2）若，求三棱锥B—AEC体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【小问1详解】 因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 设正方体的棱长为，因为，则 即正方体的棱长是，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 19. 若函数（），非零向量，我们称为函数的“相伴向量”，为向量的“相伴函数”． （1）已知函数，求的“相伴向量”； （2）记向量的“相伴函数”为，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数，若，，求的值； （3）对于函数，是否存在“相伴向量”？若存在，求出“相伴向量”；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）“相伴向量”；（2）；（3）不存在；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）先由二倍角公式化简的解析式，由“相伴向量”的定义求解即可； （2）先将的解析式化简，然后利用三角函数的图象变换求出的解析式，由题意得到，然后由同角三角函数关系式结合角的变换以及两角差的正弦公式求解即可； （3）假设函数存在“相伴向量”，则存在，使得对任意的恒成立，通过对的值进行验证，即可判断． 【详解】解：（1），则函数的“相伴向量” （2）依题意，， 将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数 ，再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数 ， 由，得 由，则，则 （3）若函数存在“相伴向量”，则存在，，使得 对任意都成立， 令，得，因此，即或 显然上式对任意不都成立， 所以，函数不存在“相伴向量”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$