精品解析：江苏省徐州市第三十五中学2025-2026学年九年级第一次质量检测模拟卷数学试题

2026年九年级第一次质量检测模拟卷 数学试题 注意事项 1．本试卷共6页，满分140分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0．5毫米黑色字迹签字笔填写在本卷和答题卡的指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 4 5. 如图，矩形中，，，E为中点，连接，交于F点，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中，发生的概率是的是（ ） A. 投掷一个点数均匀分布骰子，点数大于3 B. 6名同学中有2名同学的出生月份一样 C. 在装有3颗大小，形状全都相同的黄色小球的袋子中，随机抽取一颗是黑球 D. 两个小朋友玩石头，剪刀，布，两人出一样手势 7. 如图，菱形中，，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 16 8. 如图为函数的图象，下列说法中①；②， ③， ④．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 的平方根是__________． 10. 分解因式：x2－9＝______． 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 12. 自然界中，光速是最快的，其速度可达，用科学记数法可以表示为_______． 13. 把二次函数向左平移2个单位后得到的图像表达式是_______． 14. 一个圆锥底面半径为2，侧面积为，则这个圆锥的母线长是______． 15. 已知且，则_____． 16. 如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 17. 如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 18. 已知线段，C为平面内一动点，连接，，则的面积的最大值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） ； （2） 20. 解方程与解不等式组 （1）解方程： （2）解不等式组： 21. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，先随机摸出一个球（不放回），再随机摸出一个球． （1）求第一次摸出红球的概率； （2）求两次摸出的球都是红球的概率（用树状图或列表法求解） 22. 某市为了解中学生每天的课外阅读时间，随机抽取部分中学生进行调查．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图表： 学生每天的课外阅读时间统计表 类别 A B C D 阅读时间 频数 45 40 5 中学生每天的课外阅读时间扇形统计图 根据以上信息解答下列问题： （1）该调查的样本容量为______，______； （2）在扇形统计图中，“”对应扇形的圆心角等于______； （3）把每天课外阅读时间不低于的学生称为“阅读小达人”．若该市约有20万中学生，请估计该市称为“阅读小达人”有多少万人． 23. 与为等边三角形．，，连接，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 张大伯新建了一个养殖场，需要去集市购买母鸡，鸡仔，鸭子共只．已知一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元，已知鸡仔一共买了只，问母鸡和鸭子各买了多少只？ 25. 小明想要测量一条河的宽度（河两岸近似直线），已知他从岸边A点看向河对岸的岸边C点，点C在A点的北偏东，随即他沿着河边向正东方向走了30米到达点B处，测量得点C在点B的北偏西，求河的宽度（精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 26. 按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） （1）在图①中作正方形，且顶点都在圆上． （2）在图②中将圆的面积6等分． 27. 如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°．将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q． （1）如图2，当＝1时，＝　 　； （2）如图3，当＝2时， ①EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由； ②在旋转过程中，连接PQ，若AC＝30cm，设EQ的长为xcm，△EPQ的面积为S（cm2）．求S关于x的函数表达式，并求出x的取值范围． 28. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交轴于点、，交轴于点，它的对称轴交轴于点．过点作轴交抛物线于点，连接并延长交轴于点，交抛物线于点．直线交于点，交抛物线于点，连接、． （1）点的坐标为：______； （2）当是直角三角形时，求的值； （3）与有怎样的位置关系？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第一次质量检测模拟卷 数学试题 注意事项 1．本试卷共6页，满分140分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0．5毫米黑色字迹签字笔填写在本卷和答题卡的指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，先计算出的结果，再求其相反数即可得到答案． 【详解】解：， ∵的相反数为． ∴的相反数是． 2. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可得出结果，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意． 3. 下列运算中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的基本运算，根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，逐个判断选项即可得到正确结果． 【详解】根据幂的运算法则逐一判断： 对于A，同底数幂相除，底数不变，指数相减，∵ ，∴ A错误； 对于B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∵，∴ B错误； 对于C，同底数幂相除，底数不变，指数相减，∵ ，∴ C正确； 对于D，幂的乘方，底数不变，指数相乘，∵ ，∴ D错误． 4. 一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数的概念，先根据数据个数确定中位数的位置，再结合中位数的值得到x的取值范围，最后结合选项得出答案． 【详解】解：∵这组数据共有7个数据，且7是奇数， ∴该组数据的中位数是从小到大排序后第4个数据； ∵该组数据中位数为6， ∴排序后第4个数为6. 将除x外的已知数据从小到大排序得：. 要使排序后第4个数为6，需满足； 观察选项，只有D选项的4满足条件 5. 如图，矩形中，，，E为中点，连接，交于F点，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，结合题意得出，证明，结合相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 下列事件中，发生的概率是的是（ ） A. 投掷一个点数均匀分布骰子，点数大于3 B. 6名同学中有2名同学的出生月份一样 C. 在装有3颗大小，形状全都相同的黄色小球的袋子中，随机抽取一颗是黑球 D. 两个小朋友玩石头，剪刀，布，两人出一样手势 【答案】D 【解析】 【分析】由简单概率公式，其中是所有等可能结果总数，是所求事件包含的结果数，逐项计算即可得到答案． 【详解】解：A、∵投掷均匀骰子，共有6种等可能结果，点数大于3的结果共3种， ∴，不符合要求； B、一年共12个月份，先从6名同学中选出2名同学，有15种情况；而2名同学的出生月份情况复杂，有2人相同和2人不同，2人相同的又分12个月，得结果数有种、2人不同的结果数有种，则2名同月份出生的概率不是，不符合要求； C、∵袋子中没有黑球， ∴摸到黑球的概率为0，不符合要求； D、∵两个小朋友玩石头剪刀布，共有种等可能结果，两人出相同手势的结果共3种， ∴，符合要求． 7. 如图，菱形中，，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作，由题意易得的长，然后根据菱形的面积计算公式进行求解即可． 【详解】解：过点D作，如图所示： 四边形是菱形，，， ，， ， 在中，， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及面积，含30度角直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质及面积是解题的关键． 8. 如图为函数的图象，下列说法中①；②， ③， ④．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象，根据图象与x轴有两个交点，即可判定①；二次函数图象开口向下，对称轴在0和1之间，即可判定②；根据当时，，即可判定③；根据当时，，即可判定④． 【详解】解：观察图象可知，二次函数图象与x轴有两个交点， ∴， ∴①正确； ∵二次函数图象开口向下，对称轴在0和1之间， ∴，， ∴， ∴， ∴②不正确； 当时，， 即可得， ∴③正确； 当时，， ∴， ∴④不正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 的平方根是__________． 【答案】± 【解析】 【详解】分析：根据平方运算，可得平方根、算术平方根． 详解：的平方根是±． 故答案为． 点睛：本题考查了算术平方根．平方运算是求平方根的关键． 10. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 即， 解得． 12. 自然界中，光速是最快的，其速度可达，用科学记数法可以表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法，将数改写成，其中，为整数． 【详解】解：用科学记数法可以表示为． 13. 把二次函数向左平移2个单位后得到的图像表达式是_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换和二次函数顶点式，先将原二次函数化为顶点式，再根据平移规律即可得到平移后的函数表达式． 【详解】解：， 将二次函数图象向左平移个单位，得： ， 展开得：． 14. 一个圆锥底面半径为2，侧面积为，则这个圆锥的母线长是______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式，设出母线长，列一元一次方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的母线长为， ∵圆锥底面半径， ∴圆锥底面周长为， 根据圆锥侧面积公式，代入，，得， 解得． 15. 已知且，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用完全平方公式展开分母，再将已知代入分式化简，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 16. 如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，设，由垂径定理得，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：连接，设， ∵，点E是的中点，， ∴， 由勾股定理得， 则 解得． 17. 如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 18. 已知线段，C为平面内一动点，连接，，则的面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作的外接圆，圆心为点O，则，故，作于点F，于点E，则，由，求得，所以，由，得，所以，则的面积的最大值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点O，连接、、，则， ，， ， ， 作于点F，于点E，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，且， ， 的面积的最大值为． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） ； （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式，乘方，绝对值再把各项相加即可； （2）先通分，因式分解，再转化成乘法约分即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 解方程与解不等式组 （1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解方程和解不等式组： （1）用因式分解求解； （2）求出每个不等式的解后，再取交集． 【小问1详解】 解： 解得：，． 【小问2详解】 解： 解不等式：， 得：， 解不等式：， 解得：， 不等式组的解为． 21. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，先随机摸出一个球（不放回），再随机摸出一个球． （1）求第一次摸出红球的概率； （2）求两次摸出的球都是红球的概率（用树状图或列表法求解） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有3种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有3种， ∴摸到红球的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 红 红 红 白 白 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） 共有20种等可能的结果，其中摸到的两个球都是红球的结果有6种， ∴摸到的两个球都是红球的概率为． 22. 某市为了解中学生每天的课外阅读时间，随机抽取部分中学生进行调查．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图表： 学生每天的课外阅读时间统计表 类别 A B C D 阅读时间 频数 45 40 5 中学生每天的课外阅读时间扇形统计图 根据以上信息解答下列问题： （1）该调查的样本容量为______，______； （2）在扇形统计图中，“”对应扇形的圆心角等于______； （3）把每天课外阅读时间不低于的学生称为“阅读小达人”．若该市约有20万中学生，请估计该市称为“阅读小达人”有多少万人． 【答案】（1）， （2） （3）万人 【解析】 【分析】（1）根据A类别的频数与占比即可求出调查的样本容量，再求出C类别的频数即可； （2）求出B类别的占比即可得到对应扇形的圆心角； （3）利用样本的频率即可估计全体“阅读小达人”的市民人数． 【小问1详解】 解：该调查的样本容量为；C类别的频数为； 【小问2详解】 解：“”对应扇形的圆心角等于； 【小问3详解】 解：估计该市能称为“阅读小达人”的中学生有（万人）． 23. 与为等边三角形．，，连接，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形外角定理． （1）根据等边三角形的性质证明，根据全等三角形对应边相等得到答案． （2）根据，得到对应角相等，根据已知条件得到，根据三角形外角定理得到，继而得到． 【小问1详解】 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 张大伯新建了一个养殖场，需要去集市购买母鸡，鸡仔，鸭子共只．已知一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元，已知鸡仔一共买了只，问母鸡和鸭子各买了多少只？ 【答案】母鸡买了只，鸭子买了只． 【解析】 【分析】先求出母鸡和鸭子共买了只，再根据一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元共花费了元列方程组，解方程组求出、的值即可． 【详解】解：设母鸡买了只，鸭子买了只， ∵母鸡，鸡仔，鸭子共买只，鸡仔一共买了只， ∴母鸡和鸭子共买了（只）， ∵一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元， ∴， 解得：， ∴母鸡买了只，鸭子买了只． 25. 小明想要测量一条河的宽度（河两岸近似直线），已知他从岸边A点看向河对岸的岸边C点，点C在A点的北偏东，随即他沿着河边向正东方向走了30米到达点B处，测量得点C在点B的北偏西，求河的宽度（精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 【答案】河的宽度米 【解析】 【分析】过点C作交于点D，利用三角函数表示出和，再由的长为30米，列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：如图，过点C作交于点D， ∵点C在A点的北偏东，点C在点B的北偏西， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴河的宽度米． 26. 按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） （1）在图①中作正方形，且顶点都在圆上． （2）在图②中将圆的面积6等分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）在圆上任意找一点A，作弦，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心O，作直径，过点O作的垂直平分线，与交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求作的正方形． （2）根据解析（1）的方法，先找出圆心O，然后在上任意找一点A，以点A为圆心为半径画弧，交于点B，然后以点B为圆心为半径画弧，交于点C，依次找出点D、E、F，连接、、、、、，即可将圆的面积6等分． 【小问1详解】 解：如图，正方形即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： 27. 如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°．将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q． （1）如图2，当＝1时，＝　 　； （2）如图3，当＝2时， ①EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由； ②在旋转过程中，连接PQ，若AC＝30cm，设EQ的长为xcm，△EPQ的面积为S（cm2）．求S关于x的函数表达式，并求出x的取值范围． 【答案】（1）1；（2）①EQ＝2EP，见解析；②S＝x2（） 【解析】 【分析】（1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE＝CE，∠PBE＝∠C，根据等角的余角相等可以证明∠BEP＝∠CEQ，即可得到全等三角形，从而证明结论； （2）①作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，证明△MEP∽△NEQ，发现EP：EQ＝ME﹣NE＝AE：CE，继而得出结果； ②设EQ＝x，根据上述结论，可用x表示出S，确定EQ的最大值，及最小值后，可得出x的取值范围． 【详解】（1）连接BE，如图2： ∵点E是AC的中点，△ABC是等腰直角三角形， ∴BE＝EC＝AE，∠PBE＝∠C＝45°， ∵∠PEB＋∠BEQ＝∠QEC＋∠BEQ＝90°， ∴∠PEB＝∠QEC， 在△BEP和△CEQ中， ， ∴△BEP≌△CEQ（ASA）， ∴EP＝EQ， ∴， 故答案为：1. （2）①作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图3： ∵∠A＝∠C＝45°， ∴EM＝AM，EN＝CN， ∵∠MEP＋∠PEN＝∠NEQ＋∠PEN＝90°， ∴∠MEP＝∠NEQ， 又∵∠EMP＝∠ENQ＝90°， ∴△MEP∽△NEQ， ∴EP∶EQ＝ME∶NE＝ME∶CN＝AE∶CE＝1∶2， 故EQ＝2EP． ②设EQ＝x，由①得，EP＝x， ∴S△EPQ＝EP×EQ＝x2， 当EQ＝EF时，EQ取得最大，此时EQ＝DE×tan30°＝30×＝10； 当EQ⊥BC时，EQ取得最小，此时EQ＝EC×sin45°＝20×＝10； 即， 综上可得：S＝x2（）． 【点睛】本题是几何旋转变换问题，综合考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，涉及的知识点较多，难点在于通过适当的辅助线构造三角形全等和相似． 28. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交轴于点、，交轴于点，它的对称轴交轴于点．过点作轴交抛物线于点，连接并延长交轴于点，交抛物线于点．直线交于点，交抛物线于点，连接、． （1）点的坐标为：______； （2）当是直角三角形时，求的值； （3）与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)(1,0)；(2) 或；(3)平行，理由见解析 【解析】 【分析】(1)根据二次函数的对称轴为，代入即可求出E点坐标； (2)将ED、AF的解析式用的代数式表示，然后由DE解析式令y=0求出F点坐标，由AF解析式令y=求出H点坐标，再根据△HEF是直角三角形分哪个顶点为直角顶点进行讨论，由勾股定理求解即可； (3)直线DE和抛物线联立方程组求出G点坐标，直线AF和抛物线联立方程组求出K点坐标，最后计算直线GK的和直线HE的相等即可求解． 【详解】解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为， ∴E点的坐标为(1,0)， 故答案为(1,0)． (2)由题意知，C点坐标为(0,3a)，C和D点关于对称轴对称，∴D坐标为(2,3a)， 设直线DE的解析式为y=kx+m，代入E(1,0)和D(2,3a)， 即，解得， ∴直线DE的解析式为y=3ax-3a， 令y=0，∴F(0,-3a)， 令中，即：， 解得，∴A(-1，0)， 设直线AF的解析式为y=bx+t，代入A(-1,0)，F(0,-3a), 即，解得， ∴直线AF的解析式为y=-3ax-3a， 令y=-3ax-3a中y=3a，解得H点坐标(-2，3a)， ∴H(-2，3a)，E(1，0)，F(0,-3a) 故EF²=(1-0)²+(0+3a)²=1+9a²， EH²=(1+2)²+(0-3a)²=9+9a²， FH²=(0+2)²+(-3a-3a)²=36a²+4， ∵△EFH为直角三角形，∴分类讨论谁是直角顶角， 情况一：∠E为直角顶角时，则EF²+EH²=FH²， 即：1+9a²+9+9a²=36a²+4，解得：a=，又a>0，故a=； 情况二：∠F为直角顶角时，则EF²+FH²=EH²， 即：1+9a²+36a²+4=9+9a²，解得：a=，又a>0，故a=； 情况三：∠H为直角顶角时，则FH²+EH²=EF²， 即：36a²+4+9+9a²=1+9a²，此时无解； ∴综上所述，a的值为或； 故答案为：或； (3)联立直线DF与抛物线的解析式： ，整理得：， 解得，，∴G点坐标为(-3,-12a)， 同理，联立直线AF与抛物线的解析式： ，整理得：， 解得，，∴K点坐标为(6,-21a)， ∴直线GK的， 直线HE的， 即直线GK的k值与直线HE的k值相同， ∴GK与HE平行． 故答案为：与有怎样的位置关系是平行． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数与一次函数的交点坐标的求法，一次函数的解析式，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质，学会联立方程组求函数的交点坐标是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $