专题02一元二次方程及其解法专项训练 (12大题型+题型突破)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题02一元二次方程及其解法专项训练 题型01.一元二次方程定义判定及求参数 题型02.一元二次方程一般式转化 题型03.一元二次方程根的判定及求参数 题型04.一元二次方程解的估算 题型05.一元二次方程的基本解法 题型06.配方法解一元二次方程 题型07.配方法的应用 题型08.一元二次方程根的判别式及求参数 题型09.换元法解一元二次方程 题型10.新定义运算题 题型11.一元二次方程判别式与解法综合 题型12.配方法求代数式最值问题 题型01.一元二次方程定义判定及求参数 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义：①等号两边是整式，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2． 直接根据一元二次方程的定义逐个判定即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A．是一元一次方程，不符合题意； B．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·广西百色·期中）若方程是一元二次方程，则k的值是____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·福建南平·月考）若是关于x的一元二次方程，则a的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数且最高次数为2的方程叫作一元二次方程． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 题型02.一元二次方程一般式转化 6．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（   ） A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的标准形式求解即可． 【详解】∵方程， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 7．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为___________________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 题型03.一元二次方程根的判定及求参数 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程的根，将方程的根代入即可得到等式，正确理解一元二次方程的根的定义是解题的关键 【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个根为， ∴将代入方程得 故选：B 10．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程的一个解为0，则的值为____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，则可推出，将代入原方程得到关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，即． 是该一元二次方程的一个解， 将代入方程得，． 解得（舍去）或． ． 11．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 12．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）若一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的定义，由一元二次方程根的定义可得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 13．（25-26九年级上·北京·月考）已知是方程的一个解，求代数式的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，整式乘法，利用整体代入的思想解决问题是解题关键． 先由一元二次方程根的定义得到，然后化简，再整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ． 题型04.一元二次方程解的估算 14．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到0.1）（    ） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.19 A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】使的值最接近0的数即是方程的近似解，据此作答即可． 【详解】由表格数据可知，当x=0.6时，的值为-0.04，最接近0， 故x=0.6是方程的近似解， 故选：D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解得知识，理解使的值最接近0的数即是方程的近似解，是解答本题的关键． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 16．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 题型05.一元二次方程的基本解法 17．（24-25九年级上·贵州·期末）方程的根为__________． 【答案】，/， 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将方程移项化为一般形式，通过因式分解求解即可． 【详解】原方程移项得，， 因式分解得，， 解得，或， 即，， 故答案为：，． 18．（24-25八年级下·山东淄博·期中）关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个解 B．有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，当时，才有意义，那么把原方程两边同时开平方可得，即，当时，无意义，即此时方程无解，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴ ∴当时，有两个解， 当时，无意义，即此时方程无解， 故选：A． 19．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 【答案】D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 【详解】解：方程移项整理，得， 则，，． 20．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程与的所有实数根的和为___________． 【答案】2 【分析】利用公式法解方程，然后计算． 【详解】解：-3x-1=0 -4ac=-4×1×（-1）=13>0 ∴此方程有实数解 ∴x= ∴=，= +x-3=0 -4ac=-4×1×（-3）=13>0 ∴此方程有实数解 ∴x== ∴=，= ∴+=+++=2 故答案为2． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，掌握并熟练使用相关知识，准确计算是本题的解题关键． 21．（23-24九年级上·江苏南京·期末）方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， 或 ， ∴ ，， 故选：． 22．（2025·浙江温州·一模）关于x的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ∵，，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 配方得， ∴， ∴， ∴， 移项得， ∴， ∴或， ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，需要判断每种解法的正确性；甲解法漏解，乙解法计算判别式时c值错误，丙解法配方错误，丁解法正确使用因式分解法. 【详解】解：∵ 方程 可移项得 ， ∴ 因式分解得 ， ∴ 或 ， ∴ , ； 甲解法两边除以 可能漏解 ，错误； 乙解法整理后方程应为 （即 )，但误认为 ，导致判别式的值错误； 丙解法配方应为 即 ，但误写为 ，导致根错误； 丁解法正确. 故选：D 23．（24-25六年级下·山东泰安·期中）解方程 (1)（用配方法）； (2)． (3)用公式法解方程：． (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）先将常数项移项，二次项系数化成1，然后利用配方法即可求出结论； （2）移项后用提公因式分解因式解答； （3）先将一元二次方程整理成一般形式，然后求出，最后代入公式即可求出结论； （4）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：∵（用配方法） 移项，得， 两边都除以2，得， 配方，得， ∴， 开平方，得， ∴； （2）解：∵， 移项，得， 即， 因式分解，得， 化简，得， ∴或， ∴； （3）解：用公式法解方程：， 整理成一般形式为， 这里， ， ∴， ∴； （4）解：∵， 因式分解，得， ∴或， ∴． 24．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程． （1）利用开平方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：整理得， 开方得， 解得，； （2）解：， ，，，， ∴， ∴，． 题型06.配方法解一元二次方程 25．（23-24八年级下·吉林长春·期中）将一元二次方程化成的形式，则______． 【答案】 【分析】此题考查的是配方法的应用，在方程的两边都加上 ，配方后可求解的值，从而可得答案． 【详解】解：∵ ， ， ， ． 故答案为：． 26．（23-24.九年级上·广东韶关·月考）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 27．（2024·山东临沂·三模）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为_________ 【答案】48 【分析】本题考查配方法、代数式求值，根据题意得，即，进而可得，即，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程经过配方，变形为的形式， ∴， ∴， ∴，配方得，， ∴， ∴， 故答案为：48． 28．（24-25八年级下·浙江温州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 题型07.配方法的应用 29．（24-25九年级上·云南昭通·期中）代数式的最小值为________． 【答案】1 【分析】根据完全平方公式将原式变形为，然后利用完全平方式的非负性分析其最值． 【详解】解： ∵ ∴ ∴代数式的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构及其非负性是解题关键． 30．（24-25八年级下·浙江温州·期中）用配方法解方程时，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查配方法，掌握完全平方公式的性质，等式的性质的知识是解题的关键． 根据完全平方公式的性质，根据等式的性质即可求解． 【详解】解： 移项， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，， 整理得，，即， 故选：A． 31．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）已知为实数，若，那么的值为_________． 【答案】2或3 【分析】将原方程变形为，然后把看作一个整体运用因式分解法求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 解解，， 故答案为：2或3． 【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运用因式分解法求解是解答本题的关键． 32．（24-25八年级下·山东淄博·期中）把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 【答案】①，；②，． 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤： 第一步：将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数； 第二步：将常数项移到方程的另一边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式； 第三步：配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． ①移项，配方即可得出，，即可得解； ②将的值代入后配方得出，开方得出，即可得解． 【详解】①解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得：，； ②， 配方得：， 开平方得：， 解得：，． 题型08.一元二次方程根的判别式及求参数 33．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为_______． 【答案】方程有两个实数根 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的时，方程有2个实数根，进行作答即可． 【详解】解：当，时，方程有两个实数根； 故答案为：方程有两个实数根． 34．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A．0或 B．0 C．8 D．无解 【答案】A 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式等于0列方程求解即可. 【详解】解：∵ 一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴ ， 其中 ，，，代入得： ， 解得 或 . 35．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数满足方程，则的值是________． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，令，则原式为，解方程即可解答，注意方程无实数根的情况是解题的关键． 【详解】解：令， 则原式为， 解得， 当时，，方程有实数根， 当时，，方程没有实数根， ， 故答案为：3． 36．（23-24九年级·辽宁丹东·月考）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，根据一元二次方程根的判别式及定义，当判别式且二次项系数不为0时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 解得：， 故选：C． 题型09.换元法解一元二次方程 37．（24-25九年级上·河南南阳·月考）已知方程的根是，，则方程的根是___________ 【答案】或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，根据题意可知，方程的根是或，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程的根是，， ∴方程的根是或， 解得或． 故答案为：或． 38．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把所求方程中的看做一个整体，根据已知方程的解可得或，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根满足或，解得或， 故选；A． 39．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）若关于x的一元二次方程的解是，，则的解是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，方程关于x的一元二次方程可以看做是关于的一元二次方程，根据题意可得该方程的解满足或，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的解是，， ∴关于x的一元二次方程，即的解满足或， ∴或， 故答案为：或． 40．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 【答案】(1) (2)和 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想． （1）设，用代替方程中的，然后解关于的一元二次方程，然后再来求关于的一元二次方程即可； （2）根据已知方程的解，得出或，求出的值即可． 【详解】（1）令，则， 或， 解得或． 当时，， 即， 解得． 当时，， 即， 解得． 综上，原方程的解为． （2）一元二次方程的两根分别为， 方程中或． 解得：或． 即方程的两根分别是和． 题型10.新定义运算题 41．（2025·湖南娄底·三模）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根的判别式；由新定义得是的根，可得方程是“湘”方程，由根的判别式得，即可求解；理解新定义，能熟练解方程并能利用根的判别式求解是解题的关键． 【详解】解：， ， 是的根， 方程是“湘”方程， ， ， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：， ， ； 故答案为：． 42．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义：如果关于x 的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 __________________ (选填“是”或“不是”)“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，则_________ 【答案】 是 或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义： （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）先解方程得到，再根据“倍根方程”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∴方程 是 “倍根方程”． 故答案为：是； （2）解方程得， ∵是“倍根方程”， ∴或， 故答案为：或． 43．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（   ） A． B．1或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，根据新定义，分两种情况，分别列出方程进行求解即可． 【详解】解：①当时，即：时， ， 解得：或（舍去）； ②当时，即：时， ， 解得：或（舍去）； 综上：的值是或； 故选C． 44．（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 【答案】(1) (2)420 (3)1；3；6；10 【分析】本题主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用平方根的知识估算即可解答； （2）设，k、m为正整数，易得，由1只有因数1和41，可列方程组求得，最后代入即可求得n的值； （3）关于的一元二次方程至少有一个整数解，根据根的判别式可得，则，由方程的解为正整数，为整数，设，则，解得：，设可得，然后代入验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的值为． （2）解：设，k、m为正整数， ∴， ∴， ∵41只有因数1和41， ∴，解得：， ∵， ∴． （3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解， ∴恒成立，即， ∴， ∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数， ∴或为整数， 设(k为非负整数)，则，解得：， ∵a为正整数， ∴k为正奇数，且， 设（为正整数），则， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意； ， 当时，，此时，，都不是整数； ∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10． 题型11.一元二次方程判别式与解法综合 45．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知关于的方程； (1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证明方程总有实数根，只需计算根的判别式恒为非负数即可； （2）等腰三角形一边长为5，另外两边是方程的根，需分两种情况讨论：一是等腰三角形的底边为，方程有两个相等实根，二是等腰三角形的一腰为，即方程的一个根为，每种情况都要验证是否满足三角形三边关系，再计算周长． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 根的判别式 ． 无论取何值，， ， 无论取何值，这个方程总有实数根． （2）解：分两种情况讨论： ①若等腰三角形的底边为，两腰相等，即，则方程有两个相等的实数根， ，解得， 此时关于的方程化为， 解得，此时三角形三边为， ，不满足三角形两边之和大于第三边，故这种情况舍去． ②若等腰三角形的一腰为，则方程的有一个根为， 将代入原方程：，解得， 此时关于的方程化为， 因式分解得，解得，． 此时三角形三边为， ，，满足三角形三边关系， 的周长为． 46．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）由方程有两个相等的实数根，可得，再结合方程有一个根为得，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的关系，可以得出方程有两个相等的实数根，由即可求出m． 【详解】（1）解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 联立①②，解得：， ∴以a、b、c为边的三角形是等边三角形． （2）解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. 47．（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：当取不为0的任何值时，方程总有实数根； (2)为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据关于的一元二次方程，则，且，即可作答． （2）运用因式分解法得或，结合方程有两个不相等的正整数根，为整数，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程， ∴，且 当取不为0的任何值时，总有， 所以方程总有实数根； （2）解：， ， 或， 由题意方程有两个不相等的正整数根， 即是正整数，且为整数，， ∴， ∴． 题型12.配方法求代数式最值问题 48．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，通过配方法将二次代数式转化为完全平方式与常数项的和，利用完全平方式的非负性求最小值． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 49．（25-26九年级上·全国·课后作业）例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理，因为对于任意实数x都有，故当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 【详解】解：由题意可得： ∵对于任意实数x都有 ∴ ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 故答案为：． 50．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为______． 【答案】14 【分析】本题考查解三元一次方程组、配方法的应用．解方程组转化为只含的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．用含的式子表示出，将转化为只含的代数式，利用配方法，求出最值即可． 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵， ∴的最小值是14， 故答案为：14． 51．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解一元二次方程： （1）利用配方法把原多项式变形为，根据得到当，即时，多项式有最小值，据此可根据题意求出答案； （2）利用配方法把原多项式变形为，进而得到当，即时，多项式有最小值，最小值为，则，解方程求出a、c，进而解方程可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，多项式有最小值， ∴多项式关于对称， 故答案为：； （2）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为， ∵关于的多项式关于对称，且最小值为3， ∴， ∴， ∴方程即为方程， ∴， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题02一元二次方程及其解法专项训练 ☆ 题型突破期中复习导航 题型01.一元二次方程定义判定及求参数题型02.一元二次方程一般式转化 题型03.一元二次方程根的判定及求参数题型04.一元二次方程解的估算 题型05.一元二次方程的基本解法 题型06.配方法解一元二次方程 题型07配方法的应用 题型08.一元二次方程根的判别式及求参数 题型09换元法解一元二次方程 题型10.新定义运算题 题型11.一元二次方程判别式与解法综合！题型12.配方法求代数式最值问题 题型突破考点突破 题型01.一元二次方程定义判定及求参数 1.(25-26八年级上·上海虹口·期中)下列方程是关于x的一元二次方程的是（) A.2r+1=3 B.x+y=2 C.x2+bx+c=0D.32+2x=4 2.(24-25八年级下广西百色期中)若方程(k-2列+2x+5=0 一元二次方程，则k 的值是一· 3.(2526九年级上福建南平-月考)若a-引-40是关于x的元二次方程，则a 的值为 4.(23-24八年级下-江苏苏州期中)若关于x的方程m-22++1=0是一元二次方 程，则m的值是() A.m=3 B.m=2 C.m=-2 D.m=±2 5.(2425九年级上江苏扬州期末)若关于*的方程ar+r+c=0a≠0)满足 a-b+c=0,称此方程为“贺岁”方程.已知方程r-2024+1=0a≠0)是“贺岁”方 程，则a+2025a2024a+的值为（） A.-2024 B.2024 C.-2025 D.2025 试卷第1页，共3页 题型02.一元二次方程一般式转化 6。(24-25八年级下安徽宣城期中)方程2.6r9=0 二次项系数，一次项系数，常 数项分别为() A.6,2,9 B.2,-6,9 C.2,-6,-9 D.-2,6,-9 7。(2425九年级上货州贵用期中)一元二次方程x+)=-7化成一般形式后为 8.(24-25八年级下广西贺州期中)）方程-5)=4r-10化为一元二次方程的一般形式 是() A. x2-9x+10=0 B. x2-x+10=0 C. x2+9x-10=0 D. x2-x-10=0 题型03.一元二次方程根的判定及求参数 9.(23-24九年级上全国课后作业)若关于x的一元二次方程r+伽+C=0a≠0)一个 根为x=-1,则下列等式成立的是() A.a+b+c=0 B.a-b+c=0 C.-a-b+c=0 D.-a+b+c=0 10.(23-24八年级下浙江绍兴期中)若关于x的一元二次方程k-2列r+3x+-4=0 的一个解为0，则k的值为 11.(24-25八年级下-浙江宁波期中)关于x的方程x+m+2)+h=0的解是=-3， =6(a,m,b均为常数，a≠0)，则方程(x+m+h=0的解是 12.(2425九年级上甘肃就南期中)若一元二次方程k-2引+3+-4=0的一个根 为0，则k的值为() A.0 B.2 C.-2 D.2或-2 试卷第2页，共3页 13.（25-26九年级上北京月考)已知“是方程2r+7x-3=0 一个解，求代数式 (2a-1)(a+4)+5 的值 题型04.一元二次方程解的估算 14.(23-24八年级下·黑龙江大庆·期中)根据下列表格，判断出方程 X+x-1=0的一个 近似解（结果精确到0.1） ( ) x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 x2+x-1 -0.61 -0.44 -0.25 -0.04 0.19 A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 15。(23-24八年级下-江苏苏州期中)观察表格，一元二次方程-2x-11=0 的一个解 的取值范围是 x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2-2x-1.1 -0.71 -0.54 -0.35 -0.14 0.09 0.34 0.61 16. (24-25九年级上·宁夏银川·期末)观察下列表格，可知一元二次方程 -x=12的一 个近似解是() 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.2 0.7 1.1 x2-x 0.11 0.39 0.56 0.96 1.44 4 5 9 A. x≈0.11 B.x≈1.69 x≈1.71 D.x≈1.19 题型05.一元二次方程的基本解法 17.(24-25九年级上·贵州期末)方程 2=x的根为 18。(24-25八年级下山东淄博期中)关于x的方程x+m=”,下列说法正确的是 () 试卷第3页，共3页 A.当”≥0时，有丙个解式=±V厅-m B。有两个解t=n-m C.当”≤0时，有两个解x=-m D.当”≤0时，方程无实根 19.(24-25八年级下浙江宁波期中)用公式法解方程-3=5x 时，a,b,c的值依次是 () A.0,-3,5B.1,-3,5 C.1,5,-3 D.1,-5,-3 20。(23-24八年级下安微蚌埠期中)一元二次方程-3-1=0与”+-3=0 所有实 数根的和为 21.(23-24九年级上江苏南京期末)方程x+3)=4的根是（) A.=-15=-5 B.=15=-5 C. x1=2=-1 D.x-15=5 22.(2025浙江温州一模)关于x的方程(x-1=3-,下列解法完全正确的是 () 甲 乙 丙 丁 整理得x2-4x=-3 整理得 .a=1,b=-4, x2-4x=-3, c=-3, 配方得 移项得 :6-4ac=28 x2-4x+4=1 xx-1-3(x-1=0 两边同时除以 ..s 4±√28 =2±√7 2 (x-1 :x+2)2=1 :(x-3(x-=0 得r-3 .x+2=±1， ∴.x-3=0或x-1=0, 2+万 51 =15=3 为=2-V万 62=-3 试卷第4页，共3页 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 23.(24-25六年级下山东泰安·期中)解方程 0)2r-5x+1=0 (用配方法)： 25(x-2°=2(2-x ③)用公式法解方程： 2x2=2W3x-1 ④r-10r+9=0 24.(23-24九年级上江苏镇江·期末)解下列一元二次方程： ①3(x-12-12=0 22-4x-7=0 题型06.配方法解一元二次方程 25.(23.24八年级下吉林长春期中)将一元二次方程-6x=2化成红+=大的形 式，则h= 2+2x-3=0 26.(23-24.九年级上·广东韶关·月考)用配方法解方程 时，配方后正确的是 (). A.(x-=4B.(x-=2 C.(x+02=4 D.(x+1)2=2 27。(2024山东临沂三模)若一元二次方程+m+1=0经过配方，变形为x+3引="的 形式，则n的值为 x2-4x-1=0 28.(24-25八年级下·浙江温州期中)解方程： 题型07配方法的应用 29。(24-25九年级上·云南昭通期中)代数式+4x+5 的最小值为 试卷第5页，共3页 30.(24-25八年级下浙江温州期中)用配方法解方程”-6x+5=0 时，配方正确的是 () A.(x-3)2=4B.(x-3)2=-4C.(x+3)2=4 D.y 12 4 1,23-24八年级下上海杨浦期中)已知x为实数，若+三-5x++8=0 ,那么 x+的值为 32。（24.25八年级下山东淄博期中)把方程-3x+p=0配方，得到x+m则°=4. ①求m和p的值； ②解这个方程. 题型08.一元二次方程根的判别式及求参数 33.(25-26八年级上·上海奉贤·期中)某数学兴趣小组在“探究关于x的方程 ax2+bx+c=0 的实数根”时发现需要先对α、b、c的取值作出分类讨论.他们把最终的探 究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在 该思维导图中缺失的部分为 当b-4ac≥0时 方程的根为 当a≠0时 当6-4ac<0时 方程没有实数根 当b≠0时 方程的根为x芳 当a0时 当c≠0时 当b-0时 方程无解 当c0时 方程的根为一切实数 34.(23-24八年级下·浙江衢州·期中)己知一元二次方程 x2-1mx-m=0 有两个相等的实 数根，则m的值为() A.0或-8 B.0 C.8 D.无解 35.(2425八年级下山东威海期中)已知实数x满足方程？+1-r-+6=0,则 试卷第6页，共3页 父2+x的值是 36.(23-24九年级辽宁丹东月考)如果关于的一元二次方程 x2-6x+9=0 有两个不相 等的实数根，那么k的取值范围是() A.k<1 B.k≠0 C.k<1且k≠0D.k>1 题型09换元法解一元二次方程 37(24-25九年级上河南南阳月考)已知方程+2x-3=0的根是=1，=-3，则 方程2y-3引+22y-3到-3=0的根是 38.(24-25八年级下安徽阜阳期中)关于x的方程a(x+m°+b-C=0的根是=-3， 。=2(a,m,,c均为常数，a≠0)，则关于x的方程x+m-+b(x-=c的根是 () A.5=-26=3 B.5=-2=1 C.x=2x=1 D.x=-2龙=-3 39.(24-25八年级下浙江舟山期中)若关于x的一元二次方程(x-°+k=0的解是 =2,名=-1，则(x-h+1+k=0的解是 40.(23-24八年级下-江苏苏州期中)阅读材料：为解方程？--3-=0，我们 可以将×-视为一个整体，然后设-1=y,将原方程化为广-3少=0①，解得 片=0，y2=3 当"=0时，-1=0=h= 试卷第7页，共3页 当少3 x2-1=3,.x2=4,∴.x=±2 时， 六原方程的解为=，5=-山=2，x=-2 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思 想. 阅读后解答问题： ()利用上述材料中的方法解方程：(x+2x-(2+2x刘-2=0， (2)已知一元二次方程a(x+m+n=0 的两根分别为3,1，求方程 a(2x+m-4)2+n=0(a≠0) 的两根. 题型10.新定义运算题 41.(2025湖南娄底三模)定义：如果元二次方程++c=0a≠0满足 -a+b-c=0.那么我们称这个方程为“湘”方程.已知方程x2+x+n=0是“湘”方 程.且有两个相等的实数根，则mn=一· 42.(23-24八年级下安徽准北期中)定义：如果关于x的一元二次方程r+r+C=0有 两个实数根为，B,且满足=2P,则称这样的方程为“倍根方程”. (1)方程 x2-9x+18=0 (选填“是”或“不是”)“倍根方程”. (2)若x-5(x-a)= 是“倍根方程”，则a= 43.(23-24八年级下·安徽准北期中)定义新运算：对于两个不相等的实数a,b,我们 规定符号maxa,b 表示4，b中的较大值，如：max(24=4.因此，max-2,4=-2: 按照这个规定，若 maxx-x=t-3xr-2 2,则x的值是() 试卷第8页，共3页 5-33 5+V33 5-√33 A.-1 B.1或2 C.-1或2 D.-1或2 4.(2025江苏扬州二模)定义：我们把一个整数“平方后得到的数口称为完全平方 数.例如：32=9,02=0，（-5=25，我们就将9,025这些数都称为完全平方数。 ④)如果一个完全平方数“满足61≤口≤120，则满足条件“的值为.（请写出所有满足条件 的数)； (2)n是正整数，如果n-20和n+21都是完全平方数，求n的值： 3)如果关于的一元二次方程r+22a-刂x+4a-3)=0 至少有一个整数解，请直接写 出满足题意的正整数a的值. 题型11.一元二次方程判别式与解法综合 45.(23-24八年级下江苏南通期中)已知关于x的方程”-(m+3列x+m+2=0」 (1)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根： (2)若等腰△ABC的一边长a=5,另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周 长 46.(25-26八年级上~上海黄浦期中)已知关于，的方程+6x+2C-44=0有两个相 11 等的实数根，且方程ax2+bx=0有一个根为x=-1. (I)判断以a、b、c为边的三角形的形状，并说明理由： x2+x-2m=0 a b (2)若方程 的两根为、，求”“的值. 47.(24-25八年级下山东淄博期中)已知关于x的一元二次方程m-(m+2列x+2=0】 (1)证明：当m取不为0的任何值时，方程总有实数根： (2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根. 题型12.配方法求代数式最值问题 试卷第9页，共3页 48.(25-26九年级上湖南娄底期中)对于多项式+2x+4, ,由于 +2x+4=(x++323,所以2+2x+4有最小值3，则代数式-4r-2023的最小值 是 49.(25-26九年级上全国课后作业)例如：代数式-2x+3=(x-+2,因为 (x-≥0，所以当x=1时，(x-+2的最小值是2：则当x=时，代数式8-12x+5 有最小值，最小值为一· [x+y-2z=6 50.(24-25九年级下·山东烟台·期末)已知x,y,z为实数，满足x-2y+z=3,那么 x2+y2+z2 的最小值为 51.(24-25八年级下·安徽合肥·期中)小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现 象：关于的多顶式-2x+3,由于-2r+3=(x-1广+2，所以当-1=0时，多项式 -2x+3有最小值：多项式-2x+3,由于-2x+3-+少+4，所以当+1=0 时，多项式-2x+3 最大值.于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当 x-t=0时，该多项式有最值，就称该多项式关于x=t对称，例如x2-2x+3关于x=1对 称.请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： ()多项式+6+ 关于 对称： +ar+c关于r=-1 x2+ax+c=7 (2)关于x的多项式 对称，且最小值为3，求方程 的解。 试卷第10页，共3页