2.2一元二次方程的解法 同步自主达标测试题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《2.2一元二次方程的解法》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．一元二次方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 2．用配方法解方程时，应该把方程两边同时（　　） A．加上 B．加上 C．减去 D．减去 3．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．下列所给方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．解方程，，，较简便的方法依次是（    ） A．直接开平方法，配方法，因式分解法 B．因式分解法，配方法，直接开平方法 C．直接开平方法，公式法，因式分解法 D．配方法，公式法，因式分解法 6．已知关于x的方程的一个根是3，则它的另一个根是（   ） A． B．1 C．3 D． 7．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 8．已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（   ） A．16 B．11 C．11或16 D．11或17 二、填空题（满分24分） 9．一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 10．若不论x取何实数时，分式总有意义，则a的取值范围是 ． 11．若x、y为实数，且，则 ． 12．若一元二次方程的两个根分别是与，则 ． 13．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是 ． 14．我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是 ． 15．已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 16．定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 ． 三、解答题（满分72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中满足． 19．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为，求的值． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长． 22．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”．例如，和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同根方程”． (1)请判断一元二次方程与是否属于“同根方程”，说明理由； (2)关于的一元二次方程与为“同根方程”，求的值． 23．【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 试卷第1页，共3页 参考答案 1．解：， ， ， 或， 解得， ， 故选C． 2．解：方程中，一次项系数为， 应加上， 方程两边同时加上， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解： ∴，， 故选：D． 4．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 通过计算二次方程的判别式判断实数根的存在性，若则无实数根. 【详解】解：A、， ∵，， ∴， ∴有两个不相等的实数根； B、， ∵， ∴， ∴有两个不相等的实数根； C、， ∵, ∴, ∴无实数根. D、， ∵， ∴， ∴有两个不相等的实数根． 故选：C． 5．C 【分析】根据每个一元二次方程的结构特征，判断其最简便的解法。不含一次项的方程优先用直接开平方法；不易因式分解且系数无特殊关系的方程优先用公式法；含相同整体因式的方程优先用因式分解法． 【详解】解：A、直接开平方法，配方法，因式分解法配方法不是的最优解法，不符合题意； B、因式分解法，配方法，直接开平方法三个方程的解法对应均错误，不符合题意； C、直接开平方法，公式法，因式分解法： ① 方程可整理为，直接开平方即可求解，适合直接开平方法； ② 方程，各项系数无明显因式分解特征，用公式法求解更高效，适合公式法； ③ 方程，移项后可提取公因式，适合因式分解法。 该选项完全匹配，符合题意； D、配方法，公式法，因式分解法配方法不是的最优解法，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了知识点一元二次方程的解法选择，解题关键是抓住方程的结构特点，区分直接开平方法、公式法、因式分解法的适用场景，避免盲目使用配方法增加计算量． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的意义，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的意义及解一元二次方程是关键．先把代入方程，求得，再解方程即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得， 关于x的方程为， ， ，或， ，或， 方程的另一个根是． 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 由方程可得，．根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底和腰进而即可求出三角形的周长． 【详解】解：∵方程可因式分解为， ∴，． ∵等腰三角形的两边长为2和7， ∴第三边可能为2或7． 当第三边为2时，三边为2、2、7，但，不满足三角形三边关系，不能构成三角形， 当第三边为7时，三边为2、7、7，且，，，能构成三角形， ∴这个三角形的周长为． 故选：A． 9． 【分析】本题主要考查了配方法，先把原方程中的常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，则可求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了分式有意义的条件，利用完全平方公式进行配方等知识，难度较大．根据分式总有意义，得到，变形为，即可得到，从而得到． 【详解】解：∵分式总有意义， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为 11． 3 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于t的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 通过换元法，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解并考虑非负性． 【详解】解：设 ，则 ． 原方程化为 ， 即 ． 解得 或 ． 由于 ， 故 ． 因此 ． 故答案为：3 12．2 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得， ∴两根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是和， ∴， 故答案为：． 13．且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的根与系数的条件，掌握知识点是解题的关键．一元二次方程有两个实数根的条件是判别式大于或等于零且二次项系数不为零，即可解答． 【详解】解：方程是一元二次方程， 因此． 判别式． 有两个实数根，则， 即， 解得． 综上，的取值范围是且． 故答案为：且． 14．， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据已知方程的解，通过代换法求解新方程． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因为方程的解是，， 所以或，即或， 解得或． 故答案为：，． 15．8 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，得到高的长度，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】解：由，因式分解得 ， 解得 或 （舍去负根）， ∴斜边上的高为4， 在等腰直角三角形中，斜边上的高也是斜边上的中线，且等于斜边的一半， ∴斜边长为 ， 故答案为 8． 16．或 【分析】本题考查一元二次方程的解法，借助于定义的新运算把所给的条件转化成一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 整理，得：， 解得：， 故答案为：或． 17．(1) ，； (2) ，． 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）用公式法解方程即可； （2）移项，用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴有两个不相等的实数根， ∴，； （2）解：， 移项得，， 即， 因式分解得， ∴，或， ∴，． 18．， 【分析】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，熟练掌握分式的化简求值及一元二次方程的解法是解题的关键；先对分式进行化简求值，然后求出一元二次方程的解，进而问题可求解． 【详解】解：原式 ； 把方程因式分解得：，解得：， ∵，即， ∴当时，则原式． 19．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据根的判别式即可求证； （）先把代入得，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一个根为， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义、根的判别式及解一元二次方程，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程有两个实数根，利用根的判别式得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围即可； （2）根据一元二次方程的根的定义得出，代入，得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，根据（1）中所得的取值范围，确定的值即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：． （2）解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 由（1）可知，， ∴． 21．(1)见解析 (2)当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式来判断即可； （2）根据题意分两种情况讨论：当腰为5时和当底为5时，然后分别求出符合条件的，即可求出周长． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：当腰为5时，5为方程的解， 把代入，得， 得， ∴ 或 解得， ∴方程的另外一个解为， ∴此时三角形三边长为3，5，5 ∵，符合题意， 此时三角形的周长； 当底为5时， ∵另两边恰好是这个方程的两根， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴ 此时方程的解为， ∴此时三角形三边长为3，3，5 ∵，符合题意， ∴三角形的周长． 综上所述，当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 22．(1)这两个方程是“同根方程”，见解析 (2)的值为1或4 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得；结合题意，将分别代入，从而计算得的值；再经检验符合的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：这两个方程是“同根方程”， 理由：解，得，， 解，得，， 一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， 这两个一元二次方程为“同根方程”； （2）解：解，得，， 一元二次方程与为“同根方程”， 当相同的实数根为时，将代入，得，解得，此时一元二次方程的另一个根为，符合题意； 当相同的实数根为时，将代入，得，解得，此时一元二次方程的另一个根为，符合题意； 综上，的值为1或4． 23．（1）原方程的解为，，，； （2）四个连续自然数是2，3，4，5． 【分析】本题考查了换元法的思想应用及一元二次方程的解法． （1）利用换元法解方程即可； （2）通过设第一个数，将乘积式转化为方程，再用换元法简化计算即可． 【详解】解：（1）设， 原方程可变为， 则， ∴或， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴原方程的解为，，，； （2）解：设四个连续自然数为n，，，， 由题意得， 整理得，即， 设，则方程化为， 即， 因式分解得， （舍去），， 当时，，即， 因式分解得，， ∴，（舍去）， ∴四个连续自然数是2，3，4，5． 学科网（北京）股份有限公司 $