第八章立体几何初步单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步单元测试卷（试题版） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 2．将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（     ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 4．设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，是所在平面外一点，平面平面，线段分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．在正方体中，点是棱的中点，点在四边形内部运动包括边界设直线与直线所成的角为，则当平面时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若一个正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 10．已知，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（    ） A．为等腰三角形 B． C．与底面所成角的正弦值为 D．点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知三条互相平行的直线，，中，，，，则与的位置关系是______________． 13．如图，将矩形沿对角线折成直二面角，其中，，则异面直线和所成角的余弦值为______． 14．如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 四、解答题：本题共5小题，依次为13,15,15,17,17分，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤. 15．如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 16．如图，在四面体中作截面，若、的延长线交于点，、的延长线交于点，、的延长线交于点．求证：、、三点共线 17．如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 18．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 19．矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题：      (1)求四棱锥的体积. (2)求二面角的余弦值． (3)在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章立体几何初步单元测试卷（详解版） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画立体图形的直观图、三角形面积公式及其应用 【分析】在原图形中，由勾股定理求出，根据斜二测画法得到，，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】根据题意，中，，，， 由勾股定理得， 在直观图中， ，， 故的面积. 故选：B 2．将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】台体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 3．在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（     ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 【答案】B 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】利用平面的基本性质，先由点在两条直线上推出点分别在两个平面内，再根据两个平面的交线确定点一定在这条交线上. 【详解】 如图所示，因为平面，平面，，所以平面，平面； 又因为平面平面，所以． 故选：B． 4．设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断命题的必要不充分条件 【分析】由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可． 【详解】先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行， 故不一定成立，即充分性不成立； 再验证必要性：当且时，，必要性成立． 综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 5．已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【详解】因为，且，则， 又，所以，故C正确； 如图：在正方体中， 令平面为平面，平面为平面，则直线为， 当直线为直线m，直线为直线n时，AD错误； 当直线为直线m，直线为直线n时，B错误. 6．如图，是所在平面外一点，平面平面，线段分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及其应用、面面平行证明线线平行 【分析】由面面平行得到，再由相似三角形得到面积比为相似比的平方，即可得到相似比，求解即可． 【详解】由题意可知：平面，得，. 又由等角定理得，故， 根据相似三角形得到面积比为相似比的平方可得： ，即. 故选：D. 7．在正方体中，点是棱的中点，点在四边形内部运动包括边界设直线与直线所成的角为，则当平面时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】通过确定点的位置，找出角，表示出的正切值，求解取值范围. 【详解】取的中点分别为，连接， 可以证明平面平面， 故当点在线段上运动时，平面. 因为，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，所以，连接，显然. 令正方体的棱长为2，，， 则，又， 所以，所以. 故选：B 8．若一个正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正棱柱及其有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比. 【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设AB，的中点分别为D，E，连接CD，OD，OE，， 设，则. 因为，所以. 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】根据给定的几何体，利用圆锥、圆柱的结构特征，结合体积公式、侧面积公式逐项求解判断. 【详解】对于A，由勾股定理得圆锥母线长，A正确； 对于B，圆锥的体积为，圆柱的体积为， 因此圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 对于C，该几何体的表面积为，C错误； 对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，圆心角，D正确． 故选：ABD 10．已知，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、线面平行的性质 【分析】对于AC，利用线面平行的判定定理和性质即可证明，对于BD作图即可观察判断. 【详解】如下图， 因为，，，所以， 又，，所以，故，故A、C正确； 如下图， 若，不一定垂直，故B错误； 若，不一定垂直，故D错误. 故选：AC. 11．如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（    ） A．为等腰三角形 B． C．与底面所成角的正弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【知识点】求点面距离、求线面角 【分析】对于A：根据题意求出、后，利用勾股定理逆定理判断即可；对于B：设点A在底面的投影为，可知四边形是边长为1的正方形，进而可证平面，即可得结果；对于C：可知与底面所成角为，进而求解；对于D：转换顶点结合等体积法求点到面的距离即可. 【详解】对于选项A：由侧面是全等的直角三角形，且是公共的斜边， 则，则， 故，故为等腰三角形，故A正确； 对于选项B： 设点A在底面的投影为，连接， 因为平面，平面，则， 且，，平面，则平面， 且平面，所以，同理可得：， 可知四边形是边长为1的正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以，故B正确； 对于选项C：因为，， 可知与底面所成角为， 其正弦值为，故C错误； 对于选项D：设点到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以点到平面的距离为，故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知三条互相平行的直线，，中，，，，则与的位置关系是______________． 【答案】平行或相交 【知识点】判断图形中的面面关系、判断图形中的线面关系 【分析】结合图形判断. 【详解】 所以两个平面的关系可能平行，也可能相交， 故答案为：平行或相交 13．如图，将矩形沿对角线折成直二面角，其中，，则异面直线和所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角、面面垂直证线面垂直 【分析】过点作，使，连接，则是异面直线和所成的角或其补角，再结合几何关系，利用余弦定理求解即可． 【详解】过点作，使，连接， 则是异面直线和所成的角或其补角， 过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 在中，，由，得，， 所以，又，则， 由余弦定理得，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为． 14．如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 【答案】 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】取的中点，由面面垂直的性质定理可得平面，可得，外接球的球心在上，设为，利用求出外接球的半径可得答案. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 因为二面角为直二面角， 平面平面，平面， 所以平面， 因为，，所以，， ，所以，， 因为，所以外接球的球心在上，设为，连接， 则， 可得，其中， 解得，即外接球的半径为， 所以该球的体积为. 四、解答题：本题共5小题，依次为13,15,15,17,17分，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤. 15．如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【答案】 【知识点】求旋转体的体积、求组合旋转体的表面积、锥体体积的有关计算、由平面图形旋转得旋转体 【分析】由题意可得该几何体为一个圆台从半径较小的底面挖去一个圆锥，由圆台、圆锥的表面积、体积公式运算即可得解. 【详解】由，得． 又因为，所以． 因为，， 所以． 所以几何体的表面积 ． ． ． ． 16．如图，在四面体中作截面，若、的延长线交于点，、的延长线交于点，、的延长线交于点．求证：、、三点共线 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】根据点线面的关系，结合相应的公理即可证明. 【详解】因为，所以直线平面， 又，则直线平面， 所以是平面与平面的一个公共点， 所以在平面与平面的交线上， 同理可证，、也在平面与平面的交线上， 所以、、三点共线． 17．如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 【答案】当为的中点时，平面//平面．理由见解析 【知识点】判断面面平行 【详解】当为的中点时，平面平面．理由如下： 为的中点，为的中点，连接， 易证四边形是平行四边形，则． 平面，平面． 平面． 分别为的中点， ，同理可得平面，又， ∴平面平面． 反之，当不为的中点时，设为中点，则平面平面， 而平面与平面相交，即平面与平面相交，矛盾. 综上，为的中点时，平面平面. 18．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)当点与点重合时，，理由见解析 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由题意得，由线面平行的判定即可求证平面； （2）由题意可得平面，由线面垂直的性质可得，所以当点与点重合时，得证. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）在直线上存在点，使得，证明如下： 因为底面为正方形，所以， 因为平面，所以， 又平面，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 所以当点与点重合时，. 19．矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题：      (1)求四棱锥的体积. (2)求二面角的余弦值． (3)在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在，是线段上靠近点的三等分点 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、求二面角 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理推出线面垂直，即得出棱锥的高，代入四棱锥的体积公式即得； （2）先证，平面，得，计算，从而证，得出为二面角的平面角，在中即得余弦值； （3）设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面. 【详解】（1） 取的中点，连接，在原矩形中，因为，点为的中点，故，因为是等腰三角形，所以. 翻折后，因为平面平面，且平面平面， 根据面面垂直的性质定理得：平面，即是四棱锥的高， 又因为，所以， 又因为， 所以四棱锥的体积. （2）在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． （3）存在．如图所示： 连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $