2026年中考数学二次函数专题：2、面积问题（含最值）

2026年中考数学二次函数专题：2、面积问题（含最值） 一、解答题 1．已知二次函数（其中a为常数）， (1)将二次函数化为顶点式，并写出它的最小值． (2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当的面积为3时，求a的值． (3)当时，是否存在实数t，使得时二次函数最大值与最小值的差为8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线，直线与轴、轴分别相交于、两点． (1)如图1，若抛物线经过点． ①求抛物线的解析式； ②在直线的下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标与面积最大值；若不存在，请说明理由； (2)如图2，将直线向下平移个单位得到直线，点与点是直线上两点．若抛物线与线段有两个交点，请写出的取值范围． 3．如图，抛物线与直线相交于，两点，与x轴相交于另一点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ①当时，求P点坐标； ②是否存在点P使的面积等于面积的？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1和图2，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求的值； (2)将抛物线沿轴平移得到抛物线，抛物线的对称轴为直线． ①抛物线的解析式为_____； ②在①的基础上，若对于任意实数，都有，求的最小整数值； (3)如图1，连接，是直线下方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标； (4)如图2，过点作两条直线分别交抛物线位于第四象限内的点，分别交轴于点，且．小明发现，当为定值时，直线必定经过某一定点，请你直接写出该定点的坐标（用含的式子表示）． 5．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点， (1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值． (3)如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接 (1)求该抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，点N是x轴上抛物线对称轴右侧的一动点，将点P绕点N旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交于点和．点P、Q、M均在该抛物线上，横坐标分别为m、、． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)在该抛物线上P、Q两点之间的部分任取一点A，在Q、M两点之间的部分任取一点B（点A、B均不与端点重合），若点A的纵坐标总大于点B的纵坐标，则m的取值范围是_____； (3)过点P作垂直于直线于点C，过点M作垂直于直线于点D． ①当的面积是的面积的2倍时，求m的值； ②连接，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 8．在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线的上方，过点P作轴，交直线于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若，求点P的坐标； (3)如图2，连接与交于点F，连接，当与的面积都等于S时，求S的值． 9．如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 10．如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线经过点和，点是线段上的动点（不包含端点），过点作轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求面积的最大值； (3)设为抛物线的顶点，在坐标系内存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点一共有多少个？请任意求出其中一个点的坐标． 12．如图1，已知二次函数的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象上位于第三象限内的点． ①如图2，当点是抛物线的顶点时，连接、，求的面积； ②当点到直线的距离最大时，求此时点的坐标． 13．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，且．点是线段上一动点（点不与点，点重合），过作轴的垂线交抛物线于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)当与相似时，求此时的面积． 14．已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 15．对称轴为直线的抛物线（）与轴相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点的坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度取最大值时点到的距离． 16．如图，已知抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于C点． (1)求抛物线的表达式． (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与B、C重合），过D作轴于F，交直线于E，连，直线把的面积分为两部分，若，求D点坐标． 17．抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点在轴上，且，动点在过三点的抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． 19．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以点B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学二次函数专题：2、面积问题（含最值）》参考答案 1．(1)顶点式为，最小值为． (2)或； (3)存在，或 【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可求出答案； （2）求出的长度和点的坐标，根据三角形面积公式列出方程并解方程即可； （3）根据的取值范围分情况进行解答即可． 【详解】（1）解： 即二次函数化为顶点式， ∵抛物线开口向上， ∴当时，它的最小值为． （2）解：当时，， ∴， 解得 ∵点A在点B左侧， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∵的面积为3， ∴， 则或（不合题意，舍去） 解得或； （3）解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当即时，在上，随着的增大而减小， ∴当时，有最大值，当时，有最小值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴， 解得， 当时，在上，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，当时，有最大值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴， 解得， 当即时，当时有最小值， 比较与值求最大值， 当时，即时，时，有最大值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴ 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，即时，时，有最大值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴ 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴存在的值，或． 2．(1)①；②存在，，最大值为 (2)或 【分析】（1）①根据直线解析式先求出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线中即可求解；②设，过点作轴的垂线交直线于点，然后表示出点的坐标，进而得到的长，然后根据三角形面积公式表示出，并化为顶点式，根据二次函数图象与性质求解最值即可； （2）根据平移的特征表示出直线的解析式，进而得到点，的坐标，然后分当时和当时，两种情况讨论，根据交点情况列式计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， ， 将代入得， ，解得， ； ②设， 过点作轴的垂线交直线于点， ， ， ． ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为，此时，即； （2）解：由题意可得直线为， 点与点是直线上两点， ，， ，， 抛物线与线段有两个交点， 当时，． ； 当时，， ， ， ， ； 综上所述：或． 3．(1) (2)①；②存在，点P的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、动点问题和三角形面积的计算，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理将面积比转化为线段比，从而简化问题． （1）利用待定系数法将两点坐标代入抛物线方程求解即可； （2）①设出点坐标，表示出的长度，根据建立方程求解；②过点作交轴于点，过点作于交于点利用平行线分线段成比例定理，由面积关系得出与的比例关系，求出点坐标，再通过联立方程求出点坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， 抛物线过， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：①设，则， 在直线上，直线方程为， ， ， ， ， ， 或, ， ， ， ． ②存在，点P的坐标为．理由如下： 如图，过点作交轴于点，过点作于交于点． 令， 解得，， ， ,且与有公共底边， 的高的高， 即， ， ， ， ， 点坐标为， 即， ，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入上式，， 解得， 直线的解析式为， 与抛物线联立，得， 解得， 点的坐标为． 4．(1)1 (2)①∴；②2 (3) (4) 【分析】（1）代入抛物线解方程，即可求出答案； （2）①由，当抛物线的对称轴为直线，，②开口向上，根据对于任意实数，都有，得直线在抛物线下方或相切，当,得，得，即得； （3）当四边形的面积最大时，最大．过点M作轴于点D，交于点N，由，求出，由，求出直线的解析式为，设，，得，根据，得当时，四边形的面积最大，此时． （4）设，求出直线的解析式为，直线解析式为,直线解析式为，由，得，得，得，由，得，得，由，，，∴，得直线过定点 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点． ∴， 解得． （2）解：①由（1）得，， ∵抛物线沿轴平移得到抛物线的对称轴为直线， ∴； ②∵开口向上，对于任意实数，都有， ∴直线在抛物线下方或相切， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴d的最小整数解为2； （3）解：∵，而一定，随M的位置而变化， ∴当四边形的面积最大时，最大． 过点M作轴于点D，交于点N， 对， 令，则， 解得或， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，四边形的面积最大， 此时． （4）解：设，直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线解析式为，直线解析式为， 由（1）知，， 则， 解得， ∴； ， 解得， ∴； ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∴当时，， ∴直线过定点． 5．(1)抛物线的解析式为：，对称轴是直线，顶点坐标是 (2) (3)面积的最大值为3． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解； （2）轴对称的性质可知，从而得到的周长，进而得到当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长，即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，即可求解； （3）设，则，可得，，然后根据，可得，过点P作，可得，可得到的面积，然后根据二次函数的性质即可求得面积的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， 如图，当点A、C、M在同一条直线上时，可取得最小值，为的长， 即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为， 对于， 当时，， ∴点， ∵，点， ∴， ∴周长的最小值为：； （3）解：设，则， ∵，， ∴，， ， ∴， ，即， 解得：， 如图，过点P作， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为3． 6．(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出的面积，再分两种情况：①当时，设直线与轴交于点，连接，则的面积等于，建立方程，解方程即可；②当时，设直线与轴交于点，连接，则的面积等于，建立方程，解方程即可； （3）分两种情况：①点绕点逆时针旋转得到点，②点绕点顺时针旋转得到点，求出点的坐标，代入计算即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 所以该抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与抛物线交于点， ∴，轴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴的边上的高为， ∴的面积为， 由题意，设点的坐标为， ∵点在直线下方的抛物线上， ∴或， ①如图，当时，设直线与轴交于点，连接， ∴， ∴，， ∴的面积为 ， ∵与的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴此时点的坐标为； ②如图1和图2，当时，设直线与轴交于点，连接， ∵， ∴在图2中，的面积为，不符合题意，舍去， ∴如图1中，的面积为 ， ∵与的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴此时点的坐标为； 综上，存在这样的点，其坐标为或． （3）解：由题意，设点的坐标为， ①如图，当点绕点逆时针旋转得到点时， 设直线与轴交于点，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 将点代入得：， 解得或， ∴此时点的坐标为或； ②如图，当点绕点顺时针旋转得到点时， 同理可得：， 将点代入得：， 解得或（均不符合题意，舍去）； 综上，点的坐标为或． 7．(1) (2) (3)①或；② 【分析】（）根据待定系数法即可求解； （）由（）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线，设点，，由题意可知：当时，总有，要想保证，则，即点离对称轴更近，所以，然后解不等式即可； （）先求得，，，，根据的面积是的面积的倍，则，求的值即可； 当点与点关于对称轴对称时，，解得：，当点与点关于对称轴对称时，，解得：，然后分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由（）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线， 设点，由题意可知：当时，总有， 如图， 要想保证，则，即点离对称轴更近， ∴， 解得：； （3）解：如图： 由题意可知：，，，， ∴，，，， ∵的面积是的面积的倍， ∴， 解得：，； 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当时，则，， ∴重合，如图：此时四边形内部没有抛物线，不符合题意； 当时，点在四边形内部，如图所示：符合题意； 当时，点在四边形外部，如图所示：不符合题意； 当时，则，，，，如图：此时四边形内部没有抛物线，不符合题意； 当时，点在四边形内部，如图所示：不符合题意； 综上所述：当时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大． 8．(1) (2)点 (3) 【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，进而得到抛物线表达式． （2）先求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，并表示出P、E的坐标，进而得到和的长度表达式；根据列方程求解，得到m的值后即可得到点P的坐标． （3）先根据与的面积相等，推出；再结合与的相似关系，表示出相关线段长度，求解出点P的坐标，最后计算出S的值． 【详解】解：（1）由题意，把点，分别代入， 得，解得． ∴抛物线的表达式为． （2）当时，， ∴点． 设直线的表达式为， 把点和分别代入，得，解得， ∴直线的表达式为． 设点， ∵轴于点D，交直线于点E， ∴， ∴点，． ∴． ∴． 由，得． 解得，（不合题意舍去）． ∴，即点． （3）如答图，过点A作轴交延长线于点G，过点F作轴于点H． ∴． 同（2）设，则，，． 又由，得． ∵和的面积相等， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 解得，． 经检验，，，是原方程的解，但不符合题意，舍去． ∴，． ∴． 9．(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．求得面积的最大值即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1） 解：二次函数的图像经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点； （2）解：对称轴为直线，点，轴， ， ，， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时 ，为最大值， 四边形面积的最大值为； （3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或， 理由：①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ． 过点作轴于点， 设，则， ∵， ， ． ， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，．连接， 过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， 设，则， ∵， ∴， ， ． ∴，． 综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 10．(1) (2)当时，的面积最大 (3)或 【分析】（1）将，代入抛物线，即可解得、的值，即求得抛物线的函数表达式； （2）先求出点的坐标为，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是直线下方抛物线上的动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， 当时，的面积最大值为， 当时，； （3）解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 【点睛】第三小问需要利用分类讨论的思想，优先证明，可将分类情况固定为两种，大大简化题目难度． 11．(1) (2)8 (3)满足条件的点一共有3个，或或． 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）点和代入，求出a和b的值即可；、 （2）求出的解析式为，则 ，得出的表达式，再用铅锤法得出，，根据二次函数的性质，即可解答； （3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将点和代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设的解析式为， 将点和代入得：， 解得：， ∴的解析式为， ∴ ∴， ∵点是线段上的动点 ∴， ， ∵，开口向下， ∴当时，面积取最大值， 此时． （3）解：∵， ∴， 设， ①当为对角线时： ，解得：， ∴； ②当为对角线时： ，解得：， ∴； ③当为对角线时： ，解得：， ∴ 综上：满足条件的点一共有3个，或或． 12．(1) (2)①；② 【分析】（1）把、的坐标代入中，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得到二次函数的解析式； （2）①求出直线的解析式，根据二次函数的解析式可得：抛物线的顶点坐标为，把代入的解析式，求出点的坐标，即可得到，根据即可求出的面积； ②根据三角形的面积公式可得：当的面积最大时，点到的距离最大，设点的坐标为，则点的坐标为，可知，所以当时的面积最大，求出此时点的坐标即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴相交于、两点， 可得：， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）①解：如下图所示， 当时，可得：， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 整理， 可得：， 抛物线的顶点坐标为， 当时，可得， ， ； ②解：如下图所示， 当点到的距离最大时，的面积最大， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， 整理得：， 当时，有最大值，最大值为， 当时，可得， 点的坐标为． 13．(1) (2)或 【分析】（1）先求出点，再代入抛物线可得答案； （2）先求出点，再求出直线的关系式，然后设点，可得点，进而表示出，接下来作，交于点E，由，根据勾股定理得，再根据已知条件得，，当和相似，分两种情况：当时，可得，即可求出m的值，最后根据得出答案；当时，可得，同理求出m的值，求出面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点． 设直线的关系式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的关系式为． 设点， ∵轴， ∴， ∴． ∵， ∴． 过点P作，交于点E， ∴， ∴， ∴， 则． ∵， ∴ ∴． 当和相似，分两种情况： 当时， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； 当时， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 14．(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)当时，n有最小值 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点两点， ∴设， 又∵抛物线，即， 解得， 故抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 则， 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得， 解得 ∴， 当时，， ∴； 由同理可得，得到 综上，P点的坐标为或； （3）解：由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最小为． ∴当时，即当时，n有最小值． 15．(1) (2)①或；② 【分析】（1）因为抛物线的对称轴为直线，点坐标为且点在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出线段的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值和点的坐标，接着作交于点，证明，利用相似三角形的性质即可求解点到的距离． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，点坐标为且点在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵抛物线的解析式为， ∴令，解得，即， 令，解得，即， ∴， ． ∵， ∴． 设点坐标为， ∵， ∴，解得． 当时，， 当时，， ∴或； ②设线段的解析式为， 把代入得 ，解得， ∴线段的解析式为， 设点坐标为， ∵轴， ∴点坐标为， ∴， ∴当时，线段长度取最大值，最大值为， 此时点坐标为． ∵， ∴． 作交于点， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为． 【点睛】本题考查了二次函数—几何综合，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． 16．(1) (2) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）先求出直线解析式为，设点，则点，表示出和，由三角形的面积关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将点A，点B的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线与y轴交于点C，令，则y=5， ∴， 设直线解析式为，把点B、点C的坐标代入得： 解得， ∴直线解析式为， 设点，则点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或5， ∵点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与B、C重合）， ∴，则， ∴点． 17．(1) (2)存在，D的坐标为，面积最大值为8 (3)存在，点Q的坐标为：， 【分析】（1）利用抛物线与x轴交点坐标代入抛物线即可求出； （2）通过设点D坐标，再根据二次函数性质求最值； （3）根据面积相等，分情况讨论点Q的位置，通过直线与抛物线求解点Q坐标． 【详解】（1）解：已知抛物线过， ，解得， 所以抛物线表达式：； （2）解：令，得， 则可设直线的解析式：， 代入，得，解得，即， 设点，， 过D作轴交于， 则，， ， 这是开口向下的二次函数， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为8， 此时D的坐标为； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 由（2）知直线的解析式为，则直线与对称轴交点坐标为， ∴， 过作轴交于， 设，则， ， 又与面积相等， ，即， ，解得（与点P重合，舍去）或，此时， 或，解得或， 对应Q的坐标为：， 综上，点Q的坐标为，． 18．(1) (2)存在，点的坐标为，面积的最大值为8 【分析】（1）根据点的坐标为，即可求出，，再求出点，，利用待定系数法即可求出函数的解析式； （2）过点作轴，交于点，先求出的函数解析式为，然后设，则，即可得到，根据三角形的面积公式即可得出，根据二次函数的性质可得到当时，有最大值． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设抛物线的函数解析式为， 将，，代入， 得 ，解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：存在， 如图，过点作轴，交于点， 由，，易得直线的函数解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为8，此时， ∴点的坐标为，面积的最大值为8． 19．(1) (2)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据二次函数解析式求出顶点P，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点，进而求出，过点Q作x轴的垂线，交于点F，设，，可求，再根据，可得，解方程求出m的值，代入解析式求出点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点、， ，解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：存在点Q，使得与的面积相等， ， 顶点， 当时，，则， 设直线的解析式为， 过点，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，，则， ， 与的面积相等， ， 如图，过点Q作x轴的垂线，交于点F， 设，则， ， ， ，即， 或， 解得或2或或， ， 舍去， 当时，； 当时，； 当时，； 或或． 【点睛】注意用“铅垂法”求三角形的面积，Q、F两点之间的数值距离是两点纵坐标差的绝对值． 20．(1)拋物线解析式为，直线的解析式为 (2) (3)能，点E的坐标为或或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点，设，则，求出，根据得到，据此可得答案； （3）先求出点B和点D的坐标，根据，得到以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，则；设，则，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ∴拋物线解析式为；     设直线的解析式为 将点代入，得， ∴ ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点． 设，则， ， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：∵抛物线解析式为 当时，， ， ∵， ∴以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边， ∴； 设，则， ∴， ∴或， 解方程得或（舍去）， 解方程得或， 当时，， 当时， 当时， 综上，满足条件的点的坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $