2026年中考数学二次函数专题：二次函数性质类最值

2026年中考数学二次函数专题：1、二次函数性质类最值 一、解答题 1．已知抛物线经过原点和．点M是抛物线上的动点，其横坐标为m，过点M作轴，与直线交于N． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点M作x轴的垂线，垂足为点P．在点P从点O运动到点的过程中； ①当时，求的最大值； ②若的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 2．已知二次函数（其中a为常数）， (1)将二次函数化为顶点式，并写出它的最小值． (2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当的面积为3时，求a的值． (3)当时，是否存在实数t，使得时二次函数最大值与最小值的差为8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； (2)若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； (3)如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 4．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点A，且与y轴交于点C． (1)若，，求此二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移m个单位长度，得到新的二次函数的图象，当时，求新的二次函数的最小值； (3)设一次函数（n是常数）．若二次函数y1的表达式还可以表示为的形式，当函数的图象经过点时，求的值． 5．已知抛物线经过点、，且． (1)若，求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； (3)设抛物线的顶点为，若，判断直线是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在，请求出该定点坐标． 6．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当，两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象，当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值； 7．已知抛物线（，为常数）过点． (1)若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 8．如图，抛物线的顶点为，交轴于点，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，抛物线的顶点为，交轴于点，与相交于点和点（点在轴左侧）． (1)求点，，的坐标（用含的式子表示）； (2)顺次连接，，，四点，当四边形的面积为时． ①求的值； ②将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为，图象L对应的函数为，当时，函数的最大值与最小值的差等于，求的值． 9．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当线段最短时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 10．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在点下方的轴上，点在第一象限的抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的三等分点且靠近点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 11．已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线． (1)直接写出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标． 12．如图，抛物线与轴只有一个交点，与轴相交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当时，的最大值与最小值的差为2，求的值． (3)若在抛物线的对称轴上有一点，过点的直线与抛物线只有一个交点．证明：直线平分． 13．在平面直角坐标系中，已知抛物线：和抛物线：，抛物线的对称轴位于抛物线的对称轴的左侧1个单位长度． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点在抛物线上， （）当时，求的最大值； （）当时，无论取何实数，始终都有成立，求的值． 14．已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． (1)如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线上存在两点和，对于，，都有请直接写出的取值范围． 15．如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． (1)求的值； (2)求的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，求的值． 16．已知抛物线：． (1)求抛物线的顶点坐标（用表示）； (2)当时，点，在抛物线上． （i）若，，对于某一个实数，若的最小值为1，求的最大值； （ii）若对于任意的，，总存在点、使得轴，求的取值范围． 17．已知抛物线（为常数）． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若抛物线与轴交于点． ①求的值． ②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，求的值． 18．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)当时，求的长； (3)若对于，都有，求a的取值范围． 19．已知二次函数（，a，b，c为常数）经过点和点． (1) ， ；（用含a的代数式表示） (2)当抛物线开口向下，且时，y有最大值1，求a的值； (3)已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 20．在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学二次函数专题：1、二次函数性质类最值》参考答案 1．(1)； (2)①； ② 【分析】（1）和代入抛物线，即可求出c的值，a、b的关系式； （2）①可得，由点M的横坐标为m，轴，得,，得，当 时，，得； ②，当时，若在 内， 随 m 增大而增大.若在 内， 随 m 增大而增大。当时，若 内， 随 m 增大而增大，若在 内， 随 m 增大而增大，分情况讨论. 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点和， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵点M的横坐标为m， ∴， ∵轴，N 在上， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 P 从 O 到， ∴， 当 时，则， 则（）， ∵二次函数开口向下，顶点在， ∴当时，；    ②， 当时， 开口向下，对称轴：， 若在 内， 随 m 增大而增大， 则，矛盾； 若在 内， 随 m 增大而增大， 则， ∴，不合题意； 当时， 若 内， 随 m 增大而增大， 则， ∴， ∵， ∴； 若在 内， 随 m 增大而增大， 则，矛盾； 综上，． 2．(1)顶点式为，最小值为． (2)或； (3)存在，或 【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可求出答案； （2）求出的长度和点的坐标，根据三角形面积公式列出方程并解方程即可； （3）根据的取值范围分情况进行解答即可． 【详解】（1）解： 即二次函数化为顶点式， ∵抛物线开口向上， ∴当时，它的最小值为． （2）解：当时，， ∴， 解得 ∵点A在点B左侧， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∵的面积为3， ∴， 则或（不合题意，舍去） 解得或； （3）解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当即时，在上，随着的增大而减小， ∴当时，有最大值，当时，有最小值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴， 解得， 当时，在上，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，当时，有最大值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴， 解得， 当即时，当时有最小值， 比较与值求最大值， 当时，即时，时，有最大值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴ 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，即时，时，有最大值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴ 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴存在的值，或． 3．(1) (2)的取值范围为或 (3)①的值为② 【分析】（1）直接根据抛物线对称轴公式求解即可； （2）分两种情况：若，若，运用二次函数的性质分别求得a的取值范围即可； （３）①求出平移后抛物线解析式，得对称轴为，再分、和三种情况讨论求解即可； ②根据图象折叠的对称性，得点，根据翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，可得且，即可求得答案． 【详解】（1）解：的对称轴为：， 所以，对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为，开口方向由决定： 当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即； 当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即． 综上，的取值范围为或． （3）解：当时，抛物线的解析式为． ①抛物线向左平移个单位后，解析式为，对称轴为； 当时，即，在上随的增大而增大， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 当时，即，函数最小值为，最大值为或时的较大值， 此时，时，值较大，为， 所以，， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，即，在上，随的增大而减小， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上，的值为； ②∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线, ∵点为第四象限内抛物线上的一点，且轴， ∴、关于对称轴对称，且, 以直线（即直线）为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，原顶点关于直线的对称点即为翻折后图象的顶点．则， 设翻折后函数解析式为， 令，得： ∴ ∴，且， ∴，且， 设两个交点的横坐标为，则或， ∵， ∴，则恒为正数； 要使交点都位于轴上正半轴上，则， ∴ 解得， ∴． 4．(1) (2)当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）确定平移后的解析式，根据抛物线的性质得到对称轴为直线，分类讨论即可得解．（3）把，代入中，得出关于，的关系式，把代入求解即可； 【详解】（1）二次函数的图象经过，， ， 解得：， 此二次函数的表达式为； （2） ，且向右平移m个单位长度， 新的二次函数可表示为， 对称轴为， ①当，即时， 当时，有， ②当时，即时， 当时，有， ③当，即时， 当时，有； （3） ，， ， ， ， 又图象经过点， ， 或， 或． 5．(1) (2)见详解 (3)存在，该定点坐标为 【分析】（1）结合，得、，再运用待定系数法进行解方程，得，即； （2）把点、分别代入，整理得是方程的两个实数根，根据韦达定理得，然后运用求根公式得，，再分别化简，又因为，得，即，即， （3）由（2）得，整理得抛物线的顶点，再分别表示出，，再代入，得，又因为，得，再求出直线的解析式为，故直线过点． 【详解】（1）解：∵， ∴、， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， （2）解：∵抛物线经过点、， ∴ 整理 即是方程的两个实数根， 由韦达定理得， ∴， ∴ 令时，则， 解得， ∵， ∴，， 设， 则， ∴，， ∴ ∵， ∵且， ∴ ∴ 则， ∴ 则 ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 即， （3）解：存在，该定点坐标为 由（2）得， 对称轴为直线， 把代入， 得 ， ∵设抛物线的顶点为， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴， 即 整理得， ∴， 若或，则抛物线的顶点P与点N或M重合，无法构成，不满足的条件， ∴ ∴， 即， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得 解得 ∴直线的解析式为 ∵ ∴ 当时，则， ∴直线过点， 即直线是过一定点，且定点为． 【点睛】本题考查了二次函数的其他应用，一元二次方程的根与系数，一次函数的其他应用，勾股定理，两点间的距离公式，公式法求一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．(1) (2) (3)或 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）根据抛物线的对称轴为直线，得出，进而求得，根据点是点关于点的对称点，进而利用中点坐标公式，即可求解； （3）根据解析式得出顶点坐标，根据，可得图象的最小值为，进而比较的大小，分情况讨论，结合题意列出关于的方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵两点关于该抛物线的对称轴对称，点，是该抛物线上的两点，横坐标分别为， ∴， 解得：， ∴点横坐标为， ∴，即． ∵点是点关于点的对称点，设， ∴， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， 即当时，最小值为，， ∵点，是该抛物线上的两点，横坐标分别为，， ∴，，图象的最小值为， ∴， 当时，即时，， ∴当时，最大值为， 同理可得，当时，最大值为， 依题意，当时，， 解得：（舍去）或， 当时，， 解得： 或（舍去）， 综上所述，或． 7．(1)①抛物线的解析式为；②； (2) 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出，利用函数图象增减性，得出或，列出不等式组，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线开口向上， ∵已知，在该抛物线上，， ∴， ​ ∴或， 又∵． 当时，则，无解； 当时，则，解得，符合条件． 故的取值范围为 ． （2）解：∵抛物线过点， ， ∴， ∵对于任意实数，都有，即 ∴， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， 即抛物线与直线交点的横坐标为和， ． 8．(1)，， (2)①；②的值为 【分析】（1）把解析式配方，化为顶点式，得出，把代入解析式，得出，根据关于原点中心对称的点的特征得出，即可． （2）①先求出的解析式为，联立两个抛物线的解析式，解方程组求出，，根据四边形的面积为列方程求出值即可； ②根据得出，根据二次函数当性质，分类讨论得出值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，， ∴， ∵将抛物线绕原点旋转得到抛物线， ∴，． （2）解：①∵， ∴抛物线的解析式为， 联立、的解析式得，， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 解得：， 当时，，当时，， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴，即， 解得：． ②∵， ∴的解析式为，的解析式为，，， ∵将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 当，时，此时，，最小值为， 当时为最大值时， ∵函数的最大值与最小值的差等于， ∴， 解得：，（舍去）， 当时为最大值时， ∴， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴， ∴时，不符合题意， 当时，， ∴， 当时，， 此时函数的最大值与最小值的差不能等于，此种情况不存在， 当时，，， 同理可得，此时函数的最大值与最小值的差大于； 综上所述，的值为． 9．(1) (2)点P的坐标为； (3)的值为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可； （3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵和 ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 又∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴当时，最短， ∴当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，此时最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 10．(1) (2) (3)①；②或或 【分析】（1）由得，得，把B的坐标代入得，求出a的值即可； （2）解：设，则，过E作于F，根据等腰直角三角形的性质可求出，，则，然后把E的坐标代入求解即可； （3）①分，，讨论，根据相似三角形的判定与性质求出M的坐标，根据轴求出N的坐标，然后数学结合求出即可； ②分，讨论，分别求出抛物线于直线，的交点坐标，然后画出草图，数形结合求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入，得， 解得， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 过E作于F， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在第一象限的抛物线上， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：当时，解得，， ∴， 当P和B重合时，， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴，此时M、N重合， 当P和C重合时，、都在y轴上，则P和N重合， 设， 当时，如图，过P作轴于H，设与x轴相交于G， 则轴， 又轴， ∴， ∴， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵轴， ∴N的横坐标为， ∵N在抛物线上， ∴N的纵坐标为， ∴， ∴； 当时，如图，过P作轴于H，设与x轴相交于G， 同理可求，， ∴； 当时，如图， 同理可求， 综上，； ②当时，， 当时，，解得， 当时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当时，， 当时，， 当时，，解得， 当时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当或时，， 综上，当或或时，． 11．(1)对称轴为直线， (2) (3)； 或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可得到对称轴，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；根据题意得到点，，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的最大值是5， ∴当时，， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； （3）解：， 则 ， 解：由题意点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的坐标为或． 12．(1) (2)或 (3)见解析 【分析】（1）根据与x轴只有一个交点，利用根的判别式列式，结合与y轴的交点坐标，即可求得b和c的值； （2）由（1）可知抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值0，然后分在对称轴左侧、右侧和两侧时，根据的最大值与最小值的差为2，列式解答即可； （3）先根据点N坐标解得b值，再根据直线与抛物线只有一个交点，联立解析式，根据判别式为0可解得k值，进而得到直线的解析式，然后求得直线与对称轴的交点坐标，利用两点距离公式可求得，最后根据等边对等角和平行线的性质，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴只有一个交点，与轴相交于点， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值0， ∴①当在对称轴的左侧时，即． 的最大值与最小值的差为2， ， 整理，得，解得； ②当在对称轴的右侧时，即． 的最大值与最小值的差为2， ，解得； ③当在对称轴的两侧时，即． 的最大值与最小值的差为2，最小值为0， 或， 整理，得， 解得（不在范围内，舍去），（不在范围内，舍去）， 整理，得， 解得（不在范围内，舍去），（不在范围内，舍去）． 综上所述，的值为或． （3）证明：如图，连接，记直线l交抛物线对称轴于点Q， ∵过点的直线与抛物线只有一个交点， ∴直线， 联立， 整理，得， ， 解得， ∴直线， 当时，， 即， ， ， ， 轴， ， ， ∴直线l平分． 13．(1) (2)（i）9；（ii） 【分析】（1）根据“抛物线的对称轴位于抛物线的对称轴的左侧1个单位长度”列方程求解即可； （2）（）先将点代入抛物线的解析式中，点代入抛物线的解析式中，并求得，再将代入化简后，即可求得答案； （）根据（）的解法，同理得到，再令，得到方程，再根据无论取何实数，始终都有成立，可得，且，即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：（）由（1）知， 抛物线：， 点在抛物线上， ， 点在抛物线上， ， ， 当时， ， 当时，有最大值为9； （），， ， 当时，， ， ， 整理，得， 无论a取何实数都有该等式成立， ，且, 解得． 【点睛】对于未知数无论取何值结论都成立的问题，首先要根据题意求出关于该未知数的方程，再令该未知数的系数为零进行求解即可． 14．(1) (2)点的坐标为或或或 (3)的取值范围为或 【分析】（1）把代入，求出的值即可得出结论； （2）求出直线的解析式为，设点，则，分别求得，根据等腰三角形的定义分，，列式，求出的值即可解答； （3）由题可知，抛物线的对称轴为，分别求当对称轴在y轴左侧；当对称轴在y轴右侧；抛物线的对称轴为y轴时，b的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴， ∴， ， 若是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，， 解得（不合题意，舍去），， 此时点的坐标为； ②当时，， 解得或， 此时，点的坐标为或； ③当时，， 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 此时 ，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或； （3）解：由题可知，抛物线的对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵，，都有， ∴当对称轴在y轴左侧，即时， ， 解得， ∴此时； 当对称轴在y轴右侧，即时， ， 解得， ∴； 当时， 抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∵，，则，， ∴ 故此情况不符合题意， 综上所述，的取值范围为或． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入即可求得，把代入即可求得； （2）过点作交于，交于点，先求出的最大值，再证明，可得，即可求解； （3）先求得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的对称轴和最大值，根据二次函数的图象与性质对进行分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∴． （2）解：过点作交于，交于点， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴ ∴当时，有最大值为． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴当有最大值时，取到最大值， ∴的最大值为． （3）解：由得， ∴顶点为，即当时，有最大值4， ∵抛物线对称轴为， ∴当时或时，值相等，即， ①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得（舍），； ②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即， ∴，不符合题意； ③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴都不符合，舍去； 综上所述，． 16．(1)顶点坐标为 (2)（i）的最大值为；（ii） 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得解； （2）①求出抛物线的解析式为；从而可得，，求出，令，则，求出，求出当时对应，此时，求出当，时，、的值，计算即可得解；②由轴得，，然后表示出，结合，求出的取值范围为，的取值范围为，列出不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为； （2）（i）当时，抛物线的解析式为． 点，在抛物线上， ，． ， ， ． 令，则，即， ． 当时，，， 联立， 解得， 则，． 当时，， 即， 解得，． 当时，， 即， 解得，． ， 当，时，取得最大值，最大值为． （ii），在抛物线上且轴， ，即， ， ， ， ，即． ，， 把代入，得 解得 要使满足条件的点M，N存在，需的两个范围有公共部分；对应的在给定范围内． 即区间与有公共部分，因此 解得 ． 解得． 17．(1)直线 (2)①或8；②或24 【分析】（1）先把抛物线的解析式化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）①直接将代入抛物线得到t的方程求解即可；②分和8两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵（为常数）， ∴对称轴为直线． （2）解：①把代入得：，解得：或8． ②由①得：或8， 当时，，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且， ∴下方的平行线不能在顶点上方， ∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6， ∴下方的直线经过顶点，此时与抛物线两交点的横坐标分别为和， ∴，两交点为，此时，为直线， ∴； 当时，， ∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且， ∴下方的平行线在顶点上方， ∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6， ∴直线与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为且要尽可能靠近对称轴， ∴，即：直线与对称轴右侧的抛物线交点分别为， ∴． 综上，或24． 18．(1) (2)2 (3) 【分析】（1）先将二次函数解析式化为顶点式，然后写出顶点坐标即可； （2）根据时，，解方程得出，求出即可； （3）根据抛物线对称轴及，结合条件，都有，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：当时，即， ， ， ， ． ． （3）解：， ， ． ， ． ， ， ． ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． 19．(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）将点、代入，得方程组，进行求解即可； （2）根据题意可得，，对称轴为，分三类讨论：①对称轴时无解；②时，顶点纵坐标，进行求解即可；③时最大值在，进而求解，最后进行判断即可得解； （3）分与并结合函数图象进行讨论：时，时，得；时，顶点在线段上得，或时抛物线与线段仅一个交点，综上得取值范围． 【详解】（1）解：将点、代入中， 得：， 得： 解得， 将代入中， 得 解得； （2）解：∵抛物线开口向下 ∴， 由（1）得，， ∴对称轴为：， ①当对称轴在范围内时， 此时， 解得， 又∵， ∴此情况不存在； ②当对称轴在范围内时， 此时，且， 解得， 此时最大值在顶点， ∴顶点纵坐标为：， 解得，符合条件； ③当对称轴在范围内时， 此时，且， 解得， 此时最大值在， ∴ 解得，舍去； 综上所述，； （3）解：①当时，，， ∴ 解得，抛物线不经过点，如图①， 抛物线与线段只有一个交点，结合图象可知； ②当时，若抛物线的顶点在线段上时，则 解得，， 当时， ， 此时，顶点横坐标满足，符合题意，如图②，抛物线与线段只有一个交点； 如图③，当时， ， 此时顶点横坐标不满足，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点时， 把代入解析式中，得 解得， 如图④，抛物线和线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点， 结合图象可知当时，抛物线与线段有一个交点． 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题以二次函数为载体，通过代入法求参数表达式，结合开口方向与对称轴位置分类讨论最值，再利用数形结合分析线段交点，综合考查了函数性质、方程思想与分类讨论思想，是二次函数综合应用的典型题型． 20．(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $