三角恒等变换与平面向量综合、三角恒等变换与三角函数的性质综合专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

三角恒等变换与平面向量综合、三角恒等变换与三角函数的性质综合专项训练 三角恒等变换与平面向量综合、三角恒等变换与三角函数的性质综合专项训练 考点目录 三角恒等变换与平面向量综合 三角恒等变换与三角函数的性质综合 考点一 三角恒等变换与平面向量综合 例1．（2026·北京密云·一模）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 例2．（2026·山东威海·一模）已知，且，则（   ） A． B．0 C． D． 例3．（2025·广东·模拟预测·多选）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 例4．（24-25高一下·山东济宁·月考·多选）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B．的最大值为 C．的范围是 D．的范围是 例5．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知平面向量，，，其中．则的充要条件为______． 例6．（25-26高三上·河北·开学考试）已知，向量，，若，则___________. 变式1．（2025·海南·模拟预测）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·甘肃白银·三模）已知角是锐角，若，，，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·重庆·月考·多选）平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C． D． 变式4．（25-26高三上·四川绵阳·月考·多选）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．当取得最大值时， D．的最大值为 变式5．（24-25高一下·安徽合肥·月考）设向量，向量，且，则______． 变式6．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知向量，，若， 则_______________. 考点二 三角恒等变换与三角函数的性质综合 例1．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·月考）已知函数． (1)求的解析式和对称轴方程； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间． 例2．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）已知向量，．设． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，，三角形ABC的面积为，求边a的长． (3)若，求的值． 例3．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和． 例4．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知向量，记函数． (1)求函数在上的取值范围； (2)若为偶函数，求|t|的最小值. 变式1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称中心坐标； (2)已知，若关于的方程在区间上恰有两个不同实根，求的取值范围． 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数（）,最小正周期的范围为. (1)求的取值范围； (2)若,函数的图象关于直线对称,求的值. 变式3．（25-26高一下·上海·月考）已知函数. (1)求的最小正周期并求在上的单调增区间； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 变式4．（25-26高一下·湖北荆州·月考）已知向量. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角恒等变换与平面向量综合、三角恒等变换与三角函数的性质综合专项训练 三角恒等变换与平面向量综合、三角恒等变换与三角函数的性质综合专项训练 考点目录 三角恒等变换与平面向量综合 三角恒等变换与三角函数的性质综合 考点一 三角恒等变换与平面向量综合 例1．（2026·北京密云·一模）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】D 【详解】向量， 则， 当时，取最小值. 例2．（2026·山东威海·一模）已知，且，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【详解】由题可得， 因为，所以 即， 即， 即， 得到. 故选：B. 例3．（2025·广东·模拟预测·多选）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】若，则 ，所以，故A正确； 因为，而， 所以，故B正确； 取，则，此时， ，故C错误； 因为，故D正确. 故选：ABD. 例4．（24-25高一下·山东济宁·月考·多选）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B．的最大值为 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ACD 【详解】已知，，，， 所以，，， ，，，所以A正确. ， 则 ， 由同角三角函数关系和余弦二倍角公式得，仅当时，，即，所以B错误. ， 因为，所以，所以的范围是，所以C正确. 当时，点与点之间没有关联，则两点都在单位圆上运动， 如图所示，当点与点重合时，最小时为0， 当都与单位圆相切时，最大， 此时可知,所以， 同理可得，，此时，所以D正确. 故选：ACD. 例5．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知平面向量，，，其中．则的充要条件为______． 【答案】2 【详解】由题可知，，， 显然，不能同时为0，不能同时为0， 所以. 由 ，可得； 由，可得，即得． 故的充要条件为. 例6．（25-26高三上·河北·开学考试）已知，向量，，若，则___________. 【答案】 【详解】依题意， 因为，所以，化简得， 又，故， 则. 故答案为：. 变式1．（2025·海南·模拟预测）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在中，点为边上一点，已知， 所以，即， 而，所以，解得. 故选：A. 变式2．（2025·甘肃白银·三模）已知角是锐角，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，又角是锐角， 所以或（舍去），所以，故， 所以. 故选：B. 变式3．（25-26高一下·重庆·月考·多选）平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，，所以，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，， 因为， 所以， 因为向量夹角范围为，所以，C正确； 对于D，， 所以 ， 令，则， 所以，故，D正确． 变式4．（25-26高三上·四川绵阳·月考·多选）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．当取得最大值时， D．的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A， 若，则，所以，故A正确； 对于B， 若，则，所以，故B错误； 对于C，， 其中且，当取得最大值时， 则，所以 ， 故C正确； 对于D，， 其中且，当时，取得最大值为 ，此时，故D正确. 故选：ACD. 变式5．（24-25高一下·安徽合肥·月考）设向量，向量，且，则______． 【答案】 【详解】， 由诱导公式和二倍角的余弦公式可得 . 故答案为：. 变式6．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知向量，，若， 则_______________. 【答案】 【详解】因为，所以，所以. 又 故答案为：. 考点二 三角恒等变换与三角函数的性质综合 例1．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·月考）已知函数． (1)求的解析式和对称轴方程； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1） ， 令，则， 所以对称轴方程为. （2）依题意得，， 令，解得， 又，所以当时，得一个单调增区间为， 当时，得一个单调增区间为， 所以的单调递增区间为． 例2．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）已知向量，．设． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，，三角形ABC的面积为，求边a的长． (3)若，求的值． 【答案】(1)，． (2) (3) 【详解】（1）因为，， 则， 令，，得，， 故函数的单调递增区间为，． （2）因为， 所以，又，则， 所以，则，又， ∵，所以， 由余弦定理可得：，故． （3）因为，所以， 所以． 例3．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期． （2）令， 解得， 故函数的单调增区间为． （3）函数的图象向右平移个单位的图象， 即， 令，解得， ∴或， 解得或， ∵，故当时，或， 而当或时，对应的角都不在内， 故方程在区间上所有根之和为． 例4．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知向量，记函数． (1)求函数在上的取值范围； (2)若为偶函数，求|t|的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 的取值范围为． （2）因为为偶函数， 所以 因此当时． 变式1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称中心坐标； (2)已知，若关于的方程在区间上恰有两个不同实根，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1） ， 的最小正周期为； 令，解得， 所以的对称中心坐标为． （2）. 令，则. 所以在上恰有两个解. 所以，解得． 所以的取值范围是． 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数（）,最小正周期的范围为. (1)求的取值范围； (2)若,函数的图象关于直线对称,求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 又，函数的最小正周期为， 所以，则； （2）由，且，故，即， 则，解得， 则 . 变式3．（25-26高一下·上海·月考）已知函数. (1)求的最小正周期并求在上的单调增区间； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为、 (2) 【详解】（1） ， 则的最小正周期； 令， 解得， 当时，，当时，， 故在上的单调增区间为、； （2）当时，，则， 故，由不等式恒成立， 则恒成立，即，即. 变式4．（25-26高一下·湖北荆州·月考）已知向量. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）由题可得， ， 令，， 解得，， 故单调递增区间为，； （2）由题意，函数在有两个不同的零点， 令，则在有两个不同的解，故， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故，则，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $