平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 平面向量的数量积 例1．（25-26高一下·浙江·月考）已知非零向量与的夹角为，且，则（   ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【详解】因为非零向量与的夹角为， 所以， 所以. 例2．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由已知条件可得，， 则. 例3．（25-26高三上·湖南湘西·期末·多选）在菱形中，，点满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，在菱形中，由， 得，所以，故A正确； 对于B，由得是的中点，由，知是上靠近点的三等分点， 若，则F为的中点，与是的三等分点矛盾，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ,故D错误, 故选 ；AC 例4．（25-26高三上·安徽·期中·多选）已知向量，满足，，且，则（    ） A．，的夹角为 B． C．在上的投影向量为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C错误； 对于D，，所以当时，取得最小值，为，故D正确. 故选：ABD 例5．（25-26高一下·云南文山·月考）已知向量满足，且，则与的夹角为______． 【答案】 【详解】设与的夹角为， 由夹角余弦公式得，可得． 例6．（25-26高一下·陕西西安·月考）平面向量与的夹角为，，，则__________. 【答案】 【详解】平面向量与的夹角为，，， ，，， . 例7．（25-26高一下·天津·月考）已知， (1)若与的夹角为，求； (2)若与垂直，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以， 则， 所以 （2）由与垂直，得， 所以，则， 因为，所以，即与的夹角为. 例8．（25-26高一下·云南昭通·月考）已知向量满足且向量与的夹角为. (1)求； (2)若向量与向量共线，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且向量与的夹角为， 所以， 则. （2）因为向量与向量共线，则存在实数， 使得， 所以，解得. 变式1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设单位向量，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是单位向量，所以， 所以. 变式2．（2026·云南·模拟预测）已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，所以，即， 于是，又，. 故选：C 变式3．（25-26高三上·甘肃武威·月考·多选）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【详解】如图，设，.因为， 所以四边形ABCD是菱形，且. 由平面向量的线性运算性质可知，， 则向量，的夹角为120°，向量，的夹角为30°， 向量，的夹角为60°，向量，的夹角为. 故选：BD. 变式4．（2026·甘肃·一模·多选）已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】BD 【详解】由题意得，所以， 所以，故A错误； 由，所以，故B正确； 又， 所以，所以， ，故C错误； ， 当时，，所以的最小值为，故D正确. 变式5．（25-26高一下·北京平谷·月考）已知向量满足，且在上的投影向量为，则的夹角的余弦值为___________，___________． 【答案】 8 【详解】由题意， 所以， 即的夹角的余弦值为，且. 变式6．（2026·海南儋州·一模）已知两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 【答案】 【详解】由，则，故， 则 ，因， 故向量与的夹角为. 变式7．（25-26高一下·河北邢台·月考）在中，，为的重心．过点的直线分别交射线，于，两点． (1)设，，试用，表示； (2)若，求； (3)若，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）延长，与交于点，则为的中点， 所以． （2）因为，， 所以，． ， ， ． （3）因为，，三点共线，所以设， 由（1）可知， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 变式8．（25-26高一下·北京平谷·月考）已知向量满足． (1)求与的夹角及； (2)已知，求的取值范围以及取得最值时对应的值． 【答案】(1)； (2)，当时，，当时，. 【详解】（1）因为，所以，即与的夹角为. 由，所以. （2）因为，. 设，则在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，最大，为；当时，最小，为. 所以，当时，，当时，. 考点二 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高一下·陕西宝鸡·月考）已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为， 所以，， 因为且， 所以且，解得. 例2．（25-26高三下·海南·月考）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量， 由可得：， 整理得， 所以. 例3．（25-26高一下·云南曲靖·月考·多选）已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．与垂直的单位向量为或 【答案】ABCD 【详解】A正确：. B正确：，. C正确：，，投影向量. D正确：设单位向量，满足且，解得或. 例4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考·多选）已知平面向量，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．若在方向上的投影向量为，则 C．当时，在方向上的投影向量为 D．若和的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，， 所以 或，A错误； 对于B，由已知， 所以，故， 又，， 所以，故， 解得或，B错误， 对于C，当时，， 在方向的投影向量为， 又， ， 所以在方向的投影向量为，C正确； 对于D，因为与的夹角为钝角，所以，且不反向平行， 由 ，解得， 由可得或， 当时，，反向平行，夹角不是钝角， 当时，，方向相同， 所以若和的夹角为钝角，则的取值范围为，D错误. 例5．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知向量，若，则________． 【答案】 【详解】由，则，解得， ， ． 例6．（25-26高一下·甘肃兰州·月考）已知向量，，若向量在向量上的数量投影为，则_______． 【答案】 【详解】因为，，故，； 由题可知：，则，解得. 故答案为：. 例7．（25-26高一下·北京·月考）已知向量，． (1)求； (2)设与的夹角为，求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【详解】（1）由已知，， 则，故； （2）由已知可得，，， 则； （3）由向量与互相垂直， 则， 解得. 例8．（25-26高一下·浙江·月考）已知向量，其中． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ，解得． （2）由与的夹角为钝角，得且与方向不相反， 所以且，解得且. 所以实数的取值范围为． 变式1．（2026·江西·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 变式2．（2026·河南许昌·模拟预测）已知，，在上的投影向量的坐标为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】，得，即，解得. 变式3．（2026·河北·一模·多选）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C．与夹角的余弦值为 D．若与垂直，则实数 【答案】AC 【详解】对A，，则，故A正确； 对B，在上的投影向量为，故B错误； 对C，与夹角的余弦值为，故C正确； 对D，，若与垂直， 则，解得，故D错误. 变式4．（25-26高三下·浙江·开学考试·多选）已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上投影向量的模为 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确； 对于B选项，当时，，故B选项不正确； 对于C选项，若，在上的投影向量为， 于是在上的投影向量的模为，故C选项正确； 对于D选项，若，则，所以，所以D选项正确． 变式5．（25-26高一下·广东揭阳·月考）已知向量，且，则______. 【答案】 【详解】由向量， 因为，可得，即，所以， 则. 变式6．（25-26高一下·浙江·月考）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【详解】在方向上的投影向量的公式为：， 所以，， 将结果代入公式: . 变式7．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，，则， 又，所以，即，解得. 所以，则， 所以. （2）因为，所以，解得，所以，则. 则，， ， 设与夹角为，则. 所以与夹角的余弦值为. 变式8．（25-26高一下·广东湛江·月考）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数的值； (2)已知，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 又， 所以，即，解得. （2）因为， 所以， 所以当时，取最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 平面向量的数量积 例1．（25-26高一下·浙江·月考）已知非零向量与的夹角为，且，则（   ） A． B． C．4 D．12 例2．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 例3．（25-26高三上·湖南湘西·期末·多选）在菱形中，，点满足，，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·安徽·期中·多选）已知向量，满足，，且，则（    ） A．，的夹角为 B． C．在上的投影向量为 D．的最小值为 例5．（25-26高一下·云南文山·月考）已知向量满足，且，则与的夹角为______． 例6．（25-26高一下·陕西西安·月考）平面向量与的夹角为，，，则__________. 例7．（25-26高一下·天津·月考）已知， (1)若与的夹角为，求； (2)若与垂直，求与的夹角． 例8．（25-26高一下·云南昭通·月考）已知向量满足且向量与的夹角为. (1)求； (2)若向量与向量共线，求的值. 变式1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设单位向量，已知，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·云南·模拟预测）已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·甘肃武威·月考·多选）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 变式4．（2026·甘肃·一模·多选）已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 变式5．（25-26高一下·北京平谷·月考）已知向量满足，且在上的投影向量为，则的夹角的余弦值为___________，___________． 变式6．（2026·海南儋州·一模）已知两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 变式7．（25-26高一下·河北邢台·月考）在中，，为的重心．过点的直线分别交射线，于，两点． (1)设，，试用，表示； (2)若，求； (3)若，，求的最小值． 变式8．（25-26高一下·北京平谷·月考）已知向量满足． (1)求与的夹角及； (2)已知，求的取值范围以及取得最值时对应的值． 考点二 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高一下·陕西宝鸡·月考）已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三下·海南·月考）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·云南曲靖·月考·多选）已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．与垂直的单位向量为或 例4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考·多选）已知平面向量，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．若在方向上的投影向量为，则 C．当时，在方向上的投影向量为 D．若和的夹角为钝角，则的取值范围为 例5．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知向量，若，则________． 例6．（25-26高一下·甘肃兰州·月考）已知向量，，若向量在向量上的数量投影为，则_______． 例7．（25-26高一下·北京·月考）已知向量，． (1)求； (2)设与的夹角为，求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 例8．（25-26高一下·浙江·月考）已知向量，其中． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 变式1．（2026·江西·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·河南许昌·模拟预测）已知，，在上的投影向量的坐标为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3．（2026·河北·一模·多选）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C．与夹角的余弦值为 D．若与垂直，则实数 变式4．（25-26高三下·浙江·开学考试·多选）已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上投影向量的模为 D．若，则 变式5．（25-26高一下·广东揭阳·月考）已知向量，且，则______. 变式6．（25-26高一下·浙江·月考）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 变式7．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 变式8．（25-26高一下·广东湛江·月考）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数的值； (2)已知，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $