专题02 三角函数的性质与图像综合（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第三册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角函数的性质与图像综合 目录 典例详解 类型一、三角函数的单调性及单调区间 类型二、根据单调性求参 类型三、求三角函数的定义域 类型四、三角函数的最值与值域 类型五、三角函数的奇偶性 类型七、三角函数的对称性 类型八、三角函数的零点 类型九、三角函数的综合性质 类型十、绝对值型三角函数的性质 类型十一、三角函数的图像变换 类型十二、根据三角函数图像求其性质 压轴专练 典例详解 类型一、三角函数的单调性及单调区间 1、掌握正余弦、正切函数的单调区间 正弦函数：单调增区间-受+2kπ，受+2kπkEZ)单调减区间[臣+2kπ，要+2kπ(keZ) 余弦函数：单调增区可-元+2kπ，2kπ]k∈Z)单调减区间[2kπ，2kπ+π]k∈ZkEZ) 正切函数：单调增区间（号+k元，号+kπk∈乙 2、对于形如y=Asin(ωx+p)+k(或y=Acos(ωx+p)+k)的函数，首先确定A与ω的 正负。若ω<0，可利用诱导公式将ω化为正数，简化分析。 通过单调性确定ωx十p的范围，求得x的范围为所求的单调区间。 3、复合函数求单调性： ①确定函数定义域： ②将复合函数分解成y=f(u),u=g(x) 1/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③分别确定这两个函数的单调性： ④若这两个函数在对应区间上同增或同减，则y=f[g(x)]为增函数；若这两个函数为一增一减，则 y=f[g(x)]为减函数. 例1. (九江市2026届第一次高考模拟统一考试数学)下列函数中， 在0 上单调递增的是() A.f=+到 C. f(x)=sinx+3 D.f(x)=tan 变式1.2206学年商-一上学期期米数学试题》面数1-o任君引m行君)在下列区何上年 调递增的是() A.(0,π B.（π，2π C.（2π，3π D.3π，4π 变式1-2.(25-26高一上河南月考)函数y=2tamx-T 3 的一个单调递增区间是() ππ A.22) π5π B 6’6 C 5x π2π D.-33 变式1-3.(25-26高一上全国期末)函数f()=1og2 的单调递增区间为 类型二、根据单调性求参 根据题目给出的单调区间来求参数（不含求ω值的题型）： 1、先根据条件给出的单调区间来求ωx十p的区间范围 2、确定目标三角函数的对应的单调区间 讨论ωX十P的区间与三角函数的单调区间之间的关系，从而确定参数关系。 例2.(25-26高二上湖南·期末)若函数f(x)=cosx-V3six在[-a,a]是单调递减，则a的最大值是() A. 6 B. C. D.r 3 变式21.(2025高一上江苏专题练习)己知函数y=c0s0x+爱0>0)在区间年 上单调递减，则 ⊙的取值范围是 变式2.(25,26高一上浙江宁议期末)已知函数到=sin00>0)在区间0，上不单调，则知的取 2/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 值范围为 变式23.(25-26商一上全国课前预习)已知函数=an20x+写》0>0在[0吗到单调递塔，则知的取 值范围为 类型三、求三角函数的定义域 1、 正余弦函数的定义域为R,正切函数的定义域为x≠kπ+号 三角函数的复合函数求定义域的时候需要配合正余弦的值域一起求解。 例3.(25-26高一上·全国·课后作业)已知x∈0， 3π 则函数y=lg2sinx+1)的定义域为， 变式3-1.(25-26高一上·安徽滁州期末)函数y=√-tanx的定义域为() π π A. ,k∈Z B kπ- ,keZ 2 4 c. D. kπ，kπ+ 变式3-2.(25-26高一上·宁夏固原期末)函数y=√1-2cosa的定义域为 变式3-3.(25-26高一上宁夏银川期末)函数y=V3tanx-√5的定义域是() A. +kπ， k∈Z B 2 ki, T土k,2+km,k∈Z 3 3 hn,tk,kEZ D 6 6 2 类型四、三角函数的最值与值域 1、y=Sinx十bc0sx型，同角正弦余弦的和式，可以直接用辅助角公式合并化简。若遇到三角函数 不为同角，则可以考虑通过诱导公式、三角恒等变换去化简，最后化简成正弦或余弦的式子。 2、通过化简后发现式子变成y=Asix+Bsinx+(sinx换成cosx,tax都成立)的形式，则可 以通过换元，换元后式子变成二次函数式。换元后，要注意新元的取值范围，在该取值范围下求最值。 3、对三角函数进行变换，然后通过基本不等式来求最值 利用1的变换，在三角函数中，Sin+cos2=1利用乘“1”来实现基本不等式。 3/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 己知和或者积的值，通过基本不等式中和定求积，积定求和来求。 注意基本不等式使用是有条件限制的，如果不满足可以考虑用对勾函数。 例4.(25-26高一上·广东梅州期末)已知函数fx=2cos2x-sinx,x∈[0，π，则函数f(x的最大值为() A C.2 变式4-1.(2025高一上江苏.专题练习)函数f(x)=sinx+2√2cosx的值域是」 变式4-2.(25-26高一·上海·假期作业)关于函数y=tanx,x∈ π 3’4 的最大值和最小值，表述正确的选项 为() A.最大值是-√，最小值是1 B.最大值是1，最小值是-√ C.最大植是，放小值是-号 D.没有最大值，最小值是) 变式43.(2025高-上江苏专题练习)函数f(y=-cosx+6x[33] ,π 「π2π 的值域为 类型五、三角函数的奇偶性 按照函数奇偶性的定义来判断三角函数有关的复合函数的奇偶性： 1、 先判断定义域是否关于原点对称，然后检验代x)卢f(X)之间的关系。 2、对较复杂的三角函数式，通常先利用三角恒等变换（如诱导公式、和差角公式、倍角公式等）将函数 式化简为标准形式或便于判断的形式。 若函数是多个三角函数的和、差、积、商形式：可利用“奇函数士奇函数=奇函数”、“偶函数士偶 函数=偶函数”、“奇函数×偶函数=奇函数”、“偶函数×偶函数=偶函数”、“奇函数×奇函数 =偶函数”等运算规律进行组合判断。 利用函数的奇偶性来求值：根据奇偶性的定义，根据定义域关于原点对称，然后利用偶函数满足 f(x)=f(-x),奇函数满足f(x)+f(-x)=0关系直接求值 例5.(25-26高一上广西崇左期末)若函数f(x)=sin(x+0)-cosx+0)为偶函数，则O的值可能为() B. D. 4/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 「元见上为奇 变式51.（多选）(2526高一上黑龙江牡丹江月考)下列函数中，最小正周期为刀，且在44 函数的是() A.y=sin2x+π B.y=cos 2x+2 C.y=sinx+) .π D.y=cosx* 变式52.(25-26商一上云南期末)已知函数f儿=c0sx+opeR,则g-”是“f八是奇函数的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必 要条件 变式5-3.(25-26高一上·江苏常州·月考)把函数y=cosx+ 4π 3 的图像向右平移©个单位，所得的图像的 函数是偶函数，则a的最小正值是 类型六、三角函数的周期性 1、对于y=Ai(ox十p)+k形式f为基本三角函数如si，血cos,tan,最小正周期T=,其 中T。为f(x的最小正周期（如sin、cos为2π，tan为π）。 2、利用三角变换化简题目中的三角函数，使变为最简形式，然后根据上面方法求周期 3、 根据三角函数的最小正周期可求W的值，从而可以得到函数的解析式 例6.(25-26高一上新疆和田·期末)下列函数中，最小正周期为的奇函数是() A.y=tan x B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cosx 变式6-1.（山东烟台市2025-2026学年度第一学期期末自主练习高一数学试题）下列函数中，最小正周期为 的是() A.y=sinx B.y=cosx C.y=tan x D.y=sinx+cosx 变式6-2.(25-26高一上北京东城期末)已知函数f()=2cos(2ox+)(0>0)的最小正周期为n,则 6 0= 使得函数fx+ppK)的图象有对称轴落在区间(0，乃上的一个9值为 41 变式63.(25-26商二上四川德阳期末)若函数)y=5cos2ax+p@>0的最小正周期为号，则a等于 5/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.2 C.1 D. 类型七、三角函数的对称性 1、对于正弦函数y=Asi(wx+中)当wx+中=kπ+号(k∈2Z,x=X 为正弦函数的对称轴， 当wx十中=kkEZ),X=x为正弦函数的对称中心 2对于y=Acos(wx-+)当wx+中=kπ(kEZ),x=为余弦函数的对称轴，当 Wx+中=kπ+受(k∈Z),x=x,为余弦函数的对称中心 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的 位置 3、对于y=Atar(wx+中)当wx十中=钙(kEZ),x=X为正切函数的对称中心，正切函数 没有对称轴，注意正切函数的对称中心有一半不在函数上，一半是正切函数与x轴交点 4、对正余弦函数，已知一条对称轴a和一个对称中心b,由于对称轴和对称中心的水平距离为T, 4 则2驶T=2r=b-a 4 2w 5、根据题目给出的对称中心或对称轴的值，来求W公十中的值，如果含参的话，这是一个参数的表达式 根据W公+的值与三角函数的对称中心或对称轴进行比较，来求其中的参数值。 例7.（江苏宿迁市2025-2026学年高一上学期质量监测数学试卷）函数y=tan2x+? 的图象的一个对称 中心为(x,0)(x<0),则实数的最大值为 π 变式7-1.(25-26高一上云南昆明期末)若f(x)=tanx- 4》 的一个对称中心为a,0),则 f2a+月 变式7-2.（河北省承德市2025-2026学年高一上学期1月学情检测数学试题）己知函数 fx)=sin(2x+9川0<9<的图象关于点（受0对称，测p的值为 、12' 变式7-3.(25-26高一上·安徽阜阳·月考)己知函数f(x)=sin + 的图象与曲线=+)都关 于直线x=m(-π<x<2π)对称，写出一个符合条件的m的值一 6/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型八、三角函数的零点 1、 对于正弦函数y=Asinwx+)当wWXo十中=kkEZ),x=X为正弦函数的对称中心， 也是其零点。对于y=AcOs(wWx+),当wX+中=kT+受(keZ),x=X为余弦函数的对称 中心，也是其零点。对于y=Ata(wx十中)当wX十中=钙(kEZ),x=为正切函数的对 称中心，但是wx+中=kπ(kEZ)才是其零点。 2、复合函数的零点个数与求方程的根的个数的方法一致。函数y=f(x)有零点台方程f(x)=0有实 数根台函数y=f(x)的图像与x轴有交点。 若通过将其中的三角函数换元把方程变成能直接解的形式，则可以直接解方程，但是要注意的是三角函 数换元后，它的取值范围问题。 若方程比较复杂，则可以考虑能否通过画图，利用图像的交点个数来判断根的个数。 3、给出的己知函数在动区间上零点个数问题，可以先画出函数图像，找到关键零点的位置，讨论给定的 区间内零点与参数的关系。若函数是动函数（ω己知，只上下左右移动），区间是定区间，则先确定区间 内能容纳的零点个数，再去讨论函数位置。 4、根据三角函数Asiωx+p)或Acosωx+p)在区间(ab)内零点的个数问题求w: 根据有没有零点或零点个数，判断b-a在几个周期以内。 根据零点个数确定ωa+p与ωb+p的范围 根据上述两点可以计算出ω的取值范围，ω的范围会跟k值有关，再根据k是整数，可以确定ω的最值 5、对给定范围内的两个相邻的零点X1,X2(通常为三角函数图像与y=m直线的交点)，这两个零点会 关于三角压数的某个对称轴对称。即（空）=士1，再根据三角恒等变换可以求XX的正余弦值。 对给三角函数的零点（通常为三角函数图像与y=皿直线或者别的图像的交点），找到这些零点的对称点， 然后根据这个对称来求和。 例8.(25,2ó高二上澜南期中)函数f=c04x-君)在Q网上的零点个数为 变式8-1.(2526高一上山东济南月考)已知函数)=c0sox+骨到。>0在区间(0，到上恰好有3个零 点，则ω的取值范围是一 7/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式8-2.(2025高一上江苏.专题练习)函数f(x)=1-2cosx,x∈(t,t+π，t∈R,关于函数gx)=fx-2 的零点情况说法不正确的是() A.当t取某些值时，无零点 B.当t取某些值时，恰有1个零点 C.当t取某些值时，恰有2个不同的零点 D.当t取某些值时，恰有3个不同的零点 变式8-3.(25-26高一上·四川德阳期末)若函数f(x)=sin(π-x)+cosπ+x)在[0，a]上有且仅有两个零点， 则实数a的取值范围为() 3π9π 3 5π9π A C ,2 D. 24 4’4 类型九、三角函数的综合性质 根据题目给出的函数，看能不能用三角恒等变换、诱导公式进行化简，先化简到最简形式 2、如果化简后的函数是y=A:f(wx十p)+k的形式(f为sin,cos,tan,则可以按三角函数求单 调性、周期性、对称性、奇偶性的方法来判断。 如果化简后是几个三角函数相加或相乘，比较复杂的方式，可以使用代入特殊值法来判断。可可以辅组 作图。 例9.（多选）25,26高一上江苏徐州期末)已知函数f到=4sim2x- 则() A.f(x)的最小正周期为刀 B.fx在区间 元π 88 单调递增 C. fx+ 是奇函数 35π39π D.f(x在 1616 上的值域为(22,4 变式91.（多选）(2526高一上江苏连云港期末)已知函数f(纠=1-si血2x+4 π 则该函数的() A.值域为[0,2] B.增区间是 5 +km,。+k (kEZ) 8 C.图象的对称中心为 km_，0 28’ (k∈Z)D.图象的对称轴方程为x=工+红 82 (kEZ) 8/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式9-2.（多选）（广东省佛山市2025-2026学年高一普通高中供题训练数学试题）己知函数 f(x)=tan2x+ 则() A.fx的最小正周期为刀 B.f(x)的定义域为xx≠ +gez C.y=f(x)是偶函数 D.曲线=f1到的对称中心为（任0e☑ 变式9-3.（多选）(25-26高一上云南昆明期末)已知函数f(x)=2 sinxcosx-23sin2x+V3,则() A.f(x最小正周期为2π B.+)是偶函数 c.若xe ππ 6'6 则f(x)e「0,5 D.若X,2∈ =f,则-小s君 6'6 类型十、绝对值型三角函数的性质 1、 对三角函数绝对值Six,coSx,|taX,通过函数图像来研究其函数性质，把x轴下方部分沿X 轴翻折到上方去。 sinx:偶函数、对称轴马+kπ对称中心kT,最小正周期n c0Sx:偶函数、对称轴kπ，对称中心受+k,最小正周期n tanx:偶函数、对称轴kπ，最小正周期π 2、对sinx,cosx,tanx,通过函数图像来研究其函数性质，把y轴左边部分去掉，把右边部分复 制翻折到y轴左边。 sinx:偶函数、不是周期函数 c0sx:与c0sx-致 tan x:偶函数、不是周期函数 例10.（多选）(2025高一上：全国.专题练习)（多选）关于函数f(x)=sinx+sinx,下列选项正确的是() 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.f(x)的最小正周期是刀 B.f(x在区间 登列单调递减 C.f(x)在[-π，π有3个零点 D.f(x)的最大值为2 变式10-1，(25-26高一上·河北期末)在函数①y=sin2x,②y=cos2x,③y=cos2x,④ y=tan2x+ 4 中最小正周期为号的所有函装的序号为《) A.①②④ B.①②③ C.②④ D.③④ 变式10-2.（多选）(25-26高三上江苏镇江·期中)设函数f(x)=sinx+cosx,则() A.f(x的图象关于直线x=亚对称 4 B。国的一个正周期为经 C.f()的一个单调减区间是江，7红 2’4 D.函数g=f八)- 6在区间m,小m<)上有2026个零点，则n-m的最小值为3037 6 变式103.（多选）(2526高一上湖北月考)已知下列函数中，最小正周期为5的是() A.y=cos2x B.y=sin2x+ 3 C.y=sin|2x D.y cos 2x 类型十一、三角函数的图像变换 1、三角函数的变换与函数的变换方法一致 左右移动：变量x左加右减，如y=Asi(wx+p)左移k个单位，y=Asi(w(x+k)+p) 上下移动：函数值y上加下减，如y=Asim(wx+p)上移k个单位，y=Asi血(wx+p)+k 横坐标的伸缩：横坐标放大k倍，则x变是，横坐标缩小k倍，则x变区 注意：上下移动或横坐标的伸缩都是针对变量x的变换 2、根据变换后的图像求原解析式跟整个变换过程，是整个变换过程的逆过程。 用变化后得到的解析式，按照所有的变换步骤从最后一步到第一步进行。 将每步的变换步骤变成逆变换，如左移变右移，上移变下移，扩大变缩小。 用检验的方式再从原图像按照原变换步骤，看看是否能得到变换后解析式。 10/17 专题02 三角函数的性质与图像综合 目录 典例详解 类型一、三角函数的单调性及单调区间 类型二、根据单调性求参 类型三、求三角函数的定义域 类型四、三角函数的最值与值域 类型五、三角函数的奇偶性 类型七、三角函数的对称性 类型八、三角函数的零点 类型九、三角函数的综合性质 类型十、绝对值型三角函数的性质 类型十一、三角函数的图像变换 类型十二、根据三角函数图像求其性质 压轴专练 类型一、三角函数的单调性及单调区间 1、掌握正余弦、正切函数的单调区间 正弦函数：单调增区间，单调减区间 余弦函数：单调增区间，单调减区间 正切函数：单调增区间 2、对于形如 （或）的函数，首先确定与的正负。若 ，可利用诱导公式将 化为正数，简化分析。 通过单调性确定的范围，求得的范围为所求的单调区间。 3、复合函数求单调性： ①确定函数定义域； ②将复合函数分解成； ③分别确定这两个函数的单调性； ④若这两个函数在对应区间上同增或同减，则为增函数；若这两个函数为一增一减，则为减函数． 例1． （九江市2026届第一次高考模拟统一考试数学）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整体法逐一判断各选项中的函数在上的单调性即可. 【详解】当时，. 由余弦曲线知在上单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故A不符合题意； 由正弦曲线知在上先单调递增再单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上先单调递增再单调递减，故C不符合题意； 当时，，由正弦曲线知在上单调递增，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递增，故B符合题意； 当时，，由正切曲线知在上单调递增，又是减函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故D不符合题意. 故选：B. 变式1-1．（2025-2026学年高一上学期期末数学试题）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和的余弦公式化简，再由余弦函数的单调性逐项判断即可. 【详解】， 当时，，由余弦函数的单调性知，单调递减，故A错误； 当时，，由余弦函数的单调性知，不单调，故B错误; 当时，，由余弦函数的单调性知，单调递增，故C正确; 当时，，由余弦函数的单调性知，不单调，故D错误. 故选：C 变式1-2．（25-26高一上·河南·月考）函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的单调性求解即可 【详解】令 ，得 ， 故 的单调递增区间为 ， 令,则函数 的一个单调递增区间是. 故选：B 变式1-3．（25-26高一上·全国·期末）函数的单调递增区间为 【答案】 【分析】首先求出定义域，然后根据复合函数单调性同增异减，最后根据三角函数整体法求单调区间. 【详解】设，即，在上单调递增， 故取， 即， 解这个不等式，得，即， 根据复合函数同增异减，所以的单调递增的部分，可求出的递增区间， 可得 ，即 ， 解得 ，所以所求递增区间为. 故答案为： 类型二、根据单调性求参 根据题目给出的单调区间来求参数（不含求值的题型）： 1、 先根据条件给出的单调区间来求的区间范围 2、 确定目标三角函数的对应的单调区间 讨论的区间与三角函数的单调区间之间的关系，从而确定参数关系。 例2．（25-26高二上·湖南·期末）若函数在是单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式，将化成，根据余弦函数的单调性可得. 【详解】， . 又， 因为余弦函数在上单调递减，所以，解得. 所以的最大值为. 故选：B. 变式2-1．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性结合整体思想求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以 又因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 变式2-2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解. 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 变式2-3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定的区间，结合正切函数的单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】当时，，又因为在上单调递增，结合正切函数的单调性得，解得， 的取值范围为． 故答案为：. 类型三、求三角函数的定义域 1、正余弦函数的定义域为R，正切函数的定义域为 2、三角函数的复合函数求定义域的时候需要配合正余弦的值域一起求解。 例3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数型函数定义域求法结合三角函数图象求解即可. 【详解】要使函数有意义，则必有，即， 结合正弦函数的图象及可知，， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 变式3-1．（25-26高一上·安徽滁州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质可得即可利用正切函数的性质求解不等式得解. 【详解】由题意可得则，解得， 故选：B 变式3-2．（25-26高一上·宁夏固原·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由根式知，利用余弦函数性质解不等式求定义域范围即可. 【详解】令，得， 解得， 即， 故答案为：. 变式3-3．（25-26高一上·宁夏银川·期末）函数的定义域是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质，结合正切函数的单调性进行求解即可. 【详解】由函数解析式可知： ，. 故选：D 类型四、三角函数的最值与值域 1、 型，同角正弦余弦的和式，可以直接用辅助角公式合并化简。若遇到三角函数不为同角，则可以考虑通过诱导公式、三角恒等变换去化简，最后化简成正弦或余弦的式子。 2、通过化简后发现式子变成的形式，则可以通过换元，换元后式子变成二次函数式。换元后，要注意新元的取值范围，在该取值范围下求最值。 3、对三角函数进行变换，然后通过基本不等式来求最值 利用1的变换，在三角函数中，,利用乘“1”来实现基本不等式。 已知和或者积的值，通过基本不等式中和定求积，积定求和来求。 注意基本不等式使用是有条件限制的，如果不满足可以考虑用对勾函数。 例4．（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数，，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】令，得，换元得，根据二次函数单调性求得最大值. 【详解】由， 令，，则， 则， 当，即或时，取得最大值. 故选：C. 变式4-1．（2025高一上·江苏·专题练习）函数的值域是 【答案】 【分析】由题可得，然后由二次函数知识可得答案. 【详解】， ，又函数在上单调递增， 则，. 即. 故答案为： 变式4-2．（25-26高一·上海·假期作业）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 故选：B. 变式4-3．（2025高一上·江苏·专题练习）函数的值域为 【答案】 【分析】首先求的范围，再根据余弦函数的性质求值域. 【详解】因为，所以，则， 故的值域为． 故答案为： 类型五、三角函数的奇偶性 按照函数奇偶性的定义来判断三角函数有关的复合函数的奇偶性： 1、 先判断定义域是否关于原点对称，然后检验与之间的关系。 2、 对较复杂的三角函数式，通常先利用三角恒等变换（如诱导公式、和差角公式、倍角公式等）将函数式化简为标准形式或便于判断的形式。 若函数是多个三角函数的和、差、积、商形式：可利用“奇函数 ± 奇函数 = 奇函数”、“偶函数 ± 偶函数 = 偶函数”、“奇函数 × 偶函数 = 奇函数”、“偶函数 × 偶函数 = 偶函数”、“奇函数 × 奇函数 = 偶函数”等运算规律进行组合判断。 利用函数的奇偶性来求值：根据奇偶性的定义，根据定义域关于原点对称，然后利用偶函数满足，奇函数满足关系直接求值 例5．（25-26高一上·广西崇左·期末）若函数为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简，然后根据奇偶性列方程即可得解. 【详解】， 因为为偶函数，所以，即， 当时，A正确，经检验BCD都不满足. 故选：A. 变式5-1．（多选）（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）下列函数中，最小正周期为，且在上为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对A和B，先求出对应函数的最小正周期，再由奇偶函数的定义，即可判断正误；对C和D，求出对应函数的最小正周期，即可判断正误. 【详解】对于选项A，易知的最小正周期为， 因为，又，关于原点对称， 令，又， 所以在上为奇函数，故A正确， 对于选项B，易知的最小正周期为， 因为，又，关于原点对称， 令，又， 所以在上为奇函数，故B正确， 对于C，易知的最小正周期为，所以C错误， 对于D，易知的最小正周期为，所以D错误， 故选：AB. 变式5-2．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】是奇函数等价于，且时可以成立，再由充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】是奇函数等价于， 当时，得，所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件． 故选：A． 变式5-3．（25-26高一上·江苏常州·月考）把函数的图像向右平移个单位，所得的图像的函数是偶函数，则的最小正值是 ． 【答案】/ 【分析】先由平移变换求函数解析式，再根据函数是偶函数得出即可分析求解. 【详解】函数的图像向右平移个单位， 则所得的函数是， 又因为是偶函数，所以， 则，则当时，取得最小正值是. 故答案为：. 类型六、三角函数的周期性 1、对于形式（为基本三角函数如 ），最小正周期，其中为的最小正周期（如为， 为）。 2、利用三角变换化简题目中的三角函数，使变为最简形式，然后根据上面方法求周期 3、根据三角函数的最小正周期可求的值，从而可以得到函数的解析式 例6．（25-26高一上·新疆和田·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的最小正周期的计算公式，可得答案. 【详解】对于A，函数不是周期函数，且为偶函数，故A错误； 对于B，函数的最小正周期，且为偶函数，故B错误； 对于C，函数的最小正周期，且为奇函数，故C正确； 对于D，函数的最小正周期，且为偶函数，故D错误. 故选：C 变式6-1．（山东烟台市2025-2026学年度第一学期期末自主练习高一数学试题）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正、余弦型函数的最小正周期公式判断选项A，B，D；利用诱导公式求出是的一个周期，并证明该周期为最小正周期，进而判断选项C． 【详解】正、余弦型函数的最小正周期公式为， 故、的最小正周期，选项A，B错误； ，最小正周期为，故D错误； ， 假设存在更小的正周期，使得对任意都有， 令，则，解得， 不存在，满足使得， 的最小正周期为，故C正确． 故选：C． 变式6-2．（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数（）的最小正周期为，则 ，使得函数的图象有对称轴落在区间上的一个值为 ． 【答案】 1 （答案不唯一，符合或均可） 【分析】利用余弦函数的周期公式列式求出，利用余弦函数的对称性求出对称轴方程，进而求出的取值范围即可. 【详解】由函数（）的最小正周期为，得，因此； 函数，则， 由，得函数的图象的对称轴为， 依题意，，得， 而，因此或，所以值可以为. 故答案为：1； 变式6-3．（25-26高二上·四川德阳·期末）若函数的最小正周期为，则等于（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据周期公式计算. 【详解】由题意可知，，得. 故选：B 类型七、三角函数的对称性 1、对于正弦函数，当为正弦函数的对称轴,当 为正弦函数的对称中心 2、对于，当为余弦函数的对称轴,当 为余弦函数的对称中心 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． 3、对于, 当 为正切函数的对称中心，正切函数没有对称轴，注意正切函数的对称中心有一半不在函数上，一半是正切函数与轴交点 4、对正余弦函数，已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 5、根据题目给出的对称中心或对称轴的值，来求的值，如果含参的话，这是一个参数的表达式。 根据的值与三角函数的对称中心或对称轴进行比较，来求其中的参数值。 例7．（江苏宿迁市2025-2026学年高一上学期质量监测数学试卷）函数的图象的一个对称中心为，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据正切函数的对称中心公式求解. 【详解】若的图象的一个对称中心为， 根据正切函数的性质，，得到， 显然是关于的增函数， 令，解得，又，则， 即的最大值是. 故答案为： 变式7-1．（25-26高一上·云南昆明·期末）若的一个对称中心为，则 ． 【答案】 【分析】根据对称中心求出a的表达式，代入中求解即可． 【详解】正切函数的对称中心为， 对于函数，其对称中心满足， 解得对称中心的横坐标， 所以，， 所以． 故答案为：． 变式7-2．（河北省承德市2025-2026学年高一上学期1月学情检测数学试题）已知函数的图象关于点对称，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据即可求出. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，，所以，． 又因为，所以． 故答案为： 变式7-3．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知函数的图象与曲线都关于直线对称，写出一个符合条件的m的值 . 【答案】（答案不唯一，或都可以） 【分析】首先根据三角函数的对称性，列出关于的方程组，再根据的取值范围，即可求解. 【详解】题意可得，与的图象都关于直线对称， 则，，即， 因为，所以当，时，；当，时，； 当，时，，故，，. 故答案为： 类型八、三角函数的零点 1、对于正弦函数，当 为正弦函数的对称中心，也是其零点。对于，当 为余弦函数的对称中心，也是其零点。对于, 当 为正切函数的对称中心，但是才是其零点。 2、复合函数的零点个数与求方程的根的个数的方法一致。函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点。 若通过将其中的三角函数换元把方程变成能直接解的形式，则可以直接解方程，但是要注意的是三角函数换元后，它的取值范围问题。 若方程比较复杂，则可以考虑能否通过画图，利用图像的交点个数来判断根的个数。 3、给出的已知函数在动区间上零点个数问题，可以先画出函数图像，找到关键零点的位置，讨论给定的区间内零点与参数的关系。若函数是动函数（已知，只上下左右移动），区间是定区间，则先确定区间内能容纳的零点个数，再去讨论函数位置。 4、根据三角函数或在区间内零点的个数问题求： 根据有没有零点或零点个数，判断在几个周期以内。 根据零点个数确定的范围 根据上述两点可以计算出的取值范围，的范围会跟值有关，再根据是整数，可以确定的最值 5、对给定范围内的两个相邻的零点（通常为三角函数图像与直线的交点），这两个零点会关于三角函数的某个对称轴对称。即，再根据三角恒等变换可以求的正余弦值。对给三角函数的零点（通常为三角函数图像与直线或者别的图像的交点），找到这些零点的对称点，然后根据这个对称来求和。 例8．（25-26高二上·湖南·期中）函数在上的零点个数为 ． 【答案】4 【分析】列方程得到的零点，然后确定零点个数即可. 【详解】令，得， 所以， 由，可得的取值可以是0，1，2，3，故零点个数为4． 故答案为：4. 变式8-1．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用余弦函数的图像性质列出关于的不等式，进而求得的取值范围． 【详解】当时，， 由题意函数在区间上恰好有3个零点， 则根据余弦函数的图象与性质知， 结合解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 变式8-2．（2025高一上·江苏·专题练习）函数，关于函数的零点情况说法不正确的是（    ） A．当取某些值时，无零点 B．当取某些值时，恰有1个零点 C．当取某些值时，恰有2个不同的零点 D．当取某些值时，恰有3个不同的零点 【答案】D 【详解】画出函数的图象，如图所示， 因为，令，即， 则函数的零点，即为与的交点的横坐标， A，当时，在上与无公共点，正确； B，当时，在上与只有1个公共点，正确； C，当时，在上与有2个公共点，正确； D，由图象，函数与不相邻的两个交点的横坐标间的距离为最小正周期的整数倍，即， 因为，可得，区间长度为，所以不存在t的值，使得有3个零点，不正确. 故选：D 变式8-3．（25-26高一上·四川德阳·期末）若函数在上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用诱导公式及辅助角公式化简，通过正弦型函数的图象即可求解. 【详解】函数在上有且仅有两个零点， 即的图象在上与轴有且仅有两个交点. 因为，所以， 结合正弦曲线可知，解得. 故选：D. 类型九、三角函数的综合性质 1、 根据题目给出的函数，看能不能用三角恒等变换、诱导公式进行化简，先化简到最简形式 2、如果化简后的函数是的形式（），则可以按三角函数求单调性、周期性、对称性、奇偶性的方法来判断。 如果化简后是几个三角函数相加或相乘，比较复杂的方式，可以使用代入特殊值法来判断。可可以辅组作图。 例9．（多选）（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间单调递增 C．是奇函数 D．在上的值域为 【答案】ABD 【分析】利用最小正周期公式即可判断A；求出的单调递增区间，因为是单调递增区间的子区间，可判断B；求出的解析式，根据奇函数的概念即可判断C；当，，求出函数在的值域，再求的值域即可判断D. 【详解】对于A，最小正周期，故A正确； 对于B，令，解得， 所以函数的单调递增区间为 令，所以函数在上单调递增， 又， 所以函数在上单调递增，故B正确； 对于C，， 令，， 和不恒相等，故函数不是奇函数，故C错误； 对于D，当，， 根据函数的周期性，函数在上值域即为在上的值域， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以在上的值域为， 即在上的值域为， 所以函数在上的值域为， 故D正确. 故选：ABD. 变式9-1．（多选）（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数，则该函数的（   ） A．值域为 B．增区间是（） C．图象的对称中心为（） D．图象的对称轴方程为（） 【答案】ABD 【分析】根据正弦函数性质求解值域判断A；根据正弦函数单调性判断B；根据正弦函数的对称中心求解判断C；根据正弦函数的对称中心求解判断D. 【详解】对于选项，因为，所以 ， 则的值域为，故正确； 对于选项，令， 解得为函数的增区间，故正确； 对于选项，令，解得， 所以函数的对称中心为，故错误； 对于选项，令，解得即为函数的对称轴， 故正确. 故选： 变式9-2．（多选）（广东省佛山市2025-2026学年高一普通高中供题训练数学试题）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．是偶函数 D．曲线的对称中心为 【答案】BD 【分析】利用正切函数的性质逐项验证即可求解. 【详解】由题意得：，所以的最小正周期为，故A错误； 令，解得，所以的定义域为，故B正确； 由，所以, 所以为非奇非偶函数， 所以是非奇非偶函数，故C错误； 令，解得， 所以的对称中心为，故D正确； 故选：BD. 变式9-3．（多选）（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数，则（   ） A．最小正周期为 B．是偶函数 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】应用三角恒等变换化简函数式为，再由正余弦函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由， 所以最小正周期为，A错， 由为偶函数，B对， 由，则，故，所以，C错， 由，令， 而在上单调递增且值域为，在上单调递减且值域为，且时， 要使，，若，恒有， 若，不妨令，由，则， 综上，，则，故，D对. 故选：BD 类型十、绝对值型三角函数的性质 1、对三角函数绝对值通过函数图像来研究其函数性质，把x轴下方部分沿x轴翻折到上方去。 ：偶函数、对称轴,对称中心，最小正周期 ：偶函数、对称轴,对称中心，最小正周期 ：偶函数、对称轴，最小正周期 , 通过函数图像来研究其函数性质,把y轴左边部分去掉，把右边部分复制翻折到y轴左边。 例10．（多选）（2025高一上·全国·专题练习）（多选）关于函数，下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在区间单调递减 C．在有3个零点 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】对于A，举出反例推翻即可；对于B，求出此时在即可验证；对于C，求出此时，即可验证；对于D，由周期性结合函数单调性即可验证． 【详解】对于A，， 即不是的最小正周期，故A错误； 对于B，当时，，在区间单调递减，故B正确； 对于C，当时，， 由此可知在有无数个零点，故C错误； 对于D，注意到， 即是以为周期的一个周期函数， 故我们只需考虑它在一个周期内的最大值的情况即可， 由C选项分析可知，当时，， 此时，当且仅当时，等号成立， 综上所述，的最大值为，故D正确． 故选：BD． 变式10-1．（25-26高一上·河北·期末）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①②④ B．①②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】通过取特值法验证函数的周期排除①；利用图象的翻折规律判断②；根据诱导公式和余弦型函数的周期性公式计算判断③；利用正切型函数的周期公式计算判断④. 【详解】对于①，设，因， ，显然，故不合题意； 对于②，因的最小正周期为，函数的图象可由的图象在轴下方的图象向上翻折（原先在轴上方的图象不变）得到，故其周期变为原来的一半，即，故符合题意； 对于③，因为，故函数的最小正周期为，故不合题意； 对于④，因函数的最小正周期为，故函数的最小正周期为，符合题意. 故最小正周期为的所有函数的序号为②④. 故选：C. 变式10-2．（多选）（25-26高三上·江苏镇江·期中）设函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个正周期为 C．的一个单调减区间是 D．函数在区间上有2026个零点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据正弦型函数的对称性、周期性、零点，结合诱导公式、辅助角公式、余弦型函数的单调性逐一判断即可. 【详解】因为， 所以的图象关于直线对称，因此选项A正确； 因为， 所以的一个正周期为，因此选项B正确； 当时，， 因为， 所以此时函数单调递增，因此选项C错误； 要想有最小值，只需都是零点， 因为该函数是以为周期的周期函数， 所以我们可以假设， 当时，， 令 ， 因此当时， 假设时，要想有2026个零点只需， 此时， 若时，要想有2026个零点只需， 此时， 因为， 所以的最小值为，因此选项D正确， 故选：ABD 变式10-3．（多选）（25-26高一上·湖北·月考）已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A，画函数的图象，根据图象判断结论，对于B，根据结合图象平移判断结论，对于C，结合周期的定义举反例判断即可，对于D，根据，结合余弦型函数周期公式求周期可判断. 【详解】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由于， 所以函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到， 结合选项A可得函数周期为，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：AB 类型十一、三角函数的图像变换 1、三角函数的变换与函数的变换方法一致 左右移动：变量左加右减，如左移k个单位， 上下移动：函数值y上加下减，如上移k个单位， 横坐标的伸缩：横坐标放大k倍，则变，横坐标缩小倍，则变 注意：上下移动或横坐标的伸缩都是针对变量的变换 2、根据变换后的图像求原解析式跟整个变换过程，是整个变换过程的逆过程。 用变化后得到的解析式，按照所有的变换步骤从最后一步到第一步进行。 将每步的变换步骤变成逆变换，如左移变右移，上移变下移，扩大变缩小。 用检验的方式再从原图像按照原变换步骤，看看是否能得到变换后解析式。 在变换的过程中分先平移后伸缩和先伸缩后平移两种。 例11．（25-26高一上·安徽·期末）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的变换规律即得答案. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变）， 即得函数的图象，再将函数的图象向右平移个单位长度， 即得函数的图象. 故选：C. 变式11-1．（25-26高一上·山西·期末）已知曲线，则下列结论正确的是（   ） A．把上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到 B．把上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到 C．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到 D．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到 【答案】D 【分析】应用函数的平移伸缩规则求解即可. 【详解】把曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线， 再将得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，即． 故选：D. 变式11-2．（湖南省永州市2025-2026学年上学期高一期末考试数学试题）将函数的图象经过平移得到的图象，直线为的图象在轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】根据题意可得，解得，再根据正弦函数的平移即可求解． 【详解】当时，，且， 又为的图象在轴右侧的首条对称轴， ，解得， ，， 故可以向左平移个单位得到， 也可以向右平移个单位得到． 故选：C． 变式11-3．（25-26高一上·江苏连云港·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】由确定图象的平移过程. 【详解】由，故其函数图象向右平移个单位得到的图象. 故选：D 类型十二、根据三角函数图像求其性质 1、 根据给出的三角函数图像，从图像上寻找跟周期有关的信息，根据周期求。如是否有最值得跟零点，是否有y值相等的点，从这些信息可以求出周期。 2、 对图像上给出横纵坐标的点，用这些点的信息可以求出 3、 从图像的最值计算出值 4、 根据解析式以及图像可以求函数的单调性、对称性、奇偶性、最值等。 注意：在图像求解析式的时候，关于零点的使用，在图像中零点也是有区别的。有的零点连接函数从正道负的，有的零点连接函数从负到正，在使用零点求值的时候要区分这点。 例12．（多选）（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，点A，B，C是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，，则（    ） A． B． C．函数在上单调递减 D．若将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 【答案】AC 【分析】令求得根据求得，根据求得的解析式，再逐项验证BCD选项. 【详解】令得，或，， 由图可知：，，， 所以，， 所以，所以，故A选项正确， 所以，由且处在减区间，得， 所以，， 所以，， 所以， ，故B错误. 当时，， 因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确； 将函数的图象沿轴向右平移个单位得， 为偶函数得，， 所以，，则的最小值为，故D错误. 故选：AC. 变式12-1．（多选）（25-26高一上·河南·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 D．函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】ACD 【分析】利用周期求出，利用“五点法”求出，进而求出,再利用诱导公式，可判断A；计算的值看是否取得最值，即可判断B；利用伸缩变换的规则即可判断C；利用平移变换的规则求出解析式，再用奇偶函数的定义判断D即可. 【详解】由题意得，，是“五点”中的“第三点”，故， 所以，故A正确； ，故B错误； 图象上的所有点的横坐标缩短为原来的变为，故C正确； ，，故D正确. 故选：ACD 变式12-2．（多选）（25-26高一上·云南昭通·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A． B．直线是图象的一条对称轴 C．将的图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，再向上移动3个单位长度后得到的函数图象的解析式为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】先通过函数图象确定函数的解析式，然后根据函数的性质逐一判断选项即可. 【详解】由图象可得：，，，. ，又的图象经过， ，，又，，A选项正确. ，令，. 令，，故不是的对称轴，B选项错误. 将的图象上的各点的横坐标伸长到原来的5倍，再向上移动3个单位长度后得到的函数图象解析式为，C选项正确. ，即， ，. 不等式的解集为，故D选项正确. 故选：ACD 变式12-3．（多选）（25-26高一上·云南玉溪·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．当时，函数的图象与曲线的交点个数为4个 【答案】ABD 【分析】根据函数的图象，结合函数周期、特殊点以及最值求出参数，可得函数解析式，由此结合正弦函数的对称性、单调性以及周期，一一判断各选项，即可判断ABC；在同一直角坐标系作出两函数图象，即可判断D． 【详解】选项A：由图象得，，解得， 所以的最小正周期为，故A正确； 选项B：，则，将代入中， 得，即，， 解得，，因为，所以， 所以，故， 所以是的对称轴，故B正确； 选项C：当时，， 因为在上不单调，所以在上不单调，故C错误； 选项D：在同一直角坐标系作出两函数图象，不难得出交点个数为4个， 故D正确， 故选：ABD． 1．（多选）（2025高三下·全国·专题练习）（多选）下列关于函数的单调性的叙述，不正确的是（    ） A．在上单调递增，在上单调递减 B．在上单调递增，在上单调递减 C．在及上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在及上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据正弦函数的单调性判断． 【详解】由正弦函数的性质知，在是单调递增，在上单调递减，在上单调递增，ABD均错，只有C正确． 故选：ABD． 2．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）若函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义和复合函数单调性，即可求解. 【详解】因为，所以， 故是偶函数，因为，令，所以， ，所以在上单调递减，而在上单调递减， 故在单调递增. 故选：C. 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数经过的点确定的值，然后由的范围结合正弦函数的单调性求解. 【详解】由条件，因为，则， 又在上单调递增，于是， 则，解得. 故选：A. 4．（25-26高三上·陕西·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可. 【详解】令，， 可得，． 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得，， 由，得， 当时，可得，故的最大值为2． 故答案为：2 5．（25-26高一上·吉林·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对数函数的定义域得到，结合函数单调性，求出答案. 【详解】由题意得到，即或 故函数的定义域为 . 故选：B. 6．（多选）（25-26高一上·宁夏固原·期末）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为； B．是偶函数； C．在上单调递增； D．最大值为，最小值为. 【答案】ABD 【分析】画出函数的图像，结合正弦函数的图像与性质，以及奇偶性的定义，逐项分析求解，即可得到答案. 【详解】画出函数的图像，如图所示，    对于A，由函数的图像，可得满足，即函数的最小正周期为，所以A正确； 对于B，由的定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数，所以B正确； 对于C，作出函数的图像，如图所示， 由图像可得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以C错误； 对于D，由正弦函数的性质，可得，所以， 所以函数的最大值为，最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 7．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为 （     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的图像与性质，求得，得到，再由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数的最小正周期为，可得， 解得，所以， 因为，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为. 故选：B 8．（2025高一上·河南安阳·专题练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，结合二次函数的性质求函数的值域. 【详解】令，则， 显然开口向上且对称轴为，则在上单调递减， 由，，故，即. 故选：C 9．（25-26高一上·山西大同·期末）已知向右平移个单位长度后为奇函数，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据三角函数的图象变换，求得，由为奇函数，得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】将函数向右平移个单位长度， 可得，定义域为R， 因为为奇函数，可得，即， 因为，可得， 则或或，解得或或， 又当时，，为奇函数， 故的最小值为 故答案为： 10．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，将曲线向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据三角函数图象平移规律，得到平移后的函数解析式，再结合三角函数的奇偶性判断，得到关于的表达式，最后根据的取值范围确定其最小值. 【详解】将曲线向左平移个单位长度后，所得曲线解析式为：， 因为的图象关于原点对称，所以，即， 因为，所以当时，取得最小值. 故答案为： 11．（25-26高一上·甘肃·期末）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据各函数的性质分别求出最小正周期. 【详解】①，正弦函数的最小正周期为，但取绝对值后，负半轴图像沿轴翻折到正半轴， 由于，因此的最小正周期为； ②，，因此的最小正周期为； ③，当时，；当时，，其图像关于轴对称，不是周期函数，故最小正周期不存在； ④，最小正周期，所以最小正周期为； 综上，最小正周期为的函数是①②. 故选：A. 12．（25-26高一上·河南·期末）已知函数，若曲线的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质列式计算可得，，计算可得，代入即可得解. 【详解】由正切函数的性质可知，的对称中心为，， 因为曲线的图象关于点中心对称， 所以，即，， 由得，解得， 因为，所以，所以，即的最小值为， 故选：C 13．（25-26高三上·湖南·月考）已知函数在上恰有两个不同的零点，则的值可能为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题意，将函数在上恰有两个不同的零点转化为函数与在上恰有两个不同的交点，考查函数的单调性和端点、极值，作出函数的图象，推得，进而得到，求得，结合余弦函数的单调性求得的取值范围即可. 【详解】由，可得， 因在上恰有两个不同的零点， 即函数与在上恰有两个不同的交点， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 且，， 作出两函数的图象，可得.    由图可知，， 可得，故. 故选：C． 14．（多选）（25-26高三上·重庆·月考）若函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．不是周期函数 C．的值域为 D．在定义域内有6个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、值域以及函数零点的相关知识对每个选项进行分析判断即可. 【详解】选项A：函数的定义域为， 因为，， 所以， 根据偶函数的定义可知，是偶函数，故选项A正确； 选项B： 当时，， 当，即时，， 当，即时，， 因为在时，函数值的变化规律在不同区间不同，且是偶函数， 所以不存在非零常数，使得对于任意都成立， 所以不是周期函数，故选项B正确； 选项C：当时，， 当，即时，，此时， 当，即时，，此时， 又是偶函数，其图象关于轴对称，所以的值域为，故选项C错误； 选项D：函数的定义域为，的零点个数即方程的根的个数， 因为是偶函数，也是偶函数， 所以只需考虑时方程的根的个数. 当时，， 在同一直角坐标系内画出，的简图如下： 由图象可知，当时，函数与函数有3个交点，即方程有3个实数根， 根据偶函数的对称性，当时方程也有3个实数根，综上在定义域内有6个零点，选项D正确. 故选：ABD. 15．（多选）（25-26高一上·河南·期末）（多选）设函数，则下列正确的有（    ） A．当时， B．当时，在区间上单调递增 C．若在区间上单调递增，则的最大值为 D．已知为实数，若，则 【答案】BD 【分析】利用特殊角的三角函数值判断A，利用正弦函数的图象和性质判断BC，利用两角和公式和二倍角公式整理可得即可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，， 而时，，故在区间上单调递增，故B正确； 对于C，当时， 由正弦函数的图象与性质可知，解，故C错误； 对于D，由 ， 即，故D正确； 故选：BD 16．（多选）（广东省茂名市2026届高三年级第一次综合测试数学试题）函数的部分图象如图所示，则（    ） A．为的周期 B．是图象的对称中心 C．当时，的值域是 D．的单调递增区间是 【答案】BD 【分析】根据图象中两点距离求周期，进一步得出，代入特殊点坐标求，从而确定函数的解析式，再根据周期、对称中心性质、范围对应函数值范围、单调区间求法判断各选项对错. 【详解】对于A，由图象可知，，则，所以A选项错误， 对于B，又因为，所以， 将点代入，可得，即， 又因为，所以，解得，即， 因为， 所以是图象的对称中心，所以B选项正确， 对于C，当时，， 此时，所以，所以C选项错误， 对于D，令，，解得，， 所以单调递增区间为，. 故选：BD. 17．（25-26高一上·北京·月考）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由图象中的零点和最低点求出的最小正周期,从而求出,再代入最低点结合可求出， 从而得到函数的解析式，再由三角函数图象伸缩变换的规律可得函数的解析式. 【详解】观察图象中的零点和最低点，可知，所以最小正周期，故， 将最低点代入可得，即， 由余弦函数的性质可知，又，所以取0，得， 所以,将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可知. 故选：C. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $