平面向量的坐标运算 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

平面向量的坐标运算讲义 平面向量的坐标运算讲义 知识点解析 一、核心原理 将平面向量的几何运算转化为坐标的代数运算，以平面直角坐标系为桥梁，给向量赋予唯一坐标（起点在原点时，向量坐标=终点坐标），依托坐标运算公式实现向量的和、差、数乘、数量积等运算，核心是几何问题代数化，向量运算坐标化，本质是用数的计算替代形的分析。 二、通用解题思路（三步法：建系定坐标→套公式运算→转几何结论） 1. 建系设点，确定向量坐标 · 优先以坐标轴、图形对称轴/垂直边为坐标系，让尽可能多的点落在坐标轴上，简化坐标； · 设出图形中关键点的坐标（已知点直接标，未知点用字母表示），根据向量坐标=终点坐标-起点坐标，求出所有参与运算的向量坐标； · 若向量起点在原点，直接用终点坐标表示向量坐标（核心简化技巧）。 1. 紧扣公式，执行坐标运算 按题干要求，套用平面向量坐标运算的核心公式，完成代数计算，公式全覆盖如下（设，，）： · 加减运算：； · 数乘运算：； · 数量积：（无向量积，仅数量积）； · 衍生公式： ✅ 模长：； ✅ 夹角：（为与的夹角）； ✅ 平行：； ✅ 垂直：。 1. 代数结果，转化为几何结论 将坐标运算的代数结果，还原为向量的几何特征，解答题干问题： · 若求向量：直接写出运算后的坐标即可； · 若求模长/夹角/数量积：直接取运算结果的数值； · 若证平行/垂直：验证对应坐标等式是否成立； · 若求参数/点坐标：根据运算公式列方程，解出未知字母后还原几何位置。 三、高频考向及专属速解思路 考向1：向量的坐标基本运算（和差、数乘、模长、数量积） · 速解：直接定向量坐标→套对应公式计算，注意向量起点非原点时，先算坐标差，模长计算最后开方，数量积结果为标量（无坐标）。 考向2：向量平行/垂直的判定与参数求解 · 平行问题：列交叉相乘相等等式，解参数； · 垂直问题：列数量积为0等式，解参数； · 技巧：若已知向量平行/垂直，直接用公式建方程，无需分析几何位置，高效避错。 考向3：向量的夹角问题（求夹角/夹角范围/参数） · 速解：① 算数量积、两向量模长；② 套夹角余弦公式得；③ 结合，由的范围求或参数； · 关键：夹角为锐角且与不平行；夹角为钝角且与不平行（避免漏“不平行”条件）。 考向4：结合平面几何的向量坐标运算（含动点、图形面积） · 速解：① 以几何图形的顶点为原点/坐标轴建系，设出所有点坐标；② 转化几何条件为向量坐标关系（如边长=向量模长、垂直=向量数量积为0）；③ 列方程求解参数/点坐标，或用数量积求面积（）。 考向5：向量的坐标表示与线性运算（分点、共线） · 分点问题：若分为，则坐标（定比分点公式）；中点坐标直接取两端点坐标平均值； · 共线问题：转化为向量平行，用判定，或设共线向量为，列坐标等式解参数。 四、核心技巧与注意事项 1. 坐标定准是前提：向量坐标=终点-起点，起点非原点时切勿直接用终点坐标表示向量（高频易错点）； 1. 建系最优原则：优先让图形的直角顶点、对称中心在原点，边与坐标轴重合，大幅减少计算量； 1. 公式记准无混淆：平行是“交叉积为0”，垂直是“点积为0”，切勿记反；数量积是标量，模长是非负数； 1. 夹角问题防漏条件：锐角/钝角需排除“共线”情况，仅用数量积符号会导致增解； 1. 参数问题多验证：解出参数后，代入原向量坐标验证，确保满足平行/垂直/夹角等题干条件； 1. 几何转向量的关键：将几何中的“边、角、平行、垂直”转化为向量的“模长、夹角、平行、垂直”，再转化为坐标运算。 例题分析 例1．（25-26高一下·陕西榆林·月考）已知，与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·安徽淮北·月考）已知向量，则在上的投影向量为（ ） A．3 B． C． D． 例3．（24-25高一下·安徽淮北·月考·多选）已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当，则 D．当与的夹角为锐角时，的取值范围为． 例4．（25-26高一下·海南·月考·多选）已知，设向量，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则与的夹角为钝角 B．若，则或 C．的最小值为2 D．与共线的单位向量只有一个为 例5．（25-26高一下·陕西榆林·月考）已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 例6．（25-26高一下·福建莆田·月考）已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为________． 例7．（25-26高一下·陕西榆林·月考）已知，． (1)若与共线，求的值； (2)求向量在向量上的投影向量． 例8．（25-26高一下·浙江·月考）已知向量，其中． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 变式训练 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知向量，若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·河北邯郸·月考）已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 变式3．（25-26高一下·陕西咸阳·月考·多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．与同向的单位向量为 C．在上的投影向量为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 变式4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考·多选）已知平面向量，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．若在方向上的投影向量为，则 C．当时，在方向上的投影向量为 D．若和的夹角为钝角，则的取值范围为 变式5．（25-26高一下·河北衡水·月考）已知向量，，，若，则________． 变式6．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，，则向量在向量上投影向量的坐标为__________. 变式7．（25-26高一下·江苏淮安·月考）已知，，，. (1)若，求的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 变式8．（25-26高一下·天津·月考）已知向量，满足，. (1)求； (2)若，且，求的坐标； (3)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围. 实战演练 1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）如图，已知正方形的边长为2，F为的中点，. (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 2．（25-26高一下·山东德州·月考）已知向量，，． (1)若，的夹角为钝角，求x的取值范围； (2)若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． (3)若与的夹角为，求的值. 3．（25-26高一下·广西玉林·月考）已知点，，． (1)若，，三点共线，求实数的值： (2)若四边形为矩形，求点坐标和向量与夹角的余弦值． 4．（25-26高一下·河北廊坊·月考）已知正六边形的边长为2，点在线段上． (1)设分别为线段的中点． （i）求； （ii）求向量夹角的余弦值． (2)若，求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量的坐标运算讲义 平面向量的坐标运算讲义 知识点解析 一、核心原理 将平面向量的几何运算转化为坐标的代数运算，以平面直角坐标系为桥梁，给向量赋予唯一坐标（起点在原点时，向量坐标=终点坐标），依托坐标运算公式实现向量的和、差、数乘、数量积等运算，核心是几何问题代数化，向量运算坐标化，本质是用数的计算替代形的分析。 二、通用解题思路（三步法：建系定坐标→套公式运算→转几何结论） 1. 建系设点，确定向量坐标 · 优先以坐标轴、图形对称轴/垂直边为坐标系，让尽可能多的点落在坐标轴上，简化坐标； · 设出图形中关键点的坐标（已知点直接标，未知点用字母表示），根据向量坐标=终点坐标-起点坐标，求出所有参与运算的向量坐标； · 若向量起点在原点，直接用终点坐标表示向量坐标（核心简化技巧）。 1. 紧扣公式，执行坐标运算 按题干要求，套用平面向量坐标运算的核心公式，完成代数计算，公式全覆盖如下（设，，）： · 加减运算：； · 数乘运算：； · 数量积：（无向量积，仅数量积）； · 衍生公式： ✅ 模长：； ✅ 夹角：（为与的夹角）； ✅ 平行：； ✅ 垂直：。 1. 代数结果，转化为几何结论 将坐标运算的代数结果，还原为向量的几何特征，解答题干问题： · 若求向量：直接写出运算后的坐标即可； · 若求模长/夹角/数量积：直接取运算结果的数值； · 若证平行/垂直：验证对应坐标等式是否成立； · 若求参数/点坐标：根据运算公式列方程，解出未知字母后还原几何位置。 三、高频考向及专属速解思路 考向1：向量的坐标基本运算（和差、数乘、模长、数量积） · 速解：直接定向量坐标→套对应公式计算，注意向量起点非原点时，先算坐标差，模长计算最后开方，数量积结果为标量（无坐标）。 考向2：向量平行/垂直的判定与参数求解 · 平行问题：列交叉相乘相等等式，解参数； · 垂直问题：列数量积为0等式，解参数； · 技巧：若已知向量平行/垂直，直接用公式建方程，无需分析几何位置，高效避错。 考向3：向量的夹角问题（求夹角/夹角范围/参数） · 速解：① 算数量积、两向量模长；② 套夹角余弦公式得；③ 结合，由的范围求或参数； · 关键：夹角为锐角且与不平行；夹角为钝角且与不平行（避免漏“不平行”条件）。 考向4：结合平面几何的向量坐标运算（含动点、图形面积） · 速解：① 以几何图形的顶点为原点/坐标轴建系，设出所有点坐标；② 转化几何条件为向量坐标关系（如边长=向量模长、垂直=向量数量积为0）；③ 列方程求解参数/点坐标，或用数量积求面积（）。 考向5：向量的坐标表示与线性运算（分点、共线） · 分点问题：若分为，则坐标（定比分点公式）；中点坐标直接取两端点坐标平均值； · 共线问题：转化为向量平行，用判定，或设共线向量为，列坐标等式解参数。 四、核心技巧与注意事项 1. 坐标定准是前提：向量坐标=终点-起点，起点非原点时切勿直接用终点坐标表示向量（高频易错点）； 1. 建系最优原则：优先让图形的直角顶点、对称中心在原点，边与坐标轴重合，大幅减少计算量； 1. 公式记准无混淆：平行是“交叉积为0”，垂直是“点积为0”，切勿记反；数量积是标量，模长是非负数； 1. 夹角问题防漏条件：锐角/钝角需排除“共线”情况，仅用数量积符号会导致增解； 1. 参数问题多验证：解出参数后，代入原向量坐标验证，确保满足平行/垂直/夹角等题干条件； 1. 几何转向量的关键：将几何中的“边、角、平行、垂直”转化为向量的“模长、夹角、平行、垂直”，再转化为坐标运算。 例题分析 例1．（25-26高一下·陕西榆林·月考）已知，与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，,所以，， 因为与的夹角为，所以. 例2．（24-25高一下·安徽淮北·月考）已知向量，则在上的投影向量为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量， 所以在方向上的投影向量是. 例3．（24-25高一下·安徽淮北·月考·多选）已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当，则 D．当与的夹角为锐角时，的取值范围为． 【答案】ABD 【详解】选项A，若，则，解得，A正确； 选项B，若，根据平行向量坐标关系，解得，B正确； 选项C，若，对等式两边平方：，， 得，即，无实数解， C错误； 选项D，若与夹角为锐角，需满足两个条件：，且不共线同向： 由得，共线时，不在范围内，且共线时为反向，不存在同向共线的情况； 因此的范围是，D正确. 例4．（25-26高一下·海南·月考·多选）已知，设向量，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则与的夹角为钝角 B．若，则或 C．的最小值为2 D．与共线的单位向量只有一个为 【答案】AC 【详解】对于A选项，当时，，又因为当时两向量共线，所以当时两向量不共线， 由且两向量不共线可知，与的夹角为钝角，故A选项正确； 对于B选项，，解得，所以B选项错误. 对于C选项，，当且仅当时等号成立，所以C选项正确； 对于D选项，，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，所以D选项错误. 例5．（25-26高一下·陕西榆林·月考）已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意，非零向量，，则， 又与的夹角为锐角，所以且与不共线， 即，解得且， 所以实数的取值范围是. 例6．（25-26高一下·福建莆田·月考）已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为________． 【答案】3 【详解】向量在向量方向上的投影向量为， 故向量在向量方向上的投影向量的模为. 例7．（25-26高一下·陕西榆林·月考）已知，． (1)若与共线，求的值； (2)求向量在向量上的投影向量． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 由. （2）因为，，， 所以向量在向量上的投影向量为：. 例8．（25-26高一下·浙江·月考）已知向量，其中． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ，解得． （2）由与的夹角为钝角，得且与方向不相反， 所以且，解得且. 所以实数的取值范围为． 变式训练 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知向量，若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，又，所以，解得，所以, 所以， 又因为， 所以． 变式2．（25-26高一下·河北邯郸·月考）已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即，所以. 变式3．（25-26高一下·陕西咸阳·月考·多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．与同向的单位向量为 C．在上的投影向量为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量， 同向的单位向量为，故B正确； 对于C，在上的投影向量为， 故C正确； 对于D，因， 则， 由与的夹角为锐角，可得：， 解得且，故D错误. 变式4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考·多选）已知平面向量，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．若在方向上的投影向量为，则 C．当时，在方向上的投影向量为 D．若和的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，， 所以 或，A错误； 对于B，由已知， 所以，故， 又，​， 所以，故， 解得或，B错误， 对于C，当时，， 在方向的投影向量为， 又， ， 所以在方向的投影向量为，C正确； 对于D，因为与的夹角为钝角，所以，且不反向平行， 由 ，解得， 由可得或， 当时，，反向平行，夹角不是钝角， 当时，，方向相同， 所以若和的夹角为钝角，则的取值范围为，D错误. 变式5．（25-26高一下·河北衡水·月考）已知向量，，，若，则________． 【答案】/0.25 【详解】已知，，所以. 因为，所以，解得. 变式6．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，，则向量在向量上投影向量的坐标为__________. 【答案】 【详解】由题知，， 所以向量在上的投影向量为. 变式7．（25-26高一下·江苏淮安·月考）已知，，，. (1)若，求的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，，所以， 所以． （2），       ． 即，平方得：， ∴或，                              ． 由于，所以不符合要求，故舍去； ∴． 变式8．（25-26高一下·天津·月考）已知向量，满足，. (1)求； (2)若，且，求的坐标； (3)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，， 则，， 可得，所以. （2）因为，设，，则， 若，则， 整理可得，解得，所以. （3）因为，， 若向量与向量的夹角为锐角， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 实战演练 1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）如图，已知正方形的边长为2，F为的中点，. (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 因为，则，解得. （2）由（1）知，，， 则， 当时，，即的取值范围是. 2．（25-26高一下·山东德州·月考）已知向量，，． (1)若，的夹角为钝角，求x的取值范围； (2)若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． (3)若与的夹角为，求的值. 【答案】(1)且 (2) (3)或 【详解】（1）由题知，且，不共线． ，即． 当时，，即． 综上，且． （2），，，则， 在上的投影向量为． （3） ，， ， 整理得：，解得：或. 3．（25-26高一下·广西玉林·月考）已知点，，． (1)若，，三点共线，求实数的值： (2)若四边形为矩形，求点坐标和向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2)，. 【详解】（1）由点，，，得，， 由，，三点共线，得，则，解得， 所以. （2）设点，则， 由四边形是矩形，得，则，解得， 由，得，解得，，因此，， 于是，，，， 所以向量与夹角的余弦值. 4．（25-26高一下·河北廊坊·月考）已知正六边形的边长为2，点在线段上． (1)设分别为线段的中点． （i）求； （ii）求向量夹角的余弦值． (2)若，求． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：以正六边形的中心为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设分别交轴于点，则， （i）点，可得， 所以； （ii）由，可得， 所以， 所以， 所以向量夹角的余弦值为. （2）解：设，可得， 则， 由，所以直线的方程为，即， 则， 因为，即，即， 解得或（舍去），所以，即， 所以，可得， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $