专题8.1.1 向量数量积的概念&8.1.2向量数量积的运算律（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第三册

专题8.1.1向量数量积的概念&8.1.2向量数量积的运算律 教学目标 1．理解向量夹角、数量积、投影向量的核心定义，明确数量积的实数特征，掌握其物理背景。 2．熟记数量积的性质与运算律，能运用性质判定向量垂直、求解夹角，掌握特殊夹角的判定方法。 3．掌握定义法、运算律转化法、线性运算转化法，能灵活选择方法求解平面向量数量积。 4．能结合平面图形，运用向量线性运算将未知向量转化为已知向量，解决实际的数量积计算问题。 教学重难点 重点：1．深刻理解数量积的定义，熟练掌握其核心性质和基本运算律，并能灵活应用于基础计算。 2．掌握三种求数量积的方法，明确每种方法的适用条件，能规范完成各类数量积求解。 难点：1．准确确定两个向量的夹角，掌握通过平移让向量始点重合来判断夹角的方法，避免夹角判断失误。 2．结合平面图形的特征，灵活运用线性运算将未知向量转化为已知向量，实现数量积的间接求解。 知识点01 数量积基础概念 1.向量的夹角 （1）定义：取平面内任意点，作，，则（）为与的夹角 （2）特殊情况：当时，与________；当时，与________；时（向量________） 2.向量的数量积（内积） （1）定义：非零向量、夹角为，则为数量积，结果为________ （2）特殊规定：零向量与任一向量的数量积为________（3）物理背景：力使物体产生位移，力做的功________（为与的夹角） 3.投影向量 （1）定义：将非零向量向投影，得到的与________的向量为在上的投影向量 （2）关联：数量积等于与在方向上投影向量的模的________，也等于与在方向上投影向量的模的________ 【即学即练】 1．设，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，，，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 知识点02 性质与运算律 1.性质（、为非零向量，为单位向量，为与夹角） （1）； （2）________； （3）当与同向时，________；当与反向时，________； 特别地，________或； （4）夹角公式：________； （5）模长不等关系： 2.基本运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：(λ为实数)； （3）分配律：________； 3.夹角特殊判定 （1）夹角为________且、不共线（2）夹角为________且、不共线 【即学即练】 3．已知平面向量满足与的夹角为，则（   ） A．18 B．-18 C． D． 4．已知，则，设所成的角为，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 知识点03 数量积求解方法 1.定义法 已知及夹角，直接用；关键：两向量始点重合，否则平移调整 2.运算律转化法 利用运算律推导公式转化求解，常用：； ； 3.线性运算转化法 针对平面图形中的数量积，结合向量线性运算，将未知向量转化为模长、夹角已知的向量后再计算 【即学即练】 5． 在平行四边形中，，是的中点，求的值. 6．已知，，． (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 题型01 数量积的定义及运算律 例1．已知，在上的投影数量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2．在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 变式1-1．已知两个单位向量，的夹角为，该平面内，，则_______. 变式1-2．如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．在平行四边形中，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 题型02 向量的垂直 例3．已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数=____. 例4．若单位向量，的夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（　　） A． B． C． D． 变式2-1．已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 变式2-2．已知平面向量满足 且 则 __________ 变式2-3．已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 题型03 向量的模 例5．已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 例6．若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 变式3-1．已知单位向量满足，则（   ） A． B．2 C． D．1 变式3-2．若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 变式3-3．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．5 B．7 C． D． 求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方 题型04 向量的夹角 例7．已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为______． 例8．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 变式4-1．已知向量，则向量与向量的夹角为______. 变式4-2.已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式4-3．已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 题型05 投影向量 例9．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 例10．已知向量，满足，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 变式5-1．已知向量满足，若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式5-2．已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 变式5-3．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________. 已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算. 题型06 利用数量积判断多边形形状 例11．在中，满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 例12．若在四边形中，满足，且，则四边形的形状一定是（ ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 变式6-1．若P为所在平面内一点，且，则的形状为______. 变式6-2.在平面四边形中，，则平面四边形的形状为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形 变式6-3．在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 题型07 取值范围最值问题 例13．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例14．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 变式7-1．由六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式7-2．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 变式7-3．如图，在中，已知，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），、相交于点. (1)当点为中点时，求的余弦值； (2)求的最小值；当取得最小值时设，求的值. 1.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 2.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 一、单选题 1．设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ） A．1 B．4 C．9 D．15 5．在菱形中，，则（    ） A． B． C．150° D．120° 6．已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、多选题 7．已知向量，，与不共线，向量，OC平分，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 8．已知、是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C． D．与的夹角是钝角 三、填空题 9．为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 10．如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 11．已知平面向量满足：，记向量与向量的夹角为，则的值为_____． 四、解答题 12．已知平面向量与的夹角为，且. (1)求； (2)若与垂直，求的值. 13．如图，有两条相交成的公路，，其交点为，甲、乙两辆汽车分别在，上行驶，起初甲在离点30km的处，乙在离点10km的处，后来两车均用的速度，甲沿方向，乙沿方向行驶．求 (1)起初两车的距离是多少？ (2)后两车的距离是多少？ (3)何时两车的距离最短？ 14．如图所示，在中，为边上一点.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.    (1)若，若，，求的值. (2)若，，是线段上任意一点，求最大值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1.1向量数量积的概念&8.1.2向量数量积的运算律 教学目标 1．理解向量夹角、数量积、投影向量的核心定义，明确数量积的实数特征，掌握其物理背景。 2．熟记数量积的性质与运算律，能运用性质判定向量垂直、求解夹角，掌握特殊夹角的判定方法。 3．掌握定义法、运算律转化法、线性运算转化法，能灵活选择方法求解平面向量数量积。 4．能结合平面图形，运用向量线性运算将未知向量转化为已知向量，解决实际的数量积计算问题。 教学重难点 重点：1．深刻理解数量积的定义，熟练掌握其核心性质和基本运算律，并能灵活应用于基础计算。 2．掌握三种求数量积的方法，明确每种方法的适用条件，能规范完成各类数量积求解。 难点：1．准确确定两个向量的夹角，掌握通过平移让向量始点重合来判断夹角的方法，避免夹角判断失误。 2．结合平面图形的特征，灵活运用线性运算将未知向量转化为已知向量，实现数量积的间接求解。 知识点01 数量积基础概念 1.向量的夹角 （1）定义：取平面内任意点，作，，则（）为与的夹角 （2）特殊情况：当时，与同向；当时，与反向；时（向量垂直） 2.向量的数量积（内积） （1）定义：非零向量、夹角为，则为数量积，结果为实数 （2）特殊规定：零向量与任一向量的数量积为 （3）物理背景：力使物体产生位移，力做的功（为与的夹角） 3.投影向量 （1）定义：将非零向量向投影，得到的与共线的向量为在上的投影向量 （2）关联：数量积等于与在方向上投影向量的模的乘积，也等于与在方向上投影向量的模的乘积 【即学即练】 1．设，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以由，得， 因为，所以. 故选：A. 2．已知向量满足，，，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 且，则向量的夹角为. 故选：D. 知识点02 性质与运算律 1.性质（、为非零向量，为单位向量，为与夹角） （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）夹角公式：； （5）模长不等关系： 2.基本运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：(λ为实数)； （3）分配律：； 3.夹角特殊判定 （1）夹角为锐角且、不共线（2）夹角为钝角且、不共线 【即学即练】 3．已知平面向量满足与的夹角为，则（   ） A．18 B．-18 C． D． 【答案】A 【详解】由与的夹角为，得， 所以. 知识点03 数量积求解方法 1.定义法 已知及夹角，直接用；关键：两向量始点重合，否则平移调整 2.运算律转化法 利用运算律推导公式转化求解，常用：； ； 3.线性运算转化法 针对平面图形中的数量积，结合向量线性运算，将未知向量转化为模长、夹角已知的向量后再计算 【即学即练】 4．已知，则，设所成的角为，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】因为，所以，即. 又因为，所成的角为，所以，解得. 故选：B. 5．在平行四边形中，，是的中点，求的值. 【答案】 【详解】 6．已知，，． (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以，则． （2）若与垂直，则， 从而，又因为，， 所以，解得． 题型01 数量积的定义及运算律 例1．已知，在上的投影数量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知在上的投影的数量为， 又因为，故. 故选：B. 例2．在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由已知条件可得，， 则. 变式1-1．已知两个单位向量，的夹角为，该平面内，，则_______. 【答案】 【详解】由题意得， . 变式1-2．如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，，，因为每个小菱形的边长均为1， 向量与的夹角为，所以， 则． 变式1-3．在平行四边形中，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为， 在平行四边形中，，， 所以. 题型02 向量的垂直 例3．已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数=____. 【答案】 【详解】由题可知， 因为，所以， 即，解得. 故答案为：. 例4．若单位向量，的夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，， ，所以，A正确； ，C正确； ，所以，故B错误，D正确. 变式2-1．已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 【答案】/ 【详解】因为向量，的夹角为，，， . ， ， 解得． 故答案为：. 变式2-2．已知平面向量满足 且 则 __________ 【答案】2 【详解】平面向量满足 且 ， 则 ， 所以，所以. 故答案为：2. 变式2-3．已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】 【详解】（1）因为，，且与的夹角为，则， 所以. （2）由（1）可知：，，， 若，则， 可得，即，解得. 题型03 向量的模 例5．已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 【答案】A 【详解】由题意可得：因为，同向，所以向量夹角为零.且， 所以. 故选：A. 例6．若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 【答案】C 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 ； 综上所述：或. 变式3-1．已知单位向量满足，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】由题意可知， 所以. 变式3-2．若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【详解】由，为非零向量且知，存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故，所以， 即，故， 所以同向共线，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 变式3-3．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．5 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】设分别为向上，向右方向上的单位向量，即为平面的一组基底， 由图知，，， 所以. 故选：D 求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方 题型04 向量的夹角 例7．已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为______． 【答案】/ 【详解】平面向量与均为单位向量，， ， 所以，解得， 设与的夹角为， ， ． 故答案为：． 例8．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】因 ，且的夹角为，则， 由 ，解得 又由可得，即， 解得，因， 的取值范围是． 故答案为：． 变式4-1．已知向量，则向量与向量的夹角为______. 【答案】 【详解】，，， ，， ，， ， ， ，向量与向量的夹角. 故答案为：. 变式4-2.已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，根据模长平方公式： ， ， 再由，移项得， 两边平方：， 代入展开式： ， 整理得：，因为模长非负，故， 再次对两边平方得： ， 展开化简得：，即，得， 结合 ，舍去负值，得. 故选:C 变式4-3．已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 【答案】 【详解】若和的夹角为钝角，则，且不平行， 所以， 解得：， 若向量和平行，则，得， 综上可知，取值范围为. 故答案为： （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 题型05 投影向量 例9．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，即， 也即， 解得：， 所以， 由向量在向量上的投影向量为： ， 故选：A. 例10．已知向量，满足，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【详解】设向量与的夹角为. 因为，所以. 因为在上的投影向量为，所以①. 在上的投影向量为，所以，即②. 将①代入②中，，即， 所以，因为，所以，所以. 变式5-1．已知向量满足，若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由为在上的投影向量， 则， 所以， 所以． 变式5-2．已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】由题意得在上的投影向量为， 则，则， 则. 故选：B. 变式5-3．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________. 【答案】 【详解】因为，所以，即. 所以圆心为的中点，即是圆的直径，所以，且. 因为，即，所以，所以. 又向量方向上的单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算. 题型06 利用数量积判断多边形形状 例11．在中，满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】取的中点，则，所以． 又，故，即为等腰三角形. 故选：C． 例12．若在四边形中，满足，且，则四边形的形状一定是（ ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】B 【详解】由得，，即四边形为平行四边形， 又，所以， 整理得，即， 所以四边形为矩形， 故选：B． 变式6-1．若P为所在平面内一点，且，则的形状为______. 【答案】直角三角形 【详解】由，可得， 可得，即， 等式两边平方，化简得，， 因此，是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 变式6-2.在平面四边形中，，则平面四边形的形状为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形 【答案】A 【详解】因为， 所以，， ，， 当或成立，则且或且， 此时四边形为平行四边形，符合题意； 当且，此时，， ，， 所以,,此时四边形为平行四边形，符合题意； 所以平面四边形的形状为平行四边形. 故选：A 变式6-3．在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【详解】， ， , 所以，即知为锐角． 同理可知也为锐角． 故为锐角三角形． 故选：． 题型07 取值范围最值问题 例13．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为与的夹角为，所以， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取得最小值， 所以，所以，即的取值范围为. 故选：D 例14．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 变式7-1．由六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，由正六边形的性质可得： 正六边形边长为，则，，正三角形任意底边上的高为， 以中点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示， 则，，， 设与的夹角为，， 其中表示在方向上的投影， 由图可知，当点取时，在方向上的投影长度最短， 点取时，在方向上的投影长度最长， 故点取时，，此时，为最小值； 点取时，，此时，为最大值； 故的取值范围为. 变式7-2．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 【答案】 /0.5 2 【详解】设，则 ， 所以，解得， ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. 变式7-3．如图，在中，已知，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），、相交于点. (1)当点为中点时，求的余弦值； (2)求的最小值；当取得最小值时设，求的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）设，， 、分别为、的中点， ，， ，， ， ， 又 ， ， 即的余弦值为. （2）设， 则 ， 所以当即时，取最小值，即， ， ，， ， 三点共线， ，解得， . 1.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 2.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 一、单选题 1．设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设、的夹角为，则， 因为、为非零向量，由可得，所以， 因为，所以“”“与的夹角为锐角”， 且“”“与的夹角为锐角”， 所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 2．已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，所以，即， 于是，又，. 故选：C 3．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 4．已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ） A．1 B．4 C．9 D．15 【答案】D 【详解】 . 故选：D. 5．在菱形中，，则（    ） A． B． C．150° D．120° 【答案】A 【详解】由题可得， 则， 因，知. 故选：A. 6．已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为，在上的投影向量是，所以，则， 则， 因为，所以， 则的最小值为. 故选：A 二、多选题 7．已知向量，，与不共线，向量，OC平分，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 【答案】BC 【详解】对于A，因为平分，所以四边形为菱形， 不一定垂直，所以A错误； 对于B，因为平分，所以四边形为菱形，所以， 又因为，，所以，所以B正确； 对于C，设与的交点为，如图， 向量在上的投影向量为， 向量在上的投影向量也为，所以C正确； 对于D，，，与不一定相等，所以D错误. 故选：BC. 8．已知、是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C． D．与的夹角是钝角 【答案】BC 【详解】对于A，， 故，故A错误； 对于B选项，， 故，故B正确； 对于CD选项，作，，， 则，， 因为，所以， 故点的轨迹是以为直径的圆，如下图所示： 设线段的中点为点，则，， 所以，，故C正确； 以、为邻边作平行四边形，则， 则为向量与的夹角， 当与圆相切时（此时点与点重合），此时，取得最大值， 连接，则，则为锐角，即与的夹角是锐角，故D错误. 三、填空题 9．为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以. 根据向量数量积的几何意义：    10．如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 【答案】/ 【详解】在正方形中，因为为AD中点，所以，且， 则， 则 . 11．已知平面向量满足：，记向量与向量的夹角为，则的值为_____． 【答案】 【详解】， ， ， 所以． 故答案为：. 四、解答题 12．已知平面向量与的夹角为，且. (1)求； (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，得， 则. （2）因为与垂直， 所以， 即，解得. 13．如图，有两条相交成的公路，，其交点为，甲、乙两辆汽车分别在，上行驶，起初甲在离点30km的处，乙在离点10km的处，后来两车均用的速度，甲沿方向，乙沿方向行驶．求 (1)起初两车的距离是多少？ (2)后两车的距离是多少？ (3)何时两车的距离最短？ 【答案】(1) (2) (3)第10分钟末 【分析】 【详解】（1）由两边取平方，， 则，故起初两车的距离是． （2）设甲、乙两车后的位置分别为，则，． 当时，， ， 当时，， ， 综上可得． 故后两车的距离是． （3）因为函数， 所以当，即在第10分钟末时，两车的距离最短， 且最短距离为． 14．如图所示，在中，为边上一点.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.    (1)若，若，，求的值. (2)若，，是线段上任意一点，求最大值. 【答案】(1)3 (2)2 【分析】 【详解】（1）在中，由，又， 所以， 所以 ， 因为， 又，， 所以，， 所以， 又三点共线，且在线外， 所以有：，即. （2）由于，故是的中点，故， ， 当且仅当时取等号，故最大值为2. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $