专题8.2.3 倍角公式（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第三册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题8.2.3倍角公式 内容概览 教学目标、教学重难点 二倍角公式及其应用 知识清单 辅助角公式 倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 倍角公式 倍角的正切公式 题型精讲 辅助角公式 二倍角给值求值问题 利用二倍角化简证明 强化训练 教学目标、教学重难点 1,熟记二倍角的正、余、正切公式及升幂、降幂公式，掌握公式的变形形式。 2.理解辅助角公式的推导逻辑，能熟练运用公式将形如asinx+bcosx的式子化为单 教学目标 一三角函数。 3.会用二倍角公式、辅助角公式解决给值求值、化简变形等基础问题，夯实公式应用 能力。 重点：1.二倍角公式及升、降幂公式的准确记忆与灵活正向、逆向运用。 2.辅助角公式的应用，能快速将asinx+bcosx化为Asin(x+p)形式。 教学重难点 难点：1.结合角的范围，合理选择二倍角公式的变形形式解决给值求值问题。 2. 辅助角公式中φ的确定方法，以及公式与二倍角公式的综合应用。 知识清单 知识点1二倍角公式及其应用 1/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.二倍角的正弦(S2a）:sin2a=2 sin a cos a;变形sina cosa=sin2a 2.二倍角的余弦(C2a):cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 3.二倍角的正切(T2a）:tan2a= 2tan a 1-tano 4.升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：1+c0s2a=2cos2a,1-c0s2a=2sin2a 降幂公式：cos2a= 1+cos2a 1-cos2a sin2 a 2 2 【即学即练】 1.己知cosa-sina= v ,则sin2a=() 2 A.3 B.- c.6 4 4 4 n 【答案】A 【详解】因为cosa-sina=-7 )，两边平方得cos2a-2cosa·sinc&+sin2a=7 整理得1-sin2a=子所以sn2a=-子 7 4 故选：A 2.已知tana=3则am2a=（） B. 3 4 【答案】B 1 2× 1 2 tan a 3 【详解】因为tamu-了所以an2a 1-tan a 故选：B 知识点2辅助角公式 辅助角公式推导：对于形如asinx+bcosx的式子，可变形如下： asinx+bcosx-va2+b2 a b sinx· +Cosx· Ya2+b2 a2+b2) 由于上式中 +方和后+ 亏的平方和为上，故令C0sp= sin=- Va2+b2 a2+b2 2/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 asinx+bcosx=a2+b2(sinxcoso+cosxsinp)=a2+b2 sin(x+) 其中9角所在象限由a,b的符号确定，p角的值由an0=b确定， b a 或由sinp= 和C0Sp= 共同确定. Va2+b2 Ya2+b2 【即学即练】 3.函数f(x)=2sinx+cosx的最大值是() A. B.3 C.5 D.5 【答案】C 【详解】f(x)=2sinx+cosx=V5sin(x+p),由正弦函数的值域可得其最大值为√5 故选：C 4.函数f(x)= sin2x-2c0s2x的最小正周期是() 3 1 2 A.刀 B.2π C.3π D.4n 【答案】A 【详解】fx)=5。 )sin2x-。cos2x=sinh ,故7=2=元 2x- 6 2 故选：A 题型精讲 题型01二倍角的正弦公式 2 【例1】若0<a<元，sina=2sing ,则cosa=() 3 2 A.7 1 C. 7 B. D. 9 3 【答案】A 【详解】因为0<a<π，所以0<g<工 221 由sina=2sin%cos 02。日nn。风I 23’ 所以cosa=2cos2g-1= 7 2 9 【例2】将函数f(x)的图象向左平移工个单位长度得到函数g(x=sinxcosx的图象，则fx)=() 6 3/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.in- n2x+到 1 C. D.sin2x+ 6 【答案】A 【分析】详解】将函数g=si血xc0sx=sn2x的图象向右平移名个单位长度， 6 等到函数n2引分2到的象 结合选项可知A正确， 故选：A 【变式1-1】sin15sin75°=() A.3 B.-3 4 4 c D.1 【答案】C 【分析】详解】sinl5°sin75°=sin15sin90°-15）=sinl5°cos15=sin30= 4 故选：C π 【变式l-2】已知a∈ 2π 且sin2a-cosa=0,则tana= 【答案】 、3 3 【分析】详解】由sin2a-cosa=0得cosa2sina-)=0,解得：sina)或cosa=0 因为a∈ 2π/， 则eosa0na0放na=分asa0(舍去)， 所以cosa=-V1-sin2a=- 2 sina 所以tana= 2 3 cosa V3 3· 故答案为： 【变式1-3】若sin江cos7。- cos -,则tana=() 12 12 tana A.4 B.3 C.-4 D.-3 【答案】A 4/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】详解】由题意可待一sn九cos7生中ncos元- sin Sn cos5=sin5π=} -cos- tan a 12 12 12 12 122 64' 因此，tana=4. 故选：A 题型02二倍角的余弦公式 【例3】已知tana=2,则sin2a+cos2a= 【答案1号02 【分析】详解】因为tana=2,所以sim'a+cos2a-sin'a+cosa-sin2a-1_- 11 sin-a+cos-a tan2a+122+15 【例4】已知a∈(0，π，且3cos2a-13cosa+9=0,则sina= 【答案】因 【分析】详解】由3cos2a-13cosa+9=0, 3(2cos2a-1)-13cosa +9=0,6cos2a-13cosa+6=0, 因为a∈(0，，所以sina=-eosa- 3 【变式2-1】若tana=2,则 cos2a 的值为() sin 2a cos2a B. D. 【答案】B 【详解】因为tana=2,所以，cos2a cos2a-sin2a 1-tan'a 3 sin 2a +cos'a 2sina cosa cos2a 2tana+1 5 【变式2-2】己知cos20a= ,则sima-cos+u的值为（) A.3 B.1 5 c.! D. 5 5 【答案】A aa学学y 法二：由cms2a-.则ecos2a=cosa-5ina 3 5/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 sin'a-cos'a=-(cosa+sin'a)(cosa-sina)=-(cosa-sina)= 故选：A 【变式2-3】已知角aB满足加a+例-写na-倒-}，则cosa+smB的值为() A.1 4 B c 【答案】D 【分折】详解】角aB满足如a+-写如a-创-子 cs+sinp-(+c02a)+-c0)1+(cs2a-cs2B) +号{cosQ+B)+a-B训--cosfa+B)-(a-B -1+[-2sin(@+B)sin(@-B)=1-x3=3 2 344 故选：D 题型03二倍角的正切公式 【例5】己知角a的终边经过点P(-2,1,则tan2a=() 4 B.- c D.-2 3 【答案】B 【详解】因为角a的终边经过点P(-2.,ma= 2 所以tan2a 2tana 1-tana 1 1- 2 【例6】已知 cosa +2sina=-1,tan 2a+ 4 =() 3cosa -4sina 1 A.-3 B.3 c D.-7 【答案】C 【分析】详解】因为 cosa +2sina=-1, 3cosa-4sina 所以}+21ana=-1,所以aa=2, 3-4tana 2tana 4 所以tan2a= 1-tan'a 3' 6/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 +1 所以tan2a+ π tan2a+13 1 4 1-tan2a 4 7 1+ 3 【变式3-1】已知角a的终边经过点(-3,2)，则13sin 3+20+5an2a=（) A.7 B.-7 C.17 D.-17 【答案】B 【分析】详解】因为角u的终边经过点(-3,2)，r=V-3)2+22=3, 2 所以sina= 3 2 ,c0S0= V13 vi3,tana = 3 所以cos2a=2c0s2a-1=2× 9) 131s5 13 2 2× 4 2tana 3 312 tan 20 1-tan2a 1- 4 5 5 9 9 所以13sin +5tan 2a =13cos2a+5tan 2a=13x1+5x-12 5 =5-12=-7 故选：B 【变式3-2】若a为第二象限角，且tan2a= sina ,则tana=() 2+cosa A.-√15 B.-15 C.-V5 D.-5 15 5 【答案】A 【分析】详解】由题意得，si加a≠0，s加2g-,sna,化简得 2sina cosa sina cos2a 2+cosa 2cos2a-1 2+cosa 整理得，2c0sa(2+c0sa)=2c0s2a-1,c0sa=-. 4 √15 因为a为销二象限角：所以血u=小sa-年a十店 1 4 故选：A 【变式3-3】已知a∈ 元，4tan 3'2 40 =tan2a,则，cos2a+2 =() sin'a sin2a A号 4 B. c 9 D. 【答案】C 7/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】详解】4tan 4(1-tana)=tan2a= 2tan a 1+tana 1-tan2 a 4(1-tan a) 2tand 即 1+tana (1+tana)(1-tana)' tana :2(1-tana)）= 1-tano 整理得2tan2a-5 tand+2=0, 解得ana=2或ana=2' 1 ππ 3'2 ,∴.tana>tan=√3， 3 .tan a =2, cos2a+2 3cos2a+sin2a 3+tan2a 3+4 7 sin'a sin2a sin2a+2sina cosa tan2a+2tana 4+4 8 故选：C 题型04辅助角公式 【例7】设当x=0时，函数f(x=sinx+3cosx取得最大值，则cos9= 【答案】30/30 1010 【分所】详留由sm+3cor=i0亿r-一 cos-sin() 3 其中cosp= ,S1n0= √10 10 当x=0时，函数f(x)=sinx+3cosx取得最大值， 则√10sin(0+p)=V1o,即0+p=元+2k,keZ, 则cos0=co (+2x)-cosf 0=sinp=3 π 10 故答案为： 310 10 【例8】已知函数f(x)=V3sin2x-cos2x,则下列说法不正确的是() A.-1 B.f(x+π=fx) c.fx++&=0 .侣侣小o 【答案】C 【分析】详解】由函数f=6sn2-cos2x=2sn（2x-】 8/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 可知f =1,故A正确： 由T=2=元，可得fx+列=f(x,故B正确： 2 由2x名饭→=径+经keZ,所以因的对称中心 (元+m,0keZ), 122, 而+引名小0台的对称中心是( 0 故C错误； 由2x-君受+红x-+经keZ,所以f1刘的对称辅是x-于+经ke乙， 32 32 而（行+小/侣小0台的对称轴是x=号，放D正确： 故选：C 【变式4-1】方程sinr-√5cosx=1在[0,2π上的解为 【皆案】 2 =+2m,keZ或x-=5巫+2k,keZ, x 36 36 解得x=+2k,keZ或x=7匹+2k,k∈Z, 2 6 :[0,2,x=灭或x= 7π 2 6 故答案为：26 π7π 【变式4-2】函数f(x)=sin 行-2m2)的最小正周期是() A.n B.2π c D 【答案】A 【分行】】由-5ow2xn24an2-5os2rm2x-3+到引 2 2 所以函数到的最小正网据是T:经x, 故选：A 9/22 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式4-3】下列函数在定义域内最大值为1的是() A.f(x)=sinx+cosx B.f(x)=sinxcosx C.f(x)=sinx D.f(x)=sin'x-cos2x cOSx 【答案】D 【分析】详解】对于A,f(=inr+cosx=2sin+》: 最大值为√2，故A错误； 对于B,fx)=sinxcosx=,sin2x,最大值为；，故B错误： 1 对于C,fx)=sir=tanr,无最大值，故C错误； cOSx 对于D,f(x=sin2x-cos2x=-cos2x,最大值为1，故D正确 故选：D 题型5二倍角给值求值问题 【例9】已知a为第三象限角，c0sa=手，则am号 2 【答案】-3 【分析】详解】因为a是第三象限角，所以sima<0 Sin2a 2sin2 2 2 2 1-cosa 1-5 听以tan2s =-3 sin sina 3 2 22 5 【例1o】已知cosa--,=sina,则cos2a+ =() 62 3 A.月 B.2 1 C:3 D.3 4 【答案】B 【分折】详】h趣知cma-君引=oaos名+子5cn 6 2=2 cosa+sina- 2=sina, 1 所以 -cosa- 6)21 所如号引-owa8-2awfa}1-2-1} 故选：B 10/22 专题8.2.3 倍角公式 教学目标 1．熟记二倍角的正、余、正切公式及升幂、降幂公式，掌握公式的变形形式。 2．理解辅助角公式的推导逻辑，能熟练运用公式将形如的式子化为单一三角函数。 3．会用二倍角公式、辅助角公式解决给值求值、化简变形等基础问题，夯实公式应用能力。 教学重难点 重点：1．二倍角公式及升、降幂公式的准确记忆与灵活正向、逆向运用。 2．辅助角公式的应用，能快速将化为形式。 难点：1．结合角的范围，合理选择二倍角公式的变形形式解决给值求值问题。 2．辅助角公式中的确定方法，以及公式与二倍角公式的综合应用。 知识点1 二倍角公式及其应用 1．二倍角的正弦（）：______；变形 2．二倍角的余弦（）：______=______ 3．二倍角的正切（）：______ 4．升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：______， ______ 降幂公式：______， ______ 【即学即练】 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点2 辅助角公式 辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为______，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由______确定， 或由和共同确定． 【即学即练】 3．函数的最大值是（   ） A． B．3 C． D．5 4．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 题型01 二倍角的正弦公式 【例1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，且，则__________． 【变式1-3】若，则（    ） A． B． C． D． 题型02 二倍角的余弦公式 【例3】已知，则__________. 【例4】已知，且，则_______． 【变式2-1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型03 二倍角的正切公式 【例5】已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【例6】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知角的终边经过点，则（   ） A．7 B． C．17 D． 【变式3-2】若为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 题型04 辅助角公式 【例7】设当时，函数取得最大值，则_____. 【例8】已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】方程在上的解为______． 【变式4-2】函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列函数在定义域内最大值为1的是（   ） A． B． C． D． 题型05 二倍角给值求值问题 【例9】已知为第三象限角，，则________. 【例10】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，则________ 【变式5-2】已知，则__________. 【变式5-3】已知，求的值． 先定范围：根据已知角的取值范围，结合二倍角公式确定所求角的三角函数值符号，避免漏解。 选准公式：已知，优先用，=； 已知，用，也可切化弦用正余弦二倍角公式。 凑角转化：若已知角与目标角非直接二倍关系，将目标角凑为已知角的二倍，再代公式计算；若含平方，可利用的变形公式进行降幂转化。 分步计算：先求已知角的相关三角值，再代入二倍角公式，步步验证符号，确保计算准确。 题型06 利用二倍角化简证明 【例11】若，化简的结果是______. 【例12】化简与证明： (1)化简：． (2)证明：． 【变式6-1】（1）化简：. （2）. 【变式6-2】化简： (1) (2)． 【变式6-3】证明： (1). (2). 一、单选题 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 9．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知实数满足，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．若，则___________． 12．若是方程的两根，则等于______，______. 13．已知，则______. 四、解答题 14．化简： (1)； (2)． 15．（1）已知，化简． （2）证明：． 16．（1）已知，且是第二象限角．求，的值； （2）已知函数，化简的解析式并求对称中心． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $