专题09多边形（6知识点+14题型+过关检测） 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

专题09 多边形 （6知识点+14题型+过关检测） 【题型1 多边形的概念与分类】 3 【题型2 多边形截角后的边数问题】 4 【题型3 多边形的周长】 4 【题型4 网格中多边形面积的比较】 5 【题型5 多边形对角线的条数问题】 5 【题型6 对角线分成的三角形个数问题】 6 【题型7 多边形内角和问题】 6 【题型8 多（少）算一个角问题】 7 【题型9 多边形截角后的内角和问题】 7 【题型10 复杂图形的内角和】 8 【题型11 正多边形的外角问题】 8 【题型12 多边形外角和的实际应用】 9 【题型13 多边形内角和与外角和综合】 10 【题型14 正多边形平面镶嵌】 10 · 理解多边形、正多边形的定义，掌握多边形的边、顶点、内角、外角及对角线等基本概念，能区分凸多边形与凹多边形。 · 掌握多边形对角线的计算公式，能准确计算多边形对角线的条数，理解对角线将多边形分成三角形的个数规律。 · 熟练掌握多边形内角和公式(n−2)×180∘（n≥3且n为整数），能灵活运用公式求解多边形内角和、未知内角及边数问题。 · 理解多边形外角和定理：任意多边形的外角和都为360∘，能运用外角和定理求解正多边形的边数、未知外角等问题。 · 掌握多边形截角后的边数变化规律，能求解截角后的多边形内角和；掌握复杂图形内角和的转化方法，将复杂图形拆解为多边形求解。 · 理解正多边形平面镶嵌的原理，能判断哪些正多边形可单独进行平面镶嵌，掌握简单镶嵌问题的求解思路。03 知识•梳理 知识点 1：多边形的基本概念 1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 相关概念： 边：组成多边形的各条线段（n边形有n条边）； 顶点：各条线段的公共端点（n边形有n个顶点）； 内角：多边形相邻两边组成的角（n边形有n个内角）； 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角（n边形有n个外角）； 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段（n边形从一个顶点出发可引(n−3)条对角线）。 2. 凸多边形与凹多边形： 凸多边形：画出多边形的任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧； 凹多边形：不满足凸多边形条件的多边形（七年级主要研究凸多边形）。 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形（如正三角形、正方形、正五边形等）。 知识点 2：多边形的对角线 1. 对角线条数公式：n边形的对角线总条数为（n≥3且n为整数）。 推导依据：从一个顶点出发，不能向自身及相邻两个顶点引对角线，故每个顶点引(n−3)条；n个顶点共引n(n−3)条，但每条对角线被两个顶点重复计算一次，故需除以 2。 2. 对角线分成的三角形个数：从n边形的一个顶点出发引对角线，可将n边形分成(n−2)个三角形（n≥3且n为整数）。 核心应用：推导多边形内角和公式的关键依据。 知识点 3：多边形的内角和 1. 内角和公式：n边形的内角和为(n−2)×180∘（n≥3且n为整数）。 推导方法：从n边形一个顶点引对角线，分成(n−2)个三角形，每个三角形内角和为180∘，故n边形内角和为(n−2)×180∘。 2. 常见多边形内角和： 三角形（n=3）：(3−2)×180∘=180∘； 四边形（n=4）：(4−2)×180∘=360∘； 五边形（n=5）：(5−2)×180∘=540∘； 六边形（n=6）：(6−2)×180∘=720∘。 关键提醒：内角和公式仅适用于凸多边形，凹多边形内角和同样满足该公式；求解边数时，需将内角和代入公式，解方程求出n（n必须为大于等于 3 的整数）。 知识点 4：多边形的外角和 1. 外角和定理：任意多边形的外角和都为360∘（与边数n无关）。 推导依据：多边形的每个内角与相邻外角互补，n个内角与n个外角的和为n×180∘；减去内角和(n−2)×180∘，剩余即为外角和，结果恒为360∘。 2. 正多边形的外角与边数关系： 正多边形每个外角都相等，设为α，边数为n，则α=∘​； 正多边形每个内角为180∘−α=180∘−​。 关键提醒：外角和定理是求解正多边形边数、外角的核心工具，即使未知边数，也可直接利用外角和为360∘列方程求解。 知识点 5：多边形截角与复杂图形内角和 1. 多边形截角后的边数变化： 沿多边形一个顶点的相邻两边上的点截角（不过顶点），边数增加 1； 沿多边形的一个顶点截角（过一个顶点），边数不变； 沿多边形的两个顶点截角（过两个顶点），边数减少 1。 复杂图形内角和求解：核心方法是转化法，将复杂图形拆解为多个多边形（三角形、四边形等），利用多边形内角和公式分别求解，再通过角度加减得到复杂图形的内角和；或利用外角和定理、整体思想求解。 知识点 6：正多边形平面镶嵌 1. 平面镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面镶嵌。 2. 正多边形单独镶嵌的条件：正多边形的一个内角的度数能整除360∘。 可单独镶嵌的正多边形：正三角形（内角60∘，360÷60=6）、正方形（内角90∘，360÷90=4）、正六边形（内角120∘，360÷120=3）； 不可单独镶嵌的正多边形：正五边形（内角108∘，360÷108≈3.33，非整数）、正七边形及以上（内角大于120∘，无法整除360∘）。 3. 正多边形组合镶嵌：两种或多种正多边形的内角和为360∘时，可进行组合镶嵌（如正三角形与正六边形、正方形与正八边形等）。 4. 关键提醒：镶嵌的核心是拼接点处各角之和为360∘，解题时需紧扣这一条件。 04 题型•汇总 【题型1 多边形的概念与分类】 核心：紧扣多边形定义（封闭、线段首尾顺次相接）、正多边形定义（边等角等），区分凸/凹多边形，识别边、顶点、对角线等元素。 【典例1】．下列图形中不是凸四边形的是（   ）． A． B． C． D． 跟随训练1．在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 跟随训练2．如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【题型2 多边形截角后的边数问题】 核心：根据截角位置（过顶点/不过顶点）判断边数变化，过顶点边数不变，不过顶点边数+1，过两顶点边数-1。 【典例2】．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 跟随训练1．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 跟随训练2．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【题型3 多边形的周长】 核心：多边形周长=各边长度之和，正多边形周长=边长×边数。 【典例3】．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 跟随训练1．一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是________cm． 跟随训练2．在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过__________时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 【题型4 网格中多边形面积的比较】 核心：割补法（将多边形补为矩形/正方形，减去多余小图形）、底高法（利用网格数出底和高，结合面积公式）。 【典例4】．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 跟随训练1．如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________． 跟随训练2．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 【题型5 多边形对角线的条数问题】 核心：代入对角线公式对角线条数公式。 【典例5】．九边形的对角线的条数是（       ） A．25 B．26 C．27 D．28 跟随训练1．一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 跟随训练2．从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 【题型6 对角线分成的三角形个数问题】 核心：从一个顶点引对角线，分成(n-2)个三角形；总对角线分成的三角形个数需结合图形分析。 【典例6】．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成9个三角形，则这个多边形的边数为________． 【题型7 多边形内角和问题】 核心：代入内角和公式(n-2)×180°，已知边数求内角和，或已知内角和求边数。 【典例7】．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 跟随训练1．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接，若，则等于______． 【题型8 多（少）算一个角问题】 核心：设边数为n，多算 / 少算的角为α（0∘<α<180∘），列方程(n−2)×180∘=实际内角和±α，结合α的范围求n。 【典例8】．在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 跟随训练1．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 跟随训练2．如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【题型9 多边形截角后的内角和问题】 核心：先求截角后的边数，再代入内角和公式。 【典例9】．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 跟随训练1．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 跟随训练2．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 【题型10 复杂图形的内角和】 核心：转化法，将复杂图形拆解为三角形、四边形等简单多边形，分别求内角和再加减；或利用整体思想，结合外角和定理。 【典例10】．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，的度数为___________． 跟随训练2．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【题型11 正多边形的外角问题】 核心：正多边形外角和为360∘，每个外角 =360∘÷边数；内角 = 180°- 外角。 【典例11】．正十边形的每一个外角为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．一个正多边形的每个内角等于，则它的边数是______． 【题型12 多边形外角和的实际应用】 核心：任意多边形外角和为360∘，正多边形每个外角相等，结合实际场景（如旋转、行走路线）列方程。 【典例12】．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 跟随训练1．如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 【题型13 多边形内角和与外角和综合】 核心：结合内角和公式与外角和定理，边数可通过内角和、外角和双向验证求解。 【典例13】．正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 跟随训练1．如果一个n边形的内角和比外角和多，那么n的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 跟随训练2．一个多边形的内角和是外角和的5倍多，则这个多边形的边数为________ 【题型14 正多边形平面镶嵌】 核心：拼接点处各角之和为360∘，单独镶嵌需内角能整除360∘，组合镶嵌需各内角度数和为360∘。 【典例14】．用若干个全等的正五边形按下图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 跟随训练1．小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 跟随训练2．如图，用正三角形地砖与正方形地砖在点处进行无空隙、不重叠地铺设．若一块边长相同的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数为___________． 05 过关•检测 1．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 2．已知一个四边形，它的外角和的度数是（   ） A． B． C． D． 3．一个正二十四边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 4．一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 5．若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 6．如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 7．如图，，，，已知，则的度数为______． 8．一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正___________边形． 9．一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 10．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 11．如图，是五边形的4个外角，若，则__________． 12．把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为，则原多边形的边数？ 13．阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 14．按要求完成下列各题： (1)完成表格中未填部分． 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 ____ 三角形个数 1 2 3 4 ____ 内角和 _____ ____ (2)根据表中规律，n边形的内角和是______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 15．【阅读材料】我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图①，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连结对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和，即为． 【解决问题】 (1)如图②，四边形是凹四边形，请探究与、、之间的数量关系．小明得出的结论是，请你帮小明写出证明过程． (2)图③和图④所示的图形都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，连续不断且不重复经过图形上所有部分画成的，请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： 图③中，的度数为______； 图④中，的度数为______． 16．探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 如图甲，、为的两个外角，则与的数量关系 ． 探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 如图乙，在中，、分别平分和，则与的数量关系 ． 探究三：若将改为任意四边形呢？ 已知：如图丙，在四边形中，、分别平分和，则与的数量关系 ． 探究四：若将上题中的四边形改为六边形呢？如图丁则与的数量关系 ． 探究五：如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，； （1）如图①，，则 ；（用α，β表示） （2）如图②，，请在图中画出，且 ；（用α，β表示） （3）一定存在吗？如有，直接写出的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 多边形 （6知识点+14题型+过关检测） 【题型1 多边形的概念与分类】 3 【题型2 多边形截角后的边数问题】 4 【题型3 多边形的周长】 5 【题型4 网格中多边形面积的比较】 7 【题型5 多边形对角线的条数问题】 9 【题型6 对角线分成的三角形个数问题】 10 【题型7 多边形内角和问题】 11 【题型8 多（少）算一个角问题】 13 【题型9 多边形截角后的内角和问题】 14 【题型10 复杂图形的内角和】 16 【题型11 正多边形的外角问题】 18 【题型12 多边形外角和的实际应用】 19 【题型13 多边形内角和与外角和综合】 21 【题型14 正多边形平面镶嵌】 22 · 理解多边形、正多边形的定义，掌握多边形的边、顶点、内角、外角及对角线等基本概念，能区分凸多边形与凹多边形。 · 掌握多边形对角线的计算公式，能准确计算多边形对角线的条数，理解对角线将多边形分成三角形的个数规律。 · 熟练掌握多边形内角和公式(n−2)×180∘（n≥3且n为整数），能灵活运用公式求解多边形内角和、未知内角及边数问题。 · 理解多边形外角和定理：任意多边形的外角和都为360∘，能运用外角和定理求解正多边形的边数、未知外角等问题。 · 掌握多边形截角后的边数变化规律，能求解截角后的多边形内角和；掌握复杂图形内角和的转化方法，将复杂图形拆解为多边形求解。 · 理解正多边形平面镶嵌的原理，能判断哪些正多边形可单独进行平面镶嵌，掌握简单镶嵌问题的求解思路。03 知识•梳理 知识点 1：多边形的基本概念 1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 相关概念： 边：组成多边形的各条线段（n边形有n条边）； 顶点：各条线段的公共端点（n边形有n个顶点）； 内角：多边形相邻两边组成的角（n边形有n个内角）； 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角（n边形有n个外角）； 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段（n边形从一个顶点出发可引(n−3)条对角线）。 2. 凸多边形与凹多边形： 凸多边形：画出多边形的任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧； 凹多边形：不满足凸多边形条件的多边形（七年级主要研究凸多边形）。 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形（如正三角形、正方形、正五边形等）。 知识点 2：多边形的对角线 1. 对角线条数公式：n边形的对角线总条数为（n≥3且n为整数）。 推导依据：从一个顶点出发，不能向自身及相邻两个顶点引对角线，故每个顶点引(n−3)条；n个顶点共引n(n−3)条，但每条对角线被两个顶点重复计算一次，故需除以 2。 2. 对角线分成的三角形个数：从n边形的一个顶点出发引对角线，可将n边形分成(n−2)个三角形（n≥3且n为整数）。 核心应用：推导多边形内角和公式的关键依据。 知识点 3：多边形的内角和 1. 内角和公式：n边形的内角和为(n−2)×180∘（n≥3且n为整数）。 推导方法：从n边形一个顶点引对角线，分成(n−2)个三角形，每个三角形内角和为180∘，故n边形内角和为(n−2)×180∘。 2. 常见多边形内角和： 三角形（n=3）：(3−2)×180∘=180∘； 四边形（n=4）：(4−2)×180∘=360∘； 五边形（n=5）：(5−2)×180∘=540∘； 六边形（n=6）：(6−2)×180∘=720∘。 关键提醒：内角和公式仅适用于凸多边形，凹多边形内角和同样满足该公式；求解边数时，需将内角和代入公式，解方程求出n（n必须为大于等于 3 的整数）。 知识点 4：多边形的外角和 1. 外角和定理：任意多边形的外角和都为360∘（与边数n无关）。 推导依据：多边形的每个内角与相邻外角互补，n个内角与n个外角的和为n×180∘；减去内角和(n−2)×180∘，剩余即为外角和，结果恒为360∘。 2. 正多边形的外角与边数关系： 正多边形每个外角都相等，设为α，边数为n，则α=∘​； 正多边形每个内角为180∘−α=180∘−​。 关键提醒：外角和定理是求解正多边形边数、外角的核心工具，即使未知边数，也可直接利用外角和为360∘列方程求解。 知识点 5：多边形截角与复杂图形内角和 1. 多边形截角后的边数变化： 沿多边形一个顶点的相邻两边上的点截角（不过顶点），边数增加 1； 沿多边形的一个顶点截角（过一个顶点），边数不变； 沿多边形的两个顶点截角（过两个顶点），边数减少 1。 复杂图形内角和求解：核心方法是转化法，将复杂图形拆解为多个多边形（三角形、四边形等），利用多边形内角和公式分别求解，再通过角度加减得到复杂图形的内角和；或利用外角和定理、整体思想求解。 知识点 6：正多边形平面镶嵌 1. 平面镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面镶嵌。 2. 正多边形单独镶嵌的条件：正多边形的一个内角的度数能整除360∘。 可单独镶嵌的正多边形：正三角形（内角60∘，360÷60=6）、正方形（内角90∘，360÷90=4）、正六边形（内角120∘，360÷120=3）； 不可单独镶嵌的正多边形：正五边形（内角108∘，360÷108≈3.33，非整数）、正七边形及以上（内角大于120∘，无法整除360∘）。 3. 正多边形组合镶嵌：两种或多种正多边形的内角和为360∘时，可进行组合镶嵌（如正三角形与正六边形、正方形与正八边形等）。 4. 关键提醒：镶嵌的核心是拼接点处各角之和为360∘，解题时需紧扣这一条件。 04 题型•汇总 【题型1 多边形的概念与分类】 核心：紧扣多边形定义（封闭、线段首尾顺次相接）、正多边形定义（边等角等），区分凸/凹多边形，识别边、顶点、对角线等元素。 【典例1】．下列图形中不是凸四边形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了凸四边形的定义，正确理解该概念是解题的关键． 根据凸四边形的定义，所有内角小于，且所有顶点位于任意一边的同一侧叫做凸四边形，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个矩形，满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； B、是一个平行四边形，满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； C、满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； D、有一个内角大于，且有一个顶点位于其他顶点的对侧，不满足凸四边形的定义，不是凸四边形，符合题意； 故选：D． 跟随训练1．在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 【详解】三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 跟随训练2．如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【答案】 ，，，， 点 ，，，， 【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． 【题型2 多边形截角后的边数问题】 核心：根据截角位置（过顶点/不过顶点）判断边数变化，过顶点边数不变，不过顶点边数+1，过两顶点边数-1。 【典例2】．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 跟随训练1．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 跟随训练2．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 【题型3 多边形的周长】 核心：多边形周长=各边长度之和，正多边形周长=边长×边数。 【典例3】．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 跟随训练1．一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是________cm． 【答案】 【分析】本题需要根据正多边形的周长公式来求解正八边形的边长． 【详解】正八边形有条边，且每条边长度相等． 设正八边形的边长为，根据正多边形周长公式，可得 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的周长，掌握正边形的周长等于边长乘以，利用这一公式建立方程求解正八边形的边长是解题的关键． 跟随训练2．在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过__________时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 【答案】分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的购进． 根据题意求出正五边形 的主题公园步道的边长米，设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米，列方程得，解方程再进一步即可得到答案． 【详解】解：正五边形 的主题公园步道的边长为米， 设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米， 根据题意得：， 解得：， 从出发开始计时，经过分钟，小李行进， 小张行进， ， ， 如图所示，小李位于点M处，小张位于点N处， 此时，点、分别是边、的中点， 小李从到用时 ， 小张从N到E用时， ， 小李先到达点D，此时两人首次处于同一段步道上， 小李和小张首次处于同一段步道上，用时， 故答案为：分钟． 【题型4 网格中多边形面积的比较】 核心：割补法（将多边形补为矩形/正方形，减去多余小图形）、底高法（利用网格数出底和高，结合面积公式）。 【典例4】．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 跟随训练1．如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________． 【答案】5 【分析】本题考查了方格中图形面积的计算，掌握用总面积减去空白部分面积求目标图形面积是解题的关键． 先算出整个方格纸的面积，再直接计算正方形周围空白部分的面积，用总面积减去空白面积，就能得到正方形的面积． 【详解】解：方格纸总面积是 ： 观察图形，正方形周围有个直角三角形，每个三角形的两条直角边分别是和， 单个三角形面积，个三角形的总面积是： 正方形面积方格纸总面积空白面积是：． 故答案为：． 跟随训练2．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 【题型5 多边形对角线的条数问题】 核心：代入对角线公式对角线条数公式。 【典例5】．九边形的对角线的条数是（       ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【分析】根据多边形对角线条数公式计算即可． 【详解】解： 因此九边形对角线的条数为27． 跟随训练1．一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 跟随训练2．从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 【答案】1080 【分析】根据n边形从一个顶点出发的对角线条数为，结合已知条件求出多边形的边数，再利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得 ． 解得． 根据多边形内角和公式，得： ． 【题型6 对角线分成的三角形个数问题】 核心：从一个顶点引对角线，分成(n-2)个三角形；总对角线分成的三角形个数需结合图形分析。 【典例6】．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形的对角线分三角形的规律，从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将边形分成个三角形，据此列方程求解即可． 【详解】解∵从边形的一个顶点出发作对角线，最多将该边形分成个三角形， ∴根据题意可得 ， 解得． 跟随训练1．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 跟随训练2．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成9个三角形，则这个多边形的边数为________． 【答案】11 【分析】根据多边形对角线的性质，从一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形，n为多边形边数． 【详解】解：∵过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成9个三角形， ∴这个多边形的边数为． 【题型7 多边形内角和问题】 核心：代入内角和公式(n-2)×180°，已知边数求内角和，或已知内角和求边数。 【典例7】．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】利用公式列方程即可求解． 【详解】解：设多边形边数为， 根据题意列方程得， 解得， ∴这个多边形的边数是． 跟随训练1．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】多边形内角和且为整数）．先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：在五边形中，内角和为， ∵， ， ∵、分别平分、， ， 在中，． 跟随训练2．如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接，若，则等于______． 【答案】 【分析】根据得出，根据四边形内角和即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴． 【题型8 多（少）算一个角问题】 核心：设边数为n，多算 / 少算的角为α（0∘<α<180∘），列方程(n−2)×180∘=实际内角和±α，结合α的范围求n。 【典例8】．在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，即，根据题意先得出这个多加的内角为，然后再根据多边形内角和定理可得出：，求出n即可得出答案． 【详解】解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 跟随训练1．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 跟随训练2．如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【答案】/105度 【分析】本题考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和公式，确定内角和的范围，再通过计算找到符合条件的边数及少加的内角度数． 【详解】解：∵， 又∵少加了一个内角， ∴多边形的边数是：， ∴他们在求九边形的内角和， ∴，少加的内角为， 故答案为：． 【题型9 多边形截角后的内角和问题】 核心：先求截角后的边数，再代入内角和公式。 【典例9】．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 【答案】D 【分析】根据多边形截角的不同情况（截线不过顶点、过一个顶点、过两个顶点），分析原多边形边数的可能情况．本题主要考查了多边形截角后边数的变化情况，熟练掌握多边形截角的三种不同情况是解题的关键． 【详解】解：一个多边形截去一个角，有三种情况： 截线不过任何顶点，此时边数增加，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过一个顶点，此时边数不变，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过两个顶点，此时边数减少，若截后是十四边形，则原多边形边数为． ∴ 原来的多边形的边数可能为或或． 故选：D． 跟随训练1．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 跟随训练2．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式（为边数且且为整数）是解题的关键．先根据新多边形内角和求出新多边形边数，再结合剪角后多边形边数的变化规律，得出原多边形边数． 【详解】解：设新多边形的边数为，根据多边形内角和公式， 解得． 因为按图示剪法剪去一个内角后，多边形边数增加了， 所以原多边形边数为． 故答案为：． 【题型10 复杂图形的内角和】 核心：转化法，将复杂图形拆解为三角形、四边形等简单多边形，分别求内角和再加减；或利用整体思想，结合外角和定理。 【典例10】．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 跟随训练1．如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 跟随训练2．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【题型11 正多边形的外角问题】 核心：正多边形外角和为360∘，每个外角 =360∘÷边数；内角 = 180°- 外角。 【典例11】．正十边形的每一个外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形外角和定理与正多边形的性质，任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等，直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正十边形的个外角大小相等， ∴正十边形的每一个外角的度数为． 跟随训练1．如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：在五边形中，， ∴． 跟随训练2．一个正多边形的每个内角等于，则它的边数是______． 【答案】5/五 【分析】本题考查正多边形的内角，掌握好正多边形内角和外角的计算公式是解题关键． 由内角为，推出其外角为，由多边形外角和为，计算出边数． 【详解】解：∵正多边形的每个内角等于， ∴该正多边形的一个外角为， ∵多边形外角和为， ∴该正多边形的边数为． 故答案为：5． 【题型12 多边形外角和的实际应用】 核心：任意多边形外角和为360∘，正多边形每个外角相等，结合实际场景（如旋转、行走路线）列方程。 【典例12】．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，他需要转次才会回到原点， 所以一共走了（米）． 跟随训练1．如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用多边形的外角和等于，可知机器人回到点时，恰好沿着边形的边走了一圈，即可求得路程． 【详解】解：米． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数直接让除以一个外角即可． 跟随训练2．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 【答案】/240度 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴． 【题型13 多边形内角和与外角和综合】 核心：结合内角和公式与外角和定理，边数可通过内角和、外角和双向验证求解。 【典例13】．正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和定理求出正六边形的内角为，进而得正n边形的外角为，再根据外角和定理即可求解． 【详解】解：由多边形的内角和定理可知，正六边形的内角为， ∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍， ∴正n边形的外角为， ∴正n边形的边数为：． 跟随训练1．如果一个n边形的内角和比外角和多，那么n的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据边形的内角和为得到，然后解方程即可求解． 【详解】解：n边形的内角和为， ∴， 解得，． 跟随训练2．一个多边形的内角和是外角和的5倍多，则这个多边形的边数为________ 【答案】13 【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和定理及多边形的外角和为，结合题中等量关系列出一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 解得． 【题型14 正多边形平面镶嵌】 核心：拼接点处各角之和为360∘，单独镶嵌需内角能整除360∘，组合镶嵌需各内角度数和为360∘。 【典例14】．用若干个全等的正五边形按下图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 【答案】B 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为， ∴被围成图形的顶点处向外的角的度数为， ∴被围成图形的顶点处的内角的角度为， 设拼接一圈后，中间形成的多边形的边数为， ∴， 解得，， 经检验，当时，原分式方程有意义， ∴拼接一圈后，中间形成的多边形的边数为，即正六边形 ． 跟随训练1．小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题的解题思路是先求出正五边形的内角度数，再结合平面镶嵌（密铺）的条件，通过周角为计算出正边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式求出的值． 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∵正五边形的每个内角相等， ∴正五边形的每个内角度数为：． ∵拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴正边形的一个内角度数为：． 设正边形的边数为，根据多边形内角和公式可得：， 解得． 跟随训练2．如图，用正三角形地砖与正方形地砖在点处进行无空隙、不重叠地铺设．若一块边长相同的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数为___________． 【答案】6 【分析】正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为． 05 过关•检测 1．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形”确定的值，再代入内角和公式：（，为正整数）进行计算即可． 【详解】解：∵过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，设该多边形的边数为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和是：． 2．已知一个四边形，它的外角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】牢记“任意多边形的外角和恒为”，直接利用该定理即可确定四边形的外角和度数． 【详解】解：任意多边形的外角和恒为，四边形是多边形， 四边形的外角和度数为， 故选：． 3．一个正二十四边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为，与多边形的边数无关， ∴正二十四边形的外角和为． 4．一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形，分三种情况：剪线经过四边形相邻的两个顶点；剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点）；剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边． 【详解】解：分三种情况讨论： （Ⅰ）若剪线经过四边形相邻的两个顶点，剪去一个角后，剩余图形为三角形，有3个角； （Ⅱ）若剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点），剪去一个角后，剩余图形为四边形，有4个角； （Ⅲ）若剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边，剪去一个角后，剩余图形为五边形，有5个角． 综上所述，剩余角的个数为3或者4或者5． 故选：D 5．若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 设这个多边形边数为n，利用n边形内角和公式，列方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得 ，解得， 则这个多边形是八边形． 故选：C． 6．如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律的代数式． 找出图形规律的代数式，然后求解即可． 【详解】解：过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形； 过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形； 过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形， …… 过边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形， ∴， 解得， 故选：A． 7．如图，，，，已知，则的度数为______． 【答案】/65度 【分析】根据平角定义可求出的度数，如图所示，过点作，可求出，由此可求，根据， ，可求出的度数，如图所示，过点作，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，过点作，    ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 如图所示，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴． 8．一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正___________边形． 【答案】 八 【分析】利用外角和除以单个外角的度数，即可得到正多边形的边数． 【详解】解：由题意得，该正多边形的边数， 因此这个正多边形是正八边形． 9．一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 【答案】 【分析】本题中由于机器人最后必须回到起点，可知此机器人一共转了，得出机器人的行走路线是沿着一个正八边形的边长行走一周． 【详解】解：依据题中的图形，可知机器人一共转了， ∵， ∴机器人一共行走． ∴该机器人从开始到停止所需时间为． 10．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【答案】27 【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 11．如图，是五边形的4个外角，若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角和，先求出相邻的外角为，由多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：， 与相邻的外角为， ， 故答案为． 12．把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为，则原多边形的边数？ 【答案】或18 【分析】根据多边形的内角和公式可得，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为18， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为19， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为20， 所以原多边形的边数可以为或18． 13．阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 【答案】(1)多加的外角度数为，多边形的边数为 (2)；或或 【分析】（1）设多加的外角度数为，多边形的边数为，由多边形内角和公式可得，则，再由建立不等式组求解即可； （2）由于多边形的外角和始终为，则剪完后所形成的新多边形的外角和不变；然后分三种情况求解剪完后所形成的新多边形的内角和． 【详解】（1）解：设多加的外角度数为，多边形的边数为， 由题意得，， ∴ ∵ ∴， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴ ∴多加的外角度数为，多边形的边数为； （2）解：剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为八边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为七边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为六边形，则内角和为； 综上：剪完后所形成的新多边形的内角和为或或． 14．按要求完成下列各题： (1)完成表格中未填部分． 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 ____ 三角形个数 1 2 3 4 ____ 内角和 _____ ____ (2)根据表中规律，n边形的内角和是______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)没有内角和为的多边形，理由见解析 【分析】（1）根据题意补全表格即可； （2）根据表中规律求解即可； （3）根据题意得到，然后求解判断即可． 【详解】（1）解：如图， 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 4 三角形个数 1 2 3 4 5 内角和 （2）解：根据表中规律，n边形的内角和是； （3）解：没有内角和为的多边形，理由如下： 根据题意得， 解得，不是正整数， ∴没有内角和为的多边形． 15．【阅读材料】我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图①，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连结对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和，即为． 【解决问题】 (1)如图②，四边形是凹四边形，请探究与、、之间的数量关系．小明得出的结论是，请你帮小明写出证明过程． (2)图③和图④所示的图形都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，连续不断且不重复经过图形上所有部分画成的，请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： 图③中，的度数为______； 图④中，的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是关键． （1）连结，根据三角形内角和定理可得，，两式相加得，再根据，即可求得答案； （2）图③中，连结，设与相交于点M，先证明，再根据三角形内角和定理，即可推得结论；图④中，连结，设与相交于点M，同理可得，再根据，即可求得答案． 【详解】（1）证明：连结， ，， ， ， ， ， ； （2）解：图③中，连结，设与相交于点M， ，且， ， 又， ， ． 故答案为：． 图④中，连结，设与相交于点M， 根据图③的相关推理，同理可得， 根据阅读材料部分“四边形的内角和转化为和的内角和，即为”，可知，在图④中，， ， ． 故答案为：． 16．探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 如图甲，、为的两个外角，则与的数量关系 ． 探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 如图乙，在中，、分别平分和，则与的数量关系 ． 探究三：若将改为任意四边形呢？ 已知：如图丙，在四边形中，、分别平分和，则与的数量关系 ． 探究四：若将上题中的四边形改为六边形呢？如图丁则与的数量关系 ． 探究五：如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，； （1）如图①，，则 ；（用α，β表示） （2）如图②，，请在图中画出，且 ；（用α，β表示） （3）一定存在吗？如有，直接写出的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在． 【答案】探究一：；探究二：；探究三：；探究四：；探究五：（1）；（2）；（3）当时，，即不存在． 【分析】探究一：根据三角形内角和定理及外角的定义求解； 探究二：根据三角形内角和定理及角平分线的定义求解； 探究三：延长与交于E点，根据三角形内角和定理及（2）的结论求解； 探究四：根据三角形内角和定理，角平分线的定义及多边形内角和公式求解； 探究五：根据三角形内角和定理，多边形内角和公式，角平分线的定义，三角形外角的定义和性质求解． 【详解】探究一：解：为的两个外角， ，， ， ， 故答案为：； 探究二：解：分别平分和， ，， ， ， ， 故答案为：； 探究三：解：如图，延长与交于E点， 根据探究二的结论可得， ， ， ， 故答案为：； 探究四：解：六边形的内角和为：， 分别平分和， ，， ， 即， 故答案为：； 探究五：解：（1）由四边形内角和定理得， ， 由三角形外角的性质得， 分别平分和， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图所示， 同①可得 ， 由三角形外角的性质得， 分别平分和， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）由①②结论可得，当时，，即不存在． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角的定义和性质，角平分线的定义，多边形内角和公式，解题的关键是综合运用上述知识点，熟练进行等量代换． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $