专题09轴对称寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

专题09轴对称寒假预习讲义 · 一眼认出轴对称图形，找准对称轴超轻松； · 会找两个图形成轴对称的对应点、对应边； · 能动手画出简单图形的对称轴和轴对称图形； · 发现轴对称的小性质，解锁图形折叠小技巧～ 预习必备 知识点梳理 1.轴对称图形 2.两个图形成轴对称 3.轴对称的核心性质 4.两类轴对称的联系与区别 5.常见轴对称图形及对称轴数量 6.找对称轴的实用方法 常考题型 精讲精炼 1.识别轴对称图形 2.识别成轴对称的图形 3.用特征判断轴对称图形 4.用特征解成轴对称问题 5.台球桌面的轴对称问题 6.轴对称与光线反射 7.轴对称折叠问题 8.求对称轴的数量 9.作线段的垂直平分线 10.尺规作角平分线 11.作轴对称图形的对称轴 12.画轴对称图形 13.设计轴对称图形 强化巩固 (解答题6题) 知识点01:轴对称图形（单一图形） 1.定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就是轴对称图形。 2.关键： ① 一个图形自身的特征； ② 折叠后重合； ③ 对称轴是直线（非线段 / 射线），图形可有多条对称轴。 知识点02:两个图形成轴对称（两个图形） 1.定义：把一个图形沿某条直线折叠，若能与另一个图形完全重合，则这两个图形成轴对称。 2.关键： ① 两个图形的位置关系； ② 折叠后重合的点叫对应点（对称点）； ③ 唯一对称轴（折叠的直线）。 知识点03:轴对称的核心性质（必考） 折叠后满足三大结论： 1 对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 2 对应线段相等； 3 对应角相等。 知识点04:两类轴对称的联系与区别 区分点 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 对称轴数量 一条或多条 只有一条 联系 可互相转化：把成轴对称的两个图形看作一个整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分成轴对称。 知识点05:常见轴对称图形及对称轴数量（七年级常考） 线段：2 条（线段的垂直平分线、线段自身所在直线） 角：1 条（角平分线所在的直线） 等腰三角形：1 条（底边上的高 / 中线 / 顶角平分线所在直线） 长方形：2 条（对边中点连线所在直线） 正方形：4 条（对边中点连线 + 对角线所在直线） 等腰梯形：1 条（两底中点连线所在直线） 圆：无数条（过圆心的任意直线） 知识点06:找对称轴的实用方法 1 折叠法（直观）：将图形沿某直线折叠，两旁部分完全重合，该直线即为对称轴； 2 找特殊点法（精准）：找到图形的两组对应点，连接对应点作线段，作线段的垂直平分线，即为对称轴。 【题型1.识别轴对称图形】 【典例】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握根据轴对称图形的定义，寻找汉字的对称轴并判断重合性是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，判断每个汉字是否存在一条对称轴，使汉字沿对称轴折叠后两边完全重合． 【详解】解：A、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、存在竖直或水平的对称轴，沿对称轴折叠后两边完全重合，是轴对称图形，符合题意； C、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】如图所示的轴对称图形有 条对称轴． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称的定义，画出图中的对称轴，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 该轴对称图形有4条对称轴． 故答案为：4． 【跟踪专练2】46．图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．    【答案】2 【分析】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示，   .   即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 【题型2.识别成轴对称的图形】 【典例】如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】根据轴对称的性质解决问题即可； 【详解】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称， ∴S△CEF=S△BEF， ∴阴影部分的面积=S△ABC=×10=5， 故答案为：5； 【点睛】本题考查轴对称的性质，轴对称的两个图形是全等图形；掌握轴对称的性质是解题关键． /【跟踪专练1】下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称直接判断即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， A选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， B选项图形中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到， C选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， D选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， 故选：B； 【点睛】本题考查轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称． 【跟踪专练2】如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 【题型3.用特征判断轴对称图形】 【典例】如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，有以下的几种说法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正确的说法是 ．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴AM＝BM，∠MAP＝∠MBP，∠ANM＝∠BNM，AP＝BP，△AMP≌△BMP， ∴①②③⑤正确，而④错误． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键．根据轴对称图形的特征判断即可，成轴对称的两个图形全等，对应角相等，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，对称轴是对称点连线的垂直平分线； 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，，无法判断与的位置关系， ∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 【题型4.用特征解成轴对称问题】 【典例】如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查成轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据成轴对称的两条图形的对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称与最短路径问题，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接，此时点P的位置即为所求，据此可得答案． 【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接， 由轴对称的性质可得， 则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型5.台球桌面的轴对称应用】 【典例】如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 【跟踪专练1】.如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 【跟踪专练2】四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】作A关于BC和CD的对称点A′、A′′，连接A′A′′，交BC于M，交CD于N，则A′A′′即ΔAMN为的周长最小值，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）即可解决． 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，则即为的周长最小值， ， ， ∴∠A′+∠A″=70°， ∵BA=BA′，MB⊥AB， ∴MA=MA′，同理：NA=NA″， ∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD， ∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=140°. 故答案为140° 【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 【题型6.轴对称与光线反射】 【典例】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    【答案】号袋 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 【跟踪专练1】如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 【题型7.轴对称折叠问题】 【典例】如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是 ． 【答案】（4） 【分析】本题考查了折叠．熟练掌握折叠性质，是解题的关键． 根据两个穿孔关于折痕对称辨别，即解决问题． 【详解】解：折痕为对称轴，两个穿孔关于折痕对称，只有（4）符合． 故答案为：（4）． 【跟踪专练1】将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质与平角的定义，掌握折叠前后对应角相等，结合平角的定义列方程求解角度是解题的关键． 利用折叠的性质，结合平角的定义，设未知数列出方程求解的度数即可． 【详解】解：由折叠可知，与相等． 设，则与与角组成一个平角， 因此：． 解得：． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查三角形中的翻折变换，根据将、分别沿、向外翻折至、，可得是等腰直角三角形，要使面积最小，即是使的长度最小，也就是长度最小，此时为的边上的高，根据，且，可得最小为6，即可得面积的最小值为． 【详解】解：∵将、分别沿、向外翻折至、， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 要使面积最小，即是使的长度最小，也就是长度最小，此时为的边上的高， ∵，且， ∴最小为，即的最小值为6， ∴面积的最小值为， 故答案为：18． 【题型8.求对称轴的数量】 【典例】圆是最美的图形．圆的线条明快、简练、均匀、对称，无论是古人，还是今人，都对圆有着特殊的亲切情感．你知道圆有多少条对称轴吗？（   ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴数量问题．圆是轴对称图形，任何经过圆心的直线都是它的对称轴，因此有无数条对称轴． 【详解】解：∵ 经过圆心的直线是圆的对称轴，且存在无数条经过圆心的直线， ∴ 圆有无数条对称轴． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折．用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，该图案有 条对称轴． 【答案】2/两 【分析】此题考查了有关轴对称的相关知识，其中要明确题中每次的对折都是完全重合的，即就是轴对称图形，那么题中有两次折叠，这样对称轴的个数也就出来了． 根据每次的折叠都是完全重合的图形，由此可得到对称轴的条数． 【详解】解：根据图中的每次的折叠，都是完全重合，故两次折叠得到了2个对称轴，且之后的裁剪对对称轴没有影响． 故该图案有2条对称轴， 故答案为：2． 【跟踪专练2】下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴的概念，解题的关键是熟练掌握对称轴的概念． 发布求出各图形的对称轴，即可得答案． 【详解】A．根据它的组合特点，它有1条对称轴； B．根据它的组合特点，有1条对称轴； C．这个组合图形有1条对称轴； D．这个图形有4条对称轴． 故选：D． 【题型9.作线段的垂直平分线】 【典例】如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】本题重点考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【详解】解：∵水厂到两个村庄P，Q的距离相等， ∴水厂应建在的垂直平分线上，即点B， 故选B． 【跟踪专练1】如图，在中，，的垂直平分线交于点，已知的周长是15，比长3，则长为 ． 【答案】9 【分析】设AC=x，BC=y，根据题意BE+EC=AE+EC=AC=x，由此得到，解方程组即可． 【详解】因为的垂直平分线交于点，的周长是15，比长3， 所以AE=BE，BE+EC+BC=15，AC-BC=3， 设AC=x，BC=y，根据题意BE+EC=AE+EC=AC=x， 所以， 解得， 故AC=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线性质，方程组的解法，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M．N作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的周长为（   ）    A．25 B．22 C．20 D．14 【答案】B 【分析】由垂直平分线的性质可得，由的周长得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长， 故选：B． 【点睛】此题考查了尺规作图一线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【题型10.尺规作角平分线】 【典例】如图的尺规作图是作（　　） A．线段的垂直平分线 B．一个角等于已知角 C．一条直线的平行线 D．一个角的平分线 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，根据作法解答即可． 【详解】解：由图形知，该尺规作图的步骤依次是：以点O为圆心，任意长为半径，交于点C，交于点D， 再分别以点C、D为圆心的长度为半径画弧， 则即为的平分线， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，作射线．若，则的度数为 ． 【答案】/69度 【分析】本题考查了角平分线的作法，直角三角形的特征，由作法得，直角三角形的特征得，即可求解． 【详解】解：由作法得平分， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知，按照下列步骤进行尺规作图： ①以点B为圆心、任意长为半径作弧，与角的两边分别交于M、N两点； ②分别以点M和N为圆心、大于线段一半的长为半径作弧，在内，两弧相交于点D； ③作射线． 然后过点D作的垂线，交于点E．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查作图，由作图可知，射线是的角平分线，则，再根据，然后由求解即可． 【详解】解：由作图可知，射线是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【题型11.作轴对称图形的对称轴】 【典例】下面图形中只能画一条对称轴的是（　　） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，此题的解题关键是掌握画对称轴的方法与技巧． 根据画对称轴的步骤：找出轴对称图形的任意一组对称点；连接对称点；画出对称点所连线段的中点，再沿着中点画一条垂线，就可以得到该图形的对称轴．据此画出3个选项里图形的对称轴，找出只能画一条对称轴的图形． 【详解】 A．能画4条对称轴； B．不能画出对称轴； C．只能画一条对称轴． 故答案为：C 【跟踪专练1】下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 【详解】解：如图所示：直线即为各图形的对称轴． 故轴对称图形有4个． 故答案为：4． 【跟踪专练2】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 【详解】 A选项图形有2条对称轴； B选项图形有2条对称轴； C选项图形有3条对称轴； D选项图形有1条对称轴； 所以，C选项图形的对称轴最多． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 【题型12.画轴对称图形】 【典例】在图中的1个小方格涂上颜色，使整个图中涂色的部分成为一个轴对称图形，这样的涂法总共（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】根据轴对称画出相应的图形即可． 【详解】解：根据题意知，由以下几种情况： 故选：B． 【点睛】本题主要考查轴对称的知识，熟练掌握轴对称的知识是解题的关键． 【跟踪专练1】仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，规律探索，根据给出的图形得出一般规律，是解题的关键．根据图形得出这六个图形是字母各自组成的轴对称图形，并且按照上下对称，左右对称循环出现，得出答案即可． 【详解】解：由题意得这六个图形是字母各自组成的轴对称图形，并且按照上下对称，左右对称循环出现， ∴第3个图形的图案为： 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形． 图中的为格点三角形，在图中最多能画出（    ）个不同的格点三角形与成轴对称． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】 本题考查作图轴对称变换，考查学生的动手能力，解题的关键是理解轴对称图形的概念，本题主要属于基础题． 根据轴对称图形的概念，画出图形即可． 【详解】解：与成轴对称的格点三角形如图所示， 在图中最多能画出、、、和5个不同的格点三角形与成轴对称． 故选：D． 【题型13.作垂线】 【典例】如图，在平面内，使用尺规过一点P作直线的垂线，根据作图痕迹判断 （       ） A．点P在点O处 B．点P在点A处 C．点P在点B处 D．无法确定点P的位置 【答案】A 【分析】本题考查了用尺规作直线的垂线，熟练掌握做法和原理是解题的关键．利用尺规作直线的垂线的方法解答即可． 【详解】解：由画图痕迹可得：于点O， 点P在点O处． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积为，则 （用含和的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了尺规作垂线、三角形的面积公式，熟练掌握尺规作垂线的步骤是解题的关键．由作图可知，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列尺规作图，能判断是的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图及三角形高的定义，熟练掌握尺规作图是解题的关键； 三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，据此解答． 【详解】A．此作图是作的垂直平分线，得到的是中点，是中线，不是高，该选项错误，不符合题意； B．此作图是过点作所在直线的垂线，垂足为，符合三角形高的定义，是边上的高，该选项正确，符合题意； C．此作图是作的角平分线，是角平分线，不是高，该选项错误，不符合题意；   D．此作图不是边上的高，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【题型14.设计轴对称图形】 【典例】如图，在由小正三角形组成的网格中，已有个小正三角形涂黑，还需涂黑个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．由等边三角形有三条对称轴可得答案． 【详解】解：如图所示，的最小值为．      故答案为：． 【跟踪专练1】中华文化底蕴深厚，地方文化活动丰富多彩．下面的四幅简笔画是从我国地方文化活动中抽象出来的，其中利用轴对称设计的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了设计轴对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重台，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．依据旋转变换以及轴对称变换，即可使与重合． 【详解】解：先将绕着的中点旋转，再将所得的三角形绕着的中点旋转°，即可得到； 先将沿着的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着过点与垂直的直线翻折，即可得到； 故答案为：③④． 1．如下图，点P在内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F，连接PE，PF．若的周长等于20cm，求MN的长． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质可得，，然后求出的长度等于的周长，由此即可求解． 【详解】解：，分别是点关于，的对称点， ，， ． 的周长等于， ． 2．尺规作图：如图，在直线CD上作一点P，使点P到射线OA，OB的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键； 利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等来作图即可． 【详解】解：如图，点P即为所求． 3．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 【答案】(1)三角形①分别与三角形②④成轴对称 (2)整个图形是轴对称图形，有两条对称轴 【分析】本题考查了轴对称和轴对称图形，解决本题的关键是能根据定义识别轴对称和轴对称图形； （1）根据轴对称图形的定义即可解答； （2）根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：根据图形可得：三角形①分别与三角形②④成轴对称． （2）解：根据图形可得：整个图形是轴对称图形，有横竖两条对称轴． 4．把一长方形（四个角为）纸片的一角折起来，折痕为，使，如图1． . (1)求； (2)再沿对折长方形，使点落在点上，如图2．若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，角的和差，厘清各角之间的关系是解题的关键． （1）由折叠可得，进而得到，根据即可求出，再由角的和差即可求解； （2）根据角的和差求出，，由折叠得到，再由角的和差即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵由折叠得到， 又， ∴， ∵， ∴． 5．如下图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知和直线MN． (1)画出关于直线MN成轴对称的． (2)连接，取线段的中点O，画出绕点O按逆时针方向旋转后得到的（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先确定的三个顶点关于直线的对称点，再依次连接这些对称点，得到轴对称图形． （2）先连接并取其中点，再分别将 三点绕点按逆时针方向旋转，得到对应点，最后连接这些点得到旋转后的． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，点，即为所求． 【点睛】本题考查轴对称与旋转的作图，掌握轴对称作图中找对称点的方法，以及旋转作图中确定旋转中心、方向和角度的步骤是解题的关键． 6．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【详解】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09轴对称寒假预习讲义 · 一眼认出轴对称图形，找准对称轴超轻松； · 会找两个图形成轴对称的对应点、对应边； · 能动手画出简单图形的对称轴和轴对称图形； · 发现轴对称的小性质，解锁图形折叠小技巧～ 预习必备 知识点梳理 1.轴对称图形 2.两个图形成轴对称 3.轴对称的核心性质 4.两类轴对称的联系与区别 5.常见轴对称图形及对称轴数量 6.找对称轴的实用方法 常考题型 精讲精炼 1.识别轴对称图形 2.识别成轴对称的图形 3.用特征判断轴对称图形 4.用特征解成轴对称问题 5.台球桌面的轴对称问题 6.轴对称与光线反射 7.轴对称折叠问题 8.求对称轴的数量 9.作线段的垂直平分线 10.尺规作角平分线 11.作轴对称图形的对称轴 12.画轴对称图形 13.设计轴对称图形 强化巩固 (解答题6题) 知识点01:轴对称图形（单一图形） 1.定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就是轴对称图形。 2.关键： ① 一个图形自身的特征； ② 折叠后重合； ③ 对称轴是直线（非线段 / 射线），图形可有多条对称轴。 知识点02:两个图形成轴对称（两个图形） 1.定义：把一个图形沿某条直线折叠，若能与另一个图形完全重合，则这两个图形成轴对称。 2.关键： ① 两个图形的位置关系； ② 折叠后重合的点叫对应点（对称点）； ③ 唯一对称轴（折叠的直线）。 知识点03:轴对称的核心性质（必考） 折叠后满足三大结论： 1 对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 2 对应线段相等； 3 对应角相等。 知识点04:两类轴对称的联系与区别 区分点 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 对称轴数量 一条或多条 只有一条 联系 可互相转化：把成轴对称的两个图形看作一个整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分成轴对称。 知识点05:常见轴对称图形及对称轴数量（七年级常考） 线段：2 条（线段的垂直平分线、线段自身所在直线） 角：1 条（角平分线所在的直线） 等腰三角形：1 条（底边上的高 / 中线 / 顶角平分线所在直线） 长方形：2 条（对边中点连线所在直线） 正方形：4 条（对边中点连线 + 对角线所在直线） 等腰梯形：1 条（两底中点连线所在直线） 圆：无数条（过圆心的任意直线） 知识点06:找对称轴的实用方法 1 折叠法（直观）：将图形沿某直线折叠，两旁部分完全重合，该直线即为对称轴； 2 找特殊点法（精准）：找到图形的两组对应点，连接对应点作线段，作线段的垂直平分线，即为对称轴。 【题型1.识别轴对称图形】 【典例】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示的轴对称图形有 条对称轴． 【跟踪专练2】46．图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．    【题型2.识别成轴对称的图形】 【典例】如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ． /【跟踪专练1】下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【题型3.用特征判断轴对称图形】 【典例】如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，有以下的几种说法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正确的说法是 ．（填序号） 【跟踪专练1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（    ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 【题型4.用特征解成轴对称问题】 【典例】如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 【跟踪专练1】如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【题型5.台球桌面的轴对称应用】 【典例】如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练1】.如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【跟踪专练2】四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为 ． 【题型6.轴对称与光线反射】 【典例】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    【跟踪专练1】如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 【题型7.轴对称折叠问题】 【典例】如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是 ． 【跟踪专练1】将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 【题型8.求对称轴的数量】 【典例】圆是最美的图形．圆的线条明快、简练、均匀、对称，无论是古人，还是今人，都对圆有着特殊的亲切情感．你知道圆有多少条对称轴吗？（   ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 【跟踪专练1】如图，将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折．用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，该图案有 条对称轴． 【跟踪专练2】下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【题型9.作线段的垂直平分线】 【典例】如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【跟踪专练1】如图，在中，，的垂直平分线交于点，已知的周长是15，比长3，则长为 ． 【跟踪专练2】如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M．N作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的周长为（   ）    A．25 B．22 C．20 D．14 【题型10.尺规作角平分线】 【典例】如图的尺规作图是作（　　） A．线段的垂直平分线 B．一个角等于已知角 C．一条直线的平行线 D．一个角的平分线 【跟踪专练1】如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，作射线．若，则的度数为 ． 【跟踪专练2】如图，已知，按照下列步骤进行尺规作图： ①以点B为圆心、任意长为半径作弧，与角的两边分别交于M、N两点； ②分别以点M和N为圆心、大于线段一半的长为半径作弧，在内，两弧相交于点D； ③作射线． 然后过点D作的垂线，交于点E．若，则（   ） A． B． C． D． 【题型11.作轴对称图形的对称轴】 【典例】下面图形中只能画一条对称轴的是（　　） A． B． C． 【跟踪专练1】下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有 个． 【跟踪专练2】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【题型12.画轴对称图形】 【典例】在图中的1个小方格涂上颜色，使整个图中涂色的部分成为一个轴对称图形，这样的涂法总共（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【跟踪专练1】仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案． ． 【跟踪专练2】如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形． 图中的为格点三角形，在图中最多能画出（    ）个不同的格点三角形与成轴对称． A．2 B．3 C．4 D．5 【题型13.作垂线】 【典例】如图，在平面内，使用尺规过一点P作直线的垂线，根据作图痕迹判断 （       ） A．点P在点O处 B．点P在点A处 C．点P在点B处 D．无法确定点P的位置 【跟踪专练1】如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积为，则 （用含和的代数式表示） 【跟踪专练2】下列尺规作图，能判断是的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【题型14.设计轴对称图形】 【典例】如图，在由小正三角形组成的网格中，已有个小正三角形涂黑，还需涂黑个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则的最小值为 ．    【跟踪专练1】中华文化底蕴深厚，地方文化活动丰富多彩．下面的四幅简笔画是从我国地方文化活动中抽象出来的，其中利用轴对称设计的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 1．如下图，点P在内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F，连接PE，PF．若的周长等于20cm，求MN的长． 2．尺规作图：如图，在直线CD上作一点P，使点P到射线OA，OB的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）． 3．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 4．把一长方形（四个角为）纸片的一角折起来，折痕为，使，如图1． . (1)求； (2)再沿对折长方形，使点落在点上，如图2．若，求． 5．如下图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知和直线MN． (1)画出关于直线MN成轴对称的． (2)连接，取线段的中点O，画出绕点O按逆时针方向旋转后得到的（保留画图痕迹，不写画法）． 6．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $