专题08三角形寒假预习讲义（3）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

专题08三角形寒假预习讲义（3） · 秒辨多边形相关概念，不混淆顶点、边、内角外角； · 吃透多边形内角和公式，会套公式算任意多边形内角和； · 掌握外角和核心规律，牢记多边形外角和固定值并会应用； · 能灵活转换内角、外角关系，轻松解简单计算、说理题； · 学会用公式解决实际图形问题，提升几何思维小能力。 . 预习必备 知识点梳理 1,多边形基础概念 2.多边形的内角和(核心公式必考) 3.多边形的外角和(易考) 4.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.多边形的概念与分类 2.多边形截角后边数变化 3.多边形周长计算 4.网格中多边形面积计算 5.多边形对角线条数问题 6.对角线分三角形个数 7.多边形内角和计算 8.多(少)算一角问题 9.多边形截角后内角和 10.复杂图形内角和 11.正多边形外角问题 12.多边形外角和的实际应用 13.内角和与外角和综合 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.多边形基础概念】 1.多边形定义：由线段首尾顺次连接围成的封闭平面图形，边数为 n（n≥3），称 n 边形（三角形是最简单的多边形）。 2.核心元素 顶点：线段的连接点，n 边形有 n 个顶点； 边：围成多边形的线段，n 边形有 n 条边； 内角：多边形相邻两边组成的角，n 边形有 n 个内角，均在图形内部； 外角：多边形一边与邻边延长线组成的角，n 边形每个顶点对应 1 个外角，与内角互补（和为 180°）。 3.正多边形： 各边相等、各内角也相等的多边形（如正方形、正五边形，缺一不可）。 【知识点02.多边形的内角和(核心公式必考)】 1.核心公式：n 边形内角和 = (n−2)×180°（n 为≥3 的整数）。 2.公式应用 (1)已知边数，求内角和：如七边形内角和 =(7-2)×180°=900°； (2)已知内角和，求边数：如内角和为 1080°，则 n=1080°÷180°+2=8； /(3)正多边形求内角度数：正 n 边形每个内角 = (n−2)×180°÷n（如正六边形每个内角 = 120°）。 【知识点03.多边形的外角和(固定规律.易考)】 1.推导思路：多边形每个顶点的内角 + 外角 = 180°， n 边形所有内角 + 外角和 = 180°×n； 结合内角和公式，外角和 = 180°×n - (n-2)×180°=360°。 2.核心结论：任意多边形的外角和都是 360°（与边数无关，重点！）。 3.公式应用 (1)正多边形求外角度数：正 n 边形每个外角 = 360°÷n（如正五边形每个外角 = 72°）； (2)已知正多边形外角度数，求边数：如每个外角 60°，则 n=360°÷60°=6； (3)结合内角求外角（或反之）：内角 + 外角 = 180°，如多边形一个内角 150°，则对应外角 = 30°。 【知识点05.易错点提醒】 1.多边形外角是 “一边与邻边延长线” 的夹角，并非相邻两边的夹角（易与内角混淆）； 2.正多边形需同时满足 “边等” 和 “角等”，仅边等或仅角等不成立（如菱形边等但角不等，不是正四边形）； 3.内角和与边数有关，外角和与边数无关（易记混，重点区分）； 4.计算时注意单位统一，角度计算结果必为正数，边数必为≥3 的整数。 【题型1.多边形的概念与分类】 【典例】下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查凸多边形的定义，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形．根据凸多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形， 只有B选项不符合凸多边形的定义，不是凸多边形． 故选：B． 【跟踪专练1】我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则 °. 【答案】18 【分析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得内角的度数，进而求解． 【详解】正五边形的每个内角的度数为，正方形的每个内角等于90°， ， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了正五边形和正方形的性质，多边形的内角和定理，即，熟练掌握知识点是解题的关键． 【跟踪专练2】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 【题型2.多边形截角后边数变化】 【典例】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 【跟踪专练1】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 【题型3.多边形周长计算】 【典例】已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了正多边形的性质．由正六边形的周长和性质即可得出结果． 【详解】解：∵一个正六边形的周长是， ∴正六边形的边长； 故答案为：5． 【跟踪专练1】若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长的计算公式求解． 【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n， 故选C． 【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键． 【跟踪专练2】如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 【答案】20，22，26，28 【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长； 【详解】解：①如图周长=20； ②如图周长=22； ③如图周长=26； ④如图周长=28； ⑤如图周长=22； ∴四边形的周长为：20，22，26，28； 故答案为：20，22，26，28． 【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键． 【题型4.网格中多边形面积比较】 【典例】如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 【跟踪专练1】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 【跟踪专练2】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 【题型5.多边形对角线条数问题】 【典例】过边形的一个顶点最多可以画出条对角线，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了过多边形的一个顶点作对角线的条数，过边形的一个顶点可以作条对角线，可得，求出答案即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】从一个边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则这个n边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的对角线，多边形内角和定理的知识，理解多边形对角线将多边形分割成三角形个数的计算，多边形内角和定理是关键． 根据多边形分割三角形的规律，从同一顶点出发分割成的三角形个数为边数减2，再利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：∵从一个n边形的同一顶点出发，连接其余各顶点，可将多边形分割成个三角形， ∴， 解得，，即该多边形为八边形， ∴内角和：， 故选：C． 【跟踪专练2】已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．根据这些规律计算即可． 【详解】解：从边形的一个顶点出发共有6条对角线，则，解得； 从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形，，解得； 正边形的边长为7，周长为49，则，解得， ∴， 故答案为：． 【题型6.对角线分三角形个数】 【典例】一个多边形自一个顶点引对角线把它分割成4个三角形，则它是 边形． 【答案】六/6 【分析】本题考查了多边形对角线分成的三角形个数问题，熟练掌握过多边形一个顶点引对角线所得三角形的个数问题是解题的关键． 根据“从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形”列式计算即可． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：六． 【跟踪专练1】在学习完多边形后，嘉淇将一个五边形沿如图所示的直线剪掉一个角后，得到一个新多边形，下列说法正确的是（   ） A．这个新多边形有五条边 B．从这个新多边形的顶点出发，最多可以画4条对角线 C．从顶点出发的所有对角线将这个新多边形分成4个三角形 D．以上说法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线个数问题及被对角线分割成的三角形数目问题，解题关键是找出其中的规律．根据选项一一对照判断即可． 【详解】解：A、这个多边形是一个六边形，故错误，不符合题意． B、从这个多边形的顶点出发，最多可以画3条对角线，故错误，不符合题意， C、从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形，正确，符合题意， D、以上说法C正确． 故选：C． 【跟踪专练2】从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把n边形分成个三角形，由此即可计算． 【详解】解：由题可得，， ∴， 故答案为：． 【题型7.多边形内角和计算】 【典例】一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和计算出内角和，减去前四个内角即可得到第五个内角的度数． 【详解】解：因为五边形的内角和是，四个内角和为， 所以第5个内角的度数是． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，，则的度数是 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理：边形的内角和为，掌握以上知识是解题的关键； 连接，根据多边形的内角和公式可得五边形的内角和，进而得出，由可得的度数，然后即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵五边形的内角和为：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，故可得出的度数，根据四边形的内角和等于即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵，，， 则， 在中， 则， 在四边形中， ， 即， ∴． 故选C． 【题型8.多(少)算一个角问题】 【典例】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【分析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，由多边形内角和定理可得等式：，由n为整数即可确定x的值． 【详解】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x， 由题意得：， ， 由于n为整数，x为正数且小于， ， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角． 【跟踪专练1】粗心的小华在计算一个多边形的内角和时，除了一个内角外其余各内角的和为1900°，则这个多边形是 边形． 【答案】十三/13 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数和未知的那个内角的范围求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为x°，边数为n，则0<x<180， 则， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． 又∵n为正整数， ∴． 故答案是：十三． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0，并且小于180°． 【跟踪专练2】剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 ． 【答案】6 【分析】根据多边形的内角和进行即可求解． 【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°， 10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键． 【题型9.多边形截角后内角和】 【典例】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据题意得（n﹣2）•180°＝2520°， 解得：n＝16， 则多边形的边数是15或16或17． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 【跟踪专练1】（1）每个内角都相等的十边形的一个外角的度数为 ； （2）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 ． 【答案】 36°/36度 6或7 【分析】（1）根据正多边形的每一个外角相等且所有的外角的度数和为360度求解即可． （2）求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形． 【详解】解：（1）一个十边形的每个外角都相等， ∴十边形的一个外角为360÷10＝36°． 故答案为：36°； （2）设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）×180＝720， 解得：n＝6． ∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1， ∴原多边形的边数为6或7． 故答案为：6或7． 【点睛】此题考查了正多边形外角和多边形的内角和；解题的关键是熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系，熟知正多边形外角与边数的关系式． 【跟踪专练2】有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板的内角和为，那么原多边形木板的边数是（    ） A．11 B．12 C．13 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， 原来多边形的边数是11或12或13． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况． 【题型10.复杂图形内角和】 【典例】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【题型11.正多边形外角问题】 【典例】已知某多边形的每个外角都等于，则这个多边形是 边形． 【答案】十 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形外角和为360度，据此可求出边数，即可确定答案． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为10，即这个多边形是十边形， 故答案为：十． 【跟踪专练1】一个边形的每个外角都是，则这个边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据多边形的外角和定理求出，得到这个边形的内角和是，即可得到答案． 【详解】解：， ， 这个边形的内角和是， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，三角形内角和定理，熟练掌握正多边形的外角公式是解题的关键．先求得正多边形的外角，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型12.多边形外角和是实际应用】 【典例】泉州开元寺双塔造于南宋时期，具有鲜明的宋式建筑特点，其每层塔身均为八边形结构，该八边形的外角和为 °． 【答案】360 【分析】本题考查多边形的外角和．根据任意多边形的外角和都是即可得答案． 【详解】解：任意多边形的外角和都是， 该八边形的外角和是． 故答案为：． 【跟踪专练1】一个机器人在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为多少米？（    ） A．9 B．12 C．24 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角与外角，熟练掌握多边形外角和是是解题的关键．根据多边形外角和是即可求出多边形的边数，再乘3即可得出答案． 【详解】解：， 即机器人从开始到停止围成的多边形为八边形， （米， 即该机器人从开始到停止所行走的路程为24米， 故选：C． 【跟踪专练2】如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角和扇形的面积计算，求出2024边形的外角和，即阴影部分的圆心角的和等于，再根据圆的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵2024边形的外角和， ∴图中阴影部分的面积之和， 故答案为：． 【题型13.内角和与外角和综合】 【典例】若一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的4倍，则它的边数是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】一个多边形的每个内角度数都是其外角度数的4倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角和的度数，依据多边形的外角和公式即可求解． 本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化． 【详解】解：设多边形的每个外角为，则其内角为：， ， 解得：， 即这个多边形是： 故选：C． 【跟踪专练1】一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为 ，它的内角和为 °． 【答案】 8 1080 【分析】本题重点考查多边形的外角和公式，并且会熟练地正用和逆用公式是解题的关键． 根据外角和定理，求出多边形的边数，再利用内角和公式，便可求解． 【详解】解：∵多边形的每个外角都是， ∴根据外角和定理，这个多边形的边数为； ∴其内角和为． 故答案为：8；1080． 【跟踪专练2】石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合；根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴每一个外角为， ∴的度数为， 故选：C． 45．求下列图中的的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，三角形内角和定理，多边形外角和，解题的关键在于根据图形建立等量关系． （1）根据图形以及三角形内角和建立等量关系，即可解题； （2）根据图形以及多边形外角和建立等量关系，即可解题． 【详解】（1）解：由图知， ； （2）解：由图知， ． 43．【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 【答案】(1)3；1；6； (2)①；②18 【分析】本题主要考查了新定义问题、平面直角坐标系中利用网格求图形面积、解二元一次方程组．求平面直角坐标系中图形面积时，常用的方法是割补法，即在图形外补出一个规则图形或者将所求图形分割成若干规则小图形． （1）利用网格即可求出四边形的面积S，根据图形数出内部的格点数N，边界上的格点数L即可． （2）①分别把，，和，，代入，建立健全二元一次方程组，即可求出，的值． ②先把a、b值代入，得，再把，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可得：， ， ； 故答案为：3；1；6． （2）解：①分别把，，和，，代入，得 ，解得：， ②由①知：， 当，时，则， 解得：． 41．一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数及这个多边形共有几条对角线． 【答案】这个多边形的边数为9，共有27条对角线． 【分析】本题考查了多边形的内外角和问题．根据多边形内角和与外角和的关系建立方程，求出边数，再利用对角线总数公式计算总对角线数． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，依题意得： 解得， 即这个多边形的边数为9，共有27条对角线． 42．已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 40．【阅读材料】我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图①，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连结对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和，即为． 【解决问题】 (1)如图②，四边形是凹四边形，请探究与、、之间的数量关系．小明得出的结论是，请你帮小明写出证明过程． (2)图③和图④所示的图形都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，连续不断且不重复经过图形上所有部分画成的，请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： 图③中，的度数为______； 图④中，的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是关键． （1）连结，根据三角形内角和定理可得，，两式相加得，再根据，即可求得答案； （2）图③中，连结，设与相交于点M，先证明，再根据三角形内角和定理，即可推得结论；图④中，连结，设与相交于点M，同理可得，再根据，即可求得答案． 【详解】（1）证明：连结， ，， ， ， ， ， ； （2）解：图③中，连结，设与相交于点M， ，且， ， 又， ， ． 故答案为：． 图④中，连结，设与相交于点M， 根据图③的相关推理，同理可得， 根据阅读材料部分“四边形的内角和转化为和的内角和，即为”，可知，在图④中，， ， ． 故答案为：． 44．如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)周长最大，最短，理由见解析 【分析】（1）画出图形可得结论； （2）根据（1）中结论结合，再判断即可． 【详解】（1）解：如图， 图形有四种情形，周长为：或或. （2）周长的最大值为，最小值为. 理由：由题意可得：， 因为，所以， 因为，所以， ∴， 周长的最大值为，最小值为. 【点睛】本题考查图形的拼剪，不等式的性质，长方形的性质，多边形的周长等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08三角形寒假预习讲义（3） · 秒辨多边形相关概念，不混淆顶点、边、内角外角； · 吃透多边形内角和公式，会套公式算任意多边形内角和； · 掌握外角和核心规律，牢记多边形外角和固定值并会应用； · 能灵活转换内角、外角关系，轻松解简单计算、说理题； · 学会用公式解决实际图形问题，提升几何思维小能力。 . 预习必备 知识点梳理 1,多边形基础概念 2.多边形的内角和(核心公式必考) 3.多边形的外角和(易考) 4.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.多边形的概念与分类 2.多边形截角后边数变化 3.多边形周长计算 4.网格中多边形面积计算 5.多边形对角线条数问题 6.对角线分三角形个数 7.多边形内角和计算 8.多(少)算一角问题 9.多边形截角后内角和 10.复杂图形内角和 11.正多边形外角问题 12.多边形外角和的实际应用 13.内角和与外角和综合 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.多边形基础概念】 1.多边形定义：由线段首尾顺次连接围成的封闭平面图形，边数为 n（n≥3），称 n 边形（三角形是最简单的多边形）。 2.核心元素 顶点：线段的连接点，n 边形有 n 个顶点； 边：围成多边形的线段，n 边形有 n 条边； 内角：多边形相邻两边组成的角，n 边形有 n 个内角，均在图形内部； 外角：多边形一边与邻边延长线组成的角，n 边形每个顶点对应 1 个外角，与内角互补（和为 180°）。 3.正多边形： 各边相等、各内角也相等的多边形（如正方形、正五边形，缺一不可）。 【知识点02.多边形的内角和(核心公式必考)】 1.核心公式：n 边形内角和 = (n−2)×180°（n 为≥3 的整数）。 2.公式应用 (1)已知边数，求内角和：如七边形内角和 =(7-2)×180°=900°； (2)已知内角和，求边数：如内角和为 1080°，则 n=1080°÷180°+2=8； /(3)正多边形求内角度数：正 n 边形每个内角 = (n−2)×180°÷n（如正六边形每个内角 = 120°）。 【知识点03.多边形的外角和(固定规律.易考)】 1.推导思路：多边形每个顶点的内角 + 外角 = 180°， n 边形所有内角 + 外角和 = 180°×n； 结合内角和公式，外角和 = 180°×n - (n-2)×180°=360°。 2.核心结论：任意多边形的外角和都是 360°（与边数无关，重点！）。 3.公式应用 (1)正多边形求外角度数：正 n 边形每个外角 = 360°÷n（如正五边形每个外角 = 72°）； (2)已知正多边形外角度数，求边数：如每个外角 60°，则 n=360°÷60°=6； (3)结合内角求外角（或反之）：内角 + 外角 = 180°，如多边形一个内角 150°，则对应外角 = 30°。 【知识点05.易错点提醒】 1.多边形外角是 “一边与邻边延长线” 的夹角，并非相邻两边的夹角（易与内角混淆）； 2.正多边形需同时满足 “边等” 和 “角等”，仅边等或仅角等不成立（如菱形边等但角不等，不是正四边形）； 3.内角和与边数有关，外角和与边数无关（易记混，重点区分）； 4.计算时注意单位统一，角度计算结果必为正数，边数必为≥3 的整数。 【题型1.多边形的概念与分类】 【典例】下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则 °. 【跟踪专练2】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2.多边形截角后边数变化】 【典例】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【跟踪专练1】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【题型3.多边形周长计算】 【典例】已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【跟踪专练1】若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 【题型4.网格中多边形面积比较】 【典例】如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【跟踪专练1】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【跟踪专练2】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【题型5.多边形对角线条数问题】 【典例】过边形的一个顶点最多可以画出条对角线，则的值是 ． 【跟踪专练1】从一个边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则这个n边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为 ． 【题型6.对角线分三角形个数】 【典例】一个多边形自一个顶点引对角线把它分割成4个三角形，则它是 边形． 【跟踪专练1】在学习完多边形后，嘉淇将一个五边形沿如图所示的直线剪掉一个角后，得到一个新多边形，下列说法正确的是（   ） A．这个新多边形有五条边 B．从这个新多边形的顶点出发，最多可以画4条对角线 C．从顶点出发的所有对角线将这个新多边形分成4个三角形 D．以上说法都不正确 【跟踪专练2】从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则的值为 ． 【题型7.多边形内角和计算】 【典例】一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，则的度数是 【跟踪专练2】如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【题型8.多(少)算一个角问题】 【典例】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【跟踪专练1】粗心的小华在计算一个多边形的内角和时，除了一个内角外其余各内角的和为1900°，则这个多边形是 边形． 【跟踪专练2】剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 ． 【题型9.多边形截角后内角和】 【典例】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【跟踪专练1】（1）每个内角都相等的十边形的一个外角的度数为 ； （2）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 ． 【跟踪专练2】有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板的内角和为，那么原多边形木板的边数是（    ） A．11 B．12 C．13 D．以上都有可能 【题型10.复杂图形内角和】 【典例】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【跟踪专练2】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型11.正多边形外角问题】 【典例】已知某多边形的每个外角都等于，则这个多边形是 边形． 【跟踪专练1】一个边形的每个外角都是，则这个边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是 ． 【题型12.多边形外角和是实际应用】 【典例】泉州开元寺双塔造于南宋时期，具有鲜明的宋式建筑特点，其每层塔身均为八边形结构，该八边形的外角和为 °． 【跟踪专练1】一个机器人在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为多少米？（    ） A．9 B．12 C．24 D．45 【跟踪专练2】如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 【题型13.内角和与外角和综合】 【典例】若一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的4倍，则它的边数是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【跟踪专练1】一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为 ，它的内角和为 °． 【跟踪专练2】石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 45．求下列图中的的值． (1) (2) 43．【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 41．一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数及这个多边形共有几条对角线． 42．已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 40．【阅读材料】我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图①，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连结对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和，即为． 【解决问题】 (1)如图②，四边形是凹四边形，请探究与、、之间的数量关系．小明得出的结论是，请你帮小明写出证明过程． (2)图③和图④所示的图形都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，连续不断且不重复经过图形上所有部分画成的，请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： 图③中，的度数为______； 图④中，的度数为______． 44．如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $