专题01 二次根式13类题型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

专题01 二次根式 题型1 求二次根式中的参数（基础考点） 题型8 同类二次根式相关计算 题型2 二次根式有意义的条件（高频考点） 题型9 已知字母的值，化简求值 题型3 求二次根式的值 题型10已知条件式，化简求值 题型4 利用二次根式的性质化简（重点考点） 题型11 比较二次根式的大小 题型5 最简二次根式的判定 题型12二次根式的实际应用（高频考点） 题型6 利用二次根式的乘除判断结论是否正确 题型13 复合二次根式化简 题型7 二次根式的混合运算（高频考点） 题型一 求二次根式中的参数（共4小题） 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 3．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若的值为零，则的值是______． 题型二 二次根式有意义的条件（共5小题） 1．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）若x，y为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．1 C． D． 2．（25-26八年级下·浙江金华·期中）二次根式中字母a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）要使二次根式有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若二次根式有意义，则字母的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若代数式有意义，则实数a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 题型三 求二次根式的值（共4小题） 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（25-26八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为________． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为____． 题型四 利用二次根式的性质化简（共5小题） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简＝___． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）根据下列等式：①；②；③；…的排列规律，可得第④个等式为__________． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若二次根式的值为9，则的值为__________． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知实数a，b，c满足，则的值为_________． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知，则计算______________． 题型五 最简二次根式的判定（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）下列二次根式中，（    ）是最简二次根式 A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型六 利用二次根式的乘除判断结论是否正确（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列选项中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）下列选项中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型七 二次根式的混合运算（共6小题） 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）化简或计算： (1) (2) 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算 (1)； (2)． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) 题型八 同类二次根式相关计算（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）下列各式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为______． 题型九 已知字母的值，化简求值（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，求的值． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）阅读材料： 已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 请你用上述方法解答下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)________的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，求代数式的值． 题型十 已知条件式，化简求值（共5小题） 1．（24-25八年级下·四川德阳·期中）已知，那么的值是_____． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期中）阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 4．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 题型十一 比较二次根式的大小（共4小题） 1．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，现将三角形按如下三种方式折叠，分别记图①中的，图②中的，图③中的，则a，b，c之间的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 4．（25-26八年级下·浙江台州·期中）（1）观察下列各式的特点： ， >， ， ， … 根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ＝， … 根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程． （3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||． 题型十二 二次根式的实际应用（共3小题） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 2．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为____． 3．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（千米/秒，是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？ 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： (1)长方体盒子的底面积； (2)长方体盒子的体积． 题型十四 复合二次根式化简（共3小题） 1．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 2．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）先阅读材料，然后回答问题： 形如的化简，只要找到两个正数，，使，，那么，，则有． 例如：化简． ． (1)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：________；________． (2)在中，，，其中边的垂直平分线分别交，于点，，当时，求的长（结果要化为最简形式）． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 题型1 求二次根式中的参数（基础考点） 题型8 同类二次根式相关计算 题型2 二次根式有意义的条件（高频考点） 题型9 已知字母的值，化简求值 题型3 求二次根式的值 题型10已知条件式，化简求值 题型4 利用二次根式的性质化简（重点考点） 题型11 比较二次根式的大小 题型5 最简二次根式的判定 题型12二次根式的实际应用（高频考点） 题型6 利用二次根式的乘除判断结论是否正确 题型13 复合二次根式化简 题型7 二次根式的混合运算（高频考点） 题型一 求二次根式中的参数（共4小题） 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 3．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若的值为零，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质及解一元一次方程，根据题意得到，解一元一次方程即可确定答案．熟记二次根式性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：若的值为零，则， 解得， 故答案为：． 题型二 二次根式有意义的条件（共5小题） 1．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）若x，y为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，先求出x的值，再代入等式求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数必须是非负数 ∴ 解不等式组得且 ∴ 将代入原式，得 解得 ∴． 2．（25-26八年级下·浙江金华·期中）二次根式中字母a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的意义，被开方数大于等于0，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）要使二次根式有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件（被开方数为非负数 ）以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，再分析其在数轴上的表示． 【详解】解：∵ 二次根式有意义， ∴ ， ∴ ， 在数轴上表示，如图． 故选：． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若二次根式有意义，则字母的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，即，解此不等式即可确定的取值范围． 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数． 解不等式： 两边同时加4，得： 因此，的取值范围是， 故选：A 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若代数式有意义，则实数a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，能正确得到相关不等式是解题的关键． 直接利用分式有意义的条件及二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：式子有意义，则且 解得：且 故选：D 题型三 求二次根式的值（共4小题） 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【详解】解：当时，． 故选：B． 2．（25-26八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简． 将代入二次根式，即可计算求值． 【详解】解：， ． 故答案为：3． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键． 将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 题型四 利用二次根式的性质化简（共5小题） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简＝___． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、绝对值、立方根、二次根式性质的综合运用，熟练掌握“绝对值、立方根、二次根式的化简规则，结合数轴判断实数的符号”是解题的关键．先根据数轴确定a、b、c的取值范围，再依据绝对值、立方根、二次根式的性质化简式子，最后计算得出结果． 【详解】由数轴可知，，，，，， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）根据下列等式：①；②；③；…的排列规律，可得第④个等式为__________． 【答案】 【分析】根据平方差公式以及二次根式的性质，即可得到答案． 本题主要考查平方差公式以及二次根式的性质，找出等式的变化规律，是解题的关键． 【详解】解：∵①； ②； ③； ∴④． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若二次根式的值为9，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据题意列出，进而可得，求平方根，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知实数a，b，c满足，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据二次根式的非负性得出，再根据完全平方公式和绝对值的非负性得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知，则计算______________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 由可得，，然后根据二次根式的性质化简即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：1． 题型五 最简二次根式的判定（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、，因此不是最简二次根式，，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）下列二次根式中，（    ）是最简二次根式 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，最简二次根式，解题关键是理解最简二次根式的概念． 先利用二次根式的性质对四个数分别化简，再作出判断． 【详解】解：，不是最简二次根式，故A不符合； ，不是最简二次根式，故B不符合； 是最简二次根式，故C符合； ，不是最简二次根式，故D不符合， 故选：C． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式．熟练掌握“最简二次根式的含义”是解本题的关键． 最简二次根式：满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A. ，A不是最简二次根式； B. ，B不是最简二次根式； C. ，C是最简二次根式； D. ，D不是最简二次根式． 故选：C． 题型六 利用二次根式的乘除判断结论是否正确（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算性质，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A．： 二次根式相加不能直接合并，（不同时为完全平方数）．计算无法化简为，故A错误． B．： 二次根式相乘满足，故，结果应为而非，故B错误． C． ： 二次根式相除满足，故，计算正确，故C正确． D． ： 算术平方根非负，，结果应为3而非，故D错误． 故选：C 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算规则．根据二次根式的加减乘除法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，无法直接相加，故错误． B. 与不是同类二次根式，无法相减，故错误． C. ，根据二次根式乘法法则，计算正确． D. ，而非，根据除法法则，故错误． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列选项中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式乘除、加减运算的法则． 分别根据二次根式的乘除、加减运算法则，对每个选项进行计算判断． 【详解】A．===3≠9，计算错误； B．==，符合二次根式乘法法则，计算正确； C．的被开方数不同，无法直接相减，结果不等于，计算错误； D．4+2为常数与根式的和，无法合并为6，计算错误． 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的减法和二次根式的乘法，运用相关运算法则进行计算后再判断即可． 【详解】解：A． 不能运算，故此选项计算错误，不符合题意； B． ，故此选项计算错误，不符合题意； C． ，计算正确，符合题意； D． ，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）下列选项中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，计算出各个选项中的式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 题型七 二次根式的混合运算（共6小题） 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减、利用二次根式的性质进行化简、二次根式的乘除，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解； （2）先根据二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加减即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行二次根式的化简以及乘法运算，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式以及完全平方公式进行二次根式的混合运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）化简或计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先化简各项，再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案； （2）直接利用二次根式的性质、平方差公式化简，进而计算得出答案． 【详解】（1）解：+ ； （2）解： ． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 题型八 同类二次根式相关计算（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判定、二次根式的性质等知识点，掌握同类二次根式的被开方数相同成为解题的关键．先运用二次根式的性质化简，然后根据同类二次根式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：① ，为整数，不是二次根式； ② 与的被开方数相同，与是同类二次根式； ③与的被开方数不同，与不是同类二次根式； ④与的被开方数相同，与是同类二次根式． 综上，与是同类二次根式的是②和④． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）下列各式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、合并二次根式，判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，若被开方数相同，则可合并，由此逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，为有理数，与（无理数）无法合并，故不符合题意； B、，化简后被开方数为，与不同，不能合并，故不符合题意； C、，化简后被开方数为，与相同，可以合并，故符合题意； D、含未知数，无法确定是否为完全平方数，无法保证与合并，故不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式可以合并的条件是化简后被开方数相同．化简，根据二次根式可以合并的条件进行计算即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与可以合并， ∴， ∴， 故答案为：． 题型九 已知字母的值，化简求值（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)， 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和如何把二次根式化成最简二次根式．把，的值代入所求代数式，然后利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ， ． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）阅读材料： 已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 请你用上述方法解答下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)2024． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、求代数式的值等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先将原式配方变形后，然后再代入计算即可； （2）先求出的值，原式变形后，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵， ， ∴ ． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)________的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮； (2)，2030． 【分析】本题考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简与化去绝对值的方法是解题关键． （1）原式，根据的符号化去绝对值可判断小亮解法出现问题； （2）原式，根据的符号化去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴小亮的解答过程是错误的； 故答案为：小亮 （2）解： ， ∵， ， ∴原式． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】9 【分析】本题考查二次根式化简求值．先把所求式子变形，再将，的值代入计算即可． 【详解】解： ，， ． 题型十 已知条件式，化简求值（共5小题） 1．（24-25八年级下·四川德阳·期中）已知，那么的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数的符号是解答此题的关键．先化简，再分同正或同负两种情况作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴x、y同号， 当，时，原式； 当，时，原式； 故答案为：． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期中）阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式的应用，涉及到二次根式的运算，掌握分母有理化以及二次根式的运算是解题的关键． （1）利用平方差公式对分母有理化：将分母中的根号相减，分子分母同乘以共轭根式，化简分式； （2）利用平方差公式，设未知数，通过方程组求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设，， 则， ，而，， ， ，解得， 即． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和利用分母有理化把分式进行化简． （1）把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）先把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式求出，，从而求出，然后根据列出关于m的方程，解方程即可； （3）设，，根据已知条件求出，再求出，然后利用完全平方公式求出，最后根据完全平方公式求出即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：， （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设 ， ， ， ，即：， ， 由题易知 即： 4．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 题型十一 比较二次根式的大小（共4小题） 1．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，现将三角形按如下三种方式折叠，分别记图①中的，图②中的，图③中的，则a，b，c之间的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查折叠的性质，勾股定理，先由②得，求出，得，勾股定理求出，根据折叠的性质求出a，b，c的值即可比较． 【详解】解：由②得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得，， 图3中， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2021×2023-2021×2022 =2021（2023-2022） =2021； ∵20242-4×2023 =（2023+1）2-4×2023 =20232+2×2023+1-4×2023 =20232-2×2023+1 =（2023-1）2 =20222， ∴b=2022； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期中）（1）观察下列各式的特点： ， >， ， ， … 根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ＝， … 根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程． （3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||． 【答案】（1）＞；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案； （2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得到答案； （3）根据（2）中的规律可得，，，分别把绝对值里面的式子化简计算即可． 【详解】解：（1）∵， >， ， ， …， ∴， ∴， 故答案为：＞； （2） = =； （3）原式 ． 【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算． 题型十二 二次根式的实际应用（共3小题） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，根据二次根式的性质求出正方形的边长即可求解，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长， 小正方形的边长， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是求算术平方根、二次根式计算的应用，先求出三个正方形的边长，再根据图形求出阴影部分的长和宽，即可求出面积． 【详解】解：将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中， ∴三个正方形的边长分别为，，， 阴影部分长为，宽为， 阴影部分面积为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（千米/秒，是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？ 【答案】当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过时间 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 【详解】解：依题意，当地面时间经过5分钟即300秒时 飞船内经过的时间为秒 答：当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过时间． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： (1)长方体盒子的底面积； (2)长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形和根据二次根式的乘法法则求解． （1）结合题意可知长方体盒子的底面是边长为的正方形，即可得答案； （2）根据长方体盒子的体积等于底面积×高，即可得到答案． 【详解】（1）解∶ 长方体盒子的底面积   ； （2）解∶长方体盒子的体积 ． 题型十四 复合二次根式化简（共3小题） 1．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 【答案】(1)①；② (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次根式化简、新定义问题，熟练掌握二次根式化简方法和正确理解新的定义是解题的关键． （1）①根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； ②根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； （2）观察式子发现，，据此进行分母有理化，化简式子即可； （3）根据“和谐二次根式”的定义，化简，求出b的值，再求出的值，据此证明即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：，， 原式 （3）证明：根据“和谐二次根式”的定义得， 由于 则 由于的小数部分为b， 则 、 所以 因此． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）先阅读材料，然后回答问题： 形如的化简，只要找到两个正数，，使，，那么，，则有． 例如：化简． ． (1)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：________；________． (2)在中，，，其中边的垂直平分线分别交，于点，，当时，求的长（结果要化为最简形式）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握二次根式的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键． （1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）先根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而利用三角形的外角的性质可得，再利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，从而求出的长，最后由勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：是边的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， 在中，， ， ， ， 在中， ． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）新正方形花圃的边长为米；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）得到新正方形花圃面积为，根据题意计算边长即可； （3）将转化为，计算即可解答． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：；； （2）由题可知，新正方形花圃面积为（平方米）， ， 则新正方形花圃的边长为米； （3）∵， ∴， ∴， ∴． ， ∴的值为． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $