浙江省宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试（二模）高三数学试题

绝密★启用前 宁波市2025学年第二学期高考模拟考试 高三数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题 卡上。将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标 号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试题卷上的答案无效。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破。 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.复数z=(1+(-1+2i)的虚部为 A.-3 B.-1 C.1 D.3 2.集合U={x∈lx长3}，A={0l,2,3},则CuA中的元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知a>0,b>0,则“ab>4”是“a+b>4”的 A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知正方形ABCD的边长为1，则AB+BC-D丽= A.0 B.1 C.2 D.2 圈巴全目 2-224-- 5.某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为8.5,8.6,8.8,9.2,9.4， 9.5,9.7,记为数组A,将数组A中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效 评分记为数组B,对这两个数组进行比较，有 A.极差相同 B.方差相同 C.60%分位数相同D.平均数相同 6.在钝角△ABC中，b=8,c=7,C=60°，则△ABC的面积为 A.45 B.65 C.85 D.10W5 7.已知函数f(x)= 2-1,-2≤x<0 设a,b,c是三个不同的实数，且满足 Inx,x>0 fa)=f(f⑥)=ffc),则a+b+c的最小值为 A.e2-1 B.e-1 C.e2-1+1 e D.e-i+ 8.数列{a}满足：a=1,42=2,a,=(-1)a+an-2(n>2),Sn为{a}的前n项和，则 A.a2026=1 B.a2026=2026 C.S2026=1 D.S2026=2026 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 ，若a6是两个不相等的正实数，则以曲线C手茶=1与双曲战C:芳苦-1的 A.实轴长相等 B.焦距相等 C.离心率相同 D.渐近线相同 10.定义在R上的函数f(x)满足：f)=1,f(x+y)=f(x)f1-y)+f1-x)fy),，则 A.f(0)=0 B 2 C.f(1-x)=f(1+x) D.f(x+2)=f(x) 11.正四棱台ABCD-ABCD的高为2，AB,=2,AB=8,点M,N,P均在平面B,AC内， 且直线D,P与MN夹角的正切值的最小值为2√2，则 A.点P的轨迹的长度为 6m B.直线D4与DP所成角的正切值的最小值为号 C.线段PC的长度的最小值为√2 D.点P到直线BC的距离大于号 圈巴全目 。-。22-一 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.若ama-=3,则ana=人 13.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和， 若S,=6,S,=20,则S,=▲ 14.如图，已知定点B(2,-2),BC⊥x轴于点C, M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D, (第14题图) ME⊥BC于点E,OE与MD相交于点P,则|PDI+|PC的最小值为▲， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（1B分)已知函数f=2x+引}+sm2x-君引+2cosx+m的最大值为1. (1)求常数m的值； (2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合， 16（出分)已烟箱：号+学=o>00的高6*为号且过点号) (1)求椭圆E的方程： (2)已知点P(2,-1),斜率为-的直线1与椭圆E交于4，B两点.当△PAB的面积 最大时，求直线1的方程， 17.15分)在△M8c中，AC8=骨4C=4BC=2,M 为AC的中点，如图，沿BM将△CMB翻折至△DMB A 位置，满足DA=√10. (1)证明：平面DMB⊥平面ABM; (第17题图) (2)线段AB上是否存在点P,使得P在平面DAM内的射影恰好落在直线DM上. 若存在，求出AP的长度；若不存在，请说明理由. 素巴全目 18.(17分)某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态1为生成状态，在此状态下， 工具根据用户输入的提示、主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态2为 优化状态，在此状态下，工具对已生成的文本进行校对、润色、改写或结构优化. 已知该文本生成工具能自动进行状态切换或保持，每进行一次状态切换或保持称为 一次自动操作。假设首次（第一次)自动操作后处于状态1和状态2的概率均为)， 且之后每次自动操作后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关 Pg(,j∈{1,2)表示从第二次自动操作开始，每次自动操作时从状态i到状态j的概 率，若A=系=分且Ai+a=B+Ra=l. (1)记前2次自动操作后的状态中状态为1的次数为X, ()求前2次自动操作后的状态中第一次状态为1，第二次状态为2的概率； (i)求随机变量X的期望E(X); (2)记事件2：前2k(飞∈N)次自动操作后的状态中状态1和状态2均为k次， 当≥3时，证明：P(Q,)≥号P(Qa)+P(Q.,): 19.(17分)设a>0,a≠1，函数f(x)=a*+b,g(x)=log.(x-b)· (1)若a=e,b=e2,求f(x)在x=2处的切线方程； (2)若a>1,b=e2，若f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求a的取值范围； (3)若存在a∈(0,1)，使得f(x)与g(x)的图象有三个公共点，求实数b的取值范围. 圈巴全赶宁波市2025学年第二学期高考模拟考试 高三数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 c A D D B D 二、选择题： 本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-2 13.42 14.7-1 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解析：(1)f(x)=V3sin2x+cos2x+m+1=2sin 2x+π ++1,-----3分 6 当x=+2mk∈Z)时，f(y)有最大值m+3,从而m+3=1,故m=-2.-6分 6 (2)由(1)知，f(x)=2sin 白/20，有2x君}分从而爱2≤2r8 +2c,k∈Z,----10分 6 6 解得π≤x≤ +m,k∈Z, 3 故满足条件的x的取值集合为{xc≤xs+a,k∈Z -13分 3 数学答案第1页共6页 16.解析：（1)因为椭圆E的离心率e-S-y5 --2分 所以a=2b,B:r y 621, 2 因为点 在椭圆上，所以 、2 =1,解得b=1,a=2. 4b2 b2 所以椭圆E的方程为 +y2=1.-- --5分 4 2)设直线1y=+mA,BE与， 联立 4+y2=1 ，化简得x2-2x+2m2-2=0, -7分 1 y=- x+m △=4m2-4(2m2-2）=8-4m2>0,解得-V2<m<√2. 由韦达定理得x+七=2，xx2=2m2-2,k-x,=V8-4m2=2V2-m2, 所以h8=-j-上52-m, --10分 2+1+m 又因为dAB 2 2 ---12分 5 所以Sas-ABd,AB=mV2-m2=m2-m- 当m2=1时，即=±1时，△PAB的面积取到最大值， 此时，直线1y=+1或y= 2t1. -15分 解析：(1)在△1BC中，由余弦定理可得AB=2W3,A 则AB⊥BC.又M为AC的中点， 数学答案第2页共6页 则M=B=D=DB-4C=-2. 取BM的中点O,显然有OD L BM. ---2分 在△AMO中，∠AMO=120°，由余弦定理可得AO=√万， --4分 可得DA=OD+OA,所以OD⊥OA,故OD⊥平面ABM, 所以平面DMB⊥平面ABM.- --6分 (2)建立空间直角坐标系如图， 则C0,V3,0）,B(1,0,0),M(-1,0,0),A-2,-√5,0，D(0,0,V3)-8分 故M=（-1,-V5,0）,MD=1,0,V5),4B=(3,5,0) 记P在DM上的射影点为O, 设AP=AB,MQ=MD,- --10分 可得Po=M0-MA-4AP=(u+1-3,5-V52,5μ， PQ·MA=0 由题 --12分 PQ·MD=0 解翻一多》 所以存在P符合题意，且AP-10N5 --15分 7 18.解析：记事件A：前i次操作后处于状态1，则事件A:前i次操作后处于状态2， 由己知得P(4)=P间)=号P(44)=P百1A)=号P(44)=P4可)号 0即味PA国)=P4)P14)-写名 -4分 (i)X的可能取值有0,1,2，有 2x04网a4号} Px=2)=P44)-P(4)P(44)-2号有 121 数学答案第3页共6页 P(X=)=1-P(X=0)-P(X-2)5 --7分 计算得E(X)=1:--- ----9分 (2)事件M.表示Q发生且第2k次操作后处于状态1，事件N,表示Q.发生且第2k次操 作后处于状态2.显然Q,=M,UN,且PM,)=P(N)-PQ,) 当k≥3时，由2=212U2-12=212U2.-2212.U2-22-12, 得P(2)=P(22)+P(0-2212)+P(②-22-12)≥P(2-2)+P(g-,2-12) ---11分 又P(2-12)=P(M-12UN-2)=2P(M-2)=2P(M-)P(2|M-i) =P(2)P(2|M), P(2-222)=P(Mx-2212UN-2212)=2P(M-22-2) =2PMk-2)P(②-12|Mx-2)=P(2-2)P(g-12lMx-2), ---13分 而P(2|Mx-1)=P(A1AUA-1A,1M-1)=P(A2-1AM-)+P42-1A2M-1） 5 -15分 得P(0-12|M-2)=P(A2-3A-2A-1AUA-3A-2A2-1A2|M-2) =P(A2E-3Ak-2A2-1A|M-2)+P(A2-3A2-2A2-1A26|Mg-2） 2212.12.124 所以PO,)2P(Q.)+PQ,) --17分 l9.解析：(1)f(x)=e*+e2,f'(x)=e,f'(2)=e2,故切线方程为y=e2x. ---3分 (2)由f(x)=g(x),得a+e2=log.（x-e2), 所以a+x=log.（x-e2)+(x-e2),即log.d+a=log.（x-e2)+(x-e2）--(*), 记p(x)=log,x+x,可知p(x)在(0，+o)上单调递增， 数学答案第4页共6页 故由(*)得a=x-e2,所以d-x+e2=0有2个不等实根. -------6分 记p(x)=a-x+e2,有p'(x)=ada-1, 1 1 得p(x)在 Ina Ia) 一00,1 上递减，在 ,十00 上递增.-8分 Ina ha 又当x→-∞时，p(x)→+0，当x→+0时，p(x)→+0， 1 故只需p <0,即1+e2hna+hn(na)<0,得ha<e2,故1<a<e. In a -10分 (3))=a+b-log.(x-b).)=(-B)(na)-1 (x-b)lna 记t(x)=xlna+n(x-b)+2ln(-lna),注意到t(x)与hn'(x)的符号相反， 故以=i+a=hna+h-ha-1 记m=-血a>0,则tb+1 =nm-bm-1=s(m）, 当b>0时：sm)6,放s(叫在0)上递增，在公+ 上递减， m 若n22≤0，即b≥c2,则s(m)s0恒成立，(y)≤0恒成立，h'()≥0恒成立， b 故h(x)单调递增，所以不可能有三个实数解，矛盾.-- ---12分 若0<b<e2，则s()ms>0,故存在ae(0,1),使得t(x)nm>0, 又当x→b时，t(x)→-0，当x→+∞时，t(x)→-0， 数学答案第5页共6页 所以存在b<5<b+1<5,使得t(代)=0(=1,2)， -Ina 故当x∈(b,)U(x2,+o)时，t(x)<0,h'(x)>0,当xe(s,x)时，t(x)>0,h'(x)<0, 所以h(x)在(b,x)上递增，在(，x)上递减，在(x2,+o)上递增. 当b≤0时，s(m)在(0，+o)上递增，当→+n时，s(m)→+∞，故存在m>0,使得 s(m)>0,即存在a∈(0,1)，使得(x)mx>0, 又当x→b*时，t(x)→-0，当x→+n时，t(x)→-0， 所以存在b<飞<b+】<5,使得()=01=1,2)， 故当x∈(b,5)U(x,+o)时，t(x)<0,h'(x)>0,当x∈(s,x)时，t(x)>0,h'(x)<0, 所以h(x)在(b,x)上递增，在(，x)上递减，在(x2,+m)上递增. 下面证明：当b<e2时，命题成立. 当x→b时，h(x)→-o,当x→+o时，h(x)+o,所以只需证明h(x)>0>h(3). 由h'(x)=0(i=1,2),得a(x-b)(hma2-1=0(i=1,2), 设1(x)=a+b-x, ---14分 1(x)在R上递减，又1(b)>0,且当x→+o时，1(x)→-m, 故存在x∈(b,+o),使得l(x)=0,所以+b=x一x=1og(x-b)一h(x)=0. 8W-e9m6-6-写6向传-6时r 又因为0<5-b<1<5-b,故15)>0， 所以1(x)<0, 所以1(x)>1(x)>1(x2),结合1(x)在R上递减，可得x<x<x, 又因为h(x)在(：，x)上递减，所以h(s)>0>h(),得证. 综上，b<e2. -17分 数学答案第6页共6页