第四章：比和比例（综合复习讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

2026年小升初数学复习讲练测 第四章：比和比例 （14大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） （一）知识点梳理 知识点01 比的意义 2 知识点02 比的基本性质 3 知识点03 化简比和求比值 3 知识点04 比的应用 3 知识点05 比例的意义 4 知识点06 比例的基本性质 4 知识点07 解比例 5 知识点08 正比例 5 知识点09 反比例 5 知识点10 比例尺 6 知识点11 比例的应用 6 （二）重难点题型讲解 考点01 比的读法、写法及各部分的名称 7 考点02 比的基本性质 7 考点03 化简比和求比值 7 考点04 比与分数、除法的关系 8 考点05 按比分配问题 9 考点06 比例的意义和基本性质 10 考点07 解比例 11 考点08 正比例及其应用 11 考点09 反比例及其应用 12 考点10 物高与影长问题 13 考点11 比例尺 13 考点12 应用比例尺画图 14 考点13 比例尺的实际应用 15 考点14 图形的放大与缩小 15 （三）真题演练 真题演练 16 知识点01：比的意义 1.比的意义：两个数的比表示两个数相除。 2.比的读、写法及各部分名称 （1）比的写法：∶b或（b≠0）。 （2）比的读法：“∶”读作“比”，从前往后读成“几比几”。 （3）比号前面的数叫做比的前项，后面的数叫做比的后项，前项除以后项得的商叫做比值。 （4）比值可以用分数表示，也可以用小数表示，还可以用整数表示。 （5）比值＝比的前项÷比的后项 3.比和比值的区别 （1）比表示的是两个数的关系，是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式，读作几比几。 （2）比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。 4.比与分数、除法的关系： 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） —（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系； 不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 知识点02：比的基本性质 1.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外），比值不变。 a∶b＝na∶nb（b≠0，n≠0），或者a∶b＝∶ （b≠0，n≠0）。 2.最简整数比：比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比。 【易错点拨】判断是否为最简比，关键看前项和后项是否互质。 知识点03：化简比和求比值 1.求比值：求比值就是求比的前项除以后项所得的商。比值可以用小数、分数或整数表示。 2.化简比：化简比则是把两个数的比化成最简单的整数比。化简比时，通常需要根据比的基本性质，将比的前项和后项同时乘或除以某个数，使它们成为互质数。 3.化简比的方法 （1）整数比的化简：直接找出比的前项和后项的最大公因数，然后同时除以这个最大公因数。 （2）小数比的化简：将比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比后再进行化简。 （3）分数比的化简： ①方法一：将比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。 ②方法二：用求比值的方法进行化简，但最后结果要写成比的形式。 （4）求带单位的比的比值或化简： ①单位统一的比，求比值或化简比，直接化简求值即可； ②单位不统一的，要先将单位进行统一，然后再求比值。化简比的方法也一样。 【易错点拨】 （1）化简比用“比的基本性质”（乘除相同数，0除外），求比值用“除法运算”（前项÷后项）。 （2）化简比结果是“a∶b”（最简整数比），求比值结果是整数、小数或分数（不能是比的形式）。 知识点04：比的应用 按比分配问题的解题方法： 1、分数法：先求总份数，再求各部分量占总数的几分之几，最后用总量乘各部分量占总数的几分之几，求出各部分量。 2、归一法：先求出总份数，再用总数量÷总份数求出平均每份的量（归一），最后用每份的量乘各部分对应的份数求出各部分量。 【易错点拨】 （1）先明确“总量”和“分配比”，确保比的顺序与各部分对应的量一致。 （2）若分配比不是最简比，需先化简再计算。 （3）计算后需验证各部分量之和是否等于总量。 （4）遇到“部分量求总量”的逆向问题，先求每份的量，再乘总份数。 知识点05：比例的意义 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）两端的两项叫做比例的外项。 （3）中间的两项叫做比例的内项。 3.比和比例的联系与区别 知识点06：比例的基本性质 1.比例的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 2.用字母表示：如果a∶b＝c∶d（b、d均不为0），那么ad＝bc。 3.判断两个比能否组成比例的方法 （1）求出比值，看它们的比值是否相等； （2）根据比例的基本性质求“积”，看两个外项的积是否等于两个内项的积。 知识点07：解比例 1.解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。 2.解比例的依据：比例的基本性质。 3.解比例的方法：可以根据比例的基本性质将原式转化成学过的方程，再解方程；也可以先将原式进行整理计算，再转化成学过的方程来解。 知识点08：正比例 1、相关联的量：两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫做相关联的量。 2、正比例 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （2）字母表达式：如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为。 （3）关键特征：比值一定，变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）。 （4）正比例的图象：如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点09：反比例 1、定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2、字母表达式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy＝k。 3、关键特征：乘积一定，变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。 4、反比例的图象：反比例关系也可以用图象来表示，如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，会形成一条光滑的曲线；反之，该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点10：比例尺 1.比例尺：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 用公式表示为“图上距离∶实际距离＝比例尺”，或“＝比例尺”。 2.比例尺的分类 （1）按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。 把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。 （2）按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。 3.应用比例尺画图 （1）根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图； （4）标明平面图的名称和比例尺。 【易错点拨】 （1）比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的关系，因此不能带计量单位。 （2）计算时单位必须统一。 （3）线段比例尺需先转化为数值比例尺，再进行计算。 知识点11：比例的应用 1、图形的放大与缩小 （1）图形按一定的比放大或缩小后，只是图形的大小发生了变化，图形原有的形状没变化。 （2）把图形按比放大或缩小，就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。 2、用正、反比例知识解决问题的解题步骤 （1）根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。 （2）找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。 （3）解比例。 （4）检验并写出答语。 考点01：比的读法、写法及各部分的名称 【典型例题】下面三个情境中的比，可以用2∶3表示的有（     ）个。 情境一 与的个数比 情境二 大圆与小圆的面积比 情境三 树的高度和影子的长度比 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练1】阅兵仪式上，某个徒步方队排面长与宽的比是7∶5，这个比的前项是（ ），比值是（ ）。 【变式训练2】5÷4写成比是（ ），读作（ ），其中（ ）是比的前项，（ ）是比的后项，比值是（ ）。 考点02：比的基本性质 【典型例题】一个比的前项是8，如果前项增加到16，要使比值不变，后项应该（     ）。 A．增加16 B．乘2 C．乘3 【变式训练1】一个比的比值是4，如果前项乘3，后项除以3，比值是（     ）。 A．4 B．12 C．36 【变式训练2】将40∶50的前项除以10，要使比值不变，后项应（     ）。 A．乘10 B．除以10 C．加上10 D．减去10 考点03：化简比和求比值 【典型例题】汉字的偏旁部首之间存在着一定的比例关系。以左右结构的“福”字为例，其比例约为1∶1.5，把1∶1.5化成最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。 【变式训练1】2∶0.2的比值是（ ）；把0.7t∶20kg化成最简整数比是（ ）。 【变式训练2】化简比，并求比值。 0.125∶0.5                           3.5∶1.4 小时∶40分         0.8升∶16毫升         5%∶35% 考点04：比与分数、除法的关系 【典型例题】热干面的芝麻酱、香油按调和，可使芝麻酱顺滑，香气浓郁。可小明在吃之前，又将芝麻酱和香油各加了5克，这样拌出的热干面（     ）。 A．芝麻酱味道更浓 B．香油味道更浓 C．醋的味道更浓 D．味道没变化 【变式训练】根据图中阴影部分与整个图形的关系，将等式填写完整。 （     ）÷24＝＝（     ）∶（     ）＝（     ）%＝（     ）（填小数）。 考点05：按比分配问题 【典型例题】我国有悠久的青铜器铸造史，先秦古籍《考工记》记载了铸造青铜器所用的锡、铜的质量比。经查阅资料知道：铸造鼎的锡、铜质量比是，铸造刀、剑的锡、铜质量比是。（剑的重量通常约为） （1）铸造一个鼎所用的锡的质量是120kg，铸造这个鼎的总质量是多少千克？ （2）某博物馆中陈列了一把大刀，是革命历史的见证。已知这把大刀重24kg，那么铸造这把大刀需要锡和铜各多少千克？ （3）现有铸剑的原料锡240g、铜780g。铸造一把剑还需要添加什么？ 方案一：加锡  方案二：加铜  方案三：加同样多的锡和铜 请先在你认为正确的方案后面打“√”，再求出需要添加的具体克数。 【变式训练1】小强周末在家尝试自己调配果汁，他按照橙汁原液和水的体积比为来调配，用300毫升的橙汁原液一共能调配出多少毫升的果汁？ 【变式训练2】为开展植树活动，学校购买了54棵树苗，其中分配给六（1）班，剩下的按2∶3分配给六（2）班和六（3）班种植，六（2）班和六（3）班各分配到多少棵树苗？ 考点06：比例的意义和基本性质 【典型例题】如果2a＝3b，则＝（ ），＝（ ）。 【变式训练1】下列选项中的两个比可以组成比例的是（     ）。 A．6∶9和9∶12 B．1∶2和3∶4 C．1.2∶4和1.5∶5 D．和2∶3 【变式训练2】在一个比例中，两个比的比值都等于5，这两个比例的两个外项分别是和，这个比例可能是（ ）或（ ）。 考点07：解比例 【典型例题】解比例。                            【变式训练】解比例。               考点08：正比例及其应用 【典型例题】有着“一两黄金一两墨”之称的徽墨是我国文房四宝中墨的代表。制作徽墨的第一步便是桐籽榨油，每50千克桐籽大约可榨桐油20千克，下面是桐籽质量与所榨桐油质量的关系表。 桐籽/千克 100 150 200 250 桐油/千克 （1）把上表补充完整。 （2）因为（ ）一定，所以（ ）与（ ）成（ ）比例关系。 （3）根据表中的数据，在图中描出桐籽的质量与所榨桐油的质量对应的点，再把它们连起来。 （4）不计算，如果桐油的质量为90千克，那么需要桐籽（ ）千克。 【变式训练1】我国古代就有“煮海为盐”的做法，即从海水中提取食盐。相传，山东夙沙氏为远古时期夙沙部落首领，他煮海为盐，为中华制盐之鼻祖。一个晒盐场用600千克海水可以晒18千克盐。照这样计算，用200吨海水可以晒（ ）吨盐。 【变式训练2】蜜蜂是大自然中勤劳的小工匠，它们以独特的方法和技巧采集花蜜，并将花蜜酿制成蜂蜜存储在蜂巢中。100克蜂蜜里含有34.5克葡萄糖。照这样计算，3千克蜂蜜里含有多少千克葡萄糖？（用比例解答） 考点09：反比例及其应用 【典型例题】两个齿轮咬合在一起转动，大齿轮有25个齿，每分钟转100转，小齿轮有20个齿，每分钟转多少转？ 【变式训练1】A和B是两种相关联的量，当A＝5时，B＝6，如果A和B成正比例，当A＝7.5时，B＝（ ）；如果A和B成反比例，当A＝9时，B＝（ ）。 【变式训练2】小明家装修新房，如果用边长是4分米的方砖铺地，需要200块。如果改用边长是8分米的方砖铺地，需要多少块？（用比例解） 考点10：物高与影长问题 【典型例题】学习了比例的知识后，根据同一时间、同一地点的物体高度和影子长度的比值是相等的，明明想到了一个办法来测量教学楼的高度。他先在教学楼旁边立了一根3米的木杆，测量杆子的影长是0.3米，再测量出教学楼的影长是150厘米，教学楼的高度是（ ）米。学校旗杆的高度是12米，它的影长是（ ）米。 【变式训练】直立在地上的4米高的旗杆的影子长是9.6米，同一时刻，附近有一根电线杆的影子长28.8米，这根电线杆高多少米？ 考点11：比例尺 【典型例题】一幅地图的比例尺为，把这个线段比例尺改写成数值比例尺是_________，在这幅地图上12厘米表示实际距离_________千米，A、B两地相距300千米，则A、B两地的图上距离应是_________厘米。 【变式训练】王老师把一张荣誉证书在复印机上调到200%复印，这是按（ ）∶（ ）的比例复印的。 考点12：应用比例尺画图 【典型例题】某市地铁1号线正在建设中。下图是1号线经过的商务区的主要街道图。 （1）把这幅图的线段比例尺改写成数值比例尺是（ ）。 （2）1号线在源兴大道下面经过，源兴大道位于101广场正北方向1.5千米处，与新开路、黄河路互相垂直，请在图中标出源兴大道的位置。 （3）梦乐城在源兴大道与黄河路交会处的南偏东20º方向2千米处，呼叫中心在101广场的北偏东45º方向1千米处，请在图中标出它们的位置。 【变式训练】根据下面的信息完成下图。 比例尺1∶4000 （1）在小利家的正北方向40米处是一个花坛。 （2）小芳家在小利家的北偏西45°方向，离小利家60米处。 （3）小利家在小芳家（ ）偏（ ）（ ）°方向，离小芳家（ ）米处。 考点13：比例尺的实际应用 【典型例题】在比例尺是1∶6000000的地图上，量得两地距离是5厘米，甲、乙两车同时从两地出发相向而行，一段时间后两车相遇，已知甲、乙两车行驶的路程比是2∶3，相遇时甲车行驶了多少千米？ 【变式训练1】爸爸身高1.75米，在一张照片上他只有3.5厘米高，这张照片的比例尺是（ ），小云在照片上的高度是3.1厘米，她实际身高（ ）米。 【变式训练2】李云一家去景区游玩，在比例尺是1∶8000000的地图上量得他们的出发点距离景区有1.5厘米。如果在另一张地图上量得他们的出发点距离景区有2.4厘米，那么这张地图的比例尺是多少？ 考点14：图形的放大与缩小 【典型例题】图形放大或缩小后与原图形形状相同，大小不同。一张长方形照片长40厘米、宽32厘米，按比例缩小后，长5厘米，宽应是（ ）厘米，缩小后的图形与原图形的面积比是（ ）。 【变式训练1】先将图中的平行四边形按放大，再将放大后的图形按缩小。画出放大和缩小后的图形。 【变式训练2】长方形的长是4cm，宽是3cm，把它按2∶1的比变化，变化后图形面积是（     ）。 A．12cm2 B．24cm2 C．6cm2 D．48cm2 一、选择题 1．下列比能与0.25∶组成比例的是（     ）。 A． B．3∶2 C．∶ D． 2．把2∶3的前项加上6，要使比值不变，后项应（     ）。 A．加上6 B．减去6 C．乘3 D．乘4 3．两个长方形操场的长和宽的比为5∶3和7∶2。下面关于操场长宽比的理解，正确的是（     ）。 A．5∶3的操场形状比7∶2的操场更接近正方形 B．7∶2的操场面积一定比5∶3的操场面积大 C．5∶3的操场长一定是50米，宽一定是30米 D．7∶2的操场长度是5∶3的操场长度的1.4倍 4．如果，那么（     ）。 A．1 B． C．2 D．81 5．爷爷的身高与他的年龄（     ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．以上都有可能 6．研究发现，8岁以上的儿童一天的活动时间与睡眠时间的比是5∶3最合理，8岁以上的儿童最合理的睡眠时间是（     ）小时。 A．6 B．9 C．12 D．15 7．黄金比被视作极具审美意义的比。以肚脐为界，当上半身与下半身的长度比是0.618时，身体比例最美。达不到的话可穿高跟鞋改善。妈妈身高164厘米，下半身长99厘米，她需要穿高跟鞋的最佳高度是（     ）厘米。（结果取整厘米数） A．5 B．6 C．7 D．8 8．明明调制了一杯柠檬水，柠檬汁和水的比是1∶16，喝掉后，柠檬汁和水的比是（     ）。 A．1∶8 B．1∶16 C．1∶32 D．1∶24 二、填空题 9．把小时∶75分化简成最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。 10．把50g盐放入200g水中，盐和水的质量比是（ ），盐和盐水的质量比（ ）。 11．＝4÷（     ）＝0.4＝（     ）∶50＝（     ）%＝（     ）折＝（     ）成。 12．某停车场一共有260个车位，分为普通车位和充电桩车位。普通车位和充电桩车位的数量比是1∶0.3。这个停车场充电桩车位有（ ）个。 13．在一个比例中，两个外项的积是40，其中一个内项是8，另一个内项是（ ）。 14．打印一份相同的稿件，甲用12分钟，乙用10分钟，则甲与乙的工效比是（ ）。 15．我国古代数学典籍《九章算术》中，“衰分术”被广泛应用于物资调配、食材配比等实际问题。王阿姨制作粽子馅料时，猪肉和咸蛋黄的质量比是2∶1，现准备的猪肉比咸蛋黄多50克，咸蛋黄有（ ）克，猪肉有（ ）克。 16．《鸟鸣涧》是唐代诗人王维创作的一篇诗词，文笔优美。“人闲桂花落，夜静春山空。月出惊山鸟，时鸣春涧中。”在这20个字中，左右结构的字数与总字数的比是（ ）。 17．一幅图的比例尺是1∶2000000，甲乙两地相距100千米，画在这幅图上，应画（ ）厘米。 18．在比例尺为1∶4000000的地图上，量得石家庄到北京的图上距离是7厘米，那么石家庄到北京的实际距离是（ ）千米。 19．一个长方形果园，周长是400米，宽与长的比是2∶3，果园的宽是（ ）米，果园的长是（ ）米。 20．剪纸是我国传统手工艺的代表。手工制作课上，同学们学习剪窗花，老师检查后，有95个窗花合格，只有5个窗花不合格。合格的数量和不合格的数量的最简单的整数比是（ ），这些窗花的合格率是（ ） 21．2025年6月12日，中国自主研发的CR450复兴号列车时速刷新了世界纪录。此列车小时可以行驶180千米，这时路程与时间的最简整数比是（ ），比值是（ ），这个比值表示的实际意义是（ ）。 22．已知甲种糖果利润率为30%，乙种糖果利润率为60%，如果将甲、乙两种糖果按5∶1的重量比混合，得到的什锦糖果利润率为36%，商店老板希望什锦糖果的利润率为50%。则甲、乙两种糖果应该按（ ）的重量比混合。 23．A、B两地相距90千米，从A地到B地，甲车需要小时，乙车需要1.25小时。甲、乙两车所用时间的最简比是（ ），速度的最简比是（ ）。 24．人的肚脐是人身长的黄金分割点。一般来说，当肚脐到脚跟的长度与人身高的比为0.618∶1时，是比较好看的黄金身段。某名身高为180厘米的舞蹈演员是黄金身段，则他的肚脐到脚跟的长度为（ ）厘米。（结果保留整数） 25．一幅地图的线段比例尺是，把它改写成数值比例尺是（ ）。在这幅地图上，红红量得甲、乙两地距离是25厘米，则甲、乙两地的实际距离是（ ）米。 26．“茶倒七分满”是我国传统礼仪，是指给客人倒茶时茶水占茶杯容积的70%，现有一个最多装180mL的圆柱形茶杯，大约倒入（ ）mL的茶水比较合适，这时没装水的高度与装水的高度之比是（ ）。 27．阅读下面的信息填空。 人的身高与双臂长度的比大约是1∶1，身高与胸围比大约是2∶1，人的脚长与身高的比大约是1∶7，人的体重与血液重量之比大约是13∶1，成年人身高与头长的比大约是7∶1，腿长与头长的比大约是4∶1… 张老师穿23厘米的鞋子，据此可以推断，她的身高大约是（ ）厘米。 三、解答题 28．果园里苹果树、梨树、枣树之比是3∶4∶5，这三种果树一共有156棵。三种果树各有多少棵？ 29．在比例尺为1∶6000000的地图上，量得石家庄与天津某地之间的高速公路长5厘米。小明爸爸开车3小时行完了这段路，他开车超速了吗？（高速公路上最高速度不允许超过每小时120千米） 30．六年级数学小组为了测量一棵大树的高度，把一根1米长的竹竿直立在地上。测出竹竿影长是0.5米，同一时刻大树影长是6米，大树高多少米？（列比例解答） 31．乘船的人数与所付船费如下表。 人数（人） 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费（元） 0 8 16 24 … （1）把上表填写完整。 （2）所付船费与乘船人数成正比例吗？ （3）根据表中数据，在图中描出对应的点，再顺次连接各点，你发现了什么？ （4）点（8，64）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 32．学校原有跳绳36根，其中短绳与长绳根数的比是，又买回一些短绳后，短绳根数与长绳根数的比为。现在学校共有跳绳多少根？ 33．小红在假期看一本故事书，现在已经看了的和未看的页数之比是1∶5，如果小红再看20页，那么已经看了的和未看的页数之比是3∶5。这本故事书一共有多少页？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年小升初数学复习讲练测 第四章：比和比例 （14大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） （一）知识点梳理 知识点01 比的意义 2 知识点02 比的基本性质 3 知识点03 化简比和求比值 3 知识点04 比的应用 3 知识点05 比例的意义 4 知识点06 比例的基本性质 4 知识点07 解比例 5 知识点08 正比例 5 知识点09 反比例 5 知识点10 比例尺 6 知识点11 比例的应用 6 （二）重难点题型讲解 考点01 比的读法、写法及各部分的名称 7 考点02 比的基本性质 8 考点03 化简比和求比值 9 考点04 比与分数、除法的关系 12 考点05 按比分配问题 14 考点06 比例的意义和基本性质 17 考点07 解比例 18 考点08 正比例及其应用 21 考点09 反比例及其应用 24 考点10 物高与影长问题 26 考点11 比例尺 27 考点12 应用比例尺画图 28 考点13 比例尺的实际应用 31 考点14 图形的放大与缩小 33 （三）真题演练 真题演练 35 知识点01：比的意义 1.比的意义：两个数的比表示两个数相除。 2.比的读、写法及各部分名称 （1）比的写法：∶b或（b≠0）。 （2）比的读法：“∶”读作“比”，从前往后读成“几比几”。 （3）比号前面的数叫做比的前项，后面的数叫做比的后项，前项除以后项得的商叫做比值。 （4）比值可以用分数表示，也可以用小数表示，还可以用整数表示。 （5）比值＝比的前项÷比的后项 3.比和比值的区别 （1）比表示的是两个数的关系，是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式，读作几比几。 （2）比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。 4.比与分数、除法的关系： 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） —（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系； 不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 知识点02：比的基本性质 1.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外），比值不变。 a∶b＝na∶nb（b≠0，n≠0），或者a∶b＝∶ （b≠0，n≠0）。 2.最简整数比：比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比。 【易错点拨】判断是否为最简比，关键看前项和后项是否互质。 知识点03：化简比和求比值 1.求比值：求比值就是求比的前项除以后项所得的商。比值可以用小数、分数或整数表示。 2.化简比：化简比则是把两个数的比化成最简单的整数比。化简比时，通常需要根据比的基本性质，将比的前项和后项同时乘或除以某个数，使它们成为互质数。 3.化简比的方法 （1）整数比的化简：直接找出比的前项和后项的最大公因数，然后同时除以这个最大公因数。 （2）小数比的化简：将比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比后再进行化简。 （3）分数比的化简： ①方法一：将比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。 ②方法二：用求比值的方法进行化简，但最后结果要写成比的形式。 （4）求带单位的比的比值或化简： ①单位统一的比，求比值或化简比，直接化简求值即可； ②单位不统一的，要先将单位进行统一，然后再求比值。化简比的方法也一样。 【易错点拨】 （1）化简比用“比的基本性质”（乘除相同数，0除外），求比值用“除法运算”（前项÷后项）。 （2）化简比结果是“a∶b”（最简整数比），求比值结果是整数、小数或分数（不能是比的形式）。 知识点04：比的应用 按比分配问题的解题方法： 1、分数法：先求总份数，再求各部分量占总数的几分之几，最后用总量乘各部分量占总数的几分之几，求出各部分量。 2、归一法：先求出总份数，再用总数量÷总份数求出平均每份的量（归一），最后用每份的量乘各部分对应的份数求出各部分量。 【易错点拨】 （1）先明确“总量”和“分配比”，确保比的顺序与各部分对应的量一致。 （2）若分配比不是最简比，需先化简再计算。 （3）计算后需验证各部分量之和是否等于总量。 （4）遇到“部分量求总量”的逆向问题，先求每份的量，再乘总份数。 知识点05：比例的意义 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）两端的两项叫做比例的外项。 （3）中间的两项叫做比例的内项。 3.比和比例的联系与区别 知识点06：比例的基本性质 1.比例的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 2.用字母表示：如果a∶b＝c∶d（b、d均不为0），那么ad＝bc。 3.判断两个比能否组成比例的方法 （1）求出比值，看它们的比值是否相等； （2）根据比例的基本性质求“积”，看两个外项的积是否等于两个内项的积。 知识点07：解比例 1.解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。 2.解比例的依据：比例的基本性质。 3.解比例的方法：可以根据比例的基本性质将原式转化成学过的方程，再解方程；也可以先将原式进行整理计算，再转化成学过的方程来解。 知识点08：正比例 1、相关联的量：两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫做相关联的量。 2、正比例 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （2）字母表达式：如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为。 （3）关键特征：比值一定，变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）。 （4）正比例的图象：如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点09：反比例 1、定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2、字母表达式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy＝k。 3、关键特征：乘积一定，变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。 4、反比例的图象：反比例关系也可以用图象来表示，如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，会形成一条光滑的曲线；反之，该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点10：比例尺 1.比例尺：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 用公式表示为“图上距离∶实际距离＝比例尺”，或“＝比例尺”。 2.比例尺的分类 （1）按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。 把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。 （2）按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。 3.应用比例尺画图 （1）根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图； （4）标明平面图的名称和比例尺。 【易错点拨】 （1）比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的关系，因此不能带计量单位。 （2）计算时单位必须统一。 （3）线段比例尺需先转化为数值比例尺，再进行计算。 知识点11：比例的应用 1、图形的放大与缩小 （1）图形按一定的比放大或缩小后，只是图形的大小发生了变化，图形原有的形状没变化。 （2）把图形按比放大或缩小，就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。 2、用正、反比例知识解决问题的解题步骤 （1）根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。 （2）找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。 （3）解比例。 （4）检验并写出答语。 考点01：比的读法、写法及各部分的名称 【典型例题】下面三个情境中的比，可以用2∶3表示的有（     ）个。 情境一 与的个数比 情境二 大圆与小圆的面积比 情境三 树的高度和影子的长度比 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】情境一可以直接写出个数比，利用比的基本性质化简；情境二根据圆的面积公式写出两个圆的面积之比，要注意面积比是半径平方的比，不是半径的比；情境三先写出树的高度和影子的长度比，再利用比的基本性质化简。 【详解】由图可知，情境一中三角形和圆的个数分别是4和6，它们的个数之比可以用4∶6表示，4∶6化简后就等于2∶3。情境二中大圆和小圆的半径分别是3cm和2cm，它们的面积之比是9∶4。情境三中树的高度和影子的长度分别是3.5m和9m，它们的比可以用3.5∶9表示，化简后是7∶18。 因此可以用2∶3表示的有1个。 【变式训练1】阅兵仪式上，某个徒步方队排面长与宽的比是7∶5，这个比的前项是（ ），比值是（ ）。 【答案】 7 //1.4 【分析】在一个比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以比的后项，所得的商叫做比值。 【详解】7∶5＝7÷5＝ 阅兵仪式上，某个徒步方队排面长与宽的比是7∶5，这个比的前项是7，比值是。 【变式训练2】5÷4写成比是（ ），读作（ ），其中（ ）是比的前项，（ ）是比的后项，比值是（ ）。 【答案】 5∶4 五比四 5 4 【分析】根据比与除法的关系：；读作：五比四；被除数作比的前项，除数作比的后项，再用比的前项除以后项，求出比值；据此解答。 【详解】； 5÷4写成比是，读作：五比四，其中5是比的前项，4是比的后项，比值是。 考点02：比的基本性质 【典型例题】一个比的前项是8，如果前项增加到16，要使比值不变，后项应该（     ）。 A．增加16 B．乘2 C．乘3 【答案】B 【分析】比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；先看前项扩大到原来的几倍，再确定后项的变化即可。 【详解】16÷8＝2 B正确。 【变式训练1】一个比的比值是4，如果前项乘3，后项除以3，比值是（     ）。 A．4 B．12 C．36 【答案】C 【分析】假设这个比是4∶1（比值为4），再按题目要求变化前项和后项，计算新的比值。 【详解】假设原比为4∶1 新前项：4×3＝12 新后项： 新比值： 比值是4，如果前项乘3，后项除以3，比值是36。 【变式训练2】将40∶50的前项除以10，要使比值不变，后项应（     ）。 A．乘10 B．除以10 C．加上10 D．减去10 【答案】B 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。题目中40∶50的前项除以10，要使比值不变，后项也应除以10。 【详解】40∶50＝0.8，40÷10＝4，50÷10＝5，4∶5＝0.8，比值不变。 考点03：化简比和求比值 【典型例题】汉字的偏旁部首之间存在着一定的比例关系。以左右结构的“福”字为例，其比例约为1∶1.5，把1∶1.5化成最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。 【答案】 2∶3 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变；比值的求法：用比的前项÷比的后项即可。 【详解】1∶1.5 ＝（1×10）∶（1.5×10） ＝10∶15 ＝（10÷5）∶（15÷5） ＝2∶3 2∶3 ＝2÷3 ＝ 【变式训练1】2∶0.2的比值是（ ）；把0.7t∶20kg化成最简整数比是（ ）。 【答案】 10 35∶1 【分析】求比值直接用比的前项÷后项；根据1t＝1000kg，统一单位，化简比根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 【详解】2∶0.2＝2÷0.2＝10 0.7t∶20kg＝700kg∶20kg＝（700÷20）∶（20÷20）＝35∶1 【变式训练2】化简比，并求比值。 0.125∶0.5                           3.5∶1.4 小时∶40分         0.8升∶16毫升         5%∶35% 【答案】1∶4；；；；5∶2；； 1∶2；；50∶1；50；1∶7； 【分析】（1）比的前项和后项先同时乘1000，把小数比转化为整数比，比的前项和后项再同时除以125，把整数比转化为最简比，最后求出比的前项除以后项的商就是比值； （2）比的前项和后项先同时乘7，把分数比转化为整数比，比的前项和后项再同时除以8，把整数比转化为最简比，最后求出比的前项除以后项的商就是比值； （3）比的前项和后项先同时除以0.7，把小数比转化为最简整数比，再求出比的前项除以后项的商就是比值； （4）先根据“1小时＝60分”用乘法把高级单位转化为低级单位，比的前项和后项再同时除以20，最后求出比的前项除以后项的商就是比值； （5）先根据“1升＝1000毫升”用乘法把高级单位转化为低级单位，比的前项和后项再同时除以16，最后求出比的前项除以后项的商就是比值； （6）先把百分数转化为小数，比的前项和后项再同时除以0.05，最后求出比的前项除以后项的商就是比值。 【详解】（1）0.125∶0.5 ＝（0.125×1000）∶（0.5×1000） ＝125∶500 ＝（125÷125）∶（500÷125） ＝1∶4 1∶4＝1÷4＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ 3∶7＝3÷7＝ （3）3.5∶1.4 ＝（3.5÷0.7）∶（1.4÷0.7） ＝5∶2 5∶2＝5÷2＝ （4）小时∶40分 ＝（×60）分∶40分 ＝20∶40 ＝（20÷20）∶（40÷20） ＝1∶2 1∶2＝1÷2＝ （5）0.8升∶16毫升 ＝（0.8×1000）毫升∶16毫升 ＝800∶16 ＝（800÷16）∶（16÷16） ＝50∶1 50∶1＝50÷1＝50 （6）5%∶35% ＝0.05∶0.35 ＝（0.05÷0.05）∶（0.35÷0.05） ＝1∶7 1∶7＝1÷7＝ 考点04：比与分数、除法的关系 【典型例题】热干面的芝麻酱、香油按调和，可使芝麻酱顺滑，香气浓郁。可小明在吃之前，又将芝麻酱和香油各加了5克，这样拌出的热干面（     ）。 A．芝麻酱味道更浓 B．香油味道更浓 C．醋的味道更浓 D．味道没变化 【答案】B 【分析】分别计算原来芝麻酱和香油各占总质量的分率，增加的芝麻酱和香油各占增加总量的分率，再对比原来的芝麻酱、香油和增加的芝麻酱、香油的分率，增加的哪种食物的分率大，其味道就更浓。 【详解】原来芝麻酱的分率： 增加的芝麻酱的分率： 原来香油的分率： 增加的香油的分率： A．芝麻酱味道更淡了，该选项错误； B．香油味道更浓，该选项正确； C．没有增加醋，该选项错误； D．香油味道更浓，该选项错误。 【变式训练】根据图中阴影部分与整个图形的关系，将等式填写完整。 （     ）÷24＝＝（     ）∶（     ）＝（     ）%＝（     ）（填小数）。 【答案】6；60；1；4；25；0.25 【分析】把整个三角形面积看作单位“1”，平均分成16份，4份涂阴影，据此先求出阴影部分面积是整个三角形面积的几分之几，再确定除数或分子相对于原来是乘了几，根据商不变规律、分数的基本性质给被除数或分母也乘几；再根据分数与比的关系（分子对应比的前项，分母对应比的后项）写成比的形式；最后用分子除以分母，化成小数，再把小数点向右移动两位，末尾添上百分号，化成百分数。 【详解】阴影部分：4份 整个三角形：16份 阴影部分面积是整个三角形面积的4÷16＝＝。 （1）＝1÷4，除数变成24，24÷4＝6，乘6，因此被除数也要乘6，即1×6＝6。 （2）分子变成15，15÷1＝15，乘15，因此分母也要乘15，即4×15＝60。 （3）＝1∶4 （4）＝1÷4＝0.25＝25% 因此，6÷24＝＝1∶4＝25%＝0.25（填小数）。 考点05：按比分配问题 【典型例题】我国有悠久的青铜器铸造史，先秦古籍《考工记》记载了铸造青铜器所用的锡、铜的质量比。经查阅资料知道：铸造鼎的锡、铜质量比是，铸造刀、剑的锡、铜质量比是。（剑的重量通常约为） （1）铸造一个鼎所用的锡的质量是120kg，铸造这个鼎的总质量是多少千克？ （2）某博物馆中陈列了一把大刀，是革命历史的见证。已知这把大刀重24kg，那么铸造这把大刀需要锡和铜各多少千克？ （3）现有铸剑的原料锡240g、铜780g。铸造一把剑还需要添加什么？ 方案一：加锡  方案二：加铜  方案三：加同样多的锡和铜 请先在你认为正确的方案后面打“√”，再求出需要添加的具体克数。 【答案】（1）840千克 （2）锡6千克；铜18千克 （3）选方案一√；20克 【分析】（1）根据题意，铸造鼎的锡占了1份，铜占了6份，总共7份，把总质量看作单位1，锡占总质量的，那么总质量＝锡的质量÷； （2）根据题意，造刀锡、铜质量比是，把总质量看作单位1，那么锡占总质量的，铜占总质量的，求锡和铜的具体质量我们可以用总质量分别乘以它们对应的分率； （3）根据题意，造剑锡、铜质量比是，目前锡有240克，铜有780克，锡∶铜＝240∶780＝4∶13，与正常比例去比较（4：12），很明显是铜多了，要加锡，我们可以通过解比例的方法求出780克铜需要配多少锡，然后减去目前锡的质量，就是需要添加的锡的质量； 【详解】（1）（1）根据分析，可列式为： 120÷＝120÷＝120×7＝840（千克） 答：铸造这个鼎的总质量是840千克。 （2）根据分析，可列式为： 锡：24×＝24×＝6（千克） 铜：24×＝24×＝18（千克） 答：铸造这把大刀需要锡6千克，铜18千克。 （3）锡∶铜＝240∶780＝4∶13，与正常比例去比较（1∶3＝4∶12），很明显是铜多了，要加锡； 解：设配780克铜需要的锡是x克 x∶780＝1∶3 ＝ 780＝780 x＝260 260－240＝20（克） 答：选方案一，需增加锡20克。 【变式训练1】小强周末在家尝试自己调配果汁，他按照橙汁原液和水的体积比为来调配，用300毫升的橙汁原液一共能调配出多少毫升的果汁？ 【答案】毫升 【分析】根据题意，橙汁原液和水的体积比是，即将果汁总体积看作（份），其中橙汁原液占份，水占份。已知橙汁原液有毫升，对应的是份，可以先求出份的体积，再乘果汁总份数求出果汁总体积；也可以先求出橙汁原液占果汁总体积的分率，再用除法计算总体积。 【详解】 （毫升） 答：一共能调配出毫升的果汁。 【变式训练2】为开展植树活动，学校购买了54棵树苗，其中分配给六（1）班，剩下的按2∶3分配给六（2）班和六（3）班种植，六（2）班和六（3）班各分配到多少棵树苗？ 【答案】六（2）班12棵，六（3）班18棵 【分析】先把树苗总数看作单位“1”，分配给六（1）班，用1－计算出剩下的占总数的几分之几，求一个数的几分之几用乘法，利用分数乘法求出分配给六（1）班后剩下的树苗数量；再把剩下的树苗看作总量，看每个班各占总数的几分之几，根据按比例分配的方法，按照 2：3 的比例分别求出六（2）班和六（3）班分配到的数量。 【详解】54×（1－） ＝54× ＝30（棵） 30×＝30×＝12（棵） 30×＝30×＝18（棵） 答：六（2）班分配到12棵，六（3）班分配到18棵。 考点06：比例的意义和基本性质 【典型例题】如果2a＝3b，则＝（ ），＝（ ）。 【答案】 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。根据比例的基本性质把2a＝3b改写成比例式即可。 【详解】如果2a＝3b，则＝，＝。 【变式训练1】下列选项中的两个比可以组成比例的是（     ）。 A．6∶9和9∶12 B．1∶2和3∶4 C．1.2∶4和1.5∶5 D．和2∶3 【答案】C 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。假设每个选项中的两个比均可以组成比例，逐一验证。 【详解】A．6×12＝72，9×9＝81，72≠81，不能组成比例； B．1×4＝4，2×3＝6，4≠6，不能组成比例； C．1.2×5＝6，4×1.5＝6，6＝6，能组成比例，即1.2∶4＝1.5∶5； D．×3＝，×2＝，≠，不能组成比例。 【变式训练2】在一个比例中，两个比的比值都等于5，这两个比例的两个外项分别是和，这个比例可能是（ ）或（ ）。 【答案】 【分析】两个比例的外项分别是和，那这个比例有两种情况：或。比的前项、后项与比值的关系：左边的内项＝左边的前项÷比值、右边的内项＝比值×右边的外项。 【详解】，，所以比例可能是：； ，，所以比例可能是：。 考点07：解比例 【典型例题】解比例。                            【答案】；； 【分析】（1）根据比例的基本性质，把等式转化为，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以，计算即可。 （2）根据比例的基本性质，把等式转化为，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以，计算即可。 （3）根据比例的基本性质，把等式转化为，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以，计算即可。 【详解】 解： 解： 解： 【变式训练】解比例。               【答案】；； 【分析】（1）利用比例的基本性质将比例转换为，再在方程两边同时除以0.3即可。 （2）利用比例的基本性质将比例转换为，再在方程两边同时除以26即可。 （3）利用比例的基本性质将比例转换为，再在方程两边同时除以12即可。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 考点08：正比例及其应用 【典型例题】有着“一两黄金一两墨”之称的徽墨是我国文房四宝中墨的代表。制作徽墨的第一步便是桐籽榨油，每50千克桐籽大约可榨桐油20千克，下面是桐籽质量与所榨桐油质量的关系表。 桐籽/千克 100 150 200 250 桐油/千克 （1）把上表补充完整。 （2）因为（ ）一定，所以（ ）与（ ）成（ ）比例关系。 （3）根据表中的数据，在图中描出桐籽的质量与所榨桐油的质量对应的点，再把它们连起来。 （4）不计算，如果桐油的质量为90千克，那么需要桐籽（ ）千克。 【答案】（1）见详解 （2） 每千克桐籽榨油的重量 桐籽的质量 桐油的质量 正 （3）见详解 （4）225 【分析】（1）题目中已知每50千克桐籽大约可榨桐油20千克，根据表中的桐籽重量，用桐籽重量除以50乘20求出对应的桐油重量。 （2）用表中每一组量中桐油的重量除以桐籽的重量求出每千克桐籽榨油的重量，比较四个结果，如果相等，即，两个量有相除的关系，且商一定，则相关联的两个量成正比例关系。 （3）利用表中的相对应的两个量在图中描点后连线。 （4）根据图象，找到桐油的质量为90千克（纵轴）所对应的桐籽的重量（横轴）。 【详解】（1） （千克） （千克） （千克） （千克） 如下表： 桐籽/千克 100 150 200 250 桐油/千克 40 60 80 100 （2） 即桐油的重量÷桐籽的重量＝每千克桐籽榨油的重量（一定） 因为每千克桐籽榨油的重量一定，所以桐油的重量与桐籽的重量成正比例关系。 （3） （4）由图可以看出，不计算，如果桐油的质量为90千克，那么需要桐籽225千克。 【变式训练1】我国古代就有“煮海为盐”的做法，即从海水中提取食盐。相传，山东夙沙氏为远古时期夙沙部落首领，他煮海为盐，为中华制盐之鼻祖。一个晒盐场用600千克海水可以晒18千克盐。照这样计算，用200吨海水可以晒（ ）吨盐。 【答案】6 【分析】根据题意：海水重量与晒出盐的重量成正比例关系（因为含盐率固定），接着统一单位，将600千克、18千克分别转化为0.6吨、0.018吨。设用200吨海水可以晒x吨盐，根据正比例关系列出比例式，最后通过交叉相乘求出未知数x的值，求出200吨海水可以晒出盐的质量。 【详解】解：设用200吨海水可以晒x吨盐。 600千克＝0.6吨 18千克＝0.018吨 0.6x＝200×0.018 0.6x＝3.6 0.6x÷0.6＝3.6÷0.6 x＝6 所以用200吨海水可以晒6吨盐。 【变式训练2】蜜蜂是大自然中勤劳的小工匠，它们以独特的方法和技巧采集花蜜，并将花蜜酿制成蜂蜜存储在蜂巢中。100克蜂蜜里含有34.5克葡萄糖。照这样计算，3千克蜂蜜里含有多少千克葡萄糖？（用比例解答） 【答案】1.035千克 【分析】100克蜂蜜里含有34.5克葡萄糖。照这样计算，说明蜂蜜里含有葡萄糖的量一定，即蜂蜜质量与葡萄糖质量的比值一定，由此列出比例方程，并求解。注意单位的换算：1千克＝1000克。 【详解】3千克＝3000克 解：设3000克蜂蜜里含有x克葡萄糖。 100∶34.5＝3000∶x 100x＝103500 100x÷100＝103500÷100 x＝1035 1035克＝1.035千克 答：3千克蜂蜜里含有1.035千克葡萄糖。 考点09：反比例及其应用 【典型例题】两个齿轮咬合在一起转动，大齿轮有25个齿，每分钟转100转，小齿轮有20个齿，每分钟转多少转？ 【答案】125转 【分析】在同一时间内，两个齿轮转动的总齿数是相同的，即每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，则每个齿轮的齿数与转过的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设小齿轮每分钟转转。 20＝25×100 20＝2500 ＝2500÷20 ＝125 答：小齿轮每分钟转125转。 【变式训练1】A和B是两种相关联的量，当A＝5时，B＝6，如果A和B成正比例，当A＝7.5时，B＝（ ）；如果A和B成反比例，当A＝9时，B＝（ ）。 【答案】 9 / 【分析】正比例关系中，两种量的比值一定，所以有；反比例关系中，两种量的乘积一定，所以有。 【详解】根据分析， 当A和B成正比例时， 当A和B成反比例时， 或 【变式训练2】小明家装修新房，如果用边长是4分米的方砖铺地，需要200块。如果改用边长是8分米的方砖铺地，需要多少块？（用比例解） 【答案】50块 【分析】用边长是4分米的方砖铺地，需要200块，根据总面积＝一块砖面积×砖的块数可以计算出要铺地的面积，如果改用边长是8分米的方砖铺地，总面积没有变化，设需要的块数为未知量，根据总面积不变列比例解答。 【详解】解：设需要x块 8×8×x＝4×4×200 64x＝3200 x＝50 答：需要50块。 考点10：物高与影长问题 【典型例题】学习了比例的知识后，根据同一时间、同一地点的物体高度和影子长度的比值是相等的，明明想到了一个办法来测量教学楼的高度。他先在教学楼旁边立了一根3米的木杆，测量杆子的影长是0.3米，再测量出教学楼的影长是150厘米，教学楼的高度是（ ）米。学校旗杆的高度是12米，它的影长是（ ）米。 【答案】 15 1.2 【分析】根据1米＝100厘米，统一单位。设教学楼的高度是x米，根据教学楼的影长∶教学楼的高度＝木杆的影长∶木杆的高度；设旗杆的影长是y米，根据旗杆的影长∶旗杆的高度＝木杆的影长∶木杆的高度，分别列出比例解答即可。 【详解】150厘米＝1.5米 解：设教学楼的高度是x米。 1.5∶x＝0.3∶3 0.3x＝1.5×3 0.3x÷0.3＝4.5÷0.3 x＝15 解：设旗杆的影长y米。 y∶12＝0.3∶3 3y＝12×0.3 3y÷3＝3.6÷3 y＝1.2 【变式训练】直立在地上的4米高的旗杆的影子长是9.6米，同一时刻，附近有一根电线杆的影子长28.8米，这根电线杆高多少米？ 【答案】12米 【分析】同一地点同一时刻，影长与物体本身的高度比值一定，成正比例关系，即旗杆的影长∶旗杆高＝电线杆的影长∶电线杆高度。 【详解】解：设这根电线杆高x米。 9.6∶4＝28.8∶x 9.6x＝28.8×4 9.6x＝115.2 9.6x÷9.6＝115.2÷9.6 x＝12 答：这根电线杆高12米。 考点11：比例尺 【典型例题】一幅地图的比例尺为，把这个线段比例尺改写成数值比例尺是_________，在这幅地图上12厘米表示实际距离_________千米，A、B两地相距300千米，则A、B两地的图上距离应是_________厘米。 【答案】 1∶10000000 1200 3 【分析】根据线段比例尺可知，1厘米表示100千米，100千米＝10000000厘米，据此即可写成数值比例尺；根据公式：实际距离＝图上距离÷比例尺；图上距离＝实际距离×比例尺，把数代入即可求解。 【详解】100千米＝10000000厘米，线段比例尺改写成数值比例尺是1∶10000000。 12÷ ＝12×10000000 ＝120000000（厘米） ＝1200（千米） 300千米＝30000000厘米 30000000×＝3（厘米） 这幅地图上12厘米表示实际距离1200千米，A、B两地相距300千米，则A、B两地的图上距离应是3厘米。 【变式训练】王老师把一张荣誉证书在复印机上调到200%复印，这是按（ ）∶（ ）的比例复印的。 【答案】 2 1 【分析】“200%复印”是指复印后的尺寸是原件的2倍，再把原件看作1份，复印后对应2份，最后按“复印后∶原件”的顺序得出比例2∶1。 【详解】王老师把一张荣誉证书在复印机上调到200%复印，这是按2∶1的比例复印的。 考点12：应用比例尺画图 【典型例题】某市地铁1号线正在建设中。下图是1号线经过的商务区的主要街道图。 （1）把这幅图的线段比例尺改写成数值比例尺是（ ）。 （2）1号线在源兴大道下面经过，源兴大道位于101广场正北方向1.5千米处，与新开路、黄河路互相垂直，请在图中标出源兴大道的位置。 （3）梦乐城在源兴大道与黄河路交会处的南偏东20º方向2千米处，呼叫中心在101广场的北偏东45º方向1千米处，请在图中标出它们的位置。 【答案】（1）1∶50000 （2）图见详解 （3）图见详解 【分析】（1）线段比例尺改数值比例尺，先统一图上距离与实际距离的单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离化简计算。本题线段比例尺表示图上1厘米对应实际500米，先将米换算为厘米，再化简比得到数值比例尺。 （2）确定源兴大道的位置，先根据比例尺和实际距离计算出图上距离，再以101广场为观测点，确定正北方向的对应位置，最后根据垂直要求画出对应直线。 （3）确定梦乐城和呼叫中心的位置，先分别根据比例尺和实际距离计算两者的图上距离，再以对应观测点为中心，根据给定的方向、角度，量取对应图上距离，标注出位置。 【详解】（1）线段比例尺含义：图上1厘米代表实际距离500米 单位换算：500米＝50000厘米 数值比例尺＝图上距离∶实际距离＝1∶50000 （2）计算图上距离：1.5千米＝1500米，1500÷500＝3（厘米）（如下图） （3）计算图上距离： 梦乐城：2千米＝2000米，2000÷500＝4（厘米） 呼叫中心：1千米＝1000米，1000÷500＝2（厘米）（如下图） 【变式训练】根据下面的信息完成下图。 比例尺1∶4000 （1）在小利家的正北方向40米处是一个花坛。 （2）小芳家在小利家的北偏西45°方向，离小利家60米处。 （3）小利家在小芳家（ ）偏（ ）（ ）°方向，离小芳家（ ）米处。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 南 东 45 60 【分析】（1）先把数值比例尺转化为线段比例尺，4000厘米＝40米，图上1厘米表示实际距离40米，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出小利家到花坛的图上距离，最后根据“上北下南，左西右东”在正北方向上截取相应的图上距离，并在终点处标注花坛； （2）先根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出小芳家到小利家的图上距离，再以小利家为观测点，在小利家正北往西偏转45°方向上截取相应的图上距离，标出角度，最后标注小芳家； （3）根据位置的相对性，两地之间观测点不同时，方向相反，夹角的度数和两地之间距离不变，由此写出小利家的位置。 【详解】（1）40米＝4000厘米 4000×＝1（厘米） （2）60米＝6000厘米 6000×＝1.5（厘米） （3）分析可知，小利家在小芳家南偏东45°方向，离小芳家60米处。 考点13：比例尺的实际应用 【典型例题】在比例尺是1∶6000000的地图上，量得两地距离是5厘米，甲、乙两车同时从两地出发相向而行，一段时间后两车相遇，已知甲、乙两车行驶的路程比是2∶3，相遇时甲车行驶了多少千米？ 【答案】120千米 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两地实际距离，再根据按比分配，先求出一份的距离，再用一份的距离乘2，即可解答。 【详解】5÷＝5×6000000＝30000000（厘米） 30000000厘米＝300千米 300÷（2＋3） ＝300÷5 ＝60（千米） 60×2＝120（千米） 答：相遇时甲车行驶了120千米。 【变式训练1】爸爸身高1.75米，在一张照片上他只有3.5厘米高，这张照片的比例尺是（ ），小云在照片上的高度是3.1厘米，她实际身高（ ）米。 【答案】 1∶50 1.55 【分析】先统一单位，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，求出比例尺。再用图上距离除以比例尺，求出实际身高并转换单位。 【详解】3.5厘米∶1.75米 ＝3.5厘米∶175厘米 ＝3.5∶175 ＝（3.5×10）∶（175×10） ＝35∶1750 ＝（35÷35）∶（1750÷35） ＝1∶50 3.1÷ ＝3.1×50 ＝155（厘米） 155厘米＝1.55米 【变式训练2】李云一家去景区游玩，在比例尺是1∶8000000的地图上量得他们的出发点距离景区有1.5厘米。如果在另一张地图上量得他们的出发点距离景区有2.4厘米，那么这张地图的比例尺是多少？ 【答案】1∶5000000 【分析】根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，已知第一张地图中的比例尺和图上距离，可以根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”先求出出发点到景区的实际距离；第二张地图中，根据求出的实际距离和这张地图上的图上距离，代入数据计算，即可求出第二张地图的比例尺。 【详解】1.5÷＝1.5×8000000＝12000000（厘米） 2.4∶12000000＝1∶5000000 答：这张地图的比例尺是1∶5000000。 考点14：图形的放大与缩小 【典型例题】图形放大或缩小后与原图形形状相同，大小不同。一张长方形照片长40厘米、宽32厘米，按比例缩小后，长5厘米，宽应是（ ）厘米，缩小后的图形与原图形的面积比是（ ）。 【答案】 4 1∶64 【分析】这道题的核心是利用缩放前后图形的对应边成比例，也就是形状相同。应先求出缩放比例，再推导宽，进而推导出面积的比。题目中已知一张长方形照片长40厘米、宽32厘米，按比例缩小后，长5厘米，通过缩小后的长除以原来的长求出缩放比例，，表示长缩小到原来的，则宽也缩小到原来的，即32的，据此求出缩小后的宽。最后利用原来的长、宽和缩小后的长、宽，分别计算出缩小后的长方形和原来的长方形的面积，再写出缩小后的图和原图的面积比并化简。据此解答。 【详解】根据分析： （厘米） 所以，宽应是4厘米。 （平方厘米） （平方厘米） 所以，缩小后的图形与原图形的面积比是。 【变式训练1】先将图中的平行四边形按放大，再将放大后的图形按缩小。画出放大和缩小后的图形。 【答案】见详解 【分析】先确定原平行四边形的底和高的格数，按3∶1放大时，将底和高的格数分别乘3，画出放大后的平行四边形；再把放大后的平行四边形的底和高的格数分别除以2（即按1∶2缩小），画出缩小后的图形，注意保持平行四边形的形状不变。 【详解】放大后的底：4×3＝12 放大后的高：2×3＝6 缩小后的底：12÷2＝6 缩小后的高：6÷2＝3 【变式训练2】长方形的长是4cm，宽是3cm，把它按2∶1的比变化，变化后图形面积是（     ）。 A．12cm2 B．24cm2 C．6cm2 D．48cm2 【答案】D 【分析】已知长方形的长、宽和变化的比例尺，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，得到变化后的长（宽）＝原来的长（宽）×比例尺，据此求出长方形变化后的长和宽，然后根据长方形面积公式：S＝长×宽，代入数据计算即可得出变化后图形的面积。 【详解】4×2＝8（cm） 3×2＝6（cm） 6×8＝48（cm2） 变化后图形面积是48cm2。 一、选择题 1．下列比能与0.25∶组成比例的是（     ）。 A． B．3∶2 C．∶ D． 【答案】C 【分析】比例的定义是表示两个比相等的式子，所以要判断两个比能否组成比例，需看它们的比值是否相等。比的前项除以后项所得的商就是比值。据此即可求解。 【详解】0.25∶＝÷＝×＝ A．∶4＝÷4＝×＝，与0.25∶比值不相等，不能组成比例。 B．3∶2＝3÷2＝，与0.25∶比值不相等，不能组成比例。 C．∶＝÷＝×＝，与0.25∶比值相等，可以组成比例。 D．∶＝÷＝×＝，与0.25∶比值不相等，不能组成比例。 能与0.25∶组成比例的是∶。 2．把2∶3的前项加上6，要使比值不变，后项应（     ）。 A．加上6 B．减去6 C．乘3 D．乘4 【答案】D 【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 【详解】（2＋6）÷2 ＝8÷2 ＝4 3×4－3 ＝12－3 ＝9 后项应乘4或加上9。 3．两个长方形操场的长和宽的比为5∶3和7∶2。下面关于操场长宽比的理解，正确的是（     ）。 A．5∶3的操场形状比7∶2的操场更接近正方形 B．7∶2的操场面积一定比5∶3的操场面积大 C．5∶3的操场长一定是50米，宽一定是30米 D．7∶2的操场长度是5∶3的操场长度的1.4倍 【答案】A 【分析】判断长方形是否接近正方形，看长与宽的比值，比值越接近1，形状越接近正方形；比只表示长和宽的份数关系，不代表实际长度。 【详解】A．计算两个比的比值，5∶3＝5÷3≈1.67；7∶2＝7÷2＝3.5，1.67更接近1，所以5∶3的操场更接近正方形，该选项正确。 B．比只表示长宽的份数关系，不知道实际长度，无法比较面积大小，所以说法错误。 C．5∶3只表示长宽的份数比，实际长和宽可以是任意组成5∶3的数，不一定是50米和30米，比如100米和60米，所以说法错误。 D．两个比的份数不同，实际长度未知，无法直接比较长度倍数，所以说法错误。 4．如果，那么（     ）。 A．1 B． C．2 D．81 【答案】B 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，进行分析。 【详解】如果，比的前项和后项同时乘9，比值不变，因此。 5．爷爷的身高与他的年龄（     ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【详解】人的身高在成长期会随着年龄的增长而增加，但增长速度不固定，且成年后身高不再增加。 所以爷爷的身高与他的年龄不成比例。 6．研究发现，8岁以上的儿童一天的活动时间与睡眠时间的比是5∶3最合理，8岁以上的儿童最合理的睡眠时间是（     ）小时。 A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】先根据活动时间与睡眠时间的比，求出一天的时间被分成的总份数，再用一天的总时长除以总份数，求出每份对应的时长，最后用每份时长乘睡眠时间所占的份数，即可求出最合理的睡眠时间。 【详解】24÷（5＋3） ＝24÷8 ＝3（小时） 3×3＝9（小时） 8岁以上的儿童最合理的睡眠时间是9小时。 7．黄金比被视作极具审美意义的比。以肚脐为界，当上半身与下半身的长度比是0.618时，身体比例最美。达不到的话可穿高跟鞋改善。妈妈身高164厘米，下半身长99厘米，她需要穿高跟鞋的最佳高度是（     ）厘米。（结果取整厘米数） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】妈妈身高－下半身长＝上半身长，上半身长÷0.618＝身体比例最美的下半身长，身体比例最美的下半身长－妈妈下半身长＝高跟鞋的最佳高度。 【详解】（164－99）÷0.618－99 ＝65÷0.618－99 ≈105－99 ＝6（厘米） 她需要穿高跟鞋的最佳高度是6厘米。 8．明明调制了一杯柠檬水，柠檬汁和水的比是1∶16，喝掉后，柠檬汁和水的比是（     ）。 A．1∶8 B．1∶16 C．1∶32 D．1∶24 【答案】B 【详解】柠檬水是均匀混合的，喝掉一半后，柠檬汁和水按相同的比减少，两者的比不变，所以它们的比并没有改变，仍是1∶16。 二、填空题 9．把小时∶75分化简成最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。 【答案】 6∶5 【分析】先根据1小时＝60分，统一单位，再根据比的基本性质将比的前项和后项同时除以15化简成最简整数比，最后用最简整数比的前项除以后项，求出比值。 【详解】小时∶75分 ＝90分∶75分 ＝90∶75 ＝（90÷15）∶（75÷15） ＝6∶5 6÷5＝ 10．把50g盐放入200g水中，盐和水的质量比是（ ），盐和盐水的质量比（ ）。 【答案】 1∶4 1∶5 【分析】依据比的意义，直接用盐的质量比水的质量即可，盐与盐水的质量比就是：盐的质量比盐加水的质量和。 【详解】 盐和水的质量比是； 盐和盐水的质量比是。 11．＝4÷（     ）＝0.4＝（     ）∶50＝（     ）%＝（     ）折＝（     ）成。 【答案】8；10；20；40；四；四 【分析】小数化成分数：小数表示的是十分之几、百分之几、千分之几……的数，可以直接写成分母是10，100，1000，……的分数；分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此把小数化成最简分数； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此解答第一空； 分数与除法的关系：分数的分子相当于被除数，分母相当于除数；商不变的性质：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。据此解答第二空； 分数与比的关系：分数的分子相当于比的前项，分母相当于后项，分数值相当于比值；比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此解答第三空； 小数化成百分数的方法：小数点向右移动两位，添上百分号。据此解答第四空； 根据折扣与百分数的互化，几折就是十分之几或百分之几十，百分之几十几就是几几折。据此解答第五空； 百分数与成数的关系：几成几就是百分之几十几，百分之几十几就是几成几；几成就是百分之几十，百分之几十就是几成。据此解答最后一空。 【详解】0.4＝ ＝ ＝2÷5＝（2×2）÷（5×2）＝4÷10 ＝2∶5＝（2×10）∶（5×10）＝20∶50 0.4＝40% 40%＝四折＝四成 4÷10＝0.4＝20∶50＝40%＝四折＝四成 12．某停车场一共有260个车位，分为普通车位和充电桩车位。普通车位和充电桩车位的数量比是1∶0.3。这个停车场充电桩车位有（ ）个。 【答案】60 【分析】把普通车位数量看作1份，充电桩车位就是0.3份，总份数为1＋0.3＝1.3份，总车位260个对应1.3份，先求1份的数量，再算0.3份（充电桩车位）的数量。 【详解】260÷（1＋0.3）×0.3 ＝260÷1.3×0.3 ＝200×0.3 ＝60（个） 13．在一个比例中，两个外项的积是40，其中一个内项是8，另一个内项是（ ）。 【答案】5 【分析】根据比例的基本性质可知，两个外项之积等于两个内项之积，据此用两个外项之积除以其中一个内项，即可求出另一个内项。 【详解】40÷8＝5 14．打印一份相同的稿件，甲用12分钟，乙用10分钟，则甲与乙的工效比是（ ）。 【答案】5∶6 【分析】把工作总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”求出甲的工作效率和乙的工作效率，再根据比的意义利用比的基本性质化简求出甲和乙工作效率的最简整数比。 【详解】1÷12＝ 1÷10＝ 甲的工作效率∶乙的工作效率 ＝∶ ＝（×60）∶（×60） ＝5∶6 15．我国古代数学典籍《九章算术》中，“衰分术”被广泛应用于物资调配、食材配比等实际问题。王阿姨制作粽子馅料时，猪肉和咸蛋黄的质量比是2∶1，现准备的猪肉比咸蛋黄多50克，咸蛋黄有（ ）克，猪肉有（ ）克。 【答案】 50 100 【分析】由题可知，粽子馅料中猪肉的质量比咸蛋黄的质量多2－1＝1份，即1份就是50克，也就是咸蛋黄的质量；然后用1份的质量乘2即可求出猪肉的质量。 【详解】50÷（2－1） ＝50÷1 ＝50（克） 咸蛋黄有50克。 50×2＝100（克） 猪肉有100克。 16．《鸟鸣涧》是唐代诗人王维创作的一篇诗词，文笔优美。“人闲桂花落，夜静春山空。月出惊山鸟，时鸣春涧中。”在这20个字中，左右结构的字数与总字数的比是（ ）。 【答案】3∶10 【分析】先数出左右结构的字的字数是6个，总字数是20个，用比的形式表示6∶20，最后再化简整数比。 【详解】左右结构的字：6个； 总字数：20个； 6∶20＝（6÷2）∶（20÷2）＝3∶10 17．一幅图的比例尺是1∶2000000，甲乙两地相距100千米，画在这幅图上，应画（ ）厘米。 【答案】5 【分析】先根据“1千米＝100000厘米”把“千米”转化为“厘米”，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出图上距离。 【详解】100千米＝10000000厘米 10000000×＝5（厘米） 18．在比例尺为1∶4000000的地图上，量得石家庄到北京的图上距离是7厘米，那么石家庄到北京的实际距离是（ ）千米。 【答案】280 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出石家庄到北京的实际距离。 【详解】7÷ ＝7×4000000 ＝28000000（厘米） 1千米＝100000（厘米） 28000000厘米＝280（千米） 19．一个长方形果园，周长是400米，宽与长的比是2∶3，果园的宽是（ ）米，果园的长是（ ）米。 【答案】 80 120 【分析】已知长方形的周长，首先需要根据周长公式求出长与宽的和。已知宽与长的比是2∶3，可以将长与宽的和看作单位“1”，平均分成 2＋3＝5（份），其中宽占2份，长占3份，可分别求出宽和长的具体数值。 【详解】400÷2＝200（米） 200÷5×2 ＝40×2 ＝80（米） 200÷5×3 ＝40×3 ＝120（米） 果园的宽是80米，果园的长是120米。 20．剪纸是我国传统手工艺的代表。手工制作课上，同学们学习剪窗花，老师检查后，有95个窗花合格，只有5个窗花不合格。合格的数量和不合格的数量的最简单的整数比是（ ），这些窗花的合格率是（ ） 【答案】 19∶1 95% 【分析】百分数：一个数是另一个数的百分之几，又叫百分率或百分比，通常以符号%来表示。求最简单的整数比，先写出合格的数量和不合格的数量的比为95∶5，再找到两者的最大公约数5，分别用95和5除以最大公约数5，得到最简单的整数比；求合格率，先计算总数量，即合格的数量加不合格的数量，再用合格数除以总数量并乘100%，得到合格率。 【详解】合格数量与不合格数量的比为95∶5＝（95÷5）∶（5÷5）＝19：1 95＋5＝100（个） 合格率：×100%＝95% 21．2025年6月12日，中国自主研发的CR450复兴号列车时速刷新了世界纪录。此列车小时可以行驶180千米，这时路程与时间的最简整数比是（ ），比值是（ ），这个比值表示的实际意义是（ ）。 【答案】 450∶1 450 列车行驶的速度 【分析】根据比的意义，写出路程与时间的比，再根据比的基本性质，前项和后项同时乘5，再同时除以2将其化简为最简整数比；用前项除以后项即可求出比值；路程÷时间＝速度，可知路程与时间的比值表示速度。 【详解】180∶ ＝（180×5）∶（×5） ＝900∶2 ＝（900÷2）∶（2÷2） ＝450∶1 450∶1＝450÷1＝450 这个比值表示的实际意义是列车行驶的速度。 22．已知甲种糖果利润率为30%，乙种糖果利润率为60%，如果将甲、乙两种糖果按5∶1的重量比混合，得到的什锦糖果利润率为36%，商店老板希望什锦糖果的利润率为50%。则甲、乙两种糖果应该按（ ）的重量比混合。 【答案】5∶8 【分析】先根据已知的混合比和利润率，求出甲、乙两种糖果的成本差对应的份数，再用目标利润率重新交叉配比，算出甲、乙的重量比。已知甲利润率30%，乙利润率60%，按5∶1混合后利润率36%。把混合后的总利润看成两部分，分别来自甲和乙，也就是：甲5份，每份少得利润：36%－30%＝6%；乙1份，每份多得利润：60%－36%＝24%。用甲总共少的利润＝乙总共多的利润可以得到甲、乙的成本比。 然后再看目标利润率是50%，甲距50%还差：50%－30%＝20%；乙比50%多：60%－50%＝10%，再根据“甲重量×甲成本×20%＝乙重量×乙成本×10%”得到甲、乙需要混合的质量比。 【详解】甲利润率30%，乙60%，按5∶1混合后利润率36%。 甲每份少赚：36%－30%＝6%；乙每份多赚：60%－36%＝24% 甲总成本×6%×5＝乙总成本×24%×1；甲成本∶乙成本＝24∶30＝4∶5 甲距50%还差：50%－30%＝20%；乙比50%多：60%－50%＝10% 甲重量×甲成本×20%＝乙重量×乙成本×10% 甲重量∶乙重量＝（乙成本×10%）∶（甲成本×20%） 甲重量∶乙重量＝（5×10）∶（4×20）＝50∶80＝5∶8 23．A、B两地相距90千米，从A地到B地，甲车需要小时，乙车需要1.25小时。甲、乙两车所用时间的最简比是（ ），速度的最简比是（ ）。 【答案】 24∶35 35∶24 【分析】路程÷时间＝速度。两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，分别写出甲、乙两车的时间比和速度比，化简即可。 【详解】时间比：∶1.25 ＝∶ ＝（×28）∶（×28） ＝24∶35 速度比：（90÷）∶（90÷1.25） ＝（90÷）∶（90÷） ＝（90×）∶（90×） ＝105∶72 ＝（105÷3）∶（72÷3） ＝35∶24 24．人的肚脐是人身长的黄金分割点。一般来说，当肚脐到脚跟的长度与人身高的比为0.618∶1时，是比较好看的黄金身段。某名身高为180厘米的舞蹈演员是黄金身段，则他的肚脐到脚跟的长度为（ ）厘米。（结果保留整数） 【答案】111 【分析】根据题意，用身高180厘米乘0.618即可求出肚脐到脚跟的长度，再用“四舍五入”法把结果保留整数即可。 【详解】180×0.618≈111（厘米） 25．一幅地图的线段比例尺是，把它改写成数值比例尺是（ ）。在这幅地图上，红红量得甲、乙两地距离是25厘米，则甲、乙两地的实际距离是（ ）米。 【答案】 1∶1000 250 【分析】根据比例尺的定义，通过图上距离与实际距离的比进行转换，注意单位统一。 ②可以利用“实际距离＝图上距离÷比例尺”的公式来计算，最后注意单位换算成米。 【详解】①10×100＝1000（厘米） 即把它改写成数值比例尺是1∶1000。 ②25÷＝25×1000＝25000（厘米） 25000÷100＝250（米） 即甲、乙两地的实际距离是250米。 26．“茶倒七分满”是我国传统礼仪，是指给客人倒茶时茶水占茶杯容积的70%，现有一个最多装180mL的圆柱形茶杯，大约倒入（ ）mL的茶水比较合适，这时没装水的高度与装水的高度之比是（ ）。 【答案】 126 3∶7 【分析】求合适的茶水体积：用茶杯总容积乘70%，得到茶水体积。 求高度比：圆柱形杯子底面积不变，体积比等于高度比，装水占70%，没装水占30%，直接写出两者的高度比并化简。 【详解】180×70% ＝180×0.7 ＝126（mL） 没装水占比： 高度比： 30%∶70% ＝0.3∶0.7 ＝（0.3×10）∶（0.7×10） ＝3∶7 27．阅读下面的信息填空。 人的身高与双臂长度的比大约是1∶1，身高与胸围比大约是2∶1，人的脚长与身高的比大约是1∶7，人的体重与血液重量之比大约是13∶1，成年人身高与头长的比大约是7∶1，腿长与头长的比大约是4∶1… 张老师穿23厘米的鞋子，据此可以推断，她的身高大约是（ ）厘米。 【答案】161 【分析】人的脚长与身高的比大约是，则人的身高是人的脚长的倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，即可求出张老师的身高大约是多少厘米。 【详解】（厘米） 她的身高大约是厘米。 三、解答题 28．果园里苹果树、梨树、枣树之比是3∶4∶5，这三种果树一共有156棵。三种果树各有多少棵？ 【答案】苹果树39棵；梨树52棵；枣树65棵 【分析】每份的量＝对应的量÷对应的份数，先根据三种果树的总棵数求出比中每份的棵数，再乘三种果树各自所占的份数。 【详解】156÷（3＋4＋5） ＝156÷12 ＝13（棵） 苹果树：13×3＝39（棵） 梨树：13×4＝52（棵） 枣树：13×5＝65（棵） 答：苹果树有39棵，梨树有52棵，枣树有65棵。 29．在比例尺为1∶6000000的地图上，量得石家庄与天津某地之间的高速公路长5厘米。小明爸爸开车3小时行完了这段路，他开车超速了吗？（高速公路上最高速度不允许超过每小时120千米） 【答案】没有超速 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出石家庄与天津某地之间的实际距离，将单位换算成千米。再根据速度＝路程÷时间，求出小明爸爸开车的速度，最后与每小时120千米比较大小即可解答。 【详解】5÷ ＝5×6000000 ＝30000000（厘米） 30000000 厘米＝300 千米 300÷3＝100（千米/时） 100＜120 答：他开车没有超速。 30．六年级数学小组为了测量一棵大树的高度，把一根1米长的竹竿直立在地上。测出竹竿影长是0.5米，同一时刻大树影长是6米，大树高多少米？（列比例解答） 【答案】12米 【分析】根据题意，同一时刻，同一地点，竹竿的高度和影长与大树的高度和影长的比值是相等的，据此列比例，再根据比例基本性质解答。 【详解】解：设大树高米。 答：大树高12米。 31．乘船的人数与所付船费如下表。 人数（人） 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费（元） 0 8 16 24 … （1）把上表填写完整。 （2）所付船费与乘船人数成正比例吗？ （3）根据表中数据，在图中描出对应的点，再顺次连接各点，你发现了什么？ （4）点（8，64）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 【答案】（1）表见详解 （2）成正比例 （3）图见详解；发现见详解 （4）在直线上；表示当乘船人数是8人时，船费是64元。 【分析】（1）根据表格中的数据可以看出，1人，船费8元，据此求出4人船费、5人船费、6人船费、7人船费；据此补充表格； （2）判断两个相关联的量之间成正比例，就看这两个量是对应的比值是否一定，如果是比值一定，就成正比例； （3）根据表格中的数据描点、连线；结合连接后的图像写出发现； （4）根据（3）的直线进行判断，看点（8，64）是否在直线上，如果在直线上，这点表示当人数是8人时，船费是64元，据此解答。 【详解】（1）8÷1＝8（元） 8×4＝32（元） 8×5＝40（元） 8×6＝48（元） 8×7＝56（元） 人数（人） 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费（元） 0 8 16 24 32 40 48 56 … （2）8∶1＝16∶2＝24∶3＝32∶4＝40∶5＝48∶6＝56∶7＝8（一定），所付船费与乘船人数成正比例。 （3）如图： 发现：表中数据对应各点在同一条直线上。 （4）8×8＝64（元） （8，64）在这条直线上，表示当乘船人数是8人时，船费是64元。 32．学校原有跳绳36根，其中短绳与长绳根数的比是，又买回一些短绳后，短绳根数与长绳根数的比为。现在学校共有跳绳多少根？ 【答案】50根 【分析】根据原来短绳和长绳根数的比确定长绳占原来跳绳总根数的几分之几，再根据乘法的意义，用原来跳绳总根数乘对应分率求出长绳的数量；又买回一些短绳后，将短绳数量看作21份，长绳看作4份，总份数＝短绳份数＋长绳份数；每一份的根数＝长绳的数量÷长绳的份数；现有跳绳总根数＝每一份的数量×总份数。 【详解】 （根） （根） 答：现在学校共有跳绳 50 根。 33．小红在假期看一本故事书，现在已经看了的和未看的页数之比是1∶5，如果小红再看20页，那么已经看了的和未看的页数之比是3∶5。这本故事书一共有多少页？ 【答案】96页 【分析】由题意得：原来已看的页数是总页数的，再看20页后，已看的页数是全书的，所以20页占总页数的（－），用除法即可求出总页数。 【详解】20÷（－） ＝20÷（） ＝20÷（） ＝20÷ ＝20× ＝96（页） 答：这本故事书一共有96页。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $