第21章 四边形（单元复习课件）数学新教材人教版八年级下册

单元复习 人教版(新教材) 八年级下册 第二十一章 四边形 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 四边形 平行四边形 菱形 正方形 矩形 梯形 两组对边 分别平行 只有一组对边平行 一个角 是直角 一组 邻边相等 一组 邻边相等 一个角 是直角 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 1 四边形与多边形的内角和 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形. 组成四边形的各条线段叫作四边形的边 每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点 A B C D 记作：_____________ 四边形 ABCD 如右图，画出四边形 ABCD 的任何一条边（例如 CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形. A B C D 凸四边形 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 1 四边形与多边形的内角和 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角； 四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. A B C D 内角 四边形各条边的长确定后，其形状不能确定，因此四边形具有不稳定性. 在日常生活中，四边形的不稳定性，也有较为广泛的应用. 四边形的内角和为360°. 四边形的外角和等于360°. 21 《四边形》单元复习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 21 《四边形》单元复习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 解：设这个多边形的边数为， 则， ∴这个多边形的边数为6． 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 平行四边形的性质与判定 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形用“ ” 表示，如图，平行四边形ABCD 记作 ABCD ( 要注意字母顺序). 1.定义: A B D C 语言表述： ∵AD∥BC,AB∥DC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 平行四边形的性质与判定 几 何 语 言 边 角 文字叙述 对边平行 对边相等 对角相等 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC ，AB∥DC. ∴ AD=BC ，AB=DC. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A=∠C，∠ B=∠D. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， 对 角 线 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD. 互相平分 A C D B O 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 平行四边形的性质与判定 如图，在□ABCD中，有以下结论： (1)△AOD的周长－△AOB的周长＝AD－AB(AD＞AB)； (2)S△AOB＝S△AOD＝S△BOC＝S△COD＝ S□ABCD； (3)过点O的任意一条直线平分□ABCD的周长和面积； (4)平行四边形一条对角线的两端点到另一条对角线的距离相等. 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 平行四边形的性质与判定 B D A C 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 平行四边形的性质与判定 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. A B C D E 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． △ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点， 则DE∥BC，DE= BC． 符号语言： 21 《四边形》单元复习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图,在□ABCD中,DE平分∠ADC交AB于点G,交CB的延长线于点E,BF平分∠ABC交AD的延长线于点F. (1)若AD=5,AB=8,求GB的长；(2)求证:∠E=∠F. (1)解:∵DE平分∠ADC， ∴∠1=∠2. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥DC， ∴∠2=∠AGD， ∴∠1=∠AGD， ∴AD=AG=5， ∵AB=8，∴BG=8－5=3. F 21 《四边形》单元复习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC=∠ABC，DC∥AB，AD∥BC. ∵ DE平分∠ADC， BF平分∠ABC， ∴ ∠2= ∠4. ∵ DC∥AB，∴ ∠2=∠AGD， ∴ ∠4=∠AGD，∴ DE∥FB. ∵AF∥CE， ∴ 四边形BFDE是平行四边形, ∴ ∠E=∠F. 如图,在□ABCD中,DE平分∠ADC交AB于点G,交CB的延长线于点E,BF平分∠ABC交AD的延长线于点F. (1)若AD=5,AB=8,求GB的长；(2)求证:∠E=∠F. F 21 《四边形》单元复习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，在△ABC中，∠CAB=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD， 求证：EF=AD． 证明： ∵DE，DF是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， 又∵∠BAC=90°， ∴平行四边形AEDF是矩形， ∴EF=AD． 21 《四边形》单元复习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF= BC．若AB=12，求EF的长． 解：连接CD， ∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE∥BC，DE= BC，DC= AB. ∵CF= BC，∴DE ∥FC，DE =FC， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC=EF，∴EF= AB=6． 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 如图,在□ABCD中,点E,F分别在AD,BC上，且AE=CF,EF,BD相交于点O, 求证:OE=OF. 证明：连接BE、DF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴OF=OE． 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 H 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （1）证明： ∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴DE、EF都是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，DE∥AC， ∴四边形ADEF是平行四边形. 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 （2）∵四边形ADEF是平行四边形， ∴∠DEF=∠BAC， ∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高， ∴DH=AD，FH=AF， ∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA， ∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF， ∴∠DHF=∠BAC， ∴∠DHF=∠DEF． （2）求证：∠DHF=∠DEF． 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 3 矩形的性质与判定 A B C D O 矩形的对边平行且相等. 矩形的对角线相等. 矩形的对角线互相平分. 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角相等. 角 对角线 边 对称性 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形. 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 3 矩形的性质与判定 直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 3 矩形的性质与判定 A B C D 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 21 《四边形》单元复习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 21 《四边形》单元复习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由. D A B C E O 解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°. ∵DE∥AC,CE∥BD， ∴四边形CEBO是平行四边形. ∴四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）. 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 4 菱形的性质与判定 菱形： 有一组邻边相等的平行四边形. 特殊性质 一般性质 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 4 菱形的性质与判定 1.菱形的判定方法： (1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (3)(边)：四边相等的四边形是菱形．   平行四边形 四边形 2.判定菱形的常见思路：  四条边都相等 判定条件 对角线互相垂直 一组邻边相等 菱形 21 《四边形》单元复习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直) OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形ABC中， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴AB = BD = 6. ∴AC=16 A B C O D 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6， 求菱形的边长AB和对角线AC的长. 21 《四边形》单元复习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明：在△AOB中. ∵AB=, OA=2,OB=1. ∴AB2=AO2+OB2. ∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AB= ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形. A B C O D 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 A. CD垂直平分AB B. C. D. 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE； (1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由； 解：(1)四边形BECF是菱形,理由如下： ∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠3＝∠1.∵∠ACB＝90°， ∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°,∴∠2＝∠4， ∴EC＝AE，∴BE＝AE. ∵CF＝AE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形； 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 (2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形． 证明如下： ∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝45°， ∴∠EBF＝2∠CBA＝90°， ∴菱形BECF是正方形． 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D， 交AB于点E，且CF＝AE； (2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论． 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF. (1)求证：∠ECF＝90°； (1)证明： ∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠ECF＝ ×180°＝90°. 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 (2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： ∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF. 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF. 又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形. (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由； 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 5 正方形的性质与判定 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 1.具有平行四边形的一切特征 两组对边平行且相等, 两组对角相等,对角线互相平分 2.具有矩形的一切特征 四个角都是直角,对角线相等 3.具有菱形的一切特征 四条边都相等,对角线互相垂直且分别平分 4.既是中心对称图形,又是轴对称图形,有四条对称轴 O A B C D 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 5 正方形的性质与判定 定理1 有一组邻边相等的矩形是正方形. 定理2 对角线互相垂直的矩形是正方形. 定理3 有一个角是直角的菱形是正方形. 定理4 对角线相等的菱形是正方形. 菱形 矩形 正方形 一组邻边相等 或对角线互相垂直 一个角是直角 或对角线相等 正方形 21 《四边形》单元复习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 21 《四边形》单元复习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 下列命题中，正确的是（　　） A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．两条对角线相等的四边形是矩形 解：∵ 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴A正确； ∵ 只有对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线垂直不能判定是菱形，∴B错误； ∵ 只有对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，缺少平分的条件，不能判定是正方形，∴C错误； ∵ 只有对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等不能判定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，∴D错误． 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4. (1)证明：△ABE≌△DAF； (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD. 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF(ASA). 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 (2) 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1＋∠4＝90°. ∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°. 在正方形ABCD中， AD∥BC， ∴∠1＝∠AGB＝30°. 在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2， ∴AF＝，DF＝1. 由(1)得△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1， ∴EF＝AF－AE＝－1. (2)若∠AGB＝30°，求EF的长． 21 《四边形》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 通过下列问题，请你反思是否掌握本章内容： 四边形、多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是本章主要 研究的几何图形，画出表示它们的图形，并用框图表示它们之间的关系． 四边形的内角和与外角和分别是多少？n边形呢？在得出这些结 论的过程中，采用了怎样的方法？ 平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？ 矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质，分别还具有哪些性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研究这些图形的性质和判定的方法吗？ 本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理．你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？ 21 《四边形》单元复习 已知条件 选择的判定方法 边 一组对边相等 “两组对边分别相等”或 “一组对边平行且相等” 一组对边平行 “两组对边分别平行”或 “一组对边平行且相等” 对角线 “对角线互相平分” 角 “两组对角分别相等” 即：在Rt△ABC中, BO是斜边AC上的中线， 则BO= AC. $