专题03：因数与倍数（复习课件）-2026年小升初数学复习讲练测

第一章：数的认识 专题03：因数与倍数 小升初数学复习讲练测 因数与倍数 因数和倍数的认识 2、3、5的倍数特征 奇数和偶数 质数与合数 最大公因数和最小公倍数 核心内容思维导图 1 因数和倍数的认识 1.因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。 例如： 12÷2＝6 → 2是12的因数，12是2的倍数。 2×6＝12 → 2和6是12的因数，12是2和6的倍数。 知识梳理 1 因数和倍数的认识 【易错点拨】 （1）因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。 （2）倍数和因数都是自然数（一般不包括0），不能是小数或分数。 知识梳理 1 因数和倍数的认识 2.因数和倍数的特征 （1）因数的特征： 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （2）倍数的特征： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 知识梳理 1 因数和倍数的认识 3.找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 知识梳理 1 因数和倍数的认识 4.找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找： 用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找： 看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 知识梳理 【典型例题1】古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，6=1+2+3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（ ）。 A．16 B．20 C．28 D．36 A．16所有的因数为1、2、4、8、16，除本身16以外，还有1、2、4、8四个因数，1＋2＋4＋8＝15，所以16不是完全数。 B．20所有的因数为1、2、4、5、10、20，除本身20以外，还有1、2、4、5、10五个因数，1＋2＋4＋5＋10＝22，所以20不是完全数。 典例精讲精练 【典型例题1】古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，6=1+2+3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（ ）。 A．16 B．20 C．28 D．36 C．28所有的因数为1、2、4、7、14、28，除本身28以外，还有1、2、4、7、14五个因数，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数。 D．36所有的因数为1、2、3、4、6、9、12、18、36，除本身36以外，还有1、2、3、4、6、9、12、18八个因数，1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55，所以36不是完全数。 C 典例精讲精练 【典型例题2】一个自然数与自身相乘的结果称为“平方数”，甲、乙、丙三个人去买彩票，结果一人中奖，且中奖号码的末三位是完全平方数，甲彩票的末三位数是3□7，乙彩票的末三位数是4□1，丙末三位数是□35，则中奖的末三位数是（ ）。 完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；甲彩票的末三位数是3□7，末位是7，不符合“完全平方数”的特征，所以3□7不是中奖的末三位数； 乙彩票的末三位数4□1，末位是1，可能是“完全平方数”；4□1的百位是4，列举出202到222的结果，202＝400、212＝441、222＝484，441符合4□1模式，所以441是中奖的末三位数； 典例精讲精练 【典型例题2】一个自然数与自身相乘的结果称为“平方数”，甲、乙、丙三个人去买彩票，结果一人中奖，且中奖号码的末三位是完全平方数，甲彩票的末三位数是3□7，乙彩票的末三位数是4□1，丙末三位数是□35，则中奖的末三位数是（ ）。 441 丙彩票的末三位数是□35，末位是5，则末两位数字一定是25（如152＝225、252＝625），而□35的末两位是35，不符合“完全平方数”的特征，所以□35不是中奖的末三位数； 综上所述，中奖的末三位数是441。 典例精讲精练 【变式训练1】我国古典名著《水浒传》中，梁山好汉一共有108位。下面出现的数中不是108的因数的是（ ）。 A．女性3位 B．男性105位 C．天罡星36位 A．108÷3＝36，3是108的因数； B．105不是108的因数； C．108÷36＝3，36是108的因数。 出现的数中不是108的因数的是男性105位。 B 牛刀小试 【变式训练2】图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面各种规格的纸中，选用（ ）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余） A．长40厘米，宽35厘米 B．长36厘米，宽24厘米 C．长30厘米，宽18厘米 D．长20厘米，宽12厘米 B A．长40厘米，宽35厘米，35不是6的倍数，不合适； B．长36厘米，宽24厘米，36是6的倍数，24是8的倍数，合适； C．长30厘米，宽18厘米，30不是8的倍数、36是6的倍数，不合适； D．长20厘米，宽12厘米，20不是8的倍数，不合适。 牛刀小试 2 2、3、5的倍数特征因数和倍数的应用 1.单个数字的倍数特征 （1）自然数中个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 （2）个位上是0或5的数都是5的倍数。 （3）一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识梳理 2.组合数字的倍数特征 （1）同时是2和3的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8，且各个数位上的数字之和是3的倍数； （2）同时是3和5的倍数的特征：个位上是0或5的数，各个数位上的数字之和是3的倍数； （3）同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数； （4）同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 2 2、3、5的倍数特征因数和倍数的应用 知识梳理 【典型例题1】截止2024年12月，某县城投放的共享单车已达3□6□辆，这个四位数既是2的倍数，又是5的倍数，还有因数3。这个县城投放的共享单车最多有（ ）辆。 9 这个数是2和5的倍数，说明个位上的数是0。 3+6+0=9 根据3的倍数的特点9+9=18，百位上最大是9，各个数位的数字之和是3的倍数。 典例精讲精练 【典型例题2】数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策。如果我们换一个角度，以退为进，从简单情况找规律，也许就柳暗花明了。 有24个同学站成一排做游戏，头上分别戴上编号1，2，3，…，24的帽子，他们从左往右按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，凡报到1的同学退出游戏，剩下的同学又从左往右继续按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，如此进行下去。 （1）当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？ 第一轮：剩下的是编号为2，4，6，…，24（即2的倍数）的同学。 第二轮：剩下的是编号为4，8，12，…，24（即4的倍数）的同学。 第三轮：剩下的是编号为8，16，24（即8的倍数）的同学。 第四轮：剩下的是编号为16的同学。 答：当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是16号。 典例精讲精练 【典型例题2】数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策。如果我们换一个角度，以退为进，从简单情况找规律，也许就柳暗花明了。 有24个同学站成一排做游戏，头上分别戴上编号1，2，3，…，24的帽子，他们从左往右按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，凡报到1的同学退出游戏，剩下的同学又从左往右继续按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，如此进行下去。 （2）如果有200个同学做这样的游戏，当剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？请找出其规律，并表示出来。 小于等于200的2的倍数有2，4，6，…，200； 剩下的4的倍数，有4，8，12，…，200； 剩下的8的倍数，有8，16，32，…，192； 剩下的16的倍数，有16，32，48，…，192； 剩下的32的倍数，有32，64，96，128，160，192； 典例精讲精练 【典型例题2】数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策。如果我们换一个角度，以退为进，从简单情况找规律，也许就柳暗花明了。 有24个同学站成一排做游戏，头上分别戴上编号1，2，3，…，24的帽子，他们从左往右按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，凡报到1的同学退出游戏，剩下的同学又从左往右继续按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，如此进行下去。 （2）如果有200个同学做这样的游戏，当剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？请找出其规律，并表示出来。 剩下的64的倍数，有64，128，192； 小于等于200的128的倍数只有128。 答：最后剩下同学的帽子编号是128号，规律是每次报数后剩下同学的编号依次是2的倍数、4的倍数、8的倍数…，即最后剩下同学的帽子编号是2n（n为剩下一人所需淘汰的次数）。 典例精讲精练 【变式训练1】一个四位数145□，□最大填（ ）就是3的倍数；□最小填（ ）时，它既是2的倍数，又是3的倍数；当□填（ ）时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 8 根据3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数，当个位上是8时，1+4+5+8=18，18÷3=6； 2、3的倍数特征：要想使这个数既是2的倍数又是3的倍数，个位上是0、2、4、6或8且各数位上的数字之和是3的倍数，当个位上是2时，1+4+5+2=12，12÷3=4； 3、5的倍数特征：要想使这个数既是3的倍数又是5的倍数，个位上必须是0、或5且各数位上的数字之和是3的倍数，当个位上是5时，1+4+5+5=15，15÷3=5；当个位上是0时，1+4+5+0=10，10÷3=3⋯⋯1，所以1450不是3的倍数。 2 5 牛刀小试 【变式训练2】某小学开展劳动技能比赛，五年级四个班学生包饺子的数量情况如下（部分数字被盖住），这四个班包饺子的总数一定是（ ）。 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．9的倍数 A 8＋6＋3＋7＝24 每个班包饺子的数量和的末尾数字是4，所以这四个班包饺子的总数一定是2的倍数，不是5的倍数，再由于遮住了三个数字，所以不能确定是不是3和9的倍数。 牛刀小试 1.奇数和偶数的定义 自然数按是否是2的倍数，可以分为奇数和偶数两大类。 （1）偶数：是2的倍数的数叫偶数。 （2）奇数：不是2的倍数的数叫奇数。 【易错点拨】 0是最小的偶数； 1是最小的奇数。 3 奇数和偶数 知识梳理 2.奇偶性运算规律 奇数＋奇数＝偶数； 奇数＋偶数＝奇数； 偶数＋偶数＝偶数； 奇数×奇数＝奇数； 奇数×偶数＝偶数； 偶数×偶数＝偶数。 3 奇数和偶数 知识梳理 【典型例题1】“三月三”节日期间，会展中心的无人机表演吸引了大批游客。一场表演中无人机入场时的队列如图 。表演时进行队列变换，下面（ ）图可能是无人机的表演队列。 此图可用字母式2n＋1表示，即无人机的数量是奇数，队列变换后，无人机的数量应该还是奇数。 A．4×4＝16（架），16是偶数，不可能是无人机的表演队列； B．数一数可知，共有10架无人机，10是偶数，不可能是无人机的表演队列； 典例精讲精练 【典型例题1】“三月三”节日期间，会展中心的无人机表演吸引了大批游客。一场表演中无人机入场时的队列如图 。表演时进行队列变换，下面（ ）图可能是无人机的表演队列。 C．数一数可知，共有12架无人机，12是偶数，不可能是无人机的表演队列； D．4×4＝16（架），16＋3＝19（架），19是奇数，可能是无人机的表演队列。 D 典例精讲精练 【典型例题2】张壁古堡位于介休市龙凤镇张壁村，是中国现有较为完好的一座融军事、居住、生产、星象、宗教活动为一体罕见的古代袖珍“城堡”，常有五湖四海的游客慕名而来。一天，来了45名研学的小游客，讲解员将他们排成两路纵队，如果第一路纵队的人数为奇数，那么第二路纵队的人数是奇数还是偶数？为什么？ 第一路纵队的人数＋第二路纵队的人数＝45人 第一路纵队的人数是奇数，45是奇数； 根据“奇数＋偶数＝奇数”，可知第二路纵队的人数是偶数。 答：第二路纵队的人数是偶数。理由：因为总人数45是奇数，第一路纵队的人数也是奇数，奇数＋偶数＝奇数（或奇数－奇数＝偶数），所以第二路纵队的人数是偶数。 典例精讲精练 【变式训练1】在三个连续的奇数中，最小的奇数是n，它们的和是（ ）；如果这三个奇数的和是105，那么最大的奇数是（ ）。 3n＋6 连续的奇数之间相差2，最小奇数是n，则中间奇数是（n＋2），最大奇数是（n＋4），相加即可. n＋（n＋2）＋（n＋4）＝n＋n＋2＋n＋4＝（3n＋6） 三个奇数的和÷3＝中间奇数，中间奇数＋2＝最大的奇数。 105÷3＋2 ＝35＋2 ＝37 37 牛刀小试 【变式训练2】小猫今天钓上来1001条鱼，并将其从1－1001标上号后以标号的大小从小到大进行排列，每天按照以下规律吃鱼：第一天，吃从左往右数第一条鱼；第二天，吃从左往右数第二条鱼。即第 天都吃当天从左往右数第 条鱼。吃到最后，在剩下的鱼里面，偶数标号的鱼占整体的比例为（ ）%。 从1－1001标上号后以标号的大小从小到大进行排列，第一天，吃从左往右数第一条鱼，吃了标号1，剩下标号2、3、4、5、6、7、8…，第二天，吃从左往右数第二条鱼，吃了标号3，剩下标号2、4、5、6、7、8…，第三天，吃从左往右数第三条鱼，吃了标号5，剩下标号2、4、6、7、8…，第四天，吃从左往右数第四条鱼，吃了标号7，剩下标号2、4、6、8…，由此可以发现，吃的鱼都是标号为奇数的鱼，则吃到最后，剩下的鱼都是偶数标号。 100 牛刀小试 1.质数与合数的定义 （1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 （2）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【易错点拨】最小的质数是2；最小的合数是4；1既不是质数，也不是合数。 4 质数与合数 知识梳理 2.100以内的质数表（共25个）： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 3.分解质因数 （1）质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 4 质数与合数 知识梳理 （2）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （3）常用方法：短除法。 4 质数与合数 知识梳理 【典型例题1】著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（ ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 A．20是大于2的偶数；13的因数只有1和13，是质数；7的因数只有1和7，是质数，所以选项A符合哥德巴赫猜想； B．100是大于2的偶数；29的因数只有1和29，是质数；71的因数只有1和71，是质数，所以选项B符合哥德巴赫猜想； 典例精讲精练 【典型例题1】著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（ ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 C．44是大于2的偶数；11的因数只有1和11，是质数；33的因数有1、3、11、33，不是质数，所以选项C不符合哥德巴赫猜想； D．60是大于2的偶数；31的因数只有1和31，是质数；29的因数只有1和29，是质数，所以选项D符合哥德巴赫猜想。 C 典例精讲精练 【典型例题2】杭州亚运会开幕式的日期很特别：表示月份的数是一位数中最大的合数；表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是 3 的最小倍数。开幕式的日期是（ ）。 A．8月23日 B．8月26日 C．9月13日 D．9月23日 月份：一位数中最大的合数：9 日子：十位上的最小的质数：2 个位上是3的最小倍数：3 开幕式的日期：9月23日 D 典例精讲精练 【变式训练1】三个连续的非零自然数的积一定（ ）。 A．既是奇数又是合数。 B．既是偶数又是质数。 C．既是奇数又是质数。 D．既是偶数又是合数。 奇数×偶数×奇数＝偶数 偶数×奇数×偶数＝偶数 偶数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除，这个偶数是合数。因此三个连续的非零自然数的积一定既是偶数又是合数。 D 牛刀小试 【变式训练2】数学上把相差2的两个质数叫作“孪生质数”，如5和7都是质数，且5和7相差2，那么5和7就是一对“孪生质数”。下列是一对“孪生质数”的是（ ）。 A．11和13 B．13和15 C．9和11 D．2和3 A．11和13都是质数，13－11＝2，则11和13相差2，所以11和13是一对“孪生质数”； B．13是质数，15是合数，所以13和15不是一对“孪生质数”； C．9是合数，11是质数，所以9和11不是一对“孪生质数”； D．2和3都是质数，3－2＝1，则2和3相差1，所以2和3不是一对“孪生质数”。 A 牛刀小试 1.最大公因数： 几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的那个叫作这几个数的最大公因数。 2.最小公倍数： 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的那个叫作这几个数的最小公倍数。 5 最大公因数和最小公倍数 知识梳理 3.求最大公因数和最小公倍数的核心方法：短除法 （1）用几个数的公有质因数依次去除，直到商只有公因数1（互质）为止； （2）若求最大公因数，把所有的除数连乘； （3）若求最小公倍数，把所有的除数和最后的商连乘。 5 最大公因数和最小公倍数 知识梳理 【典型例题1】小强把一块长为56厘米，宽42厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可以裁成几块？ 56＝2×2×2×7 42＝2×3×7 56和42的最大公因数是：2×7＝14 即正方形的边长最大是14厘米。 （56÷14）×（42÷14） ＝4×3 ＝12（块） 答：能裁成最大的正方形纸块的边长是14厘米，共可以裁成12块。 典例精讲精练 【典型例题2】三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5日上午9点同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？ 4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 4、6、8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。 7月5日＋24日＝7月29日 答：那么下一次他们三人会在7月29日上午9点同时在图书馆相遇。 典例精讲精练 【变式训练1】为让研学活动更有趣，老师准备用24米绿彩带和36米粉彩带制作研学通关卡挂绳。若要把彩带剪成相同长度的小段且不浪费，每段彩带最长是（ ）米。 2×2×3=12（米） 为让研学活动更有趣，老师准备用24米绿彩带和36米粉彩带制作研学通关卡挂绳。若要把彩带剪成相同长度的小段且不浪费，每段彩带最长是12米。 12 牛刀小试 【变式训练2】有一个电子表，每走10分钟亮一次灯，每走15分钟报一次时。上午10时这个电子表既亮灯又报时，那么至少再过（ ）分钟这个电子表既亮灯又报时。 30 10的倍数：10，20，30，40⋯ 15的倍数：15，30，45⋯ 10和15的最小公倍数是30。 所以，至少再过30分钟这个电子表既亮灯又报时。 牛刀小试 $