第三单元 因数与倍数（单元复习课件）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册重点难点举一反三讲义

该小学数学课件系统梳理了“因数与倍数”单元的七大核心知识点，包括因数倍数的定义特征、2/5/3的倍数特征、奇数偶数、质数合数、分解质因数及最大公因数与最小公倍数，通过定义解析、特征归纳和方法总结构建完整知识网络。 其亮点在于采用“知识点梳理-考点讲练-真题实战-分层训练”的四阶复习模式，如通过“草方格沙障排法”等实际问题培养抽象能力，结合典例与变式训练发展推理意识，分层设计满足不同学生需求，助力教师精准把握学情提升复习效率。

第三单元 因数与倍数 苏教版五年级下册单元复习举一反三培优讲练 目 录 知识点梳理 01 重点难点考点讲练 02 真题实战演练 03 难度分层训练 04 知识点梳理 01 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 知识点一 因数与倍数 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。（1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六 最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七 最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 重点难点考点讲练 02 高频考点一：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】 （24-25五年级下·山东菏泽·期中）为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？ 【解答】32＝32×1＝16×2＝8×4 32的因数有：1、2、4、8、16、32，共6个。 答：可以排1行、2行、4行、8行、16行、32行，有6种不同的排法。 高频考点一：根据因数的特征解决问题 【变式训练】（24-25五年级下·江苏·假期作业）把48个球装在若干个盒子里，如果每个盒子里装的数量一样多，有多少种装法？每种装法各需要多少个盒子？每个盒子里装几个？ 高频考点一：根据因数的特征解决问题 【解答】48的因数：1、48、2、24、3、16、4、12、6、8。 48＝1×48所以装1盒，每盒装48个； 48＝2×24所以装2盒，每盒装24个； 48＝3×16所以装3盒，每盒装16个； 48＝4×12所以装4盒，每盒装12个； 48＝6×8所以装6盒，每盒装8个； 48＝8×6所以装8盒，每盒装6个； 48＝12×4所以装12盒，每盒装4个； 48＝16×3所以装16盒，每盒装3个； 48＝24×2所以装24盒，每盒装2个； 48＝48×1所以装48盒，每盒装1个； 答：有10种装法；装1盒，每盒装48个；装2盒，每盒装24个；装3盒，每盒装16个；装4盒，每盒装12个；装6盒，每盒装8个；装8盒，每盒装6个；装12盒，每盒装4个；装16盒，每盒装3个；装24盒，每盒装2个；装48盒，每盒装1个。 高频考点二：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）某水果店进行促销活动，园园买了一些赣南脐橙和南丰蜜橘。请你帮园园判断找回的钱对不对，并说明理由。 【解答】找回的钱不对。 理由：赣南脐橙10元/份，南丰蜜橘5元/份，10和5都是5的倍数，所以购买这两种水果所花费的钱数一定是5的倍数，那么花费钱数的个位数字一定是0或5。 园园给了50元，50是5的倍数，个位是0，花费钱数个位是0或5，那么找回的钱数个位上一定是5或0，而实际找回12元，个位是2，所以找回的钱不对。 高频考点二：根据倍数的特征解决问题 【变式训练】（23-24五年级下·河北保定·期中）100，98，96，94，…，6，4，2这些数都是( )的倍数，其中第20个数是( )。 【解答】100，98，96，94，…，6，4，2这些数都是2的倍数； 100－（20－1）×2 ＝100－19×2 ＝100－38 ＝62 其中第20个数是62。 高频考点三：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏连云港·期末）青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 【解答】50－13＝37（元） 设购买康乃馨a枝，郁金香b枝， 则总共花费：10a＋5b＝5×（2a＋b） 5×（2a＋b）有因数5，所以妈妈买花的钱必是5的倍数。 37÷5＝7……2，因此37不是5的倍数。 答：实际花费37元不符合总花费的倍数性质，因此找回的13元不正确。 高频考点三：倍数和因数的综合应用 【变式训练】（23-24五年级下·山东潍坊·期中）清明节是二十四节气之一，也是中国民间的传统节日，有的地区素有吃青团的习俗。清明前一天，五（1）班的师生一起包青团，一共包了100多个，若每人分5个、3个或2个都刚好分完，则他们最少包了( )个，最多包了( )个。 【解答】5、3、2的最小公倍数是5×3×2＝30 30×4＝120（个） 30×6＝180（个） 清明节是二十四节气之一，也是中国民间的传统节日，有的地区素有吃青团的习俗。清明前一天，五（1）班的师生一起包青团，一共包了100多个，若每人分5个、3个或2个都刚好分完，则他们最少包了120个，最多包了180个。 高频考点四：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西宝鸡·期末）437至少减少（    ），同时是2，3，5的倍数。 A．4 B．5 C．7 D．17 【解答】根据分析： 437－7＝430 430－10＝420 437－420＝17 437至少减少17，同时是2，3，5的倍数。 故答案为：D 高频考点四：2、3、5的倍数特征综合 【变式训练】（24-25五年级上·广东深圳·期末）倍数。按要求在括号里填上一个数字。 (1)使这个两位数同时是2和3的倍数：( )2。 (2)使这个两位数同时是2、3和5的倍数：3( )。 【解答】（1）1＋2＝3，3是3的倍数，则十位上可以填1； 4＋2＝6，6是3的倍数，则十位上可以填4； 7＋2＝9，9是3的倍数，则十位上可以填7； 所以，使这个两位数同时是2和3的倍数：12、42、72。 （2）要使这个两位数同时是2、3和5的倍数，个位数字必须是0，3＋0＝3，3是3的倍数； 所以，使这个两位数同时是2、3和5的倍数：30。 高频考点五：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·重庆綦江·期末）小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，（    ）数对了。 A．小明 B．小华 C．小敏 D．都对 【解答】根据分析可知，小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，小华数对了。 故答案为：B 高频考点五：质数与合数的综合应用 【变式训练】（2025五年级下·全国·专题练习）张叔叔在花圃里种了几行玫瑰，每行的棵数相同。欢欢、笑笑和乐乐到张叔叔的花圃数了数玫瑰的总棵数。 他们谁数得对？为什么？ 高频考点五：质数与合数的综合应用 【解答】43的因数：1，43； 48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 47的因数：1，47； 43、47是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同； 48是合数，有可能种了2行，每行24棵；或种了3行，每行16棵；或种了4行，每棵12棵；或种了6行，每行8棵；或种了8行，每行6棵；或种了12行，每行4棵；或种了16行，每行3棵；或种了24行，每行2棵。 答：笑笑数对了。43、47都是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同；48是合数，才可能有几行，且每行的棵数相同。 高频考点六：分解质因数 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【解答】（袋） （条） 答：动物救助站最多有24只小猫. 高频考点六：分解质因数 【变式训练】（24-25五年级上·陕西西安·期末）若A＝2×3×5，B＝2×2×2×3，则A和B的最大公因数是（    ）。 A．6 B．12 C．10 D．15 【解答】2×3＝6 所以A和B的最大公因数是6。 故答案为：A 高频考点七：用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）学校买来长度分别为14m和10m的两根绳子，打算截成等长的跳绳。如果正好截完并且没有剩余，那么截成的跳绳最长是 m，此时一共能截成 根。空白处应该填（    ）。 ①2    ②5    ③7    ④12 A．①；④ B．②；④ C．①；③ D．③；④ 【解答】求最长跳绳长度（最大公因数）： 分解质因数：，，两者的公共质因数是2，因此最长跳绳长度是2m。 计算总段数：（根），（根）， 总段数：（根） 截成的跳绳最长是2m，此时一共能截成12根。 故答案为：A 高频考点七：用最大公因数解决实际问题 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）把一张长32cm、宽24cm的长方形纸剪成若干同样大小的正方形（纸无剩余），剪成的正方形的边长最长是多少厘米？ 想一想，要使剪成的正方形的边长最长，实际上是求32和24的（        ）。 32和24的最大公因数是（    ），所以剪成的正方形的边长最长是（    ）cm。 【解答】 所以32和24的最大公因数是：。 想一想，要使剪成的正方形的边长最长，实际上是求32和24的最大公因数。 32和24的最大公因数是8，所以剪成的正方形的边长最长是8cm。 高频考点八：用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（25-26五年级上·福建宁德·期末）甲、乙两人都参加了少年宫活动，甲每2天去训练一次，乙每5天去训练一次。若12月28日这天他们两人在少年宫碰面，则他们下一次在少年宫碰面是（    ）。 A．1月3日 B．1月5日 C．1月6日 D．1月7日 【解答】求2和5的最小公倍数：2×5＝10（天），即再过10天相遇。 12月有31天，31－28＝3（天） 剩余天数：10－3＝7（天），即次年1月7日。 所以他们下一次在少年宫碰面是1月7日。 故答案为：D 高频考点八：用最小公倍数解决实际问题 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 【解答】10分钟发一次车，12路车发车时间：6：00、6：10、6：20、6：30、6：40、6：50、7：00、7：10…… 12分钟发一次车，17路车发车时间：6：00、6：12、6：24、6：36、6：48、7：00、7：12、7：24…… 12路车与17路车下次同时发车时间是：7：00。 答：这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是7：00。 真题实战演练 03 真题演练 【演练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）10以内所有质数的积，减去既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数，差是( )。 【解答】10以内所有质数为：2、3、5、7， 10以内所有质数的积为2×3×5×7＝210 既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数的个位为0，1＋2＝3，则这个最小三位数为120； 210－120＝90 则10以内所有质数的积，减去既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数，差是90。 真题演练 【演练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果2019年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是( )月( )日。 【解答】6＝2×3； 8＝2×2×2； 9＝3×3； 2×2×2×3×3＝72（天） 31－5＝26（天） 2019÷4＝504……3，则2019年是平年，2月有28天。 26＋28＝54（天） 72－54＝18（天） 即下一次他们一起到图书馆相遇是3月18日。 真题演练 【演练3】（2025·湖南长沙·小升初真题）在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数是__________。 【解答】根据分析： 21×12＋8 ＝252＋8 ＝260 260÷13＝20，能被13整除，符合题意； （260－1）÷7 ＝259÷7 ＝37，能被7整除，符合题意； （259－1）÷3 ＝258÷3 ＝86，能被3整除，符合题意。 在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数是258，259，260。 难度分层训练 04 基础夯实 能力提升 1．（25-26六年级·全国·随堂练习）1是所有非零自然数的（    ）。 A．公因数 B．公倍数 C．倍数 D．质因数 【解答】A．1能整除所有非零自然数，因此1是所有非零自然数的公因数，符合定义。 B．1是最小的数，不是其他非零自然数的倍数，因此不是公倍数。 C．1不是其他非零自然数的倍数（如2的倍数是2、4等），因此不是倍数。 D．1不是质数，因此不能作为质因数。 故答案为：A 基础夯实 能力提升 2．（24-25五年级下·山东枣庄·期中）求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 36和60       54和72           27和72            44和77 【解答】36和60：36＝2×2×3×3，60＝2×2×3×5 最大公因数：2×2×3＝12 最小公倍数：2×2×3×3×5＝180 54和72：54＝2×3×3×3，72＝2×2×2×3×3 最大公因数：2×3×3＝18 最小公倍数：2×2×2×3×3×3＝216 27和72：27＝3×3×3，72＝2×2×2×3×3 最大公因数：3×3＝9 最小公倍数：2×2×2×3×3×3＝216 44和77：44＝2×2×11，77＝7×11 最大公因数：11 最小公倍数：2×2×7×11＝308 36和60最大公因数12，最小公倍数180。 54和72最大公因数18，最小公倍数216。 27和72最大公因数9，最小公倍数216。 44和77最大公因数11，最小公倍数308。 基础夯实 能力提升 3．（25-26五年级上·陕西榆林·期末）“快递连接你我他，快递进入寻常百姓家。”现在大部分小区有智能快递柜，解决了社区居民取快递最后“100米”的烦恼，这天，张阿姨收到一条取件码信息，取件码为ABCD四位数字，则张阿姨的取件码是多少？ 取件码ABCD中： A是一位数中最大的奇数； B是最小的合数； C是一位数中同时是2和3的倍数； D是比最小的质数大1的数。 【解答】一位数中最大的奇数是9，所以A＝9； 最小的合数是4，所以B＝4； 一位数中同时是2和3的倍数的数是2×3＝6，所以C＝6； 最小的质数是2，所以D＝2＋1＝3。 答：张阿姨的取件码是9463。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26五年级下·全国·课后作业）新趋势 数学文化  古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1，2，3，6，除6本身之外，还有1，2，3三个因数，，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中，是“完全数”的是（    ）。 A．40 B．36 C．28 D．12 创新拓展 拔尖冲刺 【解答】A.40所有的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，除40以外，还有1、2、4、5、8、10、20七个因数，，所以40不是“完全数”； B.36所有的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，除36以外，还有1、2、3、4、6、9、12、18八个因数，，所以36不是“完全数”； C.28所有的因数有1、2、4、7、14、28，除28以外，还有1、2、4、7、14五个因数，，所以28是“完全数”； D.12所有的因数有1、2、3、4、6、12，除12以外，还有1、2、3、4、6五个因数，，所以12不是“完全数”； 故答案为：C 创新拓展 拔尖冲刺 2．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个三位数是3的倍数，如果去掉它的末位数，所得的两位数是19的倍数，这样的三位数中，最大的是( )。 【解答】两位数中19的最大倍数是95，即所求的数前两位是95。又知这个三位数是3的倍数，即95□是3的倍数，□里可以填1，4，7，当□里填7时，这个三位数最大，是957。 所以，一个三位数是3的倍数，如果去掉它的末位数，所得的两位数是19的倍数，这样的三位数中，最大的是957。 创新拓展 拔尖冲刺 3．（24-25五年级下·全国·课后作业）我国明代数学家程大位在《算法统宗》中记载了一个有趣的数学问题：山上有一座古寺叫“都来寺”，在这座寺庙里，3个和尚合吃1碗饭，4个和尚合喝1碗汤，他们一共用了364只碗，请问一共有多少个和尚？ 【解答】3和4的最小公倍数是12 （只），（只），（只） （组） （个） 答：都来寺里有624个和尚． 谢谢大家 $