专项素养巩固训练卷(七) 新定义题-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

这是一份初中数学期末专项素养巩固训练卷，聚焦新定义题，包含定义新运算（如行列式运算）、定义新概念（如“好运式”“和谐三角形”）等类型，精选各地月考及期末真题，每题附详细解析，构建新定义题解题支架。 资料以新课标核心素养为导向，通过新运算定义培养抽象能力与符号意识（数学眼光），以“连续奇数平方差”推理题发展推理能力（数学思维），用“镜像方程”等模型强化数学语言表达，真题实例助学生掌握新定义题解法，为教师提供专项教学资源，帮助初中学生（尤其九年级）突破升学备考难点，提升解题能力与教师教学效率。

专项素养巩固训练卷(七)　 新定义题 初中同步培优卷 类型一 定义新运算 1.(2025浙江杭州之江实验中学月考,★★☆)规定新运算:x*y= ax+by,其中a,b是常数.已知2*3=7,(-1)*(-3)=-5. (1)求a,b的值. (2)求1*5的值. 初中同步培优卷 解析    (1)∵x*y=ax+by,2*3=7,(-1)*(-3)=-5, ∴  ①+②得a=2, 把a=2代入①,得4+3b=7, 即3b=3,解得b=1, ∴a,b的值分别为2,1. (2)由(1)可知a=2,b=1, ∵x*y=ax+by,∴x*y=2x+y, ∴1*5=2×1+5=2+5=7. 初中同步培优卷 2.(2025广东佛山南海月考,★★☆)定义 =ad-bc,如 =1 ×4-3×2=-2.已知A= (n为常数),B= . (1)若B=4,求x的值. (2)若A的展开式中不含x的一次项,x=1,求A+B的值. 初中同步培优卷 解析    (1)B=(x+1)2-(x-1)2 =x2+2x+1-x2+2x-1=4x, 因为B=4,所以4x=4,解得x=1. (2)A=2x(2x+1)-(nx-1) =4x2+2x-nx+1=4x2+(2-n)x+1, 因为A的展开式中不含x的一次项, 所以A=4x2+1,则A+B=4x2+4x+1, 当x=1时,A+B=4×12+4×1+1=9. 初中同步培优卷 类型二 定义新概念 3.(2025山东枣庄市中期末,★★☆)规定:若两个数a,b的平方 差能被8整除,表示成算式为a2-b2=8k,其中k为整数,则称这个算 式是“好运式”. 例如:52-32=2×8;132-112=6×8. (1)验证:192-172是“好运式”. (2)推理:任意两个连续奇数的平方差都能被8整除,这些算式 都是“好运式”. (3)类比发现:任意两个连续偶数的平方差都能被_______整除. 初中同步培优卷 解析    (1)证明:∵192-172=72=9×8, ∴192-172能被8整除,∴192-172是“好运式”. (2)证明:设任意两个连续奇数为2n+1和2n-1(n是整数),则(2n+ 1)2-(2n-1)2=8n, ∵n是整数,∴8n是8的倍数, ∴任意两个连续奇数的平方差都能被8整除,这些算式都是 “好运式”. (3)设任意两个连续偶数为2n和2n-2(n是整数), 则(2n)2-(2n-2)2=(2n+2n-2)(2n-2n+2)=4(2n-1), 初中同步培优卷 ∵n是整数,∴4(2n-1)是4的倍数, ∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除.故答案为4. 初中同步培优卷 4.(2025江苏西安交大苏州附中期中,★★☆)小亮学习多项式 时研究了多项式值为0的问题,发现若A=(mx+n)(px+q)=mpx2+ (mq+np)x+nq,则当mx+n=0或px+q=0时,多项式A的值为0,把此 时x的值称为多项式A的零点. (1)已知多项式(3x-1)(x+2),则此多项式的零点为_________ ______. (2)小亮继续研究(x-4)(x-2),x(x-6)及  等多项式,发 现在数轴上表示这些多项式零点的两个点关于表示3的点对 初中同步培优卷 称,他把这些多项式称为“3-系多项式”.若M=(2x-b)(cx-7c)= ax2-(8a-4c)x+5b-4(a,b,c的值互不相等且均不为0),且多项式M 是“3-系多项式”,求a,b,c的值. 初中同步培优卷 解析    (1)根据多项式零点的定义可得,3x-1=0或x+2=0,解得x = 或x=-2, ∴此多项式的零点为 和-2.故答案为 和-2. (2)令M=(2x-b)(cx-7c)=0,则2x-b=0或cx-7c=0, 解得x= 或x=7,∴M的两个零点是 和7, 根据“3-系多项式”的定义,可得 +7=6,解得b=-2, 把b=-2代入M=(2x-b)(cx-7c), 得M=(2x+2)(cx-7c)=2cx2-12cx-14c, 初中同步培优卷 又∵M=ax2-(8a-4c)x+5b-4, ∴a=2c,5b-4=-14c,∴c=1,a=2, ∴a,b,c的值分别是2,-2,1. 初中同步培优卷 5.【学科特色·分类讨论思想】(★★☆)设三角形三内角的度 数分别为α,β,γ,如果其中一个角的度数是另一个角度数的3倍, 那么我们称这个三角形为“和谐三角形”,并把满足条件的α, β,γ(β≤γ)称为“和谐三角形”的一组值.例如α=30°,β=60°,γ=9 0°为“和谐三角形”的一组值. (1)当α=48°时,写出以α=48°为其中一个内角的“和谐三角 形”的一组值. (2)当α≥135°时,符合条件的“和谐三角形”是否只有一组 值?写出你的判断并用含α的代数式表示β,γ. 初中同步培优卷 (3)当α为何值时,符合条件的“和谐三角形”分别有一组、二 组、三组值?请你分别写出对应α的值或范围. 初中同步培优卷 解析    (1)答案不唯一,如α=48°,β=33°,γ=99°. (2)是.β= (180°-α),γ= (180°-α). (3)当135°≤α<180°时,符合条件的“和谐三角形”只有一组 值. 当45°≤α<135°时,符合条件的“和谐三角形”有两组值. 当0°<α<45°时,符合条件的“和谐三角形”有三组值. 初中同步培优卷 6.(2025重庆巴南期末,★★★)阅读下面文字,然后回答问题. 给出定义:对于关于x,y的二元一次方程ax+by=c(其中a,b,c互 不相等),若将x的系数a与常数c互换,得到的新方程cx+by=a称 为原方程ax+by=c的“镜像方程”.例如方程5x+6y=8的“镜 像方程”为8x+6y=5. (1)3x-2y=-1的“镜像方程”为_______,它们组成的方程组的 解为_______. (2)若关于x,y的二元一次方程7x+my=9与其“镜像方程”组成 初中同步培优卷 的方程组的解为 求mn的值. (3)若关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0,且 与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰好是关于x,y的二 元一次方程mx-ny=p(m≠n)的一个解,请直接写出代数式m(n- m)+p(p-n)+52的值. 初中同步培优卷 解析    (1)方程3x-2y=-1的“镜像方程”是-x-2y=3,   ①-②,得4x=-4,解得x=-1, 将x=-1代入②,得1-2y=3,解得y=-1, ∴方程组的解为  故答案为-x-2y=3;  (2)关于x,y的二元一次方程7x+my=9与其“镜像方程”组成的 初中同步培优卷 方程组为  ①-②,得-2x=2,解得x=-1, ∵该方程组的解为 ∴x=m=-1, 将x=m=-1代入①,得-7-y=9,解得y=-16, ∴n=y=-16,∴mn=16. (3)52. 详解:关于x,y的二元一次方程ax+by=c与它的“镜像方程”组 初中同步培优卷 成的方程组为  ①-②,得(a-c)x=c-a,解得x=-1, 将x=-1代入①,得-a+by=c,解得y= , ∵a+b+c=0,∴a+c=-b,∴y=-1, ∴方程组的解为  将 代入mx-ny=p,得-m+n=p,即n-m=p,-m=p-n, ∴m(n-m)+p(p-n)+52=pm-pm+52=52. 初中同步培优卷 $