专项素养巩固训练卷(二) 平行线“拐点”的常见模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

这是一份初中数学期末专项素养巩固训练课件，聚焦平行线“拐点”常见模型，包含“猪蹄”“铅笔”“鹰嘴”三种模型解读及对应例题，解析步骤详细，涵盖辅助线作法、平行线性质应用等，为学生提供系统的几何学习支架。 资料特色突出，紧扣新课标核心素养，通过模型抽象培养数学眼光，如“猪蹄”模型例题过点P作平行线体现几何直观，结合中考题和数学文化（如抖空竹问题）激发探究兴趣，解析中逻辑推理步骤清晰，帮助学生发展推理能力和模型意识。针对初中学生几何入门阶段学情，助力其掌握辅助线添加技巧，提升推理能力，也为教师期末复习提供结构化教学素材。

专项素养巩固训练卷(二)　 平行线“拐点”的常见模型 初中同步培优卷 若a∥b,则∠2=∠1+∠3.   模型一 “猪蹄”模型       模型解读 初中同步培优卷   A. 45°　　    B. 50°　　    C. 65°　　    D. 115° 1.(2025甘肃兰州安宁期末,★☆☆)如图,若AB∥CD,∠B=50°, ∠D=65°,则∠P= (         ) D 初中同步培优卷 解析　如图,过P点作PO∥AB,   ∵AB∥CD,∴CD∥PO∥AB,∴∠BPO=∠B,∠OPD=∠D, ∵∠BPD=∠BPO+∠OPD,∴∠BPD=∠B+∠D, ∵∠B=50°,∠D=65°,∴∠BPD=∠B+∠D=50°+65°=115°.故选D. 初中同步培优卷 2.(★★☆)如图,AB∥CD,BE⊥EF,DF⊥CD,∠B=40°,则∠EFD 的度数是 (         )   A. 120°　　　　　    B. 130° C. 140°　　　　　    D. 150° C 初中同步培优卷 解析　如图,过E点作EM∥AB,过F作FN∥AB,   ∵AB∥CD,∴AB∥FN∥EM∥CD,∴∠MEB=∠B=40°,∠EFN =∠MEF,∵BE⊥EF,DF⊥CD,∴∠BEF=90°,DF⊥FN,即 ∠DFN=90°,∴∠MEF=90°-40°=50°,∴∠EFN=50°, ∴∠EFD=∠EFN+∠DFN=50°+90°=140°.故选C. 初中同步培优卷 3.(2024北京农大附中期中改编,★★☆)如图,由线段AB,AM, CM,CD组成的图形像∑,称为“∑形BAMCD”. (1)如图①,∑形BAMCD中,若AB∥CD,∠AMC=60°,则∠A+ ∠C=__________°. (2)如图②,连接∑形BAMCD中B,D两点,若∠ABD+∠BDC=160°,∠AMC=α,则∠BAM+∠MCD=_____________(用含α的代数 式表示).     α+20°         60     初中同步培优卷   初中同步培优卷 解析    (1)如图1,过M点作MN∥AB,   ∵AB∥CD,∴AB∥MN∥CD,∴∠AMN=∠A,∠NMC=∠C, ∴∠A+∠C=∠AMN+∠NMC=∠AMC=60°.故答案为60. (2)如图2,过A点作AP∥CD交BD于点P,过M点作MN∥CD, 初中同步培优卷   ∴∠APB=∠BDC,∵∠BAP+∠APB+∠ABD=180°,∠ABD+ ∠BDC=160°,∴∠BAP=180°-160°=20°.由(1)可得∠AMC=∠PAM+∠MCD,∵∠AMC=α,∴∠PAM+∠MCD=α,∴∠BAM+ ∠MCD=α+20°.故答案为α+20°. 初中同步培优卷     若a∥b,则∠1+∠2+∠3=360°.   模型二 “铅笔”模型    模型解读 初中同步培优卷 4.(2025四川凉山州中考,★☆☆)如图,DF∥AB,∠BAC=120°, ∠ACE=100°,则∠CED= (         )   A. 30°　　    B. 40°　　    C. 60°　　    D. 80° B 初中同步培优卷 解析　如图,过点C作CG∥AB, ∵DF∥AB,∴DF∥AB∥CG, ∴∠1+∠CAB=180°,∠2=∠CED, ∵∠BAC=120°,∴∠1=60°, ∵∠ACE=100°,∴∠2=∠ACE-∠1=40°, ∴∠CED=∠2=40°.故选B. 初中同步培优卷 5.(2025四川广元苍溪期末,★★☆)问题情境:如图①,AB∥CD, ∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数. 小明的思路是:过P作PE∥AB,通过平行线的性质来求∠APC 的度数. (1)按小明的思路,可得∠APC的度数为______. (2)问题迁移:如图②,AB∥CD,点P在射线OM上运动,记∠PAB =α,∠PCD=β,当点P在B,D两点之间运动时,∠APC与α,β之间 有何数量关系?请说明理由. (3)在(2)的条件下,如果点P在B,D两点外侧运动时(点P与点O, 初中同步培优卷 B,D三点不重合),请直接写出∠APC与α,β之间的数量关系.   初中同步培优卷 解析    (1)过点P作PE∥AB, ∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD, ∴∠PAB+∠APE=180°,∠PCD+∠CPE=180°, ∵∠PAB=130°,∠PCD=120°, ∴∠APE=180°-∠PAB=50°,∠CPE=180°-∠PCD=60°, ∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°. (2)∠APC=α+β, 理由:如图,过P作PE∥AB交AC于E, 初中同步培优卷   ∵AB∥CD, ∴AB∥PE∥CD, ∴α=∠APE,β=∠CPE, ∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β. (3)如图所示,当P在BD的延长线上时, 初中同步培优卷 ∠CPA=α-β;   如图所示,当P在DB的延长线上时, ∠CPA=β-α. 初中同步培优卷 初中同步培优卷   模型三 “鹰嘴”模型 模型解读             若a∥b,则∠3=∠1+∠2. 初中同步培优卷 6.【新考向·数学文化】(2025河南南阳镇平期中,★☆☆)某同 学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现:他把它抽象成 数学问题,如图所示,已知AB∥CD,∠BAE=82°,∠DCE=120°, 则∠E的度数是 (         )   A A. 38°　　    B. 44°　　    C. 46°　　    D. 48° 初中同步培优卷 解析　如图,延长DC交AE于点F,   ∵AB∥FD,∠BAE=82°,∴∠CFE=∠BAE=82°,∵∠DCE= 120°,∴∠ECF=60°,∴∠E=180°-60°-82°=38°.故选A. 初中同步培优卷 7.(★★☆)小明遇到这样一个问题:如图①,AC∥BD,点E为直 线AC上方一点,连接CE,DE,猜想∠C,∠D,∠E的数量关系,并 证明. (1)小明发现,可以过点E作MN∥AC来解决问题,请你帮助小明 完成解答. (2)用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题: 如图②,AB∥CD,P是平面内一点,且在直线CD下方,连接AP, CP,使AP∥BD,∠APC=100°,BM,CM分别平分∠ABD,∠DCP, BM与CM交于点M,求∠M的度数. 初中同步培优卷   初中同步培优卷 解析    (1)∠D=∠C+∠DEC. 证明:如图,过点E作MN∥AC,   ∴∠C=∠CEN. ∵AC∥BD, ∴MN∥BD, ∴∠D=∠DEN, 初中同步培优卷 ∵∠DEN=∠DEC+∠CEN, ∴∠D=∠C+∠DEC. (2)如图,设CD与AP,BM分别相交于点E,F.   ∵BM,CM分别平分∠DBA,∠DCP, 初中同步培优卷 ∴∠MBD=∠MBA= ∠DBA,∠MCP=∠MCD= ∠PCE. ∵AB∥CD, ∴∠ABF=∠BFD,∠D+∠DBA=180°. ∵AP∥BD, ∴∠AED+∠D=180°, ∴∠DBA=∠AED, ∵∠AED=∠CEP, ∴∠CEP=∠DBA, 初中同步培优卷 ∴∠MBA= ∠CEP. ∵∠ABF=∠BFD,∠BFD=∠CFM, ∴∠CFM=∠ABF= ∠CEP. ∵在△CEP中,∠APC=100°, ∴∠PCE+∠PEC=180°-100°=80°, ∴ ∠CEP+ ∠PCE= (∠PCE+∠PEC)= ×80°=40°, ∴∠CFM+∠MCF=40°, ∴∠M=180°-(∠MCF+∠MFC)=180°-40°=140°. 初中同步培优卷 $