第8章 相交线与平行线 素养提优测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了平行线的性质与判定、角度计算及几何模型等核心知识，通过选择、填空、解答题等题型，从基础概念到综合应用逐步深入，构建完整的知识网络，体现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于融入跨学科情境（如物理光的折射、化学过滤操作）培养数学眼光，通过逻辑推理和动点探究题发展数学思维，分层设计（★☆☆到★★★）满足个性化复习需求，助力学生巩固知识，教师精准把握学情。

第8章　素养提优测试卷 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.(2025甘肃中考,★☆☆)如图①,三根木条a,b,c相交成∠1=80°, ∠2=110°,固定木条b,c,将木条a绕点A顺时针转动至如图② 所示,使木条a与木条b平行,则可将木条a旋转 (        ) A. 30°　　    B. 40°　　    C. 60°　　    D. 80° A 初中同步培优卷 解析　在题图②中,∵a∥b,∴∠2=∠1=80°, ∴要使木条a与b平行,可将木条a绕点A顺时针旋转的度数是 110°-80°=30°.故选A.        初中同步培优卷 2.【跨物理·光的折射】(2025云南楚雄州一模,★☆☆)如图,水面 MN与底面EF平行,光线AB从空气射入水里时发生了折射,折射光线BC射到水底C处,点D在AB的延长线上,若∠1=67°,∠2= 45°,则∠DBC的度数为 (        ) A. 20°　　    B. 22°　　    C. 60°　　    D. 80° B 初中同步培优卷 解析　根据对顶角相等得∠2=∠MBD,∵∠2=45°,∴∠MBD= 45°,∵MN∥EF,∠1=67°,∴∠1=∠MBC=67°,∴∠DBC= ∠MBC-∠MBD=67°-45°=22°.故选B. 初中同步培优卷 3.(2025北京丰台期末,★☆☆)如图,某测绘队需要测量村庄A 到河道MN的距离,经过测量得到∠APN的大小与线段AP的长 度的几组值,如表: ∠APN的大小/度 52.3 69.3 88.8 93.5 105.8 117.8 AP的长度/米 693 586 549 550 570 620 初中同步培优卷 则下面说法正确的是 (        ) A. 村庄A到河道MN的距离等于549米 B. 村庄A到河道MN的距离小于549米 C. 村庄A到河道MN的距离大于549米 D. 村庄A到河道MN的距离等于550米 B 初中同步培优卷 解析　当AP⊥MN,即∠APN=90°时,AP的长为村庄A到河道MN的距离,∵90°>88.8°,∴村庄A到河道MN的距离小于549米. 故选B.        初中同步培优卷 4.(2025湖南长沙中考,★☆☆)如图,AB∥CD,直线EF与直线 AB,CD分别交于点E,F,直线EG与直线CD交于点G.若∠1=70°, ∠2=50°,则∠GEF的度数为 (        ) A. 50°　　    B. 60°　　    C. 65°　　    D. 70° B 初中同步培优卷 解析　∵AB∥CD,∠1=70°,∴∠GFE=∠1=70°.又∵∠EGF= ∠2=50°,∴∠GEF=180°-50°-70°=60°.故选B. 初中同步培优卷 5.(★☆☆)如图,直线AB∥CD,点G,F分别在直线AB,CD上,GE ⊥EF于点E.若∠BGE=60°,则∠EFD的度数是 (        ) A. 60°　　　　　    B. 30° C. 40°　　　　　    D. 70° B 初中同步培优卷 解析　如图,过点E作EM∥AB,   ∴∠GEM=∠BGE=60°, ∵GE⊥EF,∴∠GEF=90°,∴∠FEM=∠GEF-∠GEM=30°, ∵AB∥CD,AB∥EM,∴CD∥EM, ∴∠EFD=∠FEM=30°.故选B. 初中同步培优卷 6.(2025河南济源期末,★☆☆)下列说法错误的是 (        ) A. 如图①,木工常用角尺画平行线,蕴含的道理是同位角相等, 两直线平行 B. 如图②,AB⊥l,CB⊥l,那么A,B,C三点在同一条直线上,依据 是在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D 初中同步培优卷 C. 如图③,固定木条b和c,转动木条a,在转动过程中,只有一个 位置使得a和b平行,原因是过直线外一点有且只有一条直线 与已知直线平行 D. 在同一平面内,如果一条直线垂直于两条直线中的一条,那 么它也垂直于另一条 初中同步培优卷 解析    A.木工常用角尺画平行线,蕴含的道理是同位角相等, 两直线平行,选项A正确,不符合题意;B.AB⊥l,CB⊥l,那么A,B, C三点在同一条直线上,依据是在同一平面内,过一点有且只 有一条直线与已知直线垂直,选项B正确,不符合题意;C.固定 木条b和c,转动木条a,在转动过程中,只有一个位置使得a和b 平行,原因是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平 行,选项C正确,不符合题意;D.在同一平面内,如果一条直线垂 直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条,选项D错 误,符合题意.故选D. 初中同步培优卷 7.【跨化学·实验操作】(2025宁夏银川英才学校四模,★☆☆) 如图所示的为化学实验过滤操作的示意图,其中烧杯中的液 面AB与漏斗架CD平行.若∠1=76°,∠2=120°,则∠3的度数为  (        ) A. 36°　　    B. 44°　　     C. 46°　　    D. 54° B 初中同步培优卷 解析　∵AB∥CD,∴∠1+∠3=∠2,∵∠1=76°,∠2=120°, ∴∠3=∠2-∠1=120°-76°=44°,即∠3的度数为44°.故选B. 初中同步培优卷 8.(★★☆)如图,AB∥CD,∠BEF=60°,则∠1,∠2与∠3之间的 关系是 (        ) A. ∠2+∠3-∠1=60°　　　　　    B. ∠1+∠3-∠2=60° C. ∠1+∠2-∠3=90°　　　　　    D. ∠2+∠3-∠1=90° B 初中同步培优卷 解析　如图,过点E作EG∥AB,过点F作FH∥AB,   ∴∠1=∠BEG,EG∥FH,∴∠GEF=∠EFH, ∴∠1+∠EFH=∠BEG+∠GEF=∠BEF=60°, ∵AB∥CD,∴FH∥CD,∴∠HFC=∠2, ∴∠3-∠2=∠EFH+∠HFC-∠2=∠EFH, ∴∠1+∠3-∠2=∠1+∠EFH=60°.故选B. 初中同步培优卷 9.(2025浙江温州月考,★★☆)如图,a∥b,c与a相交,b与d相交,e 与c,d相交,下列说法错误的是 (        ) A. 若∠1=∠2,则∠3=∠4 B. 若∠1+∠4=180°,则c∥d C. ∠4-∠2=∠3-∠1 D. ∠1+∠2+∠3+∠4=360° D 初中同步培优卷 解析　若∠1=∠2,则a∥e,∵a∥b,∴b∥e,∴∠3=∠4,选项A正 确,不符合题意;∵a∥b,∴∠5+∠4=180°,若∠1+∠4=180°,则 ∠1=∠5,∴c∥d,选项B正确,不符合题意;∵a∥b,∴∠5+∠4= 180°,∵∠5+∠2+∠3+180°-∠1=360°,∴∠2+∠3+180°- ∠4+180°-∠1=360°,∴∠4-∠2=∠3-∠1,选项C正确,不符合 题意;∵∠4-∠2=∠3-∠1,∴∠4+∠1=∠2+∠3,若∠4+∠2+∠3+∠1=360°,需∠4+∠1=∠2+∠3=180°,选项D错误,符合题意. 故选D. 初中同步培优卷 10.【新考向·动点问题】(2025湖北黄石阳新期末,★★★)如 图,已知AB∥CD,CG交AB于点G,且∠C=α,GE平分∠BGC,点H 是CD上的一个定点,点P是GE所在直线上的一个动点,则点P 在运动过程中,∠GPH与∠PHC的关系错误的是 (        ) A. ∠GPH-∠PHC= α　　　　　     B. ∠GPH+∠PHC= α C. ∠GPH+∠PHC+ α=180°　　　　　     D. ∠PHC+∠GPH+ α=360° D 初中同步培优卷 解析　∵AB∥CD,∴∠BGC=∠C=α,∵GE平分∠BGC, ∴∠BGE=∠CGE= ∠BGC= α, 当点P在AB和CD之间时,过点P作PM∥AB,如图,   ∴∠BGE=∠GPM= α,∵AB∥CD,∴MP∥CD, 初中同步培优卷 ∴∠MPH=∠PHC=∠GPH-∠GPM=∠GPH- α, ∴∠GPH-∠PHC= α,选项A正确,不符合题意; 当点P在AB上方时,过点P作PN∥AB,如图,   ∵PN∥AB,∴∠FPN=∠FGA=∠BGE= α, 初中同步培优卷 ∵AB∥CD,∴PN∥CD,∴∠NPH=∠PHC, ∵∠FPN+∠NPH+∠GPH=180°, ∴∠GPH+∠PHC+ α=180°,选项C正确,不符合题意; 当点P在CD下方时,过点P作PK∥AB,如图,   初中同步培优卷 ∴∠FPK=∠AGF= α,∵AB∥CD,∴PK∥CD, ∴∠CHP=∠HPK,∵∠GPH+∠KPH=∠GPK= α, ∴∠GPH+∠PHC= α,选项B正确,不符合题意.故选D. 初中同步培优卷 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 11.(2025山东菏泽单县期中,★☆☆)如图,直线a,b相交于点O, 将量角器的中心与点O重合,发现表示60°的点在直线a上,表 示140°的点在直线b上,则∠1=__________°.     80     初中同步培优卷 解析　根据题意,得直线a,b所夹的锐角为140°-60°=80°, ∴根据对顶角相等可得∠1=80°.        初中同步培优卷 12.(2025山东菏泽巨野期中,★★☆)某兴趣小组利用几何图 形画出螳螂的简笔画,如图,已知∠BAC=125°,∠D=75°,且AB ∥DE,则∠ACD=__________°.     20     初中同步培优卷 解析　如图,过点C作CF∥AB,∴∠FCA=∠BAC=125°. ∵AB∥DE,CF∥AB,∴CF∥DE, ∴∠FCD=180°-∠D=180°-75°=105°, ∴∠ACD=∠FCA-∠FCD=125°-105°=20°.   初中同步培优卷 13.(2025山东菏泽鄄城期中,★★☆)同一平面上有2 025条直 线,若a1⊥a2,a2⊥a3,a3∥a4,a4∥a5,a5⊥a6,a6⊥a7,…,那么a1和a2 025 的位置关系是_______. 平行     初中同步培优卷 解析　∵a1⊥a2,a2⊥a3,a3∥a4,a4∥a5,a5⊥a6,a6⊥a7,…,∴可推导 出一般性规律,4条直线的位置关系为一个循环,∵2 025-1=4× 506,a1∥a5,∴a1∥a2 025. 初中同步培优卷 14.(2025山东菏泽鄄城期末,★★☆)如果一个角的两边与另 一个角的两边分别平行,那么这两个角的数量关系是___ ____________. 相等或互补     初中同步培优卷 解析　如图,∠1的两边和∠3的两边分别平行,∠2和∠3的两 边互相平行,∴∠3=∠4,∠4=∠1,∠4+∠2=180°. ∴∠3=∠1,∠3+∠2=180°,∴∠3和∠1相等,∠3和∠2互补,故 填相等或互补.   初中同步培优卷 15.【跨物理·光的反射】(★★☆)两个平面镜OM和ON按如 图所示方式摆放,从点A处向平面镜ON射出一束平行于OM的 光线,经过两次反射后,光线CD与平面镜ON垂直,则两平面镜 的夹角∠MON的度数为_________.(注:入射光线与镜面的夹角 和反射光线与镜面的夹角相等)     30°     初中同步培优卷 解析　设∠MON=x, ∵AB∥OM,∴∠ABN=∠MON=x. 由题意得∠OBC=∠ABN=x, ∵∠BCM+∠BCO=180°,∠MON+∠OBC+∠BCO=180°, ∴∠BCM=∠MON+∠OBC=2x, 由题意得∠DCO=∠BCM, ∴∠DCO=2x, ∵CD⊥ON, ∴∠ODC=90°,∴∠MON+∠DCO=90°, ∴x+2x=90°,∴x=30°,∴∠MON=30°. 初中同步培优卷 16.(2025湖北天门期中,★★☆)如图,直线AB,CD被直线AC所 截,AB∥CD,点P是平面内任意一点(注:点P不在直线AB,CD及 AC上).设∠BAP=x°,∠DCP=y°,则∠APC的度数可能是:①x° +y°;②x°-y°;③y°-x°;④360°-x°-y°.其中正确的是____________. (只填序号). 　①② ③④     初中同步培优卷 解析    (1)当点P在直线AB上方且在直线AC右侧时,如图1,由 AB∥CD,可得∠AOC=∠DCP=y°, ∵∠AOC=180°-∠AOP=∠BAP+∠APC,∴∠APC=y°-x°.   (2)当点P在直线AB,CD之间,且在直线AC右侧时,如图2,过P作 PM∥AB,由AB∥CD, 初中同步培优卷 可得AB∥CD∥PM, ∴∠1=∠BAP=x°,∠2=∠DCP=y°,∴∠APC=x°+y°.   (3)当点P在直线AB上方,且在直线AC左侧时,如图3,由AB∥ CD, 可得∠BOP=∠DCP=y°, 初中同步培优卷 ∵∠BAP=180°-∠OAP=∠BOP+∠APC,∴∠APC=x°-y°.   (4)当点P在直线AB,CD之间,且在直线AC左侧时,如图4,过P作 PN∥AB,由AB∥CD, 可得AB∥CD∥PN, 初中同步培优卷 ∴∠BAP+∠APN=180°,∠DCP+∠CPN=180°, ∴∠BAP+∠APN+∠DCP+∠CPN=360°, ∴∠BAP+∠APC+∠DCP=360°, ∴∠APC=360°-x°-y°,   (5)当点P在直线CD下方时,推理过程同(1)(3),结果也同(1)(3). 故填①②③④. 初中同步培优卷 三、解答题(本大题共6小题,共66分) 17.(2025山东潍坊安丘月考,★☆☆)(9分)如图,直线AB,CD相 交于点O,OF⊥CD,OE平分∠BOD. (1)若∠AOC=68°,求∠EOF的度数. (2)如果∠AOC=n°(n<90),则∠EOF=_______度.(用含n的代 数式表示) (3)若∠BOE比∠BOF大24°, 求∠COE的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)根据对顶角相等得∠AOC=∠BOD, ∵∠AOC=68°,∴∠BOD=68°, ∵OE平分∠BOD,∴∠DOE= ∠BOD=34°, ∵OF⊥CD,∴∠DOF=90°, ∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=56°, ∴∠EOF的度数为56°. (2)∵OE平分∠BOD,∠AOC=n°, ∴∠DOE= ∠BOD= ∠AOC= n°, 初中同步培优卷 ∵OF⊥CD,∴∠DOF=90°, ∴∠EOF=∠DOF-∠DOE= °. (3)设∠BOF=x°,则∠BOE=(x+24)°, ∵OE平分∠BOD, ∴∠DOE=∠BOE=(x+24)°, ∵∠DOF=90°, ∴∠DOE+∠BOE+∠BOF=90°, ∴(x+24)+(x+24)+x=90,解得x=14, 初中同步培优卷 ∴∠DOE=(x+24)°=38°, ∴∠COE=180°-∠DOE=142°, ∴∠COE的度数为142°. 初中同步培优卷 18.(2025山东潍坊青州月考,★☆☆)(10分)如图,在△ABC中, 过点A作AD⊥BC,垂足为D,E为AB上一点,过点E作EF⊥BC,垂 足为F,过点D作DG∥AB交AC于点G. (1)依题意补全图形. (2)请你判断∠BEF与∠ADG的数量关系,并说明理由.   初中同步培优卷 解析    (1)如图所示:   (2)∠BEF=∠ADG.理由如下: ∵AD⊥BC,EF⊥BC, ∴∠ADF=∠EFB=90°, ∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行), 初中同步培优卷 ∴∠BEF=∠BAD(两直线平行,同位角相等). ∵DG∥AB, ∴∠BAD=∠ADG(两直线平行,内错角相等), ∴∠BEF=∠ADG. 初中同步培优卷 19.【学科特色·教材变式P52T11、T13】(2025山东菏泽莘县 期中,★★☆)(10分)【习题变式】 (1)小明学完第8章后,对青岛版初中数学教材七年级下册第52 页第13题,进行了变式思考:如图①,AB∥CD,点E在AB,CD之 间,请写出∠AEC,∠A,∠C之间的数量关系,并说明理由. 【迁移思考】 (2)小明在完成第13题的探究后,对该页的第11题又作了探究 与变式思考: 初中同步培优卷 ①如图②,在长方体盒子底部有一面平面镜,点A处有一个光 源,法线OE与平面镜l垂直,即OE⊥BC,垂足为点O,入射光线与 法线OE的夹角称为入射角,反射光线与法线OE的夹角称为反 射角,光线的反射角等于入射角,入射光线经过镜面发射后,恰 好经过点D.小明认为,图中∠AOB=∠COD,请帮小明说明理由. ②如图③,在长方体盒子里放置4块平面镜AB,BC,CD,DA,其中 AD∥BC,若光线从AD上的E处射出,在平面镜AB上经点F反射 后,到达BC上的点G,……,其传播路径为E→F→G→H→E→F →…,判断∠EFG与∠GHE的数量关系,并说明理由. 初中同步培优卷   初中同步培优卷 解析    (1)∠AEC=∠A+∠C,理由如下: 过点E作EM∥AB,如图所示:   ∵AB∥CD,∴AB∥EM∥CD, ∴∠AEM=∠A,∠CEM=∠C, ∴∠AEM+∠CEM=∠A+∠C, 初中同步培优卷 ∵∠AEC=∠AEM+∠CEM,∴∠AEC=∠A+∠C. (2)①∵OE⊥BC, ∴∠EOC=∠EOB=90°, ∴∠AOE+∠AOB=∠DOE+∠COD=90°, ∵光线的入射角等于反射角, ∴∠AOE=∠DOE, ∴∠AOB=∠COD. ②∠EFG=∠GHE,理由如下: 由①的结论得∠AEF=∠DEH,∠BGF=∠CGH, 初中同步培优卷 ∴∠AEF+∠BGF=∠DEH+∠CGH, 由AD∥CB及(1)的结论得∠EFG=∠AEF+∠BGF,∠EHG= ∠DEH+∠CGH, ∴∠EFG=∠EHG. 初中同步培优卷 20.(2025山东潍坊期中,★★☆)(12分)如图①,已知CE平分∠ACD, ∠ACE=∠AEC=36°. (1)判断AB和CD的位置关系,并说明理由. (2)点P在射线AB上,点Q在射线CD上,∠PQC=∠A,连接QE. ①如图②,若点P在点E的右侧,CE⊥QE,求∠PQE的度数. ②如图③,若点P在点E的左侧,∠CEQ=α,求∠PQE的度数.(用 含α的代数式表示) 初中同步培优卷 解析    (1)AB∥CD,理由如下: ∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE, ∵∠ACE=∠AEC,∴∠AEC=∠DCE,∴AB∥CD. (2)①∵∠ACE=36°,CE平分∠ACD, ∴∠ACD=2∠ACE=72°, ∵AB∥CD,∴∠ACD+∠A=180°,∠EQC=∠PEQ, ∴∠A=180°-∠ACD=108°, ∴∠CQP=∠A=108°, ∵CE⊥QE,∴∠CEQ=90°, 初中同步培优卷 又∵∠AEC+∠CEQ+∠PEQ=180°,∠AEC=36°,∠CEQ=90°, ∴∠PEQ=∠EQC=180°-36°-90°=54°, ∴∠PQE=∠CQP-∠EQC=54°. ②由①知∠CQP=108°, ∴∠PQD=180°-108°=72°, ∵∠CEQ=α, ∴∠PEQ=∠AEC+∠CEQ=36°+α, ∵AB∥CD, ∴∠EQD=∠PEQ=36°+α, ∴∠PQE=∠PQD-∠EQD=36°-α. 初中同步培优卷 21.【新考向·项目探究题】(2025山东聊城阳谷开学考试,★ ★☆)(12分)【问题情境】 如图,已知∠1=∠2,EG平分∠AEC交BD于点G. 【问题探究】 (1)如图①,∠MAE=45°,∠FEG=15°,∠NCE=75°,试判断EF与 CD的位置关系,并说明理由. 【问题解决】 (2)如图②,∠MAE=140°,∠FEG=30°,当AB∥CD时,求∠NCE 的度数. 初中同步培优卷 【问题拓展】 (3)如图②,若AB∥CD,试说明∠NCE=∠MAE-2∠FEG.   初中同步培优卷 解析    (1)EF∥CD,理由如下: ∵∠1=∠2,∴AB∥EF, ∴∠AEF=∠MAE, ∵∠MAE=45°,∠FEG=15°, ∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=60°, ∵EG平分∠AEC, ∴∠CEG=∠AEG=60°, ∴∠CEF=∠CEG+∠FEG=75°, ∵∠NCE=75°,∴∠NCE=∠CEF, 初中同步培优卷 ∴EF∥CD. (2)∵∠1=∠2,∴AB∥EF, ∴∠FEA+∠MAE=180°, ∵∠MAE=140°,∴∠FEA=180°-∠MAE=40°, ∵∠FEG=30°,∴∠AEG=∠FEA+∠FEG=70°, ∵EG平分∠AEC, ∴∠CEG=∠AEG=70°, ∴∠FEC=∠FEG+∠CEG=100°, ∵AB∥CD,∴EF∥CD, 初中同步培优卷 ∴∠NCE+∠FEC=180°, ∴∠NCE=180°-∠FEC=80°. (3)证明:∵∠1=∠2,∴AB∥EF, ∴∠MAE+∠FEA=180°, ∴∠FEA=180°-∠MAE, ∴∠AEG=∠FEA+∠FEG=180°-∠MAE+∠FEG, ∵EG平分∠AEC,∴∠GEC=∠AEG, ∴∠FEC=∠GEC+∠FEG=180°-∠MAE+∠FEG+∠FEG= 180°-∠MAE+2∠FEG, 初中同步培优卷 ∵AB∥CD,AB∥EF,∴EF∥CD, ∴∠FEC+∠NCE=180°, ∴180°-∠MAE+2∠FEG+∠NCE=180°, ∴2∠FEG+∠NCE=∠MAE, 即∠NCE=∠MAE-2∠FEG. 初中同步培优卷 22.【新考向·动点探究题】(2025湖北武汉新洲期末,★★★) (13分)【基本图形】 (1)如图①,AB∥CD,EF∥GH.求证:∠EFH=∠EGH. 【图形运用】 (2)如图②,AB∥CD,∠F=∠G,EM⊥EF交CD于点M,EN,HN分 别平分∠BEM,∠GHD,并交于点N,求∠N的度数. 初中同步培优卷 【思维拓展】 (3)如图③,已知∠AEF=40°,在(2)的条件下,有一动点P在射线 HN上(异于点H),并满足∠HPE=3∠PEB,直接写出∠HPE的度 数.   初中同步培优卷 解析    (1)证明:∵AB∥CD,∴∠AEF=∠EFH. 又∵EF∥GH,∴∠AEF=∠EGH,∴∠EFH=∠EGH. (2)如图,过点N作NK∥AB,延长EF交CD于点Q,   ∵∠EFG=∠G,∴EF∥GH, 初中同步培优卷 ∴∠EQM=∠GHD, ∵AB∥CD, ∴NK∥CD,∠AEF=∠EQM=∠GHD, 设∠AEF=∠GHD=α, ∵EM⊥EF, ∴∠FEM=90°, ∴∠BEM=180°-∠AEF-∠FEM=90°-α, 又∵EN平分∠BEM, 初中同步培优卷 ∴∠BEN= ∠BEM=45°- , ∵HN平分∠GHD,∠GHD=α, ∴∠GHN=∠DHN= ∠GHD= , ∵NK∥AB, ∴∠BEN=∠ENK=45°- . 同理,由NK∥CD得∠KNH=∠DHN= , ∴∠ENH=∠ENK+∠KNH=45°- + =45°. 初中同步培优卷 (3)设∠PEB=x,则∠HPE=3x,过点P作PL∥AB,当点P在AB与 CD之间时,如图,   ∵AB∥CD,∴PL∥CD. 由(2)可得∠HPE=∠PEB+ ∠AEF, 初中同步培优卷 ∵∠AEF=40°, ∴3x=x+ ×40°,解得x=10°, ∴∠HPE=3×10°=30°. 当点P在AB上方时,如图,   初中同步培优卷 同理可得∠HPE= ∠AEF-∠PEB, ∵∠AEF=40°, ∴3x= ×40°-x,解得x=5°, 此时∠HPE=3×5°=15°. 综上,∠HPE的度数为30°或15°. 初中同步培优卷 $