专项突破1 平行线“拐点”常见模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学课件聚焦平行线“拐点”常见模型，涵盖“铅笔”“猪蹄”“锯齿”“鹰嘴”四大模型，通过工程车场景、猎豹奔跑等现实情境导入，衔接平行线性质，以作辅助线为学习支架，帮助学生构建从基础到复杂拐点问题的解题思路。 其亮点在于以情境化实例培养数学眼光，如用抖空竹抽象“鹰嘴”模型；通过作辅助线推理角度关系发展数学思维，如“铅笔”模型推导360°结论；总结模型公式（如(n-1)×180°）强化数学语言表达。助力学生提升几何直观与推理能力，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

专项突破1　平行线“拐点”常见模型 初中数学培优课堂  　“铅笔”模型 1.(2025山东聊城阳谷开学测试)如图,AB∥CD,则∠A+∠E+∠ C= ( ) A.90°　　    B.180°　　    C.270°　　    D.360°     D     初中数学培优课堂 解析　如图,过点E作EF∥AB, ∴∠A+∠AEF=180°, ∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠FEC+∠C=180°, ∴∠A+∠AEF+∠FEC+∠C=360°, 即∠A+∠AEC+∠C=360°,故选D. 初中数学培优课堂 2.(2025山西运城运康中学模拟)如图,在一个由工程车搭建的 创意展览场景中,小明站在工程车旁边观察,发现从某个角度 看,工作篮底部AB与支撑平台CD平行.若∠1=30°,∠3=150°,则 ∠2的度数为 ( )     A     A.60°　　    B.50°　　    C.40°　　    D.30° 初中数学培优课堂 解析　如图所示,过∠2顶点作直线l∥CD, ∵AB∥CD,∴直线l∥AB∥CD, ∴∠4=∠1=30°,∠5+∠3=180°, ∴∠5=180°-∠3=180°-150°=30°, ∴∠2=∠4+∠5=60°,故选A. 初中数学培优课堂 3.如图,已知AB∥CD.  　       　      初中数学培优课堂 (1)如图1所示,∠1+∠2=______. (2)如图2所示,∠1+∠2+∠3=______. (3)如图3所示,∠1+∠2+∠3+∠4=______. (4)如图4所示,试探究∠1+∠2+…+∠n=______. 初中数学培优课堂 解析    (1)∵AB∥CD, ∴∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补). 故答案为180°. (2)如图,过点E作EF∥AB.   ∵AB∥CD,∴CD∥EF∥AB, ∴∠1+∠AEF=180°,∠FEC+∠3=180°(两直线平行,同旁内角 初中数学培优课堂 互补), ∴∠1+∠2+∠3=360°.故答案为360°. (3)如图,过点E,F分别作AB的平行线.   类比(2)可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°. 故答案为540°. (4)(n-1)×180°. 初中数学培优课堂  　“猪蹄”模型 4.(2025山东聊城高唐二模)图1是猎豹奔跑的瞬间,腹部与后 肢平行,图2是其示意图,若∠A=35°,∠D=85°,则∠ACD的度数 为 ( )     B     A.150°　　    B.120°　　    C.130°　　    D.95° 初中数学培优课堂 解析　如图,过C作CH∥AB,   ∵AB∥DE,∴AB∥CH∥DE, ∴∠ACH=∠A=35°,∠DCH=∠D=85°, ∴∠ACD=∠ACH+∠DCH=35°+85°=120°. 故选B. 初中数学培优课堂 5.(2025山东日照五莲期中)如图,直线l1∥l2,∠CAB=150°,∠ ABD=75°,则∠1+∠2= ( ) A.75°　　    B.60°　　    C.45°　　    D.50°     C     初中数学培优课堂 解析　如图,过A作AM∥l1,过B作BN∥l1, ∵l1∥l2,∴AM∥BN∥l2∥l1,∴∠1=∠MAC,∠2=∠NBD,∴∠1 +∠2=∠MAC+∠NBD, ∵AM∥BN,∴∠MAB+∠NBA=180°, 初中数学培优课堂 ∴∠MAC+∠NBD=∠CAB+∠DBA-(∠MAB+∠NBA)=150°+7 5°-180°=45°, ∴∠1+∠2=45°.故选C. 初中数学培优课堂  　“锯齿”模型 6.(2025山东菏泽郓城期中)如图所示,AB∥CD,∠E=90°,则∠ 1,∠2和∠3之间的数量关系是 ( ) A.∠2=∠1+∠3　　     B.∠1+∠2-∠3=90° C.∠1+∠2+∠3=180°　　    D.∠2+∠3-∠1=180°     B     初中数学培优课堂 解析　如图,过E作EN∥AB,过F作FM∥CD, ∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EN∥FM, ∴∠1=∠BEN,∠EFM=∠NEF,∠3=∠MFC, ∵∠BEF=90°,∴∠1+∠EFM=90°, ∵∠EFM=∠2-∠MFC=∠2-∠3, ∴∠1+∠2-∠3=90°, 故选B. 初中数学培优课堂 7.如图,已知a∥b,求图中∠BAC,∠ABD,∠1,∠2之间的数量关 系.   初中数学培优课堂 解析　如图,过点B作BM∥a,过点A作AN∥b,则∠1=∠MBD, ∠2=∠CAN,∵a∥b,∴BM∥AN,∴∠ABM=∠BAN,∴∠ABD- ∠MBD=∠BAC-∠CAN,∴∠ABD-∠1=∠BAC-∠2.   初中数学培优课堂 8.已知AB∥CD,线段EF分别与AB,CD相交于点E,F,点P,Q在线 段EF上移动(不与E,F两点重合). (1)如图1,∠APQ+ ∠PQC=∠A+∠C+180°成立吗?请说明理 由. (2)如图2, ∠APM=2∠MPQ, ∠CQM=2∠MQP,∠M+∠MPQ+ ∠MQP=180°,请写出∠M,∠A与∠C之间的数量关系,并说明 理由. 初中数学培优课堂 解析    (1)∠APQ+∠PQC=∠A+∠C+180°成立.理由如下: 如图,过点P作PH∥AB,过点Q作QG∥AB.   ∵AB∥CD,∴AB∥CD∥PH∥QG, ∴∠A=∠APH,∠C=∠CQG,∠HPQ+∠GQP=180°, ∴∠APQ+∠PQC=∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG=∠A+∠ C+180°. 初中数学培优课堂 (2)3∠PMQ+∠A+∠C=360°.理由如下: 如图,过点P作PH∥AB,过点Q作QG∥AB,过点M作MN∥AB.   ∵AB∥CD,∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN, ∴∠A=∠APH,∠C=∠CQG,∠HPQ+∠GQP=180°,∠HPM= ∠PMN,∠GQM=∠QMN, 初中数学培优课堂 ∴∠PMQ=∠HPM+∠GQM. ∵∠APM=2∠MPQ,∠CQM=2∠MQP, ∠PMQ+∠MPQ+∠MQP=180°, ∴∠APM+∠CQM=∠A+∠C+∠PMQ=2∠MPQ+2∠MQP=2 (180°-∠PMQ), ∴3∠PMQ+∠A+∠C=360°. 初中数学培优课堂  　“鹰嘴”模型 9.(2025山东菏泽成武期中)某同学在研究传统文化“抖空 竹”时有一个发现,并把它抽象成数学问题.如图所示,已知 AB∥CD,∠BAE=84°,∠DCE=120°,则∠E的度数是 ( )  　      A.36°　　    B.38°　　    C.39°　　    D.42°     A     初中数学培优课堂 解析　如图,延长DC交AE于F, ∵AB∥CD,∠BAE=84°, ∴∠CFE=∠BAE=84°, ∵∠DCE=120°, ∴∠ECF=60°, ∵∠ECF+∠E+∠EFC=180°, ∴∠E=180°-60°-84°=36°.故选A. 初中数学培优课堂 10.【新考向·阅读理解题】【信息阅读】 材料信息: 如图①,AB∥DE,点C是直线AB,DE外任意一点,连接BC,DC. 方法信息: 如图②,在“材料信息”的条件下,∠B=55°,∠D=35°,求∠ BCD的度数. 解:过点C作CF∥AB,∴∠BCF=∠B=55°.∵AB∥DE,∴CF∥ DE.∴∠DCF=∠D=35°.∴∠BCD=55°-35°=20°. 【问题解决】 初中数学培优课堂 (1)通过【信息阅读】,在“材料信息”的条件下,猜想:图① 中,∠B,∠D,∠BCD之间有怎样的等量关系?请直接写出结论: __________. (2)如图③,在“材料信息”的条件下,改变点C的位置,∠B,∠ D,∠BCD之间的等量关系是否改变?若不改变,请写出理由;若 改变,请写出新的等量关系及理由. 　　　　　　     初中数学培优课堂 解析    (1)∠BCD=∠B-∠D. 详解:如图1,过C作CF∥ED,∵AB∥ED,∴AB∥CF∥ED,∴∠B=∠BCF, ∠D=∠DCF,∵∠BCD=∠BCF-∠DCF,∴∠BCD=∠B-∠D.  　      (2)改变.新的等量关系为∠BCD=∠D-∠B. 初中数学培优课堂 理由:如图2,过点C作CF∥AB,∴∠BCF=∠B,∵AB∥DE,∴CF∥DE. ∴∠DCF=∠D.∵∠BCD=∠DCF-∠BCF,∴∠BCD=∠D-∠B. 初中数学培优课堂 $