12.1 第5课时 三角形的角平分线、中线及高线-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学课件聚焦三角形角平分线、中线及高线，从基础概念辨析（如高线画法、三线性质判断）切入，通过例题逐步过渡到面积计算、角度关系推导等综合应用，构建从定义到应用的知识支架，衔接前后知识点。 其亮点在于分层设计（基础夯实、能力提升、素养提升）与微专题（8字模型）结合，融入推理能力（如第6题角度计算、第10题面积推理）和几何直观（图形分析），通过易错题（第8题分类讨论）培养思维严谨性。教师使用可系统覆盖知识点，学生能提升解决问题能力。

第12章　平面图形的认识 第5课时　三角形的角平分线、中线及高线 12.1　三角形 初中数学培优课堂  　三角形的角平分线、中线、高线 1.(2025山东潍坊高密月考)在△ABC中,AB边上的高线画法正 确的是 ( )  　　　          B     解析    AB边上的高应过点C.故选B. 初中数学培优课堂 2.(2025上海浦东新区期末)下列说法错误的是 ( ) A.三角形的高线、中线、角平分线都是线段 B.三角形的三条中线一定交于一点 C.三角形的三条角平分线一定交于一点 D.三角形的三条高线一定交于一点     D     解析　三角形的高线、中线、角平分线都是线段,故A说法正 确;三角形的三条中线一定交于一点,三条高线所在的直线一 定交于一点,三条角平分线一定交于一点.故B,C说法正确,D说 法错误.故选D. 初中数学培优课堂 3.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论中,错误的是( )   A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 C.∠3= ∠ACB D.CE是△ABC的角平分线     D     初中数学培优课堂 解析　由∠1=∠2,∠3=∠4可知BD是△ABC的角平分线,CE 是△BCD的角平分线,∠3= ∠ACB,故选项A,B,C结论正确; CE不是△ABC的角平分线,故选项D结论错误.故选D. 初中数学培优课堂 4.(2025重庆南岸期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE 是△ABC的角平分线,CF是AB边上的中线,以下等式一定成立 的是 ( ) A.∠BAD=∠CAD　　    B.∠ABE=∠CBE C.∠ACF=∠BCF　　    D.∠CBE=∠CAD     B     解析　∵BE是△ABC的角平分线,∴∠ABE=∠CBE.故选B. 初中数学培优课堂 5.(2025山东菏泽巨野期末)如图,在△ABC中,CD是AB边上的 中线,延长CD至点E,使DE= CD,连接BE.若△BDE的面积为2, 则△ABC的面积是__________.       12     初中数学培优课堂 解析　∵DE= CD,△BDE的面积为2, ∴S△BCD=3S△BDE=6. ∵AD=DB,∴S△ABC=2S△BCD=12. 初中数学培优课堂 6.(1)如图甲,在△ABC中,AD,AE分别是△ABC的高和角平分 线,若∠B=30°,∠C=50°,求∠DAE的度数. (2)如图乙,在△ABC中,已知AF平分∠BAC,交边BC于点E,过 点F作FD⊥BC于点D,若∠B=x°,∠C=(x+36)°. ①∠CAE=______(用含x的代数式表示). ②求∠F的度数.  　      初中数学培优课堂 解析    (1)∵∠B=30°,∠C=50°, ∴∠CAB=180°-∠B-∠C=100°. ∵AE平分∠BAC, ∴∠CAE= ∠CAB=50°. ∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°, ∴∠CAD=90°-∠C=40°, ∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°. (2)①∵AF平分∠BAC, 初中数学培优课堂 ∴∠CAE=∠BAF, 又∵∠B=x°,∠C=(x+36)°, ∴∠CAE= ×[180°-x°-(x+36)°]=72°-x°=(72-x)°. ②由①可知∠BAE=(72-x)°,由三角形外角的性质得∠AEC=∠ BAE+∠B=72°,∵FD⊥BC,∠AEC=∠DEF, ∴∠F=90°-∠DEF=90°-72°=18°. 初中数学培优课堂 7.(2025山东菏泽鄄城期中,★★☆)如图,在△ABC中,点D,E,F 分别为BC,AD,CE的中点.若S△BFC=1,则S△ABC=_________.       4     初中数学培优课堂 解析　如图,连接BE.   ∵点D,E分别为BC,AD的中点,∴S△ABD=S△ACD= S△ABC, ∴S△BDE= S△ABD= S△ABC,S△CDE= S△ACD= S△ABC,∴S△BCE=S△BDE+S△ CDE= S△ABC+ S△ABC= S△ABC. ∵F是CE的中点,∴S△BEF=S△BFC= S△BCE= × S△ABC= S△ABC,∴S△ 初中数学培优课堂 BFC∶S△ABC=1∶4. ∵S△BFC=1,∴S△ABC=4. 初中数学培优课堂 8.【学科特色·易错题】(2025山东菏泽巨野期末,★★☆)在△ ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=36°,∠CAD=14°,则∠BAC 的度数为_______________.     40°或68°     初中数学培优课堂 解析　如图1,当△ABC为锐角三角形时, ∵AD为边BC上的高,∴∠ADB=90°, ∵∠ABC=36°, ∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-36°=54°. ∵∠CAD=14°, ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=54°+14°=68°.  　      初中数学培优课堂 如图2,当△ABC为钝角三角形时, ∵AD为边BC上的高,∴∠ADB=90°. ∵∠ABC=36°, ∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-36°=54°. ∵∠CAD=14°, ∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=54°-14°=40°. 综上所述,∠BAC的度数为40°或68°. 易错警示　本题易只考虑三角形为锐角三角形的情况,而忽 视三角形为钝角三角形的情况. 初中数学培优课堂 9.(2025山东菏泽单县期末,★★☆)如图,在△ABC中,∠BAC=9 0°,AD是高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于点G,交BE于 点H.下面说法中,正确的是________(填序号). ①△ABE的面积等于△BCE的面积; ②∠ABD=∠DAC; ③∠AFG=∠AGF. 　①②③     初中数学培优课堂 解析　∵BE是△ABC的中线,∴S△ABE=S△BCE,①正确.∵∠BAC= 90°,AD是△ABC的高,∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°, ∴∠ABD=∠DAC,②正确.∵CF是△ABC的角平分线,∴∠ ACF=∠BCF.∵AD⊥BC,∴∠BCF+∠CGD=90°.∵∠BAC=90 °,∴∠ACF+∠AFG=90°,∴∠CGD=∠AFG.∵∠CGD=∠ AGF,∴∠AGF=∠AFG,③正确.故正确的是①②③. 初中数学培优课堂 10.【新课标·推理能力】(2025山东济南市中育英教育集团期 中)如图,已知D,E,F分别为AC,BC,BD的中点,若四边形ADEF 的面积为15,则△ABC的面积为__________.       40     初中数学培优课堂 解析　∵点F是BD的中点,∴S△BED=2S△DEF, S△ABD=2S△ADF. ∵点E是BC的中点,∴S△BDC=2S△BDE=4S△DEF. ∵点D为AC的中点,∴S△ABD=S△BCD,S△ABC=2S△ABD,∴2S△ADF=4S△DEF, 即 S△ADF=S△DEF. ∵四边形ADEF的面积为15, ∴S△ADF+S△DEF=15,∴S△ADF+ S△ADF=15, ∴S△ADF=10,∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF=4×10=40. 初中数学培优课堂 微专题　三角形中的8字模型 【8字模型】     条件:如图,AD,BC相交于点O,连接AB,CD.结论:①∠A+∠B= ∠C+∠D;②AB+CD<AD+BC.   初中数学培优课堂 例题　如图,AB和CD相交于点O,∠A=∠C,则下列结论不一定 正确的是 ( ) A.∠B=∠D B.∠1=∠A+∠D C.∠2>∠D     D     例题 D.∠C=∠D 初中数学培优课堂 解析　∵∠AOD=∠BOC,∠A=∠C,∠AOD+∠A+∠D=180°, ∠BOC+∠B+∠C=180°, ∴∠B=∠D,故A结论正确. ∵∠1是△AOD的外角, ∴∠1=∠A+∠D,故B结论正确. ∵∠2=∠A+∠D,∴∠2>∠D,故C结论正确. 根据已知条件不能证明∠C=∠D,故D结论错误. 故选D. 初中数学培优课堂 【8字模型+角平分线】     条件:如图,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD.结论:2∠P=∠B+∠ D.   初中数学培优课堂 变式     (1)在图1中,请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系:____ ______. (2)仔细观察,图2中“8字型”有______个. (3)若图2中,∠D=40°,∠B=36°,AP与CP分别是∠DAB和∠ DCB的平分线,试求∠P的度数. (4)若图2中∠D和∠B为任意角,其他条件不变,试问∠P与 ∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结论即可) 初中数学培优课堂  　      初中数学培优课堂 解析    (1)∠A+∠D=∠C+∠B. 详解:∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°, ∠AOD=∠BOC,∴∠A+∠D=∠C+∠B. (2)6. 详解:交点有M,O,N,以M为交点的“8字型”有1个,为△AMD 与△CMP; 以O为交点的“8字型”有4个,为△AOD与△COB,△AOM与 △CON,△AOM与△COB,△AOD与△CON; 以N为交点的“8字型”有1个,为△ANP与△CNB. 初中数学培优课堂 综上所述,“8字型”共有6个. (3)∵AP与CP分别是∠DAB和∠DCB的平分线,∴∠DAP=∠ PAB,∠DCP=∠PCB, 同(1)可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①,∠PCB+∠B=∠PAB+ ∠P②, ①+②,得∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+ ∠P,∴∠D+∠B=2∠P. ∵∠D=40°,∠B=36°,∴40°+36°=2∠P,∴∠P=38°. (4)2∠P=∠D+∠B. 初中数学培优课堂 $