12.1 第3课时 三角形的外角及其性质-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学课件聚焦“三角形的外角及其性质”核心知识点，从三角形内角和定理导入，通过含60°角直角三角尺外角计算等典型例题搭建学习支架，衔接内角和与外角性质，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合中考真题、婴儿手推车等实际情境题及规律探究题，培养数学眼光（观察现实问题）、数学思维（推理与分类讨论，如分情况求∠BEF）、数学语言（符号表达∠En=1/3ⁿm°规律）。采用“例题解析+能力提升+素养拓展”结构，学生能提升推理能力与应用意识，教师可丰富教学资源，提升课堂效率。

第12章　平面图形的认识 第3课时　三角形的外角及其性质 12.1　三角形 初中数学培优课堂  　三角形的外角及其性质 1.(2025四川南充中考)如图,把含有60°角的直角三角尺斜边 放在直线l上,则∠α的度数是 ( ) A.120°　　    B.130°　　    C.140°　　    D.150°     D     解析　根据三角形外角的性质知∠α=90°+60°=150°.故选D. 初中数学培优课堂 2.(2025山东潍坊高密月考)下列说法错误的是 ( ) A.一个三角形的内角中至少有两个锐角 B.三角形的外角大于任意一个内角 C.三角形的外角和是360° D.锐角三角形任意两个内角的和均大于90°     B     解析　三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 故选B. 初中数学培优课堂 3.如图,在△ABC中,点D在BC上,连接AD.根据图中标示的度 数,得p+q+r= ( )   A.140　　    B.150　　     C.160　　    D.180     C     初中数学培优课堂 解析　在△ACD中,∠DAC=30°,∠C=70°,∠ADC=r°,由三角形 内角和定理得∠DAC+∠C+∠ADC=180°,∴30°+70°+r°=180°. ∴r=80,∵∠ADC是△ABD的外角,∠B=q°,∠BAD=p°,∴∠ ADC=∠BAD+∠B=p°+q°,∴p°+q°=80°,∴p+q=80,∴p+q+r=80 +80=160.故选C. 初中数学培优课堂 4.(2025四川南充期末)如图,将△ABC折叠,使点A落在A'处,折 痕为DE.若∠A=25°,则∠2-∠1的度数为 ( )   A.25°　　    B.50°　　    C.65°　　    D.75°     B     初中数学培优课堂 解析　如图,由折叠的性质得∠A'=∠A. ∵∠A=25°,∴∠A'=25°. ∵∠DFE是△A'DF的外角, ∴∠DFE=∠1+∠A'=∠1+25°. ∵∠2是△AEF的外角,∴∠2=∠A+∠DFE,∴∠2=25°+∠1+2 5°,∴∠2-∠1=50°.故选B. 初中数学培优课堂 5.(2025广东深圳龙岗期末)某款婴儿手推车的平面示意图如 图所示,若∠1=130°,∠2=85°,则∠3的度数为___________.       35°     解析　∵∠2=85°,∴∠AEB=180°-∠2=180°-85°=95°. ∵∠1=130°,∴∠3=∠1-∠AEB=130°-95°=35°. 初中数学培优课堂 6.(2025湖南衡阳衡山期末,★★☆)如图,∠MON=90°,点A,B分 别在射线OM,ON上移动,BC平分∠OBA,交OM于点E,AD平分 ∠BAM,AD的反向延长线与BC交于点C.关于结论Ⅰ、Ⅱ,下 列判断正确的是 ( ) 结论Ⅰ:若∠BAD=65°,则∠ABC=40°. 结论Ⅱ:无论点A,B在射线OM,射线ON(均不与点O重合)上怎 样移动,∠C的度数都不变.     C     初中数学培优课堂   A.只有结论Ⅰ正确　　    B.结论Ⅰ、Ⅱ都正确 C.只有结论Ⅱ正确　　    D.结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 初中数学培优课堂 解析　结论Ⅰ:∵AD平分∠BAM,∠BAD=65°, ∴∠MAB=2∠BAD=2×65°=130°, ∴∠ABO=∠MAB-∠O=130°-90°=40°. ∵BC平分∠OBA, ∴∠ABC= ∠ABO= ×40°=20°, 故结论Ⅰ错误. 结论Ⅱ:∠C的大小不会变,∠C=45°.理由如下:∵∠BAD=∠C +∠ABC, 初中数学培优课堂 ∴∠C=∠BAD-∠ABC. ∵AD平分∠MAB,BC平分∠ABO, ∴∠BAD= ∠MAB,∠ABC= ∠ABO, ∴∠C= ∠MAB- ∠ABO= (∠MAB-∠ABO)= ∠MON= ×9 0°=45°,即∠C的大小不会变,故结论Ⅱ正确.综上所述,只有结 论Ⅱ正确.故选C. 初中数学培优课堂 7.(2025河北保定期末,★★☆)某种可调节躺椅的示意图如图 所示,AE与BD的交点为C.按规定,∠CAB=60°,∠CBA=50°,∠ CEF=30°时才合格.而且为了舒适,可以根据需求调整∠EFD 的大小,调整时∠CAB,∠CBA,∠CEF的大小保持不变. 大雄躺在躺椅上时,测得∠EFD=120°,∠D=10°,关于结论Ⅰ、 Ⅱ,下列判断正确的是( ) 结论Ⅰ:该躺椅不合格. 结论Ⅱ:若∠EFD的度数减小10°,则∠D的度数也会减小10°.     D     初中数学培优课堂   A.只有结论Ⅰ正确　　    B.结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 C.只有结论Ⅱ正确　　    D.结论Ⅰ、Ⅱ都正确 初中数学培优课堂 解析　如图,延长EF交BD于点G. ∵∠EFD=120°,∠D=10°, ∴∠DGF=∠EFD-∠D=110°, ∴∠EGC=180°-∠EGD=70°. ∵∠CAB=60°,∠CBA=50°,∴∠ECD=∠ACB=70°, ∵∠CEF=30°, ∴∠EGC+∠DCE+∠CEF=170°≠180°, ∴该躺椅不合格,故结论Ⅰ正确. ∵∠DGF=∠EFD-∠D, 初中数学培优课堂 ∴∠DGF=(∠EFD-10°)-(∠D-10°), ∴若∠EFD的度数减小10°,则∠D的度数也会减小10°, 故结论Ⅱ正确. 综上所述,结论Ⅰ、Ⅱ都正确.故选D.   初中数学培优课堂 8.【新考向·规律探究题】(2024四川达州中考,★★★)如图, 在△ABC中,AE1,BE1分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等分 线,且∠E1AD= ∠CAB,∠E1BD= ∠CBD,在△ABE1中,AE2,BE 2分别是内角∠E1AB,外角∠E1BD的三等分线,且∠E2AD= ∠ E1AB,∠E2BD= ∠E1BD,……以此规律作下去,若∠C=m°,则∠ En=__________°.      m     初中数学培优课堂 解析　设∠E1AD=α,∠E1BD=β. ∵∠E1AD= ∠CAB,∠E1BD= ∠CBD, ∴∠CAB=3α,∠CBD=3β, 由三角形外角的性质得β=α+∠E1,3β=3α+∠C, ∴∠E1= ∠C. 同理可得∠E2= ∠E1,即∠E2= ∠C, …… 初中数学培优课堂 则∠En= ∠C, 即∠En= m°. 初中数学培优课堂 9.【学科特色·分类讨论思想】(2024江苏扬州邗江期中,★☆ ☆)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,∠ABC=6 4°,∠AEB=70°. (1)求∠CAD的度数. (2)若点F为线段BC上的任意一点,当△EFC为直角三角形时, 求∠BEF的度数. 初中数学培优课堂 解析    (1)∵BE平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠EBC=64°, ∴∠EBC=32°. ∵∠AEB=70°, ∴∠C=∠AEB-∠EBC=70°-32°=38°. ∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°, ∴∠CAD=90°-38°=52°. (2)分两种情况: ①当∠EFC=90°时,如图1所示,则∠BFE=90°, 初中数学培优课堂 ∴∠BEF=90°-∠EBC=90°-32°=58°.  　      ②当∠FEC=90°时,如图2所示, 则∠EFC=90°-38°=52°. ∵∠EFC是△BEF的外角, ∴∠BEF=∠EFC-∠EBC=52°-32°=20°. 综上所述,∠BEF的度数为58°或20°. 初中数学培优课堂 10.【新课标·推理能力】用两种方法证明“三角形没有公共 顶点的两个外角的和等于与它们都不相邻的一个内角加上18 0°”. 如图,∠DBC,∠ECB是△ABC的外角,求证:∠DBC+∠ECB=∠ A+180°. (1)第一种思路可以用下面的框图表示,请填写其中的空格. (2)根据第二种思路,完成证明. 初中数学培优课堂   初中数学培优课堂 解析    (1)①∠A+∠ABC+∠ACB=180°;②三角形的一个外角 等于与它不相邻的两个内角的和;③∠A+∠ABC. (2)证明:如图,过点A作MN∥BC, ∴∠BAN=∠DBC,∠MAC=∠ECB, ∴∠DBC+∠ECB=∠BAN+∠MAC=∠CAN+∠BAC+∠MAC= 180°+∠BAC. 初中数学培优课堂 $