10.2 第3课时 多项式与多项式相乘-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学课件聚焦“多项式与多项式相乘”，通过选择、填空等例题导入，衔接单项式乘多项式知识，为后续因式分解等内容搭建学习支架，系统呈现运算法则及应用。 其亮点在于融入数形结合（如图形面积验证乘法公式）、数学文化（欧拉求和符号）及实际应用（超市利润问题），培养几何直观、运算能力与应用意识。采用分层例题设计，学生能提升解题与知识迁移能力，教师可高效开展素养导向教学。

第10章　整式的乘法与除法 第3课时　多项式与多项式相乘 10.2　整式的乘法 初中数学培优课堂  　多项式与多项式相乘 1.(2025贵州毕节期中)下列计算结果为2x2-x-3的是( ) A.(2x-1)(x-3)　　    B.(2x-3)(x+1) C.(2x+3)(x-1)　　    D.(2x-1)(x+3)     B     解析    (2x-1)(x-3)=2x2-6x-x+3=2x2-7x+3,(2x-3)·(x+1)=2x2+2x-3x -3=2x2-x-3,(2x+3)(x-1)=2x2-2x+3x-3=2x2+x-3,(2x-1)(x+3)=2x2+6 x-x-3=2x2+5x-3,故选B. 初中数学培优课堂 2.(2024山东聊城阳谷期中)观察如图所示的两个多项式相乘 的运算过程,根据你发现的规律,判断当(x+a)(x+b)=x2-9x+14 时,a,b的值可能分别是 ( )   A.-2,-7　　    B.-2,7　　    C.2,-2　　    D.2,7     A     解析　根据题意,知a+b=-9,ab=14, ∴a,b的值可能分别是-2,-7,故选A. 初中数学培优课堂 3.【学科特色·数形结合思想】根据图1的面积可以说明多项 式的乘法运算(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,那么根据图2的面积可 以说明的多项式的乘法运算是 ( ) A.(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2 B.(a+3b)(a+b)=a2+3b2 C.(b+3a)(b+a)=b2+4ab+3a2     A     D.(a+3b)(a-b)=a2+2ab-3b2 解析　根据题图2的面积得(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2,故选A. 初中数学培优课堂 4.计算: (1)(a+3)(a-1)+a(a-2). (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5). 解析    (1)原式=(a2-a+3a-3)+(a2-2a)=a2+2a-3+a2-2a=2a2-3. (2)原式=(y2-2y+2y-4)-(y2+5y-y-5) =y2-4-y2-4y+5=-4y+1. 初中数学培优课堂 5.先化简,再求值: (1)(2x+1)(x-5)-(3x+1)(5x-2),其中x=-1. (2)(a+b)(a-2b)+(a+2b)(a-b)-2a2,其中a=3,b=- . 解析    (1)(2x+1)(x-5)-(3x+1)(5x-2) =(2x2-10x+x-5)-(15x2-6x+5x-2) =2x2-9x-5-15x2+x+2 =-13x2-8x-3, 当x=-1时,原式=-13×(-1)2-8×(-1)-3=-13+8-3=-8. 初中数学培优课堂 (2)(a+b)(a-2b)+(a+2b)(a-b)-2a2 =(a2-2ab+ab-2b2)+(a2-ab+2ab-2b2)-2a2 =a2-ab-2b2+a2+ab-2b2-2a2 =-4b2, 当b=- 时,原式=-4× =- . 初中数学培优课堂 6.【新考向·新定义题】(2025山东菏泽鄄城期中,★★☆)若多 项式2x2+kx-14是由整式x-2与另一个整式2x+m相乘得到的,则 k的值为 ( ) A.3　　    B.4　　    C.5　　    D.6     A     解析　∵2x2+kx-14=(x-2)(2x+m), ∴2x2+kx-14=2x2+(m-4)x-2m, ∴k=m-4,-14=-2m,解得m=7,k=3.故选A. 初中数学培优课堂 7.(2025江苏镇江丹阳期中,★★☆)从前,一位庄园主把一块长 为(a+5)米,宽为(b+6)米(a>b>0)的长方形土地租给租户张老 汉.第二年,他对张老汉说:“我把这块地的长增加5米,宽减少5 米,继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”如果这 样,那么张老汉的租地面积 ( ) A.变小了　　     B.变大了 C.没有变化　　    D.无法确定     A     初中数学培优课堂 解析    (a+5)(b+6)=ab+6a+5b+30, (a+5+5)(b+6-5)=(a+10)(b+1)=ab+a+10b+10, ∴(a+5)(b+6)-(a+5+5)(b+6-5) =ab+6a+5b+30-ab-a-10b-10=5a-5b+20 =5(a-b)+20>0, ∴(a+5)(b+6)>(a+5+5)(b+6-5),∴张老汉的租地面积变小了,故 选A. 初中数学培优课堂 8.【新考向·数学文化】(2025山东济南市中期中,★★★)在数 学中,为了书写简便,18世纪的数学家欧拉引进了求和符号 “ k”(其中i≤n,且i和n表示正整数).如记 k=1+2+3+…+(n- 1)+n,  (x+k)=(x+3)+(x+4)+…+(x+n). 已知 [(x+k)(x-k+1)]=5x2+mx-70,则m的值是 ( ) A.4　　    B.5　　    C.-5　　    D.-4     B     初中数学培优课堂 解析　∵x2的系数为5,∴n=6, ∴ [(x+k)(x-k+1)] =(x+2)(x-1)+(x+3)(x-2)+(x+4)(x-3)+(x+5)·(x-4)+(x+6)(x-5)=x2+x -2+(x2+x-6)+(x2+x-12)+(x2+x-20)+(x2+x-30) =5x2+5x-70, 又∵ [(x+k)(x-k+1)]=5x2+mx-70,∴m=5. 初中数学培优课堂 9.(2025山东聊城东昌府月考,★★☆)若(x2+mx)(x2+2x-n)的积 中不含x2项与x3项,则代数式mn的值为_________.     8     解析    (x2+mx)(x2+2x-n) =x4+2x3-nx2+mx3+2mx2-mnx =x4+(2+m)x3+(2m-n)x2-mnx, ∵(x2+mx)(x2+2x-n)的积中不含x2项与x3项, ∴ 解得 ∴mn=(-2)×(-4)=8. 初中数学培优课堂 10.【学科特色·数形结合思想】(2025山东菏泽郓城期中,★ ★☆)如图,现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若 干张,如果要拼一个长为2a+b,宽为a+2b的长方形,那么需要A 类、B类、C类卡片共_________张.     9     初中数学培优课堂 解析　由题意可得大长方形的面积为(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+ 2b2,A类卡片的面积为a2,B类卡片的面积为b2,C类卡片的面积 为ab,∴需要A类卡片2张,B类卡片2张,C类卡片5张,共9张. 初中数学培优课堂 11.(2025陕西汉中实验中学期中,★★☆)在计算(2x+a)·(x+b) 时,甲错把b看成了6,得到的结果是2x2+8x-24,乙错把a看成了- a,得到的结果是2x2+14x+20. (1)求a,b的值. (2)将a,b的值代入(2x+a)(x+b)并化简,求出正确的结果. 初中数学培优课堂 解析    (1)(2x+a)(x+6) =2x2+12x+ax+6a =2x2+(12+a)x+6a, ∵计算(2x+a)(x+b)时,甲错把b看成了6,得到的结果是2x2+8x-2 4, ∴6a=-24,12+a=8,∴a=-4. (2x+4)(x+b) =2x2+2bx+4x+4b =2x2+(2b+4)x+4b, 初中数学培优课堂 ∵计算(2x+a)(x+b)时,乙错把a看成了-a,得到的结果是2x2+14x +20, ∴4b=20,2b+4=14, ∴b=5. (2)(2x-4)(x+5) =2x2+10x-4x-20 =2x2+6x-20. 初中数学培优课堂 12.【新课标·应用意识】(2025江苏泰州海陵六校期中联考) 小华同学在计算(2x+3)(x-2)=2x2-4x+3x-6=2x2-x-6后,爱思考的 他发现:2×(-2)+1×3=-1是x项的系数,与通过计算后的结果对 比,x项的系数是正确的.为了验证这个发现,又计算(x+2)(x-2) (3x+4)=(x2-4)(3x+4)=3x3+4x2-12x-16,x项的系数为-12,用他发现 的方法计算:1×(-2)×4+1×2×4+3×2×(-2)=-12,结果还是一样的. 请你认真领会小华同学的方法,并用他的方法解决下面的问 题. 初中数学培优课堂 (1)①(2x+3)(7x-1)中x项的系数是______; ②若(2x+1)2 025=a1x2 025+a2x2 024+a3x2 023+…+a2 025x+a2 026,其中a2 025= ______. (2)若(x-1)(2x-3)(4x+p)的积中不含x项,求p的值. (3)拓展应用:某超市计划购进A,B两种型号的某品牌矿泉水 共100箱(每箱24瓶),有多种购进方案.这两种型号矿泉水的进 价和售价如表所示: 初中数学培优课堂 A B 进价/(元/箱) 24 30 售价/(元/箱) 48 57 该超市积极参与慈善活动,决定每售出一箱B型号矿泉水,向 社会福利机构捐款m元,且A型号矿泉水每箱的售价不变,100 箱矿泉水全部售出,设购进A型号矿泉水a箱,超市获得的利润 为w元,且不同的购进方案,超市获得的利润都相同,用含a,m的 式子表示w,并求出m的值. 初中数学培优课堂 解析    (1)①由题意得x项的系数为2×(-1)+7×3=-2+21=19. ②∵(2x+1)2 025是2 025个(2x+1)相乘,又由已知条件可知几个多 项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中的一次项系数与 其他几个多项式中的常数项的积之和, ∴(2x+1)2 025的展开式的一次项系数为2 025个2×12 024的和,即a2 025=2 025×2×12 024=4 050. (2)由题意得几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项 式中的一次项系数与其他几个多项式中的常数项的积之和, ∴(x-1)(2x-3)(4x+p)的积中x项的系数为1×(-3)p+2×(-1)p+4×(- 初中数学培优课堂 1)×(-3)=-3p-2p+12=-5p+12, ∵(x-1)(2x-3)(4x+p)的积中不含x项, ∴-5p+12=0,解得p=2.4. (3)∵购进A型号矿泉水a箱, ∴购进B型号矿泉水(100-a)箱, 由题意得w=(48-24)a+(57-30-m)(100-a) =24a+(27-m)(100-a) =24a+2 700-27a-100m+ma =24a+ma-27a-100m+2 700 初中数学培优课堂 =(m-3)a+2 700-100m, ∵不同的购进方案,超市获得的利润都相同, ∴无论a为何值,w都不变, ∴m-3=0,解得m=3, ∴w=(m-3)a+2 700-100m,m=3. 初中数学培优课堂 $