12.1 第2课时 三角形的内角和-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理及直角三角形锐角关系，通过三角尺摆放、折叠纸片等情境题导入，从定理基础应用过渡到综合探究，以例题解析和推理步骤为支架帮助学生逐步掌握知识脉络。 其亮点在于分层设计基础夯实、能力提升、素养提升模块，结合几何直观（如折叠问题）、推理能力（如证明题补充依据）、创新意识（如辅助线探究）。实例如第9题探究不同辅助线证明内角和，采用问题链引导。学生能提升推理与应用能力，教师可直接用于分层教学，提高教学效率。

第12章　平面图形的认识 第2课时　三角形的内角和 12.1　三角形 初中数学培优课堂  　三角形内角和定理 1.(2025山东淄博桓台期末)将一副三角尺按如图所示的方式 摆放(两条直角边在同一条直线上),连接另外两个锐角顶点, 并测得∠1=40°,则∠2的度数为 ( ) A.45°　　    B.55°　　     C.65°　　    D.75°     C     初中数学培优课堂 解析　如图,∠3=180°-60°-45°=75°, ∴∠2=180°-∠1-∠3=180°-40°-75°=65°. 故选C.   初中数学培优课堂 2.(2025浙江宁波三模)一张三角形纸片如图所示,已知∠B+∠ C=α,若沿着虚线剪掉阴影部分,记∠1+∠2=β,则下列选项正 确的是 ( ) A.α=β B.α>β     A     C.α<β D.无法比较α和β的大小 初中数学培优课堂 解析　∵∠B+∠C=180°-∠A,∠1+∠2=180°-∠A,∴∠B+∠C =∠1+∠2,即α=β.故选A. 初中数学培优课堂 3.(2024山东济南高新区期末)具备下列条件的△ABC,不是直 角三角形的是 ( ) A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=2∠C     D     初中数学培优课堂 解析    A.因为∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=∠C,所以∠C=9 0°,所以△ABC是直角三角形; B.因为∠A-∠B=∠C,所以∠A=∠B+∠C,又∠A+∠B+∠C=18 0°,所以2∠A=180°,所以∠A=90°,所以△ABC是直角三角形; C.因为∠A+∠B+∠C=180°,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,所以∠ C=90°,所以△ABC是直角三角形; D.因为∠A+∠B+∠C=180°,∠A=∠B=2∠C,所以5∠C=180°, ∴∠C=36°,所以∠A=∠B=72°,所以△ABC是锐角三角形,不是 直角三角形. 故选D. 初中数学培优课堂 4.(2025山东菏泽经开区月考)如图,AB,CD相交于点O,若∠C= 80°,∠A=40°,∠B=90°,则∠D=___________.       30°     解析　∵∠AOC=∠BOD,∴∠A+∠C=∠B+∠D. ∵∠C=80°,∠A=40°,∠B=90°,∴∠D=30°. 初中数学培优课堂 5.(2025山东潍坊寒亭期末)阅读证明过程,在横线处将其补充 完整,并在括号内填写推理依据. 已知:如图,在△ABC中,∠A=∠ABC,直线EF分别交AB,AC和 CB的延长线于点D,E,F.   求证:∠F+∠FEC=2∠A. 初中数学培优课堂 证明:在△EFC中, ∠F+∠FEC+∠C=180°,(　 　    ) 所以∠F+∠FEC=180°-∠C,(　 　    ) 在△ABC中, ∠A+∠ABC+∠C=180°, 所以∠A+∠ABC=180°-∠C. 因为∠A=∠ABC, 所以________________, 所以∠F+∠FEC=2∠A.(　 　    ) 三角形内角和定理 等式的性质 2∠A=180°-∠C 等量代换 初中数学培优课堂  　直角三角形两个锐角的关系 6.(2025山东潍坊寒亭期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠ A=35°,则∠B的度数为 ( ) A.45°　　    B.55°　　     C.65°　　    D.75°     B     初中数学培优课堂 解析　在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B=90°. ∵∠A=35°,∴∠B=90°-35°=55°.故选B. 初中数学培优课堂 7.(2025山东聊城莘县月考)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB, AC上,AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥AC,下列结论:①∠1=∠2;②∠2 =∠A;③DE∥BC;④∠B+∠DCE=90°.其中正确的为_________ ____(填序号).   　①②③ 初中数学培优课堂 解析　∵DE⊥AC,AC⊥BC,∴DE∥BC,∴③正确. ∵DE∥BC,∴∠1=∠2,∴①正确. 如图,过点A作AF⊥AC,   ∴AF∥DE,∴∠DAF=∠ADE. ∵AF⊥AC,CD⊥AB, 初中数学培优课堂 ∴∠BAC+∠DAF=90°,∠2+∠ADE=90°, ∴∠2=∠BAC,∴②正确. ∵AC⊥BC, ∴∠1+∠DCE=90°, ∵CD⊥AB,∴∠1+∠B=90°, ∴∠B=∠DCE, 但根据已知条件不能得出∠B=∠1,∴④错误. 综上,正确的结论为①②③. 初中数学培优课堂 8.(2025山东威海中考,★★☆)如图,直线CF∥DE,∠ACB=90°, ∠A=30°.若∠1=18°,则∠2等于 ( )   A.42°　　    B.38°　　     C.36°　　    D.30°     A     初中数学培优课堂 解析　∵∠1=18°,∴∠ACF=90°+∠1=108°. ∵CF∥DE,∴∠ADE=∠ACF=108°. ∵∠ADE+∠2+∠A=180°,∠A=30°, ∴∠2=180°-30°-108°=42°.故选A. 初中数学培优课堂 9.(2025山东潍坊高密月考,★★☆)在探究证明“三角形的内 角和是180°”时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线, 其中不能证明“三角形内角和是180°”的是 ( ) A.如图1,过点C作EF∥AB B.如图2,过AB上一点D作DE∥BC,DF∥ AC     D     C.如图3,延长AC到F,过点C作CE∥AB D.如图4,过点C作CD⊥AB于点D 初中数学培优课堂 解析　选项A,由EF∥AB,得∠ECA=∠A,∠FCB=∠B.∵∠E- CA+∠ACB+∠FCB=180°,∴∠A+∠ACB+∠B=180°. 选项B,由ED∥BC,得∠C=∠AED,∠ADE=∠B,由DF∥AC,得 ∠EDF=∠AED,∠A=∠FDB,∴∠C=∠EDF.∵∠ADE+∠EDF +∠FDB=180°,∴∠B+∠C+∠A=180°. 选项C,由CE∥AB,得∠A=∠FCE,∠B=∠BCE.由∠FCE+∠ ECB+∠ACB=180°,得∠A+∠B+∠ACB=180°. 选项D,由CD⊥AB于点D,得∠ADC=∠CDB=90°,无法证得三 角形的内角和是180°.故选D. 初中数学培优课堂 10.(2025山东菏泽经开区月考,★★☆)如图,∠A=75°,∠B=65 °,将纸片的一角折叠,使点C落在C'处.若∠1=45°,则∠2=______ ____°.       35 初中数学培优课堂 解析　如图,由折叠可得∠CDE=∠C'DE,∠CED=∠C'ED.   ∵∠A=75°,∠B=65°,∴∠C=180°-(65°+75°)=40°,∴∠CDE+∠ CED=180°-∠C=140°, ∴∠1+∠2=360°-(∠CDE+∠CED+∠C'DE+∠C'ED)=360°-2 (∠CDE+∠CED)=360°-2×140°=80°.∵∠1=45°,∴∠2=80°-45 °=35°. 初中数学培优课堂 11.(2025山东潍坊高新区期末,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=  ∠C=36°,D是边BC上的一点,E是边AC上的一点,且DE∥AB. (1)如图1,若AD是△ABC的角平分线,求∠ADE的度数. (2)如图2,若AD是△ABC的高,求∠ADE的度数.  　      初中数学培优课堂 解析    (1)∵∠B= ∠C=36°,∴∠C=72°. 在△ABC中,∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴∠BAC+36°+72°=180°,∴∠BAC=72°. ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=36°. 又∵DE∥AB,∴∠ADE=∠BAD=36°. (2)∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=90°, ∴∠B+∠BAD=90°,∴∠BAD=90°-36°=54°. ∴∠ADE=∠BAD=54°. 初中数学培优课堂 12.【新课标·推理能力】【学科特色·整体思想】(2025山东 潍坊诸城期末)△PMN为直角三角形,∠MPN=90°.△ABC的两 顶点B,C分别在直角边PM,PN上,且P点在△ABC内部. (1)如图1,若∠A=40°,则∠ABC+∠ACB=______,∠ABP+∠ ACP=______. (2)如图2,连接AP,若∠ABP+∠ACP+2∠BAP=90°,则AP是否 平分∠BAC?请说明理由. 初中数学培优课堂 (3)请判断点P是否满足BP平分∠ABC且CP平分∠ACB,并说 明理由. 初中数学培优课堂 解析    (1)140°;50°. (2)AP平分∠BAC. 理由:∵∠BPC=90°,∴∠CBP+∠BCP=90°. 又∵△ABC的内角和为180°,即90°+(∠ABP+∠ACP)+∠BAC= 180°, ∴∠ABP+∠ACP+∠BAC=90°. 又∵∠ABP+∠ACP+2∠BAP=90°, ∴∠BAC=2∠BAP,∴AP平分∠BAC. (3)不满足.理由如下: 初中数学培优课堂 若BP平分∠ABC且CP平分∠ACB, 则∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB, 由(2)知∠CBP+∠BCP=90°, ∴∠ABC+∠ACB=2∠CBP+2∠BCP=180°, ∴∠BAC+∠ABC+∠ACB>180°,而三角形的内角和等于180°, ∴点P不能满足BP平分∠ABC且CP平分∠ACB. 初中数学培优课堂 $