11.3 第2课时 用完全平方公式分解因式-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学课件围绕“用完全平方公式分解因式”展开，通过多项式辨析题导入，衔接提公因式法与公式法综合应用，构建从基础形式判断到中考题、能力提升题的学习支架，帮助学生逐步掌握因式分解方法。 其亮点在于融入分类讨论、换元法等学科特色，结合中考真题与实际问题（如圆形面积计算），培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。分层设计的例题和微专题（十字相乘法），助力学生提升解题能力，也为教师提供丰富教学素材。

第11章　因式分解 第2课时　用完全平方公式分解因式 11.3　公式法 初中数学培优课堂  　用完全平方公式分解因式 1.给出下列多项式:①x2+2xy-y2;②-x2-y2+2xy;③x2+xy+y2;④4x2+ 1+4x.其中能用完全平方公式分解因式的是 ( ) A.①②　　    B.②③　　    C.①④　　    D.②④     D     解析　-x2-y2+2xy=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2,4x2+1+4x=(2x+1)2,故②④ 能用完全平方公式分解因式,易知①③不能用完全平方公式 分解因式. 故选D. 初中数学培优课堂 2.【学科特色·分类讨论思想】若4x2+kx+25=(2x+a)2,则k+a的 值是( ) A.25或-25　　    B.-15　　    C.15　　    D.20     A     解析    4x2+kx+25=(2x+a)2, 当a=5时,k=20,当a=-5时,k=-20, 故k+a的值是25或-25. 故选A. 初中数学培优课堂 3.(2025山东烟台中考)因式分解:2x2-12xy+18y2=_____________.     2(x-3y)2     解析    2x2-12xy+18y2=2(x2-6xy+9y2)=2(x-3y)2. 初中数学培优课堂 4.(2025山东威海荣成一模)分解因式:(x2+y2)2-4x2y2=_____________ _______. y)2         (x-y)2(x+ 解析　原式=(x2+y2-2xy)(x2+y2+2xy) =(x-y)2(x+y)2. 初中数学培优课堂 5.(2025山东枣庄峄城一模)因式分解:(x+1)(x+3)+1=__________ ____.     (x+2)2 解析    (x+1)(x+3)+1=x2+4x+3+1=x2+4x+4=(x+2)2. 初中数学培优课堂 6.(2025山东潍坊安丘月考)分解因式: (1)3x2+6x+3. (2)m2(m-1)-4(1-m)2. (3)(x-y)2+6y(x-y)+9y2. 解析    (1)3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2. (2)m2(m-1)-4(1-m)2=m2(m-1)-4(m-1)2 =(m-1)(m2-4m+4)=(m-1)(m-2)2. (3)(x-y)2+6y(x-y)+9y2=(x-y+3y)2=(x+2y)2. 初中数学培优课堂 7.【学科特色·教材变式P131T4】利用因式分解进行简便计 算:1832+183×34+172. 解析　原式=1832+2×183×17+172=(183+17)2=2002=40 000. 初中数学培优课堂 8.(2025山东聊城东昌府月考,★★☆)下列多项式:①x2-2x-1;②  -x+1;③-a2-b2;④-a2+b2;⑤x2-4xy+4y2;⑥m2-m+1.其中,能用公 式法分解因式的有 ( ) A.4个　　    B.3个　　    C.2个　　    D.1个     B     初中数学培优课堂 解析　①x2-2x-1,不能用公式法分解因式;② -x+1= , 能用完全平方公式分解因式;③-a2-b2,不能用公式法分解因式; ④-a2+b2=b2-a2=(b+a)(b-a),能用平方差公式分解因式;⑤x2-4xy +4y2=(x-2y)2,能用完全平方公式分解因式;⑥m2-m+1,不能用公 式法分解因式.所以能用公式法分解因式的有3个,故选B. 初中数学培优课堂 9.(2025山东潍坊安丘月考,★★☆)若关于x的二次三项式4x2- kx+1能用完全平方公式因式分解,则k的值是 ( ) A.4　　    B.-4或4　　    C.8　　    D.-8或8     B     解析　∵4x2-kx+1=(2x)2-kx+12,∴-kx=±2×2x×1,解得k=±4.故选 B. 初中数学培优课堂 10.(2025山东潍坊寒亭期末,★★☆) (1)因式分解:28abc-7ab-28abc2. (2)如图,在半径为R的圆形纸片上,剪去4个半径均为r的圆形. 当R=8.5,r=1.75时,利用因式分解的知识,计算剩余部分的面 积.(用含π的式子表示)   初中数学培优课堂 解析    (1)28abc-7ab-28abc2 =7ab(4c-1-4c2) =-7ab(2c-1)2. (2)由题意,得S剩余=πR2-4πr2=π(R2-4r2)=π(R+2r)(R-2r)=π×(8.5+2× 1.75)×(8.5-2×1.75)=π×12×5=60π. 初中数学培优课堂 11.【学科特色·换元法】(2025山东潍坊高密月考,★★☆)阅 读下列材料: 在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新 的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构, 而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解, 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同 学用换元法对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分解的过 程. 解:设x2-4x=y, 初中数学培优课堂 则原式=(y+1)(y+7)+9(第一步) =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) =(x2-4x+4)2.(第四步) 请根据上述材料回答下列问题: (1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的  (_____) A.提公因式法　　    B.平方差公式法 C.完全平方公式法 初中数学培优课堂 (2)老师说:“小涵同学因式分解的结果不彻底.”请你写出该 因式分解的最后结果:______. (3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解. 解析    (1)C. (2)(x-2)4. (3)设x2+2x=y,则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2=(x +1)4. 初中数学培优课堂 12.【新课标·应用意识】(2025广西贺州昭平期中)【阅读学 习】 课堂上,老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两 种因式分解的方法.分解因式的方法还有许多,如分组分解法. 它的定义是:将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继 续分解的方法叫分组分解法. 例如:am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn) =m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n). 初中数学培优课堂 x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)=x2-(y+1)2 =(x+y+1)(x-y-1). 【学以致用】 请仿照上面的做法,将下列各式分解因式: (1)ab-a-b+1. (2)4-x2+4xy-4y2. 【拓展应用】 (3)已知x+y=9,x-y=5,求x2-y2-2y+2x的值. 初中数学培优课堂 解析    (1)ab-a-b+1=(ab-a)-(b-1)=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1). (2)4-x2+4xy-4y2=4-(x2-4xy+4y2) =22-(x-2y)2=(2-x+2y)(2+x-2y). (3)x2-y2-2y+2x=(x2-y2)+(2x-2y) =(x+y)(x-y)+2(x-y)=(x-y)(x+y+2), 当x+y=9,x-y=5时,原式=5×(9+2)=55. 初中数学培优课堂 微专题　十字相乘法 方法指引     1.x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 2.在二次三项式ax2+bx+c中,如果二次项系数a可以分解成两 个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c= c1c2,把a1,a2,c1,c2排列如下:   初中数学培优课堂 按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它 正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b, 那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积, 即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 初中数学培优课堂 例题　将下列各式分解因式: (1)6y2+19y+15.(2)14x2+3x-27. (3)x2-x-56.(4)x2-10x+16.(5)10-3x-x2. 例题 解析    (1)因为6=3×2,15=5×3,3×3+2×5=9+10=19, 所以原式=(3y+5)(2y+3). (2)因为14=2×7,-27=3×(-9),2×(-9)+7×3=-18+21=3, 所以原式=(2x+3)(7x-9). (3)因为1=1×1,-56=7×(-8),1×7+1×(-8)=7-8=-1,所以原式=(x+7) 初中数学培优课堂 (x-8). (4)因为1=1×1,16=(-2)×(-8),1×(-2)+1×(-8)=-2-8=-10,所以原式 =(x-2)(x-8). (5)10-3x-x2=-(x2+3x-10), 因为1=1×1,-10=5×(-2),1×5+1×(-2)=5-2=3, 所以原式=-(x+5)(x-2). 初中数学培优课堂 $