10.3 第1课时 平方差公式-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学课件聚焦平方差公式，从基础题目导入，通过辨析运算正误巩固整式乘法旧知，结合方法总结明确公式结构，再以几何图形剪拼验证公式，构建从理解到应用的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与推理能力，如通过正方形剪拼验证公式培养数学眼光，规律探究题提升推理意识，实际问题应用增强模型观念。学生能深化公式理解，教师可借助系统资源提升教学效率。

第10章　整式的乘法与除法 第1课时　平方差公式 10.3　乘法公式 初中数学培优课堂  　平方差公式 1.(2025河南开封一模)下列运算正确的是 ( ) A.(m2)3=m5 B.3mn-nm=2nm C.(-2m3n)3=-8m9n D.(-m+n)(m+n)=m2-n2     B     解析    (m2)3=m6,3mn-nm=2nm,(-2m3n)3=-8m9n3,(-m+n)(m+n)=n2- m2,故选B. 初中数学培优课堂 2.(2025山东潍坊安丘月考)下列各式中,不能用平方差公式计 算的是 ( ) A.(2a+b)(2a-b)　　    B.(2a+b)(b-2a) C.(2a+b)(-2a-b)　　    D.(2a-b)(-2a-b)     C     解析    C.(2a+b)(-2a-b)=-(2a+b)2,不是两数之和与两数之差的 积的形式,故不能运用平方差公式计算,故选C. 初中数学培优课堂 方法总结　应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:① 左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相 同,另一项互为相反数;②右边是相同项的平方减去相反项的 平方;③公式中的a和b可以是具体数,也可以是代数式. 初中数学培优课堂 3.下列运算中,正确的是 ( ) A.(a+3)(a-3)=a2-3 B.(3b+2)(3b-2)=3b2-4 C.(3m-2n)(-2n-3m)=4n2-9m2 D.4x2-(2x-3y)(2x+3y)=-9y2     C     初中数学培优课堂 解析    (a+3)(a-3)=a2-9,故A选项错误; (3b+2)(3b-2)=9b2-4,故B选项错误; (3m-2n)(-2n-3m)=(-2n+3m)(-2n-3m)=(-2n)2-(3m)2=4n2-9m2,故C 选项正确; 4x2-(2x-3y)(2x+3y)=4x2-(4x2-9y2)=4x2-4x2+9y2=9y2,故D选项错误. 故选C. 初中数学培优课堂 4.若(-mx-3y)(mx-3y)=-49x2+9y2,则m的值为( ) A.7　　     B.-7 C.±7　　    D.以上都不对     C     解析　因为(-mx-3y)(mx-3y)=(-3y-mx)(-3y+mx)=(-3y)2-(mx)2=9y2 -m2x2=-49x2+9y2,所以-m2=-49,解得m=±7,故选C. 初中数学培优课堂 5.计算(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)的结果是_____________.     a8-b8     解析　原式=(a2-b2)(a2+b2)(a4+b4) =(a4-b4)(a4+b4) =a8-b8. 初中数学培优课堂 6.(2025江苏镇江宜城教育集团月考改编)计算: (1)(2a-1)(2a+1). (2) . 解析    (1)原式=(2a)2-12=4a2-1. (2)原式=  =  =2 024. 初中数学培优课堂  　平方差公式的几何背景 7.将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形 (如图1),将剩余部分按照虚线分割成①和②两部分,将①和② 两部分拼成一个长方形(如图2),解答下列问题: (1)利用阴影面积可以验证的乘法公式是________________. (2)利用(1)中得到的公式,计算:2 0232-2 022×2 024. 初中数学培优课堂 解析    (1)∵题图1中阴影部分的面积为a2-b2,题图2中阴影部 分的面积为(a+b)(a-b), ∴(a+b)(a-b)=a2-b2. 故答案为(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)2 0232-2 022×2 024 =2 0232-(2 023-1)×(2 023+1) =2 0232-(2 0232-1) =2 0232-2 0232+1 =1. 初中数学培优课堂 8.【新考向·项目探究题】【探究】如图1,从边长为a的大正 方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开, 拼成如图2所示的长方形. (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积: 图1:______,图2:_______. (2)比较两图中阴影部分的面积,可以得到乘法公式:_______ ____(用字母a,b表示). 【应用】请应用这个公式计算: (x-3)(x+3)(x2+9). 初中数学培优课堂 【拓展】计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)的结果为 _______.  　      初中数学培优课堂 解析    (1)a2-b2;(a+b)(a-b). (2)(a+b)(a-b)=a2-b2. 【应用】(x-3)(x+3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81. 【拓展】(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(28-1)(28+1)(216+1)(232+1) =(216-1)(216+1)(232+1) 初中数学培优课堂 =(232-1)(232+1) =264-1. 初中数学培优课堂 9.【学科特色·整体思想】(2025湖南邵阳城步十校期中联考, ★☆☆)运用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确 的是 ( ) A.[x-(2y+1)]2 B.[x+(2y-1)][x-(2y-1)] C.[(x-2y)+1][(x+2y)-1] D.[x+(2y-1)]2     B     解析　原式=[x+(2y-1)][x-(2y-1)].故选B. 初中数学培优课堂 10.【学科特色·易错题】(2025广东清远清新二中教育集团联 考,★★☆)已知a,b满足(a2+b2+1)(a2+b2-1)=3,则a2+b2=  ( ) A.2　　     B.4　　     C.±2　　    D.±4     A 解析　设m=a2+b2,原方程可变为(m+1)(m-1)=3,即m2-1=3,解得 m=2或m=-2(-2<0,舍去),即a2+b2=2,故选A. 初中数学培优课堂 易错警示　本题在解得a2+b2=±2时,往往会因忘记a2+b2是非负 数而错选C. 初中数学培优课堂 11.(2025江苏南京师大附中月考,★★☆)计算12-22+32-42+52-62 +…+1992-2002的值是 ( ) A.20 100　　    B.-20 100　　     C.40 200　　    D.-40 200     B     初中数学培优课堂 解析　原式=(12-22)+(32-42)+(52-62)+…+(1992-2002) =(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+…+(199-200)(199+200) =-1-2-3-4-5-6-7-8-…-199-200 =-  =-20 100. 故选B. 初中数学培优课堂 12.(2025四川内江中考,★★☆)已知a,b满足a+b=2,则a2-b2+4b =_________.     4     解析　∵a+b=2,∴a2-b2+4b=(a+b)(a-b)+4b=2(a-b)+4b=2a-2b+ 4b=2a+2b=2(a+b)=2×2=4. 初中数学培优课堂 13.(2025江苏徐州沛县五中集团联盟期中,★★☆)一个长方 体游泳池的长为(4a2+9b2)m,宽为(2a+3b)m,高为(2a-3b)m,则这 个游泳池的容积是___________________m3.     (16a4-81b4)     解析    (4a2+9b2)(2a+3b)(2a-3b) =(4a2+9b2)(4a2-9b2) =(16a4-81b4)m3, 即这个游泳池的容积为(16a4-81b4)m3. 初中数学培优课堂 14.【新课标·运算能力】【新考向·规律探究题】(2025安徽C 20教育联盟月考) 【观察思考】 观察下列各式: (x-1)(x+1)=x2-1, (x-1)(x2+x+1)=x3-1, (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1, … 初中数学培优课堂 【规律发现】 请根据你发现的规律解决下列各题: (1)根据规律可得(x-1)(xn-1+…+x+1)=______(其中n为正整数). 【规律应用】 (2)计算:(5-1)×(550+549+548+…+52+5+1). (3)①计算:22 024+22 023+22 022+…+2+1. ②计算:(-2)2 024+(-2)2 023+(-2)2 022+…+(-2)+1. 初中数学培优课堂 解析    (1)xn-1. (2)(5-1)×(550+549+548+…+52+5+1)=551-1. (3)①由(x-1)(xn-1+…+x+1)=xn-1可得, (2-1)(22 024+22 023+22 022+…+2+1)=22 025-1, ∴22 024+22 023+22 022+…+2+1=22 025-1. ②由(x-1)(xn-1+…+x+1)=xn-1可得, (-2)2 024+(-2)2 023+(-2)2 022+…+(-2)+1 = ×[(-2)-1)][(-2)2 024+(-2)2 023+(-2)2 022+…+(-2)+1] 初中数学培优课堂 = ×[(-2)2 025-1] = . 初中数学培优课堂 微专题　平方差公式的运用 例题    (2024上海中考)计算:(a+b)(b-a)=_____________.     b2-a2     例题 解析    (a+b)(b-a)=(b+a)(b-a)=b2-a2. 初中数学培优课堂 变式1    如图,阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边 长为b的小正方形后所得到的图形,将阴影部分通过割、拼,形 成新的图形,给出三种割、拼方法,其中能够验证平方差公式 的是( )      A.①②　　    B.②③　　    C.①③　　    D.①②③     D     初中数学培优课堂 解析　题图①,左边阴影部分的面积为a2-b2,右边阴影部分的 面积为 (2a+2b)·(a-b)=(a+b)(a-b), ∴(a+b)(a-b)=a2-b2,能够验证平方差公式; 题图②,左边阴影部分的面积为a2-b2,右边阴影部分的面积为 (a+b)(a-b), ∴(a+b)(a-b)=a2-b2,能够验证平方差公式; 题图③,左边阴影部分的面积为a2-b2,右边阴影部分的面积为 (a+b)(a-b), 初中数学培优课堂 ∴(a+b)(a-b)=a2-b2,能够验证平方差公式. 故选D. 初中数学培优课堂 变式2    (2024四川凉山州中考)已知a2-b2=12,且a-b=-2,则a+b= _______. 　-6     解析　∵a2-b2=12,∴(a+b)(a-b)=12, ∵a-b=-2,∴a+b=-6. 初中数学培优课堂 变式3　计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)=_________. 解析    (3+1)(32+1)(34+1)(38+1) = ×(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1) = ×(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)= ×(34-1)(34+1)(38+1)= ×(38-1)(38 +1)= ×(316-1)= . 初中数学培优课堂 $