11.3 第1课时 用平方差公式分解因式-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学课件聚焦“用平方差公式分解因式”，通过复习提公因式法导入，衔接从基础形式（如\(a^2 - 1\)）到复杂变形（如含括号多项式、提公因式后再用公式）的知识点，搭建由浅入深的学习支架。 其亮点在于融合中考真题、易错题及新考向题型（如条件开放题、“智慧数”新定义），通过密码翻译等实际应用培养应用意识，代数推理题发展推理能力，易错题强化运算能力。助力学生巩固知识提升素养，为教师提供丰富教学资源。

第11章　因式分解 第1课时　用平方差公式分解因式 11.3　公式法 初中数学培优课堂  　用平方差公式分解因式 1.(2025广西中考)因式分解:a2-1= ( ) A.(a+1)(a-1)　　    B.a(a+1) C.(a+1)2　　     D.(a-1)2     A     解析    a2-1=(a+1)(a-1).故选A. 初中数学培优课堂 2.(2025河南郑州外国语学校四模)课堂上老师在黑板上布置 了如图所示的题目,小聪马上发现了其中有一道题目错了,你 知道是哪道题目吗? ( )     C     用平方差公式分解下列各式: (1)a2-b2;(2)x2-1; (3)-x2-y2;(4)4m2-25n2. A.题(1)　　    B.题(2) C.题(3)　　    D.题(4) 初中数学培优课堂 解析　题(1)(2)(4)都符合a2-b2的形式,均能用平方差公式分解, 题(3)-x2-y2=-(x2+y2),不能利用平方差公式分解,故选C. 初中数学培优课堂 3.(2025山东青岛城阳月考)因式分解:a2-4(a+b)2= ( ) A.(3a+2b)(-a-2b)　　     B.(5a+4b)(-3a-4b) C.-(5a+4b)(3a+4b)　　    D.-(3a+2b)(a+2b)     D     解析    a2-4(a+b)2=[a+2(a+b)][a-2(a+b)]=(3a+2b)(-a-2b)=-(3a+ 2b)(a+2b),故选D. 初中数学培优课堂 4.(2025河北秦皇岛青龙一模)分解因式:ax2+by2=(3x+4y)(3x- 4y),则a+b的值为 ( ) A.7　　    B.-1　　    C.25　　    D.-7     D     解析　∵ax2+by2=(3x+4y)(3x-4y),(3x+4y)(3x-4y)=9x2-16y2,∴ax2 +by2=9x2-16y2,∴a=9,b=-16, ∴a+b=9-16=-7.故选D. 初中数学培优课堂 5.(2025山东聊城高唐第一实验中学月考)小强是一位密码编 译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:x-y,a-b,2,x2+y2, a,x+y分别对应下列六个字:华、我、爱、美、游、中,现将2a (x2-y2)-2b(x2-y2)因式分解,结果呈现的密码信息可能是  ( ) A.爱我中华　　    B.我游中华 C.中华美　　     D.我爱美     A 初中数学培优课堂 解析    2a(x2-y2)-2b(x2-y2)=2(x2-y2)(a-b)=2(x+y)·(x-y)(a-b),信息 中的汉字有爱、中、华、我,所以结果呈现的密码信息可能 为爱我中华.故选A. 初中数学培优课堂 6.(2025北京中考)分解因式:7m2-28=___________________.     7(m+2)(m-2)     解析　原式=7(m2-4)=7(m+2)(m-2). 初中数学培优课堂 7.【学科特色·易错题】(2025甘肃兰州五十六中期中)把a4-16 分解因式,正确的结果是______. (a2+4)(a+2)(a-2) 解析    a4-16=(a2+4)(a2-4)=(a2+4)(a+2)(a-2). 易错警示　因式分解必须分解到不能再分解为止,本题易出 现分解不彻底的错误. 初中数学培优课堂 8.分解因式: (1)25x2-49y2.    (2)-4x2+1. (3)(a+2b)2-(3a+b)2. 解析    (1)原式=(5x+7y)(5x-7y). (2)原式=1-4x2=(1+2x)(1-2x). (3)原式=(a+2b+3a+b)(a+2b-3a-b) =(4a+3b)(b-2a). 初中数学培优课堂 9.【新考向·条件开放题】有四个式子:4a2,(x+y)2,x+y,9b2,请你 从中选出两个,使两者之差能按照以下要求进行因式分解,并 写出因式分解的结果. (1)利用提公因式法. (2)利用平方差公式法. 解析    (1)选取(x+y)2与x+y, (x+y)2-(x+y)=(x+y)(x+y-1)或(x+y)-(x+y)2=(x+y)(1-x-y). (2)答案不唯一.如选取4a2与9b2. 4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b). 初中数学培优课堂 10.如图,约定:上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头 共同指向的整式. (1)求整式M,P. (2)将整式P因式分解.   初中数学培优课堂 解析    (1)根据题意得M=(3x2-4x-20)-3x(x-3) =3x2-4x-20-3x2+9x=5x-20. P=3x2-4x-20+(x+2)2=3x2-4x-20+x2+4x+4=4x2-16. (2)P=4x2-16=4(x2-4)=4(x+2)(x-2). 初中数学培优课堂 11.(2024山东济宁任城期末,★★☆)把多项式4a2(a-b)+(b-a)因 式分解的结果为 ( ) A.(a-b)(4a2+1) B.(b-a)(4a2+1) C.(a-b)(2a+1)(2a-1) D.(a-b)(4a2-1)     C     解析    4a2(a-b)+(b-a)=(a-b)(4a2-1)=(a-b)(2a+1)(2a-1).故选C. 初中数学培优课堂 12.(2024山东淄博张店六中月考,★★☆)小明在抄分解因式 的题目时,不小心漏抄了x的指数,他只知道该数为不大于10的 正整数,并且原式能利用平方差公式分解因式,他抄在作业本 上的式子是x□-4y2(“□”表示漏抄的指数),则这个指数可能 的结果共有 ( ) A.2种　　    B.3种　　     C.4种　　    D.5种     D     初中数学培优课堂 解析　能利用平方差公式分解因式,说明漏掉的指数只能是 偶数,又因为该数为不大于10的正整数,所以该指数是2或4或6 或8或10.故选D. 初中数学培优课堂 13.【新考向·代数推理】(2025山东潍坊高密月考,★★☆)若k 为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能 ( ) A.被2整除　　    B.被3整除 C.被5整除　　    D.被7整除     B     解析    (2k+3)2-4k2=(2k+3+2k)(2k+3-2k)=3(4k+3),∵k为任意整 数,∴(2k+3)2-4k2的值总能被3整除,故选B. 初中数学培优课堂 14.(2025山东菏泽经开区月考,★★☆)若a+b=4,a-b=1,则(a+1) 2-(b-1)2的值为__________.     12     解析　∵a+b=4,a-b=1, ∴(a+1)2-(b-1)2 =(a+1+b-1)(a+1-b+1)=(a+b)(a-b+2) =4×(1+2)=12. 初中数学培优课堂 15.【新考向·阅读理解题】(2025山东潍坊二模改编,★★☆) 日常生活中,如取款、上网都需要密码.有一种因式分解产生 的密码,方便记忆.其原理是:对于多项式x4-y4,其因式分解的结 果是(x2+y2)(x+y)(x-y),若x=8,y=8,则各个因式的值分别是128,1 6,0,按从大到小的顺序排列后,所得“128160”就是一个六位 数的密码.对于多项式x3-xy2,若x=23,y=5,则用上述方法可产生 密码______________.     282318     初中数学培优课堂 解析    x3-xy2=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y), 当x=23,y=5时,x+y=23+5=28,x-y=23-5=18,∵28>23>18,∴产生 的密码为282318. 初中数学培优课堂 16.(2025山东聊城东昌府月考,★★★)观察下列式子: ①x2-1=(x+1)(x-1); ②x3-1=(x-1)(x2+x+1); ③x4-1=(x-1)(x3+x2+x+1). (1)尝试对x5-1进行因式分解:x5-1=______. (2)猜想:xn-1=_____________.(n为正整数) (3)试求26+25+24+23+22+2+1的值. 初中数学培优课堂 解析    (1)(x-1)(x4+x3+x2+x+1). (2)(x-1)(xn-1+xn-2+…+x+1). (3)根据(2)中规律,可得 27-1=(2-1)×(26+25+24+23+22+2+1), ∴26+25+24+23+22+2+1=27-1=127. 初中数学培优课堂 17.【新课标·运算能力】【新考向·新定义题】在数的学习过 程中,我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇,比如: 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这 个正整数为“智慧数”,例如:12=42-22,20=62-42,28=82-62,我们 称12,20,28这三个数为“智慧数”. (1)36______“智慧数”.(填“是”或“不是”) (2)设两个连续偶数是2n和2n+2(n为正整数),由这两个连续偶 数构造的“智慧数”是4的倍数吗?为什么? 初中数学培优课堂 (3)如图,拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数,按此规律 拼叠到正方形ABCD,其边长为100,求阴影部分的面积.   初中数学培优课堂 解析    (1)是. 详解:∵36=102-82,∴36是“智慧数”. (2)是.理由:∵(2n+2)2-(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=2(4n+2)=4(2n +1),n为正整数, ∴由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数. (3)(42-22)+(82-62)+(122-102)+…+(1002-982)=4×3+4×7+4×11+…+ 4×99=4×(3+7+11+…+99)=4× ×(3+99)×25=5 100. ∴阴影部分的面积是5 100. 初中数学培优课堂 $