10.3 第2课时 完全平方公式-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学课件聚焦“完全平方公式”，通过中考真题、教材变式题导入，从公式辨析（如选择题判断正误）到几何背景验证（正方形分割图形），再到综合应用（已知x+y求xy），构建从基础理解到灵活运用的学习支架。 其亮点在于融合几何直观（用图形验证(a-b)²=(a+b)²-4ab）、运算能力（简便计算89.8²）和模型意识（面积问题中公式应用），通过分层练习（基础夯实到素养提升）培养学生抽象能力与推理意识，助力学生掌握公式本质，教师可借助中考题和变式题提升教学针对性。

第10章　整式的乘法与除法 第2课时　完全平方公式 10.3　乘法公式 初中数学培优课堂  　完全平方公式 1.(2025四川内江中考)下列计算正确的是 ( ) A.x2·x4=x8　　     B.(x-y)2=x2-y2 C.x+2x2=3x2　　    D.(x+2)(x-2)=x2-4     D     解析    x2·x4=x6,(x-y)2=x2-2xy+y2,x与2x2不是同类项,无法合并,(x +2)(x-2)=x2-4,故选D. 初中数学培优课堂 2.运用完全平方公式计算89.82的方法中最简便的是( ) A.(89+0.8)2　　    B.(80+9.8)2 C.(90-0.2)2　　    D.(100-10.2)2     C     初中数学培优课堂 3.(2025江苏南京秦淮期末)下列计算正确的是( ) A.(a-b)2=a2-b2 B.(a-b)2=a2-2ab-b2 C.(-a-b)2=a2+2ab+b2 D.(-a-b)2=a2-2ab-b2     C     解析    (a-b)2=a2-2ab+b2, (-a-b)2=(a+b)2=a2+2ab+b2, 故选C. 初中数学培优课堂 4.(2025山西吕梁文水期中)若x+y=3,x2+y2=13,则xy的值为  ( ) A.4　　    B.-4　　    C.-2　　    D.2     C     解析　∵x+y=3,∴(x+y)2=9, 即x2+2xy+y2=9, ∵x2+y2=13,∴13+2xy=9, ∴2xy=-4, ∴xy=-2.故选C. 初中数学培优课堂 5.(2025河南周口项城期末)小红将(5x+19)2展开后得到a1x2+b1x +c1,小芳将(5x-19)2展开后得到a2x2+b2x+c2.若两人计算过程均 无误,则b1+b2的值为_________.     0     解析　小红将(5x+19)2展开后得到a1x2+b1x+c1,小芳将(5x-19)2 展开后得到a2x2+b2x+c2,根据完全平方公式可得b1与b2互为相 反数,所以b1+b2=0. 初中数学培优课堂 6.【学科特色·教材变式P110练习】计算: (1)(4x+3n)2. (2)10.12-2×10.1×0.1+0.01(简便计算). (3)2022+202×196+982(简便计算). (4)(-3x+y)2. 初中数学培优课堂 解析    (1)(4x+3n)2=(4x)2+2×4x·3n+(3n)2=16x2+24nx+9n2. (2)原式=10.12-2×10.1×0.1+0.12 =(10.1-0.1)2=100. (3)原式=2022+2×202×98+982 =(202+98)2=3002=90 000. (4)(-3x+y)2=(-3x)2+2×(-3x)·y+y2 =9x2-6xy+y2. 初中数学培优课堂 7.(2025广东佛山南海重点中学月考) (1)已知x+y=8,xy=5,求x2+y2的值. (2)已知(x+y)2=49,x2+y2=30,求(x-y)2的值. 初中数学培优课堂 解析    (1)∵(x+y)2=x2+2xy+y2, ∴x2+y2=(x+y)2-2xy, ∵x+y=8,xy=5, ∴x2+y2=(x+y)2-2xy=82-2×5=54. (2)∵(x+y)2-(x2+y2)=2xy,(x+y)2=49,x2+y2=30, ∴2xy=49-30=19, ∴(x-y)2=x2-2xy+y2=30-19=11. 初中数学培优课堂  　完全平方公式的几何背景 8.【学科特色·数形结合思想】(2025江苏连云港灌云期中)在 下面的正方形分割方案中,可以验证(a-b)2=(a+b)2-4ab的图形 是 ( )  　          B     初中数学培优课堂 解析　选项A中,左图的面积为a2-b2,右图的面积为(a+b)(a-b), 所以有(a+b)(a-b)=a2-b2,不符合题意;选项B,整体上是边长为a +b的正方形,面积为(a+b)2,中间小正方形的边长为a-b,其面积 为(a-b)2,4个长方形的面积和为4ab,所以有(a-b)2=(a+b)2-4ab, 符合题意;选项C,整体上大正方形的面积为a2,两个较小的正 方形的面积分别为b2,(a-b)2,两个长方形的面积和为2b(a-b),所 以有a2=b2+(a-b)2+2b(a-b),即(a-b)2=a2-2ab+b2,不符合题意;选项 D,大正方形的边长为a+b,因此面积为(a+b)2,拼成大正方形的 初中数学培优课堂 四个部分的面积和为a2+2ab+b2,所以有(a+b)2=a2+2ab+b2,因此 不符合题意.故选B. 初中数学培优课堂  　完全平方式 9.(2025四川成都期中)下列式子是完全平方式的是 ( ) A.a2-ab+b2　　     B.a2+4ab+4b2 C.a2-2ab+2b2　　    D.a2+2ab-b2     B     解析　选项B,a2+4ab+4b2=(a+2b)2,是完全平方式,故选B. 初中数学培优课堂 10.(2025江苏苏州高新区一中月考)若负有理数m使得x2+2mx+ 9是一个完全平方式,则m=_______. 　-3     解析　∵x2+2mx+9是一个完全平方式, ∴x2+2mx+9=x2±2x×3+9,∴2m=±6, ∴m=±3,∵m是负有理数,∴m=-3. 初中数学培优课堂 11.(2025山东潍坊安丘月考,★★☆)如果x+ =2,那么x2+ =  ( ) A.4　　    B.2　　    C.0　　    D.6     B     解析　∵x+ =2,∴x2+ =x2+ +2x· -2x· = -2x· =  -2=22-2=2,故选B. 初中数学培优课堂 12.(2025河北衡水二模,★★☆)已知(a+b)2-(a-b)2=4,且a=20 00 0,则b的值用科学记数法表示为( ) A.2×10-4　　    B.2×10-5　　    C.5×10-4　　    D.5×10-5     D     解析    (a+b)2-(a-b)2=4,整理得ab=1,∵a=20 000,∴b=0.000 05= 5×10-5,故选D. 初中数学培优课堂 13.(2025山东聊城东昌府月考,★★☆)有两个正方形A,B,若将 B放在A的内部,则得到图1;若将A,B并列放置后构成新的正方 形,则得到图2.若图1中阴影部分的面积为5,正方形A,B的面积 之和为17,则图2中阴影部分的面积是( )       　      A.6　　    B.7　　    C.10　　    D.12     D     初中数学培优课堂 解析　设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,则a2+b2=17, 题图1中阴影部分是边长为a-b的正方形,其面积为(a-b)2=5, ∵(a-b)2=5=a2-2ab+b2,a2+b2=17, ∴2ab=17-5=12, 题图2中,大正方形的边长为a+b, ∴题图2中阴影部分的面积为S大正方形-S正方形A-S正方形B=(a+b)2-a2-b2= 2ab=12.故选D. 初中数学培优课堂 14.【新考向·结论开放题】(2025四川成都中考,★★☆)多项 式4x2+1加上一个单项式后,能成为一个多项式的平方,那么加 上的单项式可以是___________________(填一个即可).     4x(答案不唯一)     解析　∵4x2+4x+1=(2x+1)2,∴加上的单项式可以是4x(答案不 唯一). 初中数学培优课堂 15.(2025山东菏泽东明期中,★★☆)若(x-2 015)2+(x-2 016)2=1, 则(x-2 015)(x-2 016)=_________.     0     解析　∵[(x-2 015)-(x-2 016)]2=(x-2 015)2-2(x-2 015)(x-2 016)+ (x-2 016)2, 且(x-2 015)2+(x-2 016)2=1, ∴1=1-2(x-2 015)(x-2 016), ∴(x-2 015)(x-2 016)=0. 初中数学培优课堂 16.(2024山东青岛崂山实验学校月考,★★☆)我们知道,多项 式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确 性,如(a+b)2=a2+2ab+b2就能利用图1的面积进行验证.那么,能 利用图2的面积进行验证的含x,y,z的等式为________________ _____________.  　      2+2xy+2yz+2xz         (x+y+z)2=x2+y2+z 初中数学培优课堂 解析　题图2是边长为x+y+z的正方形,∴其面积为(x+y+z)2, 题图2的面积可表示为x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz, ∴(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz. 初中数学培优课堂 17.(2025山东潍坊高密月考改编,★★★)数学活动课上,老师 准备了若干张如图1所示的三种纸片,A种纸片是边长为a的正 方形、B种纸片是边长为b的正方形、C种纸片是长为b、宽 为a的长方形,并用A种纸片一张,B种纸片一张,C种纸片两张 拼成如图2所示的大正方形.  　      初中数学培优课堂 (1)观察图2,请你写出下列三个代数式:(a+b)2,a2+b2,ab之间的 等量关系. (2)根据(1)中的等量关系,解决以下问题: ①已知a+b=5,a2+b2=11,求ab的值. ②已知(x-2 021)2+(x-2 023)2=20,求x-2 022的值. 初中数学培优课堂 解析    (1)大正方形的面积可以表示为(a+b)2或表示为a2+b2+2 ab,因此有(a+b)2=a2+b2+2ab. (2)①∵(a+b)2=a2+b2+2ab,a+b=5,a2+b2=11, ∴25=11+2ab, ∴ab=7,即ab的值为7. ②令a=x-2 022, ∴x-2 021=x-2 022+1=a+1, x-2 023=x-2 022-1=a-1, ∵(x-2 021)2+(x-2 023)2=20, 初中数学培优课堂 ∴(a+1)2+(a-1)2=20,解得a2=9, ∴(x-2 022)2=9, ∴x-2 022=±3. 初中数学培优课堂 18.【新课标·几何直观】(2025河南郑州期末)按如图所示的 方式摆放两个正方形卡片,点A,M,B在同一直线上.若AB=5,且 两个正方形面积之和为13,则阴影部分的面积为_________.       6     初中数学培优课堂 解析　设AM=a,BM=b,∵AB=5,∴a+b=5, ∴(a+b)2=25,∴a2+2ab+b2=25. ∵两个正方形面积之和为13,∴a2+b2=13, ∴2ab=25-13=12,∴ab=6.连接CM,如图,   由题意得AC=AM=a,BM=DM=b, 初中数学培优课堂 ∴阴影部分的面积=S△CDM+S△BCM = DM·AM+ BM·AC= ba+ ba=ab=6. 初中数学培优课堂 $