专项突破2 平行线中的学具或折叠问题-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学课件聚焦平行线中的学具或折叠问题，涵盖三角尺与直尺叠放、三角尺与三角尺叠放、长方形折叠三大题型，通过具体学具摆放实例导入，连接平行线性质与判定基础，逐步过渡到动态旋转与折叠综合问题，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于结合中考真题与模拟题，以学具操作培养数学眼光（观察角的关系），逻辑推理（如作辅助线推导角度）体现数学思维，折叠问题“还原-标角-找平行”步骤强化数学语言。助力学生提升几何直观与推理能力，为教师提供系统题型与方法，提高教学效率。

专项突破2　平行线中的学具或折叠问题 初中数学培优课堂  　三角尺与直尺的叠放问题 1.(2024福建中考)在同一平面内,将直尺、含30°角的直角三 角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图所示的方式摆放,若AB∥ CD,则∠1的大小为( )   A.30°　　    B.45°　　    C.60°　　    D.75°     A     初中数学培优课堂 解析　如图,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠ABF=60°, ∵CD⊥DE,∴∠CDE=90°, ∴∠1=180°-60°-90°=30°.故选A.   初中数学培优课堂 2.(2024四川攀枝花中考)将一把直尺与一块含有30°角的直角 三角尺按如图所示的方式放置,若∠3=65°,则∠2= ( ) A.50°　　    B.55°　　    C.60°　　    D.65°     B     初中数学培优课堂 解析　如图,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠3=65°, ∵∠CAE=90°,∴∠1=90°-65°=25°, ∴∠AFE=180°-∠1-∠E=180°-25°-30°=125°, ∴∠2=180°-∠AFE=55°. 故选B. 初中数学培优课堂 3.(2025湖南衡阳船山中实学校模拟)数学课上,老师让同学们 合作探索平行线的特征,小智将直角三角尺和直尺按如图所 示的方式摆放,其中∠A=60°,∠B=30°,∠C=90°,小慧用量角器 测得∠1=70°,则∠3的度数是 ( )     D     A.20°　　    B.30°　　    C.40°　　    D.50° 初中数学培优课堂 解析　如图,过点C作CG∥MN,   ∵∠1=70°,∴∠BFE=110°, ∵∠B=30°,∴∠BEN=40°, ∵DK∥MN,CG∥MN,∴CG∥MN∥DK, 初中数学培优课堂 ∴∠3=∠ACG,∠BCG=∠2=∠BEN=40°, 又∵∠ACB=90°,∴∠3=∠ACG=90°-∠BCG=50°,故选D. 初中数学培优课堂 4.(2025山东潍坊安丘月考)将一块含30°角的直角三角尺与一 把直尺按如图所示方式摆放,∠C=90°,∠A=30°.若∠1=α°,则 ∠3-∠2的大小为 ( ) A.30°　　     B.60°　　         D     C.(30+α)°　　    D.(30+2α)° 初中数学培优课堂 解析　如图,过B作BK∥MN,   ∵MN∥PQ,∴BK∥PQ∥MN, ∴∠5=∠1=α°,∠6=∠2, ∴∠2+α°=∠5+∠6=∠ABC=60°, 初中数学培优课堂 ∴2∠2+2α°=120°,∵∠3+∠4=180°-∠A=150°,∠4=∠2,∴∠3 +∠2=150°, ∴∠3+∠2-(2∠2+2α°)=150°-120°, ∴∠3-∠2=(30+2α)°.故选D. 初中数学培优课堂  　三角尺与三角尺叠放问题 5.(2025陕西西安西工大附中七模)将一副直角三角尺按如图 所示的方式摆放,已知AD∥EF,则∠ABC的大小为 ( ) A.25°　　    B.20°　　     C.15°　　    D.30°     C     初中数学培优课堂 解析　如图, ∵AD∥EF,∴∠AMN=∠MNF=30°, ∵∠BON+∠BOM=180°,∠MBO+∠AMN+∠BOM=180°, ∴∠BON=∠MBO+∠AMN, ∴∠ABC=∠MBO=∠BON-∠AMN=45°-30°=15°, 故选C. 初中数学培优课堂 6.(2025山东聊城莘县期中)将一副三角尺按如图所示的方式 放置,∠BAC=∠DAE=90°,∠B=45°,∠E=60°,则下列结论:①∠ 1=∠3;②∠CAD+∠2=180°;③如果∠2=30°,那么AC∥DE;④ 如果∠2=45°,那么BC∥AD.其中正确的有 ( )     D     A.1个　　    B.2个　　     C.3个　　    D.4个 初中数学培优课堂 解析　∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3,①正确;∵∠CAD=∠1+ ∠2+∠3, ∴∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=180°,②正确; 如果∠2=30°,那么∠1=90°-∠2=60°=∠E,故AC∥DE,③正确; 如果∠2=45°,那么∠3=90°-∠2=45°=∠B,故BC∥AD,④正确. 综上所述,正确的有①②③④,共4个,故选D. 初中数学培优课堂 7.(2025山东潍坊安丘一模)一副直角三角尺的摆放方式如图 所示(两三角尺不重叠).若AB∥CD,∠GFE=30°,∠NMP=45°, 则下列结论不正确的是 ( )   A.GE∥MP　　     B.∠DNF=135° C.∠BEF=60°　　    D.∠AEG=45°     C     初中数学培优课堂 解析　根据题意得∠EGF=∠MPN=90°,∴∠MPG=90°,∴GE ∥MP,故A不符合题意; ∵∠NMP=45°,∠NMP+∠MPN+∠PNM=180°, ∴∠PNM=45°,∴∠DNF=135°,故B不符合题意; 如图,过点G作GK∥AB,   初中数学培优课堂 ∵AB∥CD,∴GK∥CD, ∵∠PNM=45°,∴∠KGN=∠GNM=45°,∴∠EGK=90°-45°=45 °.∵AB∥GK,∴∠AEG=∠EGK=45°,故D不符合题意; ∵GK∥AB,∴∠AEG=∠EGK=45°,∵∠GFE=30°,∴∠GEF=6 0°. ∴∠BEF=180°-∠AEG-∠GEF=180°-45°-60°=75°,故C符合题 意.故选C. 初中数学培优课堂 8.(2025湖南永州祁阳一模)将一副三角尺按如图所示的方式 放置,∠EGF=∠EFH=90°,∠GFE=45°,∠HEF=30°,过点E的直 线AB与过点F的直线CD相互平行,设∠AEG=α,∠DFH=β,则 下列关系正确的是 ( ) A.α=β　　     B.β=2α     C     C.α-β=45°　　    D.α+β=45° 初中数学培优课堂 解析　如图,延长EG交CD于点P,   ∵AB∥CD,∴∠AEG=∠EPD=α, ∵∠EGF=90°, ∴∠PGF=90°, ∴∠GFP=180°-90°-α=90°-α, 初中数学培优课堂 ∵∠EFG=45°,∠EFH=90°, ∴β=180°-∠GFP-∠EFG-∠EFH=180°-(90°-α)-45°-90°,∴α-β =45°, 故选C. 初中数学培优课堂 9.【学科特色·分类讨论思想】(2025江西抚州临川期中)一副 直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起,将含45°角的三角 尺ADE固定不动,含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动, 使其一边与DE平行,此时∠BAD(0°<∠BAD<180°)的度数为 ____________________.       45°或15°或135°     初中数学培优课堂 解析　如图1,当AC∥DE时,点B在AE上,此时∠BAD=45°; 如图2,当BC∥DE时,BC⊥AE,又∠B=60°, ∴∠BAE=30°, ∴∠DAB=∠DAE-∠BAE=15°; 如图3,当AB∥DE时,∠BAD=∠DAE+∠EAB=135°. 综上所述,∠BAD(0°<∠BAD<180°)的度数为45°或15°或135°. 初中数学培优课堂 10.【学科特色·易错题】【学科特色·分类讨论思想】(2025 山东菏泽郓城期中)如图,直线GH∥MN,一副三角尺按如图所 示的方式摆放,其中∠EDF=∠ACB=90°,∠E=45,∠BAC=30°. 保持三角尺ABC不动,现将三角尺DEF绕点D以每秒2°的速度 顺时针旋转,设旋转时间为t(0<t<180)秒,则经过____________ _________秒边BC与三角尺DEF的一条直角边平行. 5或150         15或60或10 初中数学培优课堂 解析　①当DE∥BC时, 若DE在MN上方,延长AC交MN于点P,如图1,   ∵DE∥BC,DE⊥DF,AC⊥BC, ∴AP∥DF,∴∠FDM=∠MPA, ∵MN∥GH,∴∠MPA=∠HAC, 初中数学培优课堂 ∴∠FDM=∠HAC,即2t°=30°,∴t=15; 若DE在MN下方,延长AC交MN于点P,如图2,根据题意得∠ FDP=2t°-180°,   ∵DE∥BC,DE⊥DF,AC⊥BC, ∴AP∥DF,∴∠FDP=∠MPA, 初中数学培优课堂 ∵MN∥GH, ∴∠MPA=∠HAC,∴∠FDP=∠HAC, 即2t°-180°=30°,∴t=105; ②当BC∥DF时, 若DF在MN上方,延长BC交MN于点T,如图3,   初中数学培优课堂 根据题意得∠FDN=180°-2t°, ∵DF∥BC,∴∠FDN=∠BTN, ∵GH∥MN,∴∠BTN=∠ABC=60°,∴∠FDN=60°, ∴180°-2t°=60°,∴t=60; 若DF在MN下方,延长BC交MN于点T,如图4,   初中数学培优课堂 根据题意可知∠FDN=2t°-180°, ∵DF∥BC,∴∠FDN=∠BTM, ∵GH∥MN,∴∠BTN=∠ABC=60°, ∴∠BTM=180°-∠BTN=120°,∴∠NDF=120°, ∴2t°-180°=120°,∴t=150. 综上所述,经过15秒或60秒或105秒或150秒,边BC与三角尺 DEF的一条直角边平行. 初中数学培优课堂  　长(正)方形的折叠问题 11.【新考向·操作实践题】(2025山东潍坊青州月考)将一张 长方形纸片(足够长)折叠成如图所示的图形,重叠部分是一个 三角形(△ABC),BC为折痕,若∠1=42°,则∠2的度数为  ( ) A.48°　　    B.58°　　         D C.60°　　    D.69° 初中数学培优课堂 解析　如图所示,∵长方形的两条长边平行,∠1=42°,∴∠4= ∠1=42°,∴∠5=∠4=42°, 由折叠的性质可知∠2=∠3, ∵∠2+∠3+∠5=180°,∴∠2=69°,故选D. 初中数学培优课堂 方法解读　长方形折叠问题的解题步骤如下: 第一步:还原;第二步:标出所有相等的角;第三步:找内错角(相 等)、同位角(相等)和同旁内角(互补);第四步:计算. 初中数学培优课堂 12.(2025吉林长春宽城二模)用一张等宽的纸条折成如图所示 的图案,若∠1=27°,则∠2的大小为___________度.       126     初中数学培优课堂 解析　如图所示,   由折叠的性质得∠ABC=∠1=27°, ∴∠ABE=∠ABC+∠1=54°, ∵用一张等宽的纸条折成如图所示的图案, ∴AD∥BE,∴∠CAB+∠ABE=180°, 初中数学培优课堂 ∴∠CAB=180°-∠ABE=126°, ∴∠2=∠CAB=126°. 初中数学培优课堂 13.(2025北京东城期中)将长方形纸片ABCD折叠,使D与B重 合,点C落在C'处,折痕为EF,若∠AEB=66°,则∠EFC'的度数是 ___________.       123     初中数学培优课堂 解析　∵∠AEB=66°,∴∠DEB=114°. 由折叠可知∠DEF=∠BEF=57°. ∵AD∥BC,∴∠EFC+∠DEF=180°, ∴∠EFC=123°. 由折叠可知∠EFC'=∠EFC=123°. 初中数学培优课堂 14.在数学课上,老师提出一个问题:如图,有一条长方形纸带 ABCD,点E在AD上,点F在BC上,把长方形纸带沿EF折叠,若∠ B'FB=80°,则∠AEF=__________°.       40     初中数学培优课堂 解析　由题知∠EFB'=∠EFB,AD∥BC, ∵∠EFB'+∠EFB+∠BFB'=360°,∠BFB'=80°, ∴∠EFB'=∠EFB=140°, ∵AD∥BC, ∴∠AEF+∠EFB=180°, ∴∠AEF=180°-140°=40°. 初中数学培优课堂 15.(2025山东潍坊安丘月考)如图,长方形ABCD中,AD∥BC,E 为边BC上一点,将长方形沿AE折叠(AE为折痕),使点B与点F 重合,EG平分∠CEF交CD于G,过点G作HG⊥EG交AD于点H. (1)求证:HG∥AE. (2)若∠CEG=20°,求∠DHG的度数.   初中数学培优课堂 解析    (1)证明:由折叠知∠AEB=∠AEF, ∵EG平分∠CEF, ∴∠FEG=∠CEG, ∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG=180°, ∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=90°, ∴AE⊥EG, ∵HG⊥EG,∴HG∥AE. (2)∵∠CEG=20°,∠AEG=90°, ∴∠AEB=70°, 初中数学培优课堂 ∵四边形ABCD是长方形, ∴AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE=70°, ∵HG∥AE,∴∠DHG=∠DAE=70°. 初中数学培优课堂 $