8.1 第2课时 垂直-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学课件聚焦“相交线与平行线”中的垂直内容，涵盖定义、画法、性质及应用。通过基础题（如河北石家庄月考）引入垂直定义，过渡到垂线画法，再结合山东聊城期中题等实例构建知识脉络，形成从基础到应用的学习支架。 其亮点在于融合跨学科素材（如体育跳远成绩测量）和新定义题（完美交线），培养学生数学眼光（抽象实际问题）、数学思维（分类讨论如旋转三角尺）和数学语言（符号表达推理过程）。采用分层练习设计，学生能提升推理与应用能力，教师可借助实例丰富教学，提高效率。

第8章　相交线与平行线 第2课时　垂直 8.1　相交线 初中数学培优课堂  　垂直的定义与表示 1.(2025河北石家庄平山月考)如图,已知直线AB与CD相交于 点O,为了说明AB⊥CD,甲、乙、丙分别添加了一个条件,下 列判断正确的是 ( ) 甲:∠AOC=90°; 乙:∠AOC=∠BOC; 丙:∠AOC+∠BOD=180°.     C     初中数学培优课堂 A.只有乙不正确　　     B.只有丙不正确 C.甲、乙、丙都正确　　    D.以上都不正确 初中数学培优课堂 解析　∵∠AOC=90°,∴AB⊥CD,甲正确; ∵∠AOC=∠BOC,∠AOC+∠BOC=180°, ∴∠AOC=∠BOC=90°,∴AB⊥CD,乙正确; ∵∠AOC+∠BOD=180°,∠AOC=∠BOD, ∴∠AOC=∠BOD=90°,∴AB⊥CD,丙正确. 综上所述,甲、乙、丙都正确,故选C. 初中数学培优课堂 2.(2025山东聊城莘县期中)如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥ CD,垂足为O,∠BOD=28°. (1)求∠AOM的度数. (2)若OA平分∠MOE,求∠COE,∠BOE的度数.   初中数学培优课堂 解析    (1)∵OM⊥CD, ∴∠MOC=90°, ∵∠AOC=∠BOD=28°, ∴∠AOM=90°-28°=62°. (2)∵OA平分∠MOE, ∴∠EOA=∠AOM=62°, ∴∠COE=∠AOE-∠AOC=62°-28°=34°, ∵∠BOE+∠AOE=180°,∴∠BOE=180°-62°=118°. 初中数学培优课堂  　垂线的画法 3.(2025山东菏泽巨野期中)过点B画线段AC所在直线的垂线 段,其中正确的是 ( )          D     初中数学培优课堂 解析　根据垂线段的定义,过点B画线段AC所在直线的垂线 段,如图:   故选D. 初中数学培优课堂 4.【学科特色·教材变式P33T2】在下列各图中,用三角尺分别 过点C画线段AB的垂线.  　       　      初中数学培优课堂 解析　如图所示. 初中数学培优课堂  　垂线的性质及其应用 5.(2025山西大同天镇期中)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D, 则下列结论正确的是 ( ) A.AB⊥BC B.点C到AB的垂线段是线段CB C.点C到AB的垂线段是线段CD     C     D.线段AD是点A到CD的距离 初中数学培优课堂 解析　因为∠B<90°,所以AB和BC不垂直,故A不正确;点C到 AB的垂线段是线段CD,故B不正确,C正确;线段AD的长是点A 到CD的距离,故D不正确.故选C. 初中数学培优课堂 6.如图所示,码头、火车站分别位于A,B两点,直线a和b分别表 示铁路与河流.请根据下列问题画图,并说明理由. (1)从火车站B到码头A怎样走最近? (2)从码头A到铁路a怎样走最近? (3)从火车站B到河流b怎样走最近?   初中数学培优课堂 解析    (1)如图所示,连接AB,从火车站B到码头A沿线段BA走 最近.理由:两点之间,线段最短. (2)如图所示,过A作AC⊥直线a于点C,从码头A到铁路a沿垂线 段AC走最近.理由:垂线段最短. (3)如图所示,过B作BD⊥直线b于点D,从火车站B到河流b沿垂 线段BD走最近.理由:垂线段最短. 初中数学培优课堂 7.(2024北京中考,★☆☆)如图,直线AB和CD相交于点O,OE⊥ OC.若∠AOC=58°,则∠EOB的大小为 ( )   A.29°　　    B.32°　　    C.45°　　    D.58°     B     初中数学培优课堂 解析　∵OE⊥OC,∴∠COE=∠DOE=90°,∵∠BOD=∠AOC= 58°,∴∠EOB=90°-58°=32°.故选B. 初中数学培优课堂 8.(2025山东聊城莘县期中,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB=9 0°,AB=5,AC=4,BC=3,则点C到AB边的距离为_________.   初中数学培优课堂 解析　如图,过C作CD⊥AB,交AB于点D,   因为∠ACB=90°,AC=4,BC=3, 所以S△ABC= AC·BC= ×4×3=6, 所以CD=2× =2× = , 故点C到AB边的距离为 . 初中数学培优课堂 9.【学科特色·易错题】(2025山东潍坊青州月考,★★☆)如 图,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=135°.将 直角三角尺MON绕点O旋转一周,当直线OM与直线OC互相垂 直时,∠AOM的度数是________________.       135°或45°     初中数学培优课堂 解析　∵∠BOC=135°,∴∠AOC=180°-135°=45°. ①当OM在直线AB的上方时,如图1, ∵OM⊥OC,∴∠COM=90°, ∴∠AOM=∠AOC+∠COM=135°.  　      ②当OM在直线AB的下方时,如图2, 初中数学培优课堂 ∵OM⊥OC,∴∠COM=90°, ∴∠AOM=∠COM-∠AOC=45°. 故答案为135°或45°. 易错警示　将直角三角尺MON绕点O旋转一周,直线OM与直 线OC互相垂直时有两种情况,不要漏解. 初中数学培优课堂 10.(2025山东潍坊昌乐二中期中,★★☆)如图,直线AB,CD相 交于点O,OB平分∠DOE. (1)若∠BOD=30°,求∠COE的度数. (2)若∠BOD=36°,作OF⊥CD,求∠AOF的度数.   初中数学培优课堂 解析    (1)∵OB平分∠DOE,∠BOD=30°, ∴∠DOE=2∠BOD=60°, ∴∠COE=180°-∠DOE=180°-60°=120°. (2)当OE,OF在AB的同侧时,如图1, 由条件可知∠AOC=∠BOD=36°, ∵OF⊥CD, ∴∠COF=90°, ∴∠AOF=∠AOC+∠COF=36°+90°=126°; 初中数学培优课堂  　      当OE,OF在AB的异侧时,如图2, 由条件可知∠AOC=∠BOD=36°, ∵OF⊥CD,∴∠COF=90°, ∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-36°=54°. 综上,∠AOF的度数为54°或126°. 初中数学培优课堂 11.(2024福建泉州石狮期末,★★☆)如图,直线AB,CD相交于 点O,OM⊥AB. (1)若∠1=∠2,试判断ON与CD的位置关系,并说明理由. (2)若∠1= ∠AOD,求∠BOD的度数.   初中数学培优课堂 解析    (1)ON⊥CD.理由如下: ∵OM⊥AB,∴∠AOM=90°, ∴∠1+∠AOC=90°, 又∵∠1=∠2, ∴∠2+∠AOC=90°, 即∠CON=90°,∴ON⊥CD. (2)∵OM⊥AB,∴∠BOM=90°, ∵∠1= ∠AOD= ∠BOC, 初中数学培优课堂 ∴∠1= ∠BOM,∴∠1=30°, ∴∠BOD=180°-∠BOM-∠1=180°-90°-30°=60°. 初中数学培优课堂 12.【新课标·创新意识】【新考向·新定义题】李磊学习了垂 直的定义后,仿照垂直的定义方法给出以下新定义:两条直线 相交所形成的四个角中,有一个角是60°,就称两条直线互为完 美交线,交点叫完美点.已知直线AB,CD互为完美交线,O为它 们的完美点,OE⊥AB,则∠EOC的度数为________________.     30°或150°     初中数学培优课堂 解析　分两种情况讨论: ①如图1, ∵直线AB,CD互为完美交线,O为完美点, ∴∠BOC=60°, ∵OE⊥AB,∴∠BOE=90°, ∴∠EOC=90°-60°=30°; 初中数学培优课堂 ②如图2, ∵直线AB,CD互为完美交线,O为完美点, ∴∠AOC=60°, ∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°, ∴∠EOC=90°+60°=150°. ∴∠EOC的度数为30°或150°. 初中数学培优课堂 微专题　最短距离问题 方法指导　解决最短距离问题的数学依据:(1)两点之间,线段 最短;(2)垂线段最短. 初中数学培优课堂 1.河道的一侧有甲、乙两个村庄,现要铺设一条管道将水引向 甲、乙两村,下列四种方案中最节省材料的是 ( )          B     解析　依据垂线段最短,以及两点之间,线段最短,可得最节省 材料的方案是选项B中的方案. 初中数学培优课堂 2.【跨体育与健康·跳远】(2024吉林省吉林市永吉期末)如图 所示的是佳佳同学在体育课上立定跳远测试留下的脚印,则 她的跳远成绩为____________米.     2.05     解析　由题图得佳佳同学的跳远成绩为2.05米. 初中数学培优课堂 方法归纳　解决跨学科问题需要解决题目所涉及的数学知识 与所跨学科的知识,例如,本题中涉及点到直线的距离,有三条 线段的长度都表示点到直线的距离,但是根据体育与健康学 科中跳远成绩的测量知跳远成绩是2.05米. 初中数学培优课堂 $