期中专项训练02 复数常考60题14大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

期中专项训练02 复数 【考点一】求复数的实部与虚部 【考点八】复数加减法的代数运算 【考点二】已知复数的类型求参数 【考点九】复数代数形式的乘法运算 【考点三】复数的坐标表示 【考点十】复数的乘方 【考点四】判断复数对应的点所在的象限 【考点十一】复数范围为方程的根 【考点五】根据复数对应坐标的特点求参数 【考点十二】复数的除法运算 【考点六】求复数的模 【考点十三】共轭复数的概念及计算 【考点七】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【考点十四】复数的三角表示 【考点一】求复数的实部与虚部 1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）设（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A． B．4 C． D． 2．（24-25高一下·广东惠州·期中）复数（是虚数单位）的虚部为（    ） A． B．6 C． D． 3.（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知为虚数单位，复数，则的虚部是__________. 4．（24-25高一下·新疆喀什·期中）已知是虚数单位，复数，则的虚部为__． 【考点二】已知复数的类型求参数 5.（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 7.（24-25高一下·山东·月考）已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为______． 8.（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 【考点三】复数的坐标表示 9.（23-24高一下·湖南株洲·期中）复数在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10.（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复平面上点M对应的复数是 ，点N对应的复数是 ，则向量对应的复数是______． 11．（24-25高一下·内蒙古兴安·期中）已知复数在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数__________． 12．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数对应的点的坐标为，则的虚部为________. 【考点四】判断复数对应的点所在的象限 13.（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（24-25高一下·四川德阳·期中）复数（是虚数单位）对应的点位于复平面的（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，则z在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·山东·期中）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”.根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点五】根据复数对应坐标的特点求参数 17.（24-25高一下·湖南湘西·期中）若复数所对应的点在第四象限，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18.（24-25高一下·青海西宁·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为____________． 19．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数（i是虚数单位），若z所对应的点在复平面的第二象限内，则实数m的取值范围为________. 20.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【考点六】求复数的模 21.（24-25高一下·山东临沂·期中）著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 22.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）_____. 23．（24-25高一下·江苏无锡·期中）写出一个复数，使其满足：实部和虚部互为相反数，且，则___________． 24.（24-25高一下·河北邯郸·期中）已知复数. (1)若z为纯虚数，求a的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围及的最小值． 【考点七】与复数模相关的轨迹（图形）问题 25.（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 27.（24-25高一下·甘肃武威·期中）若z是复数，则的最小值为______； 28．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为______. 【考点八】复数加减法的代数运算 29.（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量对应的复数分别为，则（    ） A．9 B． C．5 D． 30.（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若复数满足，则_______. 31．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 32.（24-25高一下·云南·期中）已知复数，． (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【考点九】复数代数形式的乘法运算 33.（24-25高一下·云南楚雄·期中）若复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 34．（24-25高一下·重庆·期中）已知复数，则的虚部是（   ） A．5 B． C． D． 35.（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知，则复数_______． 36．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知复数，则______． 37.（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知复数，. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内所对应的点位于第四象限内，求的取值范围. 38．（24-25高一下·河南许昌·期中）设，已知复数，且为纯虚数． (1)求m的值和； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围． 【考点十】复数的乘方 39.（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．4 D． 40．（24-25高一下·山西·期中）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 41.（24-25高一下·河北保定·期中）复数z满足，则________． 42．（24-25高一下·广东东莞·期中）若复数，则的虚部为_________. 43.（24-25高一下·甘肃白银·期中）已知复数． (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点在直线上，求的值． 44．（24-25高一下·甘肃武威·期中）【问题引入】我们在课内学习了复数的指数形式，数学兴趣小组为了深入了解复数，开展了研究    性学习，对复数的复数次幂开展了讨论. 【资料调查】复数的复数次幂通常是复数：若z、是复数，则；其中，. (1)【初步探究】已知复数，求与的乘积； (2)【拓展延伸】若且，求证：，. 【考点十一】复数范围为方程的根 45.（24-25高一下·云南·期中）若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为（    ） A． B． C．2 D． 46．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A．4 B． C．2 D． 47.（24-25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，则的值为______． 48.（24-25高一下·甘肃·期中）已知复数是一元二次方程的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 【考点十二】复数的除法运算 49.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则z的虚部是（    ） A．i B． C． D．1 50．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 51.（24-25高一下·北京朝阳·期中）若复数，其中为虚数单位，则__________. 52.（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数，，其中． (1)当时，求； (2)若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求a的取值范围． 【考点十三】共轭复数的概念及计算 53.（24-25高一下·山东济南·期中）复数z满足，则（    ） A． B．2 C． D． 54.（24-25高一下·江苏连云港·期中）设i为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第______象限 55.（24-25高一下·广东东莞·期中）已知复数，复数在复平面内对应的点为. (1)若复数是关于x的方程的一个根，m，，求的值； (2)若复数z满足，求复数z的共轭复数. 56．（24-25高一下·浙江·期中）设复数，，为虚数单位. (1)若，求； (2)若是实数，求. 【考点十四】复数的三角表示 57.（24-25厦门·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 58．（23-24广州·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ） A． B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 59.（24-25高一下·广东揭阳·期中）欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为_____． 60.（24-25高一下·山东·期中）已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中专项训练02 复数 【考点一】求复数的实部与虚部 【考点八】复数加减法的代数运算 【考点二】已知复数的类型求参数 【考点九】复数代数形式的乘法运算 【考点三】复数的坐标表示 【考点十】复数的乘方 【考点四】判断复数对应的点所在的象限 【考点十一】复数范围为方程的根 【考点五】根据复数对应坐标的特点求参数 【考点十二】复数的除法运算 【考点六】求复数的模 【考点十三】共轭复数的概念及计算 【考点七】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【考点十四】复数的三角表示 【考点一】求复数的实部与虚部 1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）设（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数虚部的概念得解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：A 2．（24-25高一下·广东惠州·期中）复数（是虚数单位）的虚部为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合复数的概念，即可求解. 【详解】根据复数的概念得，复数的虚部为. 故选：C. 3.（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知为虚数单位，复数，则的虚部是__________. 【答案】4 【分析】根据复数的概念即可判断. 【详解】因为复数，根据复数的概念，可知其虚部为4. 故答案为：4. 4．（24-25高一下·新疆喀什·期中）已知是虚数单位，复数，则的虚部为__． 【答案】1 【分析】根据题意结合虚部的定义即可得结果. 【详解】因为复数，所以的虚部为1. 故答案为：1. 【考点二】已知复数的类型求参数 5.（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由纯虚数概念得到求解即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以， 解得. 故选：A. 6．（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】解：是纯虚数， 则，解得． 故选：B． 7.（24-25高一下·山东·月考）已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为______． 【答案】 【分析】由纯虚数概念可得答案. 【详解】，因为纯虚数， 则. 故答案为： 8.（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 【答案】(1)或5 (2)且 (3) 【分析】（1）由复数是实数，得到，即可求解； （2）由复数是虚数，得到，即可求解； （3）由复数是纯虚数，列出方程组，再用模长公式即可求解 【详解】（1）由题意得 得或5 （2）由题意得 得且 （3）由题意得 得故，所以,所以． 【考点三】复数的坐标表示 9.（23-24高一下·湖南株洲·期中）复数在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义直接得出结果. 【详解】由可得其在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为. 故选：B 10.（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复平面上点M对应的复数是 ，点N对应的复数是 ，则向量对应的复数是______． 【答案】 【分析】由复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意，故所求为. 故答案为：. 11．（24-25高一下·内蒙古兴安·期中）已知复数在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数__________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的坐标，进而列式求解. 【详解】复数在复平面上对应的点， 依题意，，所以. 故答案为：1 12．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数对应的点的坐标为，则的虚部为________. 【答案】 【分析】根据复数几何意义得，再利用复数的虚部概念即可得到答案. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以，则其虚部为. 故答案为： 【考点四】判断复数对应的点所在的象限 13.（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】当时，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 14．（24-25高一下·四川德阳·期中）复数（是虚数单位）对应的点位于复平面的（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据题意，得到复数在复平面内对应的点为，结合三角函数符号，即可求解. 【详解】由复数在复平面内对应的点为， 因为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 15．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，则z在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求出对应的点即可. 【详解】复数对应的点为， 故选：B. 16．（24-25高一下·山东·期中）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”.根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据欧拉公式将代入计算，再由复数的几何意义可得结果. 【详解】利用欧拉公式可知， 其在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B 【考点五】根据复数对应坐标的特点求参数 17.（24-25高一下·湖南湘西·期中）若复数所对应的点在第四象限，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数所在象限有，即可判断所在的象限. 【详解】由已知复数在第四象限，则，所以在第一象限． 故选：A 18.（24-25高一下·青海西宁·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【分析】根据对应的点在第三象限，则实部虚部均小于列不等式即可求解. 【详解】由题意得，解得， 则实数的取值范围为 故答案为：. 19．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数（i是虚数单位），若z所对应的点在复平面的第二象限内，则实数m的取值范围为________. 【答案】/ 【分析】根据复数的几何意义列出不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由题意，复数对应的点在第二象限，需满足： 解得且，故的取值范围为. 故答案为：. 20.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2) (3) 【分析】（1）根据复数的类型求参； （2）根据复数的类型求参； （3）应用复数对应的点所在象限列不等式组求参数范围. 【详解】（1）由，得，解得或. （2）由是纯虚数，得， 解得，所以. （3）由对应的点在第一象限，得， 解得且， 所以的取值范围为. 【考点六】求复数的模 21.（24-25高一下·山东临沂·期中）著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题设定义得，进而可得，结合条件，即可求解. 【详解】因为，则， 又，所以， 由，得到，又，且， 则，所以， 故选：D. 22.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）_____. 【答案】 【分析】利用复数模的公式分别求出分子分母的值，从而可得答案. 【详解】因为, , 所以. 故答案为：. 23．（24-25高一下·江苏无锡·期中）写出一个复数，使其满足：实部和虚部互为相反数，且，则___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，设，结合复数的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，则，且，解得， 所以或. 故答案为：（答案不唯一） 24.（24-25高一下·河北邯郸·期中）已知复数. (1)若z为纯虚数，求a的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围及的最小值． 【答案】(1)； (2)，最小值为. 【分析】（1）由纯虚数的定义列式求出值. （2）求出复数对应点的坐标，列出不等式组求出范围；再由复数模的定义，结合二次函数求出最小值. 【详解】（1）复数为纯虚数，则且， 所以. （2）复数在复平面内对应的点位于第二象限， 则且，解得， ，当且仅当时取等号， 所以a的取值范围是，的最小值为. 【考点七】与复数模相关的轨迹（图形）问题 25.（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的几何意义，结合圆的面积公式求解即可. 【详解】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环， 则其面积为. 故选：B. 26．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定所表示的图形，再分析的几何意义，最后结合图形求出的最大值． 【详解】设（），则． 已知，根据复数的模的计算公式可得． 等式两边同时平方可得， 这表示复平面上以点为圆心，半径的圆． 因为，所以，则， 它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离． 根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为： ． 因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即． 的最大值为． 故选：A． 27.（24-25高一下·甘肃武威·期中）若z是复数，则的最小值为______； 【答案】 【分析】根据复数减法的几何意义，即求到三点距离之和的最小值问题，利用加权费马点的知识，可求出三个距离之和的最小值. 【详解】, 在复平面中，设点， 则，且为等边三角形，如图，将逆时针旋转得到，， ，又，所以， ， 故答案为：. 28．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】设，利用复数模的意义求出在复平面内对应点的轨迹，再结合复数的几何意义及圆的性质求出最小值. 【详解】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 【考点八】复数加减法的代数运算 29.（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量对应的复数分别为，则（    ） A．9 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由图可知， 所以. 故选：B. 30.（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若复数满足，则_______. 【答案】 【分析】设，代入化简，利用复数相等的定义可得，即可求得. 【详解】设，则， 所以， 则，即，，所以. 故答案为： 31．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【分析】利用模相等和对应向量垂直列方程组求出，然后计算可得. 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得 . 故答案为： 32.（24-25高一下·云南·期中）已知复数，． (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求出，再利用复数的模长公式计算即可； （2）根据复数的几何意义列不等式组，求解即可. 【详解】（1）因为是纯虚数，所以，解得， 则，所以，故． （2）由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 【考点九】复数代数形式的乘法运算 33.（24-25高一下·云南楚雄·期中）若复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先求，再根据复数的乘法运算计算，最后根据复数的概念即可求解. 【详解】由题意有，所以，所以的虚部为1. 故选：A. 34．（24-25高一下·重庆·期中）已知复数，则的虚部是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求解即可. 【详解】复数，则， 所以所求虚部是. 故选：B 35.（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知，则复数_______． 【答案】 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故答案为： 36．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知复数，则______． 【答案】 【分析】先求出，，发现具有周期性,周期为3，由周期性求解即可. 【详解】， ， ，故周期为3， ， 故答案为： 37.（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知复数，. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内所对应的点位于第四象限内，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先计算，再根据复数的特征，即可求解； （2）根据复数的几何意义，列不等式求解. 【详解】（1）由题意可得. 因为是纯虚数， 所以，解得； （2）由题意可得， 解得，即的取值范围为. 38．（24-25高一下·河南许昌·期中）设，已知复数，且为纯虚数． (1)求m的值和； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据复数的乘法运算和纯虚数的定义求出，再根据复数的模的计算公式求出即可； （2）先根据复数的乘法运算求出，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】（1）, 因为为纯虚数， 所以，解得， 所以， 所以； （2）， 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 【考点十】复数的乘方 39.（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由复数的乘法运算和虚部的概念可得结果. 【详解】由题意，，所以的虚部为4. 故选：C. 40．（24-25高一下·山西·期中）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的乘法和乘方运算即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 则其在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D. 41.（24-25高一下·河北保定·期中）复数z满足，则________． 【答案】或 【分析】通过设复数的代数形式，根据复数的运算法则建立方程组来求解. 【详解】设，则，所以解得或所以或． 故答案为：或． 42．（24-25高一下·广东东莞·期中）若复数，则的虚部为_________. 【答案】 【分析】根据复数的乘方化简复数z，即可判断其虚部. 【详解】因为，， 故复数，故的虚部为， 故答案为： 43.（24-25高一下·甘肃白银·期中）已知复数． (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点在直线上，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用纯虚数的概念即可求解参数，然后再计算复数的平方即可； （2）利用复数的几何意义，转换为点在直线上，即可得方程求解参数. 【详解】（1）由题意得，解得， 故； （2）在复平面内对应的点为， 则，得， 解得或． 44．（24-25高一下·甘肃武威·期中）【问题引入】我们在课内学习了复数的指数形式，数学兴趣小组为了深入了解复数，开展了研究    性学习，对复数的复数次幂开展了讨论. 【资料调查】复数的复数次幂通常是复数：若z、是复数，则；其中，. (1)【初步探究】已知复数，求与的乘积； (2)【拓展延伸】若且，求证：，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）需要先根据给定公式求出，再求出其共轭复数，最后计算它们的乘积；（2）要根据已知条件和复数模的性质，结合指数函数性质，运用分析法进行推导证明. 【详解】（1）已知，则，. 根据，可得. 由，当时，. 共轭复数实部不变，虚部取相反数，所以. 根据，可得. 因为，所以. （2）设，，已知. 先求：. 再求：，根据，可得. 然后求：，，则. 要证，即证，两边取对数. 因为的正负不确定，分情况讨论： 当，即时，不等式显然成立. 当，即时，只需证. 两边平方得，展开得，即，，显然成立. 当，即时，只需证. 两边平方得，展开得，即，，因为平方数非负，所以时成立. 综上，得证. 【考点十一】复数范围为方程的根 45.（24-25高一下·云南·期中）若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】方法一：将代入方程中化简可求出，然后解方程求解即可；方法二：根据实系数一元二次方程的两虚数根互为共轭复数求解. 【详解】因为是方程的一个根， 则，即， 则，所以， 所以方程为， 所以方程的根为， 所以方程的另外一个根为， 方法二：因为实系数一元二次方程的两虚数根互为共轭复数， 所以方程的另一个根为. 故选：A. 46．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程的根为共轭复数，再由韦达定理求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以为方程的另一个根， 所以由韦达定理可得，解得. 故选：B 47.（24-25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，则的值为______． 【答案】 【分析】根据复数的乘方求出复数z，结合复数的模的计算，即可得答案. 【详解】复数满足，即， 故，则， 故答案为： 48.（24-25高一下·甘肃·期中）已知复数是一元二次方程的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据实系数方程的两根为共轭复数，结合韦达定理可求得结果； （2）根据纯虚数定义可求得，由模长定义可求得结果. 【详解】（1）是实系数一元二次方程的根， 是该方程的另一个根， ，即. （2）由（1）知：， 为纯虚数，，解得：， ，的模为. 【考点十二】复数的除法运算 49.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则z的虚部是（    ） A．i B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出即可得解. 【详解】依题意，， 所以z的虚部是1. 故选：D 50．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算化简复数，进而得复数在复平面对应的点的坐标，即可得结果. 【详解】由题意， 则复数在复平面对应的点为，在第一象限. 故选：A. 51.（24-25高一下·北京朝阳·期中）若复数，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【分析】由复数除法的几何意义及模长的求法求. 【详解】由. 故答案为： 52.（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数，，其中． (1)当时，求； (2)若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法运算求解； （2）可以复数的乘法运算求解，再根据复数的几何意义列式求解. 【详解】（1）当时，，则. （2）因为，，所以． 因为在复平面内所对应的点位于第三象限，所以， 解得，即a的取值范围是. 【考点十三】共轭复数的概念及计算 53.（24-25高一下·山东济南·期中）复数z满足，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由条件，根据复数相等的定义列方程可求得，再由模长公式求解. 【详解】设, 则，所以且， 故，， 所以，故， 故选：D 54.（24-25高一下·江苏连云港·期中）设i为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第______象限 【答案】一 【分析】由虚数单位的乘方周期性，根据复数除法与共轭复数，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】由，则，即， 所以，其在复平面上的点为，则该点在第一象限. 故答案为：一. 55.（24-25高一下·广东东莞·期中）已知复数，复数在复平面内对应的点为. (1)若复数是关于x的方程的一个根，m，，求的值； (2)若复数z满足，求复数z的共轭复数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数几何意义求得，代入方程后利用复数相等列方程求得m，，即可求解. （2）利用复数的运算法则求得z，再利用共轭复数的概念求解即可. 【详解】（1）由复数的几何意义得， 因为复数是关于x的方程的一个根， 所以，所以， 则，解得，，所以. （2）， 所以. 56．（24-25高一下·浙江·期中）设复数，，为虚数单位. (1)若，求； (2)若是实数，求. 【答案】(1)5i (2) 【分析】（1）根据共轭复数以及复数的乘法，可得答案； （2）根据复数除法整理其为标准式，由实数的定义，建立方程，利用模长公式，可得答案. 【详解】（1）. （2）， 因为，所以，所以，故. 【考点十四】复数的三角表示 57.（24-25厦门·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把复数变为一个角的三角形式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 58．（23-24广州·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ） A． B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 【答案】C 【分析】利用复数的欧拉公式可判断AB选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，为纯虚数，B错； 对于C选项，因为， 因此，，C对； 对于D选项，，则，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限，D错. 故选：C. 59.（24-25高一下·广东揭阳·期中）欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为_____． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出复数的代数形式即可得解. 【详解】依题意，， 所以的实部为． 故答案为： 60.（24-25高一下·山东·期中）已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 【答案】(1)，其中. (2)的最大值为3，最小值为0. (3)证明见解析 【分析】（1）根据复数三角形的定义可得复数的三角表示形式； （2）设，利用乘法的性质可得，根据余弦函数的性质可求最值； （3）利用题设复数三角形式的乘法结合复数的乘法可证三倍角公式. 【详解】（1）设， 则，故， 故，其中. （2）因为，故设， 故 ， 因为，故， 故的最大值为3，此时，最小值为0，此时. （3）设，则 ， 但 ， 故，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $