期中真题专项训练03 立体几何初步常考60题15大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

期中真题专项训练03立体几何初步 【考点一】 基本立体图形 【考点九】 直线与平面平行 【考点二】 斜二测画法中有关量的计算 【考点十】 平面与平面平行 【考点三】 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【考点十一】 证明线面垂直 【考点四】 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 【考点十二】 求点面距离 【考点五】空间中的点（线）共面问题 【考点十三】证明面面垂直 【考点六】异面直线的判定 【考点十四】面面垂直证面面垂直 【考点七】线面关系有关命题的判断 【考点十五】求二面角 【考点八】面面关系有关命题的判断 【考点一】基本立体图形 1.（24-25高一下·吉林长春·期中）如图所示，长方体被平面截成两个几何体，点分别在棱上，点分别在棱上，且，则截得的两个几何体分别是（   ） A．三棱柱和五棱柱 B．三棱台和五棱柱 C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台 【答案】A 【分析】由题意可证四边形为平行四边形，再根据棱柱的定义可知选择A. 【详解】在长方体，，又， 所以四边形为平行四边形，同理四边形、都是平行四边形， 又平面平面，故多面体为三棱柱， 同理多面体为五棱柱， 故选A. 2．（24-25高一下·天津南开·期中）下列命题中正确的是（   ） A．直角三角形绕其一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．过圆锥轴线的截面在所有过该圆锥顶点的截面中面积最大 C．棱锥的侧棱长不一定相等 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【答案】C 【分析】利用圆锥的定义判断A；利用三角形面积公式判断B；利用棱锥的定义判断C；利用棱台的定义判断D. 【详解】直角三角形绕其直角边旋转得到的旋转体是圆锥，绕其斜边旋转得到的旋转体是两个共底的圆锥，故A错误； 圆锥的轴截面面积为，其中为母线长，为圆锥两条母线所成角的最大值，由此可知，当时，轴截面面积最大， 当时，必存在的截面，使得截面面积取得最大值，故B错误； 由棱锥的定义可知，侧棱长可以相等，也可以不等，故C正确； 由棱台的定义可知，只有用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故D错误. 故选：C 3.（24-25高一下·陕西榆林·期中）如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为__________. 【答案】 【分析】取BC的中点E，的中点F，先利用面面平行判定定理证明平面平面，得出四边形为截正方体所得截面图形，易得四边形是菱形，求得该菱形的边长即可求得面积. 【详解】如图，取BC的中点E，的中点F，连接DE，，，FD， 因为E，F分别为BC，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，，平面，所以平面平面， 即四边形为截正方体所得截面图形. 由正方体的棱长为2，易得四边形是边长为的菱形， 对角线即为正方体的体对角线， 又， 所求截面的面积. 故答案为： 4.（23-24高一下·安徽·期中）（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，把圆柱侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，由此分析可得答案； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，分3种情况讨论，求出AM的值，比较可得答案. 【详解】解：（1）根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示， 连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离， 因为， 所以 ， 所以蚂蚁爬行的最短路线长为； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法， ①如图1，以DC为轴展开， 此时， ②如图2.以BC为轴展开， 此时，， ③如图3、以 BB1为轴展开， 此时， 综上，蚂蚁爬行的最短路线长为 . 【考点二】斜二测画法中有关量的计算 5.（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（      ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，从而求出面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形， 则，，， 则原的面积为. 故选：C. 6．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（    ） A． B． C．10 D．8 【答案】C 【分析】由斜二测画法可知原四边形且，，利用勾股定理可求得，由此可求得平行四边形的周长. 【详解】由斜二测画法可知原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：C 7.（24-25高一下·湖南·期中）如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形的高为________.    【答案】 【分析】直接用斜二测画法画出梯形水平放置时的直观图.再计算即可. 【详解】运用斜二测画法根据直观图画出原图，如下，       梯形的面积为30，，则原图梯形的高为， 即，解得.，则. 根据直观图与原图的长度关系，知道原图高为. 故答案为：. 8．（23-24高一下·青海海南·期中）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】由斜二测画法的知识求解． 【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而， 则，由斜二测画法得原四边形是直角梯形，，如图． 所以四边形的面积为． 故答案为： 【考点三】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 9.（23-24高一下·广东东莞·期中）正四棱台形状的玻璃容器（玻璃厚度忽略不计），其上、下底面边长分别是6和3，高是6，则该容器的容积是（    ） A．108 B．114 C．120 D．126 【答案】D 【分析】根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：D. 10．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，是体积为2的棱柱，则四棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱锥与棱柱的体积关系求解． 【详解】∵， ∴， 故选：D． 11.（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是__________.    【答案】 【分析】由题意得出四棱锥的底面是边长为的正方形，四个侧面都是边长为的等边三角形，进一步结合棱锥的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示：    由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积， 设为中点，为正方形中心，则，， 显然，所以正四棱锥的侧棱，同理， 又，所以正四棱锥的四个侧面都是边长为的等边三角形， 设四棱锥的表面积是， 则. 故答案为：. 12.（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，在正四棱锥中，，M是PD的中点. (1)求四棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)表面积为 (2) 【分析】（1）由正四棱锥的性质可求得四个侧面三角形的面积，进而可求表面积； （2）求得棱锥的高，利用三棱锥的体积与三棱锥的体积的关系可求得体积. 【详解】（1）由四棱锥是正四棱锥，可得四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 因为，所以，， 所以表面积为. （2）由四棱锥是正四棱锥，所以在底面的射影是正方形的中心， 又， 又， 因为M是PD的中点，所以的体积是的一半， 所以. 【考点四】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 13.（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，求解即可. 【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为， 由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高， 则圆柱的侧面积， 圆锥的侧面积， 则，故B正确. 故选：B. 14．（24-25高一下·四川成都·期中）将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，此球是棱长为3的正方体的内切球，根据正方体的特征求得球的直径，再由球的表面积公式求解即可． 【详解】要将长方体铁块磨制成一个球体，则球体直径最大不超过长方体的最短棱长， 又长方体的最短棱长为3，则此球是棱长为3的正方体的内切球， 根据正方体的几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为3， 所以球的半径为，其表面积是. 故选：C 15.（24-25高一下·浙江杭州·期中）在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 【答案】/ 【分析】将四面体放入长方体中，利用长方体的处接球即为四面体的外接球，求解即可. 【详解】将四面体放入长方体中，如图所示： 设长方体的长，宽，高分别为，则，所以， 设长方体的外接球半径为，则，解得， 又长方体的处接球即为四面体的外接球， 所以四面体的外接球的体积为. 故答案为：. 16.（24-25高一下·海南·期中）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为.    (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？（结果精确到元） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设圆锥的高为，由条件求出圆锥的高，结合柱体体积公式和锥体体积公式求结论； （2）结合圆柱的侧面积公式，圆锥的侧面积公式求出一个模型的表面积，再求总费用的值. 【详解】（1）设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线为，圆锥的底面半径为， 则， 设圆柱的底面半径为，高为，由已知可得，， 所以圆柱的体积， 圆锥的体积 ； （2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. 一个模型的表面积， 所以总费用为（元）. 【考点五】空间中的点（线）共面问题 17.（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【答案】D 【分析】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【详解】 对于AB， 因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确； 同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确； 由A，B选项得点在平面内，也在平面内， 对于CD， 由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线， 故D不正确， 故选：D. 18．（24-25高一下·浙江·期中）已知空间中三条直线、、，那么“、、两两相交”是“、、共面”的（   ）条件 A．充分不必要 B．充要 C．既不充分也不必要 D．必要不充分 【答案】C 【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可. 【详解】若两两相交，当相交于同一点上时，不一定共面，故两两相交不能推出共面， 若共面，可能彼此平行，故共面不能推出两两相交， 所以两两相交是共面的既不充分也不必要条件. 故选：C. 19．（24-25高一下·河北·期中）已知正方体的棱长为1，则下列说法中正确的是（    ） A．若是的中点，与平面的交点为，则，，三点共线 B．以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为 C．若是上的动点，则，，，四点共面 D．若是上的动点，则的最小值是 【答案】B 【分析】根据几何体的性质判断A，应用体积公式计算判断B，应用线线关系判断C，应用展开图结合余弦定理计算判断D. 【详解】选项A，在正方体中，连接，，如图，，故共面， 连接，平面平面，因为为棱的中点，则平面， 而平面，即平面，又，则平面， 因与平面的交点为，则平面，于是得，即，，三点共线， 由，为棱的中点，可得且，故， 于是得，即，所以三点，，共线，且. 而与交于的中点，所以三点，，不共线，故A错误； 选项B，以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体，例如四面体的体积为，故B正确； 选项C，设直线与直线相交于点，直线在平面内，且不过点，所以由线线位置关系知，直线与是异面直线，故C错误； 选项D，如图，将平面和平面展开到一个平面上，连接交于点，此时最小. 在中，，，由余弦定理可知.故D错误. 故选：B. 20.（24-25高一下·重庆南岸·期中）在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是边上的点，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，且，求四边形的周长； (3)若平面截四面体所得的五面体的体积占四面体的，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用平行的传递性证明即可； （2）由余弦定理及线段成比例即可求解； （3）延长，则必交于点，利用相似比求解即可. 【详解】（1）连接， 因为H、G分别是AD、CD的中点， 所以， 又， 所以， 所以， 所以E、F、G、H四点共面； （2）， 为三等分点，又是中点， 所以， 由余弦定理可得：， 得：，同理 ，、分别是、的中点， 所以，， 所以四边形的周长. （3）延长，则必交于点， 证明如下：设， 因为平面， 所以平面， 同理平面， 又平面平面， 所以， 所以，则必交于点， 取的中点，连接， 因为， 所以， 又， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以，即， 所以，， 所以， ， 所以，即， 所以，即， 所以， 解得或， 又因为， 所以 【考点六】异面直线的判定 21.（23-24高一下·山西运城·月考）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（    ） A．AB与HG相交 B．AB与EF平行 C．AB与CD相交 D．EF与CD异面 【答案】D 【分析】首先还原正方体，再根据选项判断线线的位置关系. 【详解】由图可知与异面，与异面，与异面，与异面. 故选：D 22．（24-25高一下·河北承德·期中）如图，在正方体的所有棱所在的直线中，与直线异面的共有（   ） A．4条 B．6条 C．8条 D．2条 【答案】B 【分析】根据正方体的性质和异面直线的定义即可判定. 【详解】与有公共点的棱所在的直线不异面，有，，，，，共6条， 与直线异面的棱所在的直线有，，，，，，共6条． 故选：B. 23．（24-25高一下·福建泉州·期中）在正四棱台的12条棱所在的直线及直线BD，，中，与直线AC是异面直线的直线共有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】B 【分析】根据异面直线的概念判断即可. 【详解】 与直线AC是异面直线的直线有，，，，，，，共7条. 故选：B. 24．（24-25高一下·云南玉溪·期中）在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（   ） A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线 C．平面 D．与BD异面 【答案】C 【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可. 【详解】对于A选项，且，所以共面，故A正确； 对于B选项，直线平面，所以平面， 因为直线，又平面，所以平面， 因为为中点，平面，所以平面， 底面为正方形，所以为中点，平面，所以底面， 又平面，平面， 所以平面与平面相交，且在交线上，即三点共线，故B正确； 对于选项C，平面平面，平面，但直线， 所以平面，故C错误； 对于选项D，直线平面，直线平面，， 所以直线与为异面直线，故D正确. 故选：C 【考点七】线面关系有关命题的判断 25.（24-25高一下·安徽安庆·期中）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若，则 【答案】D 【分析】利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可． 【详解】对于A中，，若，则直线可能平行或异面，所以A错误． 对于B中，若，则或，所以B错误． 对于C中，若，则位可能平行、相交或异面，所以C错误． 对于D中，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行，所以D正确． 故选：D 26．（24-25高一下·河北邯郸·期中）下列结论正确的是（   ） A．三个点确定一个平面 B．若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行 C．若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内 D．若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行 【答案】C 【分析】根据空间点、线、面基本定理进行判断. 【详解】三个不共线的点确定一个平面，A错误； 若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行或为异面直线，B错误； 若一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，C正确； 若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行或与平面相交与一点，D错误. 故选：C 27．（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 【答案】D 【分析】根据空间中线面的位置关系对每个选项逐一判断. 【详解】A选项，当时，在直线上，除了之外，其余点有无数个都不在内，故A选项错误； B选项，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，B选项错误； C选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，C选项错误； D选项，若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行，D选项正确. 故选：D 28．（24-25高一下·吉林长春·期中）下列命题正确的是（   ） A．若a、b是两条直线，、是两个平面，且，，则a、b是异面直线 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．四边形可以确定一个平面 D．已知两条相交直线a、b，且平面，则b与的位置关系是相交 【答案】B 【分析】根据空间中点线面的位置关系，分别判断各选项正误. 【详解】 如图所示，当，被第三个面所截，截得交线为，此时，，不满足a、b是异面直线，所以A错误. 如图所示，三条直线两两相交不公点，形成不在一条直线上的三个点，这三个点确定一个平面，这三条线每条线有两个点在面上，则这三条线也在面上，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，所以B正确. 如图所示，四边形有四个顶点，当第四个点不在前面三个点形成的平面上时，四边形不能确定一个面，所以C错误. 如图所示，当两条相交直线a、b形成的平面平行平面时，有平面，b平面，所以D错误. 故选：B. 【考点八】面面关系有关命题的判断 29.（24-25高一下·福建龙岩·期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】运用线面平行判定和性质，面面平行判定和性逐个判断即可. 【详解】由，，，得或，相交，则A是假命题. 由，，，得或，异面，则B是假命题. 对于C，如下图所示，过直线作平面的平行平面，使得， 若，，，所以， 因为，，，所以，故，则C是真命题. 由，，，得或，相交或，异面，则D是假命题. 故选：C. 30．（24-25高一下·广东佛山·期中），是两个平面，m，n是两条直线，则（   ） A．如果，，那么 B．如果，，m，n是异面直线，那么n与相交 C．如果，，那么 D．如果，n与相交，那么m，n是异面直线 【答案】C 【分析】根据线面位置关系及线线位置关系判断各个选项. 【详解】如果，，那么或相交或异面，A选项错误； 如果，，m，n是异面直线，那么n与相交或平行，B选项错误； 如果，，那么无交点，所以，C选项正确； 如果，n与相交，那么m，n是异面直线或相交直线，D选项错误； 故选：C. 31．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①，；②若，为异面直线，，，，；③，，；④，.其中正确命题的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断即可. 【详解】对于①，，或，故①错误； 对于②，因为，，记，， 则，因为，所以，假设不相交，则， 则，这与，为异面直线，故相交， 又，，所以，故②正确； 对于③，，，或异面，故③错误； 对于④，，或异面，故④错误. 所以正确命题的个数有1个. 故选：B. 32．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成个部分 【答案】D 【分析】对于A，结合条件可得直线，可能平行，相交，异面，判断A，对于B，由条件可得或，由此判断B，结合面面平行判定定理判断C，通过空间平面位置关系判断D. 【详解】对于选项A，若，，则与可能相交、平行或异面，故选项A错误； 对于选项B，若，，则或，故选项B错误； 对于选项C，若，，且，，因为直线，未必相交，所以与不一定平行，故选项C错误； 对于选项D， 三个平面两两两平行时，可把空间分成4部分； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）； 三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）； 三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）； D正确， 故选：D. 【考点九】直线与平面平行 33.（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（体积为）．固定容器底面一边于地面上，，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面结论，其中错误的是（   ） A．水面所在四边形的面积不是定值 B．没有水的部分始终呈棱柱形 C．棱一定与平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，（定值） 【答案】D 【分析】画出随着倾斜度得到的图形，根据线面平行的性质及棱柱的定义判断A，B，C，再根据柱体的体积公式判断D. 【详解】依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形， 对于A：水面是矩形，线段的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中， 线段长逐渐增大，则水面所在四边形的面积逐渐增大，故A正确； 对于B：依题意，水面，而平面平面， 平面，则，同理，而，， 又平面，平面平面， 因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故B正确； 对于C：因为，平面，平面，因此平面， 即棱一定与平面平行，故C正确； 对于D：当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为，体积为， 又，，所以，故D错误． 故选：D 34．（24-25高一下·河南·期中）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线且与直线平行的平面，从而可以确定点位置，进而求解即可. 【详解】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求（如图所示）.    证明如下： 根据已知，， 在直三棱柱中，，且， 四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，即平面. 又，， ，即的值为. 故选：A. 35.（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为________. 【答案】 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质及可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 36.（24-25高一下·广东·期中）如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于． (1)求该多面体的体积； (2)求证：平面； (3)判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明． 【答案】(1)20 (2)证明见解析 (3)直线直线，证明见解析 【分析】（1）通过长方体体积和截去三棱锥体积即可求解； （2）由，即可求证； （3）由平面，结合平面平面，即可求证. 【详解】（1）长方体的体积为， 被截去的三棱锥的体积为， 所以多面体的体积为． （2）证明：在长方体中矩形中，∥，， 所以四边形为平行四边形． 所以， 又平面，平面， 所以平面． （3）直线直线    证明：由（2）有平面， 又平面，平面平面， 所以. 【考点十】平面与平面平行 37.（24-25高一下·山东济南·期中）设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，，，则 【答案】D 【分析】根据线面平行的判断定理可判断A的正误，根据线面平行的定义可判断B的正误，根据面面平行的性质可判断C的正误，根据面面平行的判定定理可判断D的正误. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或异面，故B错误； 对于C，若，，，则或异面，故B错误； 对于D，由面面平行的判定定理可证D成立， 故选：D. 38.（24-25高一下·吉林四平·期中）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题正确的是（    ） A．平面 B．与相交 C．与是异面直线 D．四边形为正方形 【答案】A 【分析】由空间中线面的位置关系逐个判定即可. 【详解】因为分别为的中点，在正方体中易证平面，不在平面内，所以平面，A对， 在平面内，与平面相交于点，不在上，所以与为异面直线，B错， 因为分别为的中点，易知， 所以与共面，C错， 设正方体的棱长为2，易知，， ， 所以四边形为菱形而不是正方形，D错， 故选：A． 39.（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，多面体是用平面截底面边长，侧棱长的长方体剩下的一部分几何体，其中，点E在线段上，平面交线段于点F，则截面四边形的周长的最小值为__________. 【答案】10 【分析】根据对称性截面四边形的周长的最小值，即取最小，再利用侧面展开图，当B，E，三点共线时，最小即可求解. 【详解】由题意，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长，沿将右面和后面相邻两面展开， 当B，E，三点共线时，最小，最小值为， 所以截面四边形的周长的最小值为10. 故答案为：10. 40.（24-25高一下·山西忻州·期中）如图所示，正四棱锥S-ABCD中，，．    (1)求正四棱锥S-ABCD的体积； (2)若P为侧棱SD上的点，且，Q是SD的中点，E是侧棱SC上的点，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求得正四棱锥S-ABCD的高，利用锥体的体积公式求解即可； （2）通过线面平行的判定定理及面面平行的判定定理即得. 【详解】（1）由题意，在正方形ABCD中，，所以． 在正四棱锥S-ABCD中，， 所以正四棱锥S-ABCD的高为， 所以正四棱锥S-ABCD的体积为； （2）由题意及（1）得， 连接BD交AC于点O，连接OP，如图所示， ∵，Q是SD的中点， ∴，， ∴点P是QD的中点， 由几何知识得，点O是BD的中点， 在△BDQ中，，， ∵，，∴， 在△SCP中，，又，， 所以， ∵，，， ∴．    【考点十一】证明线面垂直 41.（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，且取EF中点为O，则在这个空间图形中必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，证明平面，再逐项分析判断即得. 【详解】依题意，平面，则平面， 而平面，因此，而不重合，C正确，A错误； 显然，B错误； 若，而，平面， 则平面，又平面，于是， 在中，为斜边的中点，，矛盾，D错误. 故选：C 42．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知三棱锥中，若，，两两互相垂直，作平面，垂足为，则点是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，所以证明平面，得到，再由线面垂直得到，即可得到平面，从而得到，同理可证，即可得解. 【详解】如图，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点. 因为，，，平面， 所以平面，平面，所以. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，即， 同理可证，所以是的垂心. 故选：D. 43.（24-25高一下·浙江·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是________. 【答案】 【分析】构造长方体，求出长方体的外接球半径，最后利用体积公式即可. 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 故答案为： 44．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到平面，从而得到为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，， 又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【考点十二】求点面距离 45.（24-25高一下·河南·期中）如图，长方体中，，E为棱CD的中点，则异面直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，做过与的两平行平面，则异面直线与之间的距离为两平行平面间距离. 【详解】如图，取AB中点为F，中点为，中点为， 连接. ，则为正方体， 因，四边形为平行四边形， 有，平面，平面，则平面， 同理有平面，，平面， 则平面平面， 则异面直线与之间的距离为两平行平面间距离. 如图连接，由题可得平面ABCD，又平面ABCD， 则DF，又，平面， 则平面，又平面，则. 又同理可得，结合平面， 则平面，又平面平面，则平面. 则平面间距离，为减去A到平面距离，再减去到平面距离. 设A到平面距离为，到平面距离为 则. 注意到，， 则，同理可得， 又，则平面间距离为， 即异面直线与之间的距离为. 故选：C 46.（24-25高一下·山东·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍，其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示一刍甍，∥，侧面和为等边三角形，，则该刍甍的体积为__________. 【答案】 【分析】作辅助线，可知：为柱体，四棱锥的侧棱长相等，为矩形，结合锥体、柱体的体积公式运算求解即可. 【详解】分别在取点，使得， 由题意可知：为柱体，四棱锥的侧棱长相等，为矩形， 则点在底面的投影为矩形的外心，即为对角线的交点， 因为，则， 可得四棱锥的体积； 设点到平面的距离为， 因为，且， 即，解得， 可知点到平面的距离为，即柱体的高为， 所以柱体的体积， 综上所述：该刍甍的体积为. 故答案为：. 47．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且. (1)证明：平面； (2)若，三棱锥的体积为6，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据，得到，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）作垂足为，求得，求得的面积，结合锥体的体积公式，列出方程求得到平面的距离，再由，得到点到平面的距离是点F到平面的距离的3倍，即可求解. 【详解】（1）证明：因为，且，可得， 连接，因为，所以，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：因为，，所以， 又因为四边形是等腰梯形，， 在平面中，作垂足为，则， 则的面积为， 所以三棱锥的体积为，解得， 即点到平面的距离为， 因为，所以点P到平面的距离是点F到平面的距离的3倍， 所以点到平面的距离为. 48．（24-25高一下·青海西宁·期中）如图，在棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等体积法进行求解点到平面的距离； （2）直接求解与平面的夹角为，即可求出正弦值. 【详解】（1）在棱长为的正方体中，分别为线段的中点， 所以，所以，故, ， 记点到平面的距离为， 由,则, 故，即. 故点到平面的距离为. （2）由题意可知，平面， 则与平面的夹角为， 故. 故直线与平面的所成角的正弦值. 【考点十三】证明面面垂直 49．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为. (1)证明：平面平面； (2)求直线与底面所成的角的正切值； (3)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，，根据面面垂直得判定定理证明即可； （2）设，点为的中点，连接，，，根据正四棱锥性质可得平面，进而得线面角的平面角，计算可得； （3）根据，利用等体积法计算可得. 【详解】（1）因为在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点， 所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）设，点为的中点，连接，，， 因为在正四棱锥中， 所以平面， 因为在中，点为的中点，点为的中点， 所以，且， 所以平面， 因为平面， 所以，则即为直线与底面所成的角， 因为正四棱锥中，所有棱长均为， 所以，， 所以，， 在中，由余弦定理可得：， 所以； （3）设点到平面的距离为，因为在正四棱锥中，所有棱长均为， 所以四个侧面的正三角形的面积均为，底面正方形的面积为， 依题意可得， 所以， 即，解得. 50．（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在四面体中，平面BCD，，． (1)求证：平面平面； (2)若M是AD的中点，求直线BM和平面ADC所成的角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由平面推出，由勾股定理证得，利用线线垂直即可证得线面垂直，继而推得面面垂直； （2）连接CM, 由 平面推得为BM与平面ADC所的角，求出相关边长，在中，利用三角函数的定义求解即得. 【详解】（1）∵平面，平面∴， 又∵，，∴，即， 因平面，故平面 因平面ABC，故平面平面． （2） （2）由（1）知平面， 连接CM，则CM是BM在平面上的射影， ∴为BM与平面ADC所的角， ∴M为AD的中点， 则在中，因，则，， 则，从而． 即直线BM和平面ADC所成的角的余弦值为. 51．（24-25高一下·云南·期中）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)垂直，证明见解析 【分析】（1）方法一：连接，根据三角形中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；方法二：取的中点为，连接，可证得平面平面，然后由面面平行的性质可得结论； （2）由已知线面垂直可得，再结合可证得平面，则，再由等腰三角形的性质可得，则平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】（1）方法一： 证明：连接，如图， 因为分别是的中点，所以. 又平面平面， 所以平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则. 又平面平面， 所以平面. 同理可证平面， 因为，平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下： 因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 52．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，正四棱柱中，，底面中心为O，点E在棱上，且，. (1)当时，证明：平面平面； (2)当时，求过点A₁，E，O的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，再证，进而可证平面，再由面面垂直的判定定理可证平面平面； （2）根据题意将截面做出来，易知，只需计算的最大值即可，因此需要求出相应的边长，利用面积公式求出，结合二次函数即可求最大值. 【详解】（1）由已知得点E是的中点，且平面. 由可得. 所以， 因为， 故即. 由正四棱柱可知平面， 因为平面，所以. 因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）延长，交于，设过点的截面与棱的公共点为G，连. 由面面平行的性质定理可得此截面四边形是平行四边形 由，得.从而， ， 设，在中由余弦定理得： 故当时，取得最小值，从而 故截面四边形的最小值为. 【考点十四】面面垂直证面面垂直 53.（23-24高一下·吉林·期中）在四面体ABCD中，平面平面BCD，，且，则四面体ABCD的体积为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，结合等腰三角形可知四面体的高，进而可得体积. 【详解】如图所示， 取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 因为，，所以， 又， 所以四面体的体积， 故选：C. 54.（23-24高一下·河南郑州·期中）已知矩形，，，沿将折起成．若点在平面上的射影落在内部，则四面体的体积取值范围是______． 【答案】 【分析】利用在平面上的射影落边和上，作为两种临界位置关系，这两种位置关系刚好是平面平面和平面平面，利用空间关系可算出两种情形的高和，从而可计算两个临界位置的体积，根据题意，取开区间就可得到结果. 【详解】当平面平面，在平面上的射影落在交线上，此时体积最大，如图： 由等面积法得，即，则. 当平面平面，在平面上的射影落在交线上，此时体积最小，如图： 连接，由平面平面，，面，所以平面， 又因为平面，所以，则， 再由，可得，所以， 再由等面积法可得，即，则， 由于点在平面上的射影落在内部，不包括边界，所以四面体的体积取值范围是， 故答案为：. 55．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，. (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD； (2)求证：平面PCD； (3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，则有平面； （2）取棱的中点，由平面平面，可证平面，得，又，可证得平面； （3）由，所以BC，AD与平面PAC所成的角相等，由平面，直线与平面所成角为，在中，求正弦值. 【详解】（1）连接，如图所示，    因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 又为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）取棱的中点，连接，如图所示，   为等边三角形，得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故， 又，，平面， 所以平面. （3）连接，如图所示，    因为，所以BC，AD与平面PAC所成的角相等， 由（2）中平面，可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以，直线BC与平面所成角的正弦值为. 56．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. (1)求证: ∥平面; (2)求证: 平面⊥平面; (3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据线线平行可得线面平行； （2）利用面面垂直可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证； （3）当N为中点时，由中位线可得线线平行，据此可得线面垂直，即可得解. 【详解】（1）在正方形中，E、M分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面⊥平面，且交线为，，平面， 所以CD⊥平面，由于平面，所以平面⊥平面. （3）存在，当N为中点时，平面⊥平面， 证明如下：连接，交于点O，连接. 因为∥，并且 ，所以四边形为平行四边形， 所以. 又因为为中点，所以. 因为平面⊥平面，平面平面， 又平面，由已知可得， 所以平面，  所以⊥平面. 又因为平面，所以平面⊥平面. 所以存在点N，使得平面⊥平面，且 【考点十五】求二面角 57．（24-25高一下·福建厦门·期中）在四棱锥中，底面是菱形，. (1)若分别是的中点，证明：平面； (2)若，证明：平面平面； (3)若平面平面，且二面角的大小为60°，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，得出，即可得证； （2）取的中点，连接，利用勾股定理的逆定理可得，结合，可证平面，进而可证结论； （3）过作于点，连接，可证，进而得为二面角的平面角，进而可得，求得，可得，进而利用勾股定理可求得. 【详解】（1）证明：如图， 取的中点，连接， 因为为的中点， 所以， 故四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，连接， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，四边形是菱形，所以是等边三角形， 所以，所以， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （3）取中点，连接， 因为底面是菱形，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为，所以， 所以为二面角的平面角， 又二面角的大小为60°， 所以， 在中，可得 所以， 因为， 所以， 在中，， 所以， 所以 58．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求证：平面PAC平面PCD； (3)求二面角所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，可求得，，利用勾股定理的逆定理可证，结合，可证结论成立； （2）利用（1）易证结论成立； （3）可证，进而可得为二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】（1） 由底面是直角梯形，，，，， 结合勾股定理计算可得：， 取的中点，连接， ，，，四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以， 又因为平面平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面； （2）由（1）知平面平面，所以平面平面． （3）平面平面，又， 为二面角的平面角． 在中，， . 59．（24-25高一下·广东深圳·期中）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小； (3)若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明平面，得到，然后由等腰三角形的性质得，即可证明线面垂直；（2）证明、确定二面角的平面角为，根据几何关系求出即可；（3）建立空间直角坐标系，求出平面AEF的法向量，代入直线与平面的夹角的计算公式求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为，又，平面， 所以平面，故， 在中，，为的中点，所以， 因为平面，平面，， 所以平面. （2）因为平面，所以 因为在正方形中，，所以平面，所以，， 所以是二面角的平面角， 因为且，所以， 二面角的大小为； （3）因为平面，平面，平面平面， 所以，又为线段的中点，所以为线段上的中点， 以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示， 设，则， ， 设平面AEF的法向量为， ，令，得， 所以平面AEF的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 60．（24-25高一下·重庆·期中）在平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，侧面底面ABCD． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)见详解. (2) 【分析】（1）由底面为正方形，侧面底面ABCD，利用面面垂直的性质可证； （2）法1，根据题意建立空间直角坐标系，计算边长并标点，再利用空间坐标法求取二面角余弦值，进而得到正弦值.法2：作出二面角的平面角，利用几何法求出正弦值. 【详解】（1）由底面ABCD为正方形，得，又底面ABCD， 侧面底面ABCD，侧面底面ABCD， 则平面，而平面， 所以平面平面. （2）法1：由（1）知平面，又，则平面， 如图以D为原点建立空间直接坐标系， 由，，得，， 则到的距离为，故，，， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， 侧面底面ABCD，故平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， ， 所以二面角的平面角的正弦值. 法2：在平行六面体中，连接，连接， 由，，得是菱形，且是正三角形， 则，由（1）知平面，而，则平面， 又平面平面，于是平面，又平面， 则，而平面，因此平面， 又平面，则，为 二面角的平面角， 在中，，则斜边， 所以，即二面角的平面角的正弦值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题专项训练03立体几何初步 【考点一】 基本立体图形 【考点九】 直线与平面平行 【考点二】 斜二测画法中有关量的计算 【考点十】 平面与平面平行 【考点三】 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【考点十一】 证明线面垂直 【考点四】 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 【考点十二】 求点面距离 【考点五】空间中的点（线）共面问题 【考点十三】证明面面垂直 【考点六】异面直线的判定 【考点十四】面面垂直证面面垂直 【考点七】线面关系有关命题的判断 【考点十五】求二面角 【考点八】面面关系有关命题的判断 【考点一】基本立体图形 1.（24-25高一下·吉林长春·期中）如图所示，长方体被平面截成两个几何体，点分别在棱上，点分别在棱上，且，则截得的两个几何体分别是（   ） A．三棱柱和五棱柱 B．三棱台和五棱柱 C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台 2．（24-25高一下·天津南开·期中）下列命题中正确的是（   ） A．直角三角形绕其一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．过圆锥轴线的截面在所有过该圆锥顶点的截面中面积最大 C．棱锥的侧棱长不一定相等 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 3.（24-25高一下·陕西榆林·期中）如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为__________. 4.（23-24高一下·安徽·期中）（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【考点二】斜二测画法中有关量的计算 5.（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（      ） A． B． C．6 D．8 6．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（    ） A． B． C．10 D．8 7.（24-25高一下·湖南·期中）如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形的高为________.    8．（23-24高一下·青海海南·期中）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形的面积为_______． 【考点三】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 9.（23-24高一下·广东东莞·期中）正四棱台形状的玻璃容器（玻璃厚度忽略不计），其上、下底面边长分别是6和3，高是6，则该容器的容积是（    ） A．108 B．114 C．120 D．126 10．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，是体积为2的棱柱，则四棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 11.（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是__________.    12.（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，在正四棱锥中，，M是PD的中点. (1)求四棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积. 【考点四】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 13.（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·四川成都·期中）将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 15.（24-25高一下·浙江杭州·期中）在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 16.（24-25高一下·海南·期中）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为.    (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？（结果精确到元） 【考点五】空间中的点（线）共面问题 17.（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 18．（24-25高一下·浙江·期中）已知空间中三条直线、、，那么“、、两两相交”是“、、共面”的（   ）条件 A．充分不必要 B．充要 C．既不充分也不必要 D．必要不充分 19．（24-25高一下·河北·期中）已知正方体的棱长为1，则下列说法中正确的是（    ） A．若是的中点，与平面的交点为，则，，三点共线 B．以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为 C．若是上的动点，则，，，四点共面 D．若是上的动点，则的最小值是 20.（24-25高一下·重庆南岸·期中）在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是边上的点，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，且，求四边形的周长； (3)若平面截四面体所得的五面体的体积占四面体的，求的值． 【考点六】异面直线的判定 21.（23-24高一下·山西运城·月考）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（    ） A．AB与HG相交 B．AB与EF平行 C．AB与CD相交 D．EF与CD异面 22．（24-25高一下·河北承德·期中）如图，在正方体的所有棱所在的直线中，与直线异面的共有（   ） A．4条 B．6条 C．8条 D．2条 23．（24-25高一下·福建泉州·期中）在正四棱台的12条棱所在的直线及直线BD，，中，与直线AC是异面直线的直线共有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 24．（24-25高一下·云南玉溪·期中）在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（   ） A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线 C．平面 D．与BD异面 【考点七】线面关系有关命题的判断 25.（24-25高一下·安徽安庆·期中）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若，则 26．（24-25高一下·河北邯郸·期中）下列结论正确的是（   ） A．三个点确定一个平面 B．若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行 C．若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内 D．若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行 27．（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 28．（24-25高一下·吉林长春·期中）下列命题正确的是（   ） A．若a、b是两条直线，、是两个平面，且，，则a、b是异面直线 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．四边形可以确定一个平面 D．已知两条相交直线a、b，且平面，则b与的位置关系是相交 【考点八】面面关系有关命题的判断 29.（24-25高一下·福建龙岩·期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 30．（24-25高一下·广东佛山·期中），是两个平面，m，n是两条直线，则（   ） A．如果，，那么 B．如果，，m，n是异面直线，那么n与相交 C．如果，，那么 D．如果，n与相交，那么m，n是异面直线 31．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①，；②若，为异面直线，，，，；③，，；④，.其中正确命题的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 32．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成个部分 【考点九】直线与平面平行 33.（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（体积为）．固定容器底面一边于地面上，，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面结论，其中错误的是（   ） A．水面所在四边形的面积不是定值 B．没有水的部分始终呈棱柱形 C．棱一定与平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，（定值） 34．（24-25高一下·河南·期中）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（   ）    A． B． C． D． 35.（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为________. 36.（24-25高一下·广东·期中）如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于． (1)求该多面体的体积； (2)求证：平面； (3)判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明． 【考点十】平面与平面平行 37.（24-25高一下·山东济南·期中）设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，，，则 38.（24-25高一下·吉林四平·期中）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题正确的是（    ） A．平面 B．与相交 C．与是异面直线 D．四边形为正方形 39.（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，多面体是用平面截底面边长，侧棱长的长方体剩下的一部分几何体，其中，点E在线段上，平面交线段于点F，则截面四边形的周长的最小值为__________. 40.（24-25高一下·山西忻州·期中）如图所示，正四棱锥S-ABCD中，，．    (1)求正四棱锥S-ABCD的体积； (2)若P为侧棱SD上的点，且，Q是SD的中点，E是侧棱SC上的点，且，求证：． 【考点十一】证明线面垂直 41.（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，且取EF中点为O，则在这个空间图形中必有（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知三棱锥中，若，，两两互相垂直，作平面，垂足为，则点是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 43.（24-25高一下·浙江·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是________. 44．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【考点十二】求点面距离 45.（24-25高一下·河南·期中）如图，长方体中，，E为棱CD的中点，则异面直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 46.（24-25高一下·山东·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍，其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示一刍甍，∥，侧面和为等边三角形，，则该刍甍的体积为__________. 47．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且. (1)证明：平面； (2)若，三棱锥的体积为6，求点到平面的距离. 48．（24-25高一下·青海西宁·期中）如图，在棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【考点十三】证明面面垂直 49．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为. (1)证明：平面平面； (2)求直线与底面所成的角的正切值； (3)求. 50．（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在四面体中，平面BCD，，． (1)求证：平面平面； (2)若M是AD的中点，求直线BM和平面ADC所成的角的余弦值． 51．（24-25高一下·云南·期中）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 52．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，正四棱柱中，，底面中心为O，点E在棱上，且，. (1)当时，证明：平面平面； (2)当时，求过点A₁，E，O的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值. 【考点十四】面面垂直证面面垂直 53.（23-24高一下·吉林·期中）在四面体ABCD中，平面平面BCD，，且，则四面体ABCD的体积为（    ） A．2 B．6 C． D． 54.（23-24高一下·河南郑州·期中）已知矩形，，，沿将折起成．若点在平面上的射影落在内部，则四面体的体积取值范围是______． 55．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，. (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD； (2)求证：平面PCD； (3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 56．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. (1)求证: ∥平面; (2)求证: 平面⊥平面; (3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 【考点十五】求二面角 57．（24-25高一下·福建厦门·期中）在四棱锥中，底面是菱形，. (1)若分别是的中点，证明：平面； (2)若，证明：平面平面； (3)若平面平面，且二面角的大小为60°，求的值. 58．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求证：平面PAC平面PCD； (3)求二面角所成角的余弦值． 59．（24-25高一下·广东深圳·期中）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小； (3)若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值. 60．（24-25高一下·重庆·期中）在平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，侧面底面ABCD． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $