期中复习讲义03 立体几何初步10大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

期中复习讲义03 立体几何初步 【考点一】 由直观图还原几何体 【考点六】 证明线面平行 【考点二】 斜二测画法中有关量的计算 【考点七】 证明面面平行 【考点三】 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【考点八】 证明线面垂直 【考点四】 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 【考点九】 证明面面垂直 【考点五】 异面直线的判定 【考点十】 求线面角、二面角 一、空间几何体的结构特征（核心考点） （一）多面体 1. 棱柱 定义：有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，且相邻四边形公共边互相平行 分类： 斜棱柱：侧棱不垂直底面 直棱柱：侧棱⊥底面 正棱柱：底面为正多边形的直棱柱 特殊棱柱： 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 长方体：底面是矩形的直平行六面体 正方体：棱长都相等的长方体 2. 棱锥 定义：一个面是多边形（底面），其余各面是有公共顶点的三角形 正棱锥：底面正多边形，顶点在底面射影是中心，侧棱相等、侧面全等等腰三角形 3. 棱台 定义：平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面间部分 特征：上下底面平行相似，侧面梯形，侧棱延长线交于一点 （二）旋转体 几何体 定义（旋转生成） 结构要素 圆柱 矩形绕一边旋转 轴、底面、侧面、母线（平行相等） 圆锥 直角三角形绕直角边旋转 轴、底面、侧面、母线（共顶点） 圆台 平行于圆锥底面截圆锥 上下底面、侧面、母线（延长线共点） 球 半圆绕直径旋转 球心、半径、直径（截面为圆） 二、空间几何体的三视图与直观图（核心考点） （一）三视图 1. 构成：正视图（前→后）、侧视图（左→右）、俯视图（上→下） 2. 规则：长对正、高平齐、宽相等 3. 画法：可见轮廓线画实线，不可见画虚线 （二）斜二测画法（直观图） 1. 建系：建立平面直角坐标系xOy，直观图建x'O'y'，∠x'O'y'=45°（或135°） 2. 长度：平行x轴长度不变，平行y轴长度减半 3. 公式：直观图面积S'与原图面积S关系： 三、空间几何体的表面积与体积（核心考点·期中必考计算） （一）柱、锥、台表面积 1. 棱柱/圆柱： 圆柱侧面积：（r底面半径，l母线） 2. 棱锥/圆锥： 圆锥侧面积： 3. 棱台/圆台： 圆台侧面积：（r'上底半径） （二）体积公式（微软公式） 1. 柱体（棱柱/圆柱）：（S底面积，h高） 2. 锥体（棱锥/圆锥）： 3. 台体（棱台/圆台）：（S下底，S'上底） 4. 球 表面积： 体积： 截面关系：（r截面半径，d球心距） 四、空间点、直线、平面的位置关系（核心考点） （一）平面基本事实（公理） 1. 基本事实1：过不在一条直线上三点，有且只有一个平面 2.基本事实2：若直线上两点在平面内，则直线在平面内 3. 基本事实3：两不重合平面有公共点，则有且只有一条过该点的交线 （二）空间直线位置关系 1. 共面直线：平行、相交 2. 异面直线：不同在任何一个平面，不平行不相交 3. 平行公理：平行于同一直线的两直线平行（） 4. 等角定理：空间两角两边分别平行，则两角相等或互补 （三）线面、面面位置关系 1. 直线与平面：在平面内、平行、相交（含垂直） 2. 平面与平面：平行、相交（含垂直） 五、空间平行关系（核心考点·判定+性质） （一）线面平行 1. 判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行 2. 性质定理：线面平行，过线的平面与已知平面相交，则线线平行 （二）面面平行 1. 判定定理：一个平面内两条相交直线都平行另一平面，则面面平行 2. 性质定理：面面平行，第三个平面与它们相交，则交线平行 六、空间垂直关系（核心考点·期中重难点） （一）线面垂直 1. 定义：直线与平面内任意直线都垂直，记 2. 判定定理：直线垂直平面内两条相交直线，则线面垂直 3. 性质定理：垂直同一平面的两直线平行 （二）面面垂直 1. 定义：两平面所成二面角为直二面角（90°） 2. 判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则面面垂直 3. 性质定理：面面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面 【考点一】由直观图还原几何体 1．（24-25高一下·浙江·期中）如图，正方形边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（   ）    A．8cm B． C．4cm D． 【答案】A 【详解】作出原图形如下图所示： 由直观图知原图形是平行四边形，如图，，， ，， 所以平行四边形的周长是． 故选：A．    2．（24-25高一下·浙江·期中）如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】由已知可知，的原图如下： 其中， 所以. 故选：D 3．（24-25高一下·广东·期中）利用斜二侧画法画出的直观图如图阴影部分所示，其中，是线段的中点，则的面积为（   ）    A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】如图，是图中的阴影部分，其中， 所以的面积为.    故选：A. 4．（24-25高一下·湖南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由斜二测画法知，， 所以由余弦定理得， ，代入上式解得，， ， ,， 还原平面图如图， 即，， ， 四边形的周长为． 故选：C. 【考点二】斜二测画法中有关量的计算 5．（24-25高一下·重庆·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，该图形的直观图是直角梯形， 则其面积， 那么该平面图形的面积为. 故选：D. 6.（24-25高一下·广东东莞·期中）已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若轴，轴在直观图中的位置如图所示， 过作轴交轴于， 因为的边长为， 所以的高为， 因为，所以， 所以对应的高，底， 所以的面积. 故选：B. 7．（24-25高一下·广东·期中）用斜二测画法画出的直观图如图所示，在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则中AB边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知在中，，移项可得. 根据余弦定理，将代入可得： . 因为，所以. 已知，即，那么中边上的高. 根据斜二测画法的性质，在斜二测画法中，平行于轴的线段长度变为原来的一半， 那么原三角形中边上的高. 将代入可得. 所以中边上的高为. 故选：C. 8．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】直观图矩形的面积，则原图面积， 故选：D． 9．（24-25高一下·山东泰安·期中）若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知在斜二测图形中，， 根据斜二测画法中平行于轴的线段长度不变的规则，可知在原图形中，，. 又已知，由斜二测画法中平行于轴的线段长度减半的性质， 可得原图形中，且（斜二测画法中轴与轴夹角在原图形中为）. 如图，得到原图. 因为梯形以边为轴旋转一周，所以得到的几何体为圆台. 其中圆台的底面半径，高； 根据圆台体积公式，可得. 故选：B. 10.（多选）（24-25高一下·河南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的面积为 D． 【答案】BCD 【详解】由余弦定理，可得， 即，解得，（舍去），故A错误； 在直角梯形中，，， 由斜二测画法知，，故B正确； 因为直角梯形的面积为， 所以四边形的面积为，故C正确； 由斜二测画法可知，原图为直角梯形，其中， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 11．（24-25高一下·河北石家庄·期中）如图所示，一个平面图形在斜二测画法下的直观图为直角梯形（上底为2，下底为4，高为2），则原平面图形的面积为________． 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 12.（24-25高一下·山西·期中）若用斜二测画法画的直观图是边长为2的正三角形，如图所示，则原的面积为______． 【答案】 【详解】如图，过点作轴，且交轴于点． 过点作轴，且交轴于点， 则，又， 所以，所以原三角形的高，底边长为2， 所以，则原的面积为． 故答案为：. 13．（24-25高一下·福建·期中）如图所示，一个水平放置的斜二测画法画出的直观图是，其中为平行四边形，则原的周长是___________. 【答案】 【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，原是等腰三角形，如图： 其中，，且， 所以， 所以原的周长为. 故答案为： 【考点三】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 14.（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【详解】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为. 故选：B. 15．（24-25高一下·云南德宏·期中）已知正三棱台的上底边长为，下底边长为，侧棱长为5，则该正三棱台的体积为（    ） A． B．63 C． D．21 【答案】C 【详解】如图所示，，分别是上，下底面的中心，连接，，， 在平面内作于， 因为正三棱台的上底边长为，下底边长为， 所以上底面面积为， 上底面三角形外接圆半径为， 下底面面积为， 下底面三角形外接圆半径为， 于是该正三棱台的高为， 因此该正三棱台的体积为， 故选：C 16.（多选）（24-25高一下·四川德阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．棱锥的侧面一定都是三角形 C．棱台各侧棱的长都相等 D．在棱长为2的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是 【答案】BD 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B，棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确； 对于C，只有在特定的情况下，如正棱台（即由正棱锥截得的棱台），各侧棱的长度才相等，对于一般的斜棱台，侧棱长度可以不等，所以C错误； 对于D， 如图，易得三棱锥的体积为，故D正确. 故选：BD. 17.（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，E是的三等分点（靠近点A），D是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是______.    【答案】 【详解】， E是的三等分点（靠近点A），是的中点， ，，， 又∵， ， . 三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为. 故答案为：. 18.（24-25高一下·广东湛江·期中）石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米． (1)求该石凳的体积； (2)求该石凳的表面积（不包含底面）． 【详解】（1）由题意可得正方体的体积立方厘米， 四面体的体积立方厘米， 则该石凳的体积立方厘米 （2）由题意可得，，，均为边长为厘米的等边三角形，四边形IJKL是边长为厘米的正方形， 则的面积平方厘米， 正方形的面积平方厘米， 五边形的面积平方厘米， 故该石凳的表面积平方厘米． 【考点四】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 19．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知球的半径为2，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】球的半径为2，则该球的体积为, 故选：B 20．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知圆柱的底面半径为1，高为2，圆柱的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆柱体积公式可得. 故选：A 21．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，直角梯形绕直角边旋转一周得到圆台，其中： 上底面半径，下底面半径，母线长为边的长度. 在梯形中，， 则圆台的侧面积． 故选：A. 22.（24-25高一下·广东惠州·期中）一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆台的高为，所以圆台的体积为. 故选：A. 23．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，圆内接四边形中，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆内接四边形中，所以为外接圆的直径， ，， ，作分别交于点， 交于点，可得四边形为长方形， 因为得， 可得，因，代入解得， 由得，    该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体如下图，是以为 下底面半径、为上底面半径、为高的圆台除去 以为底面半径、高为的圆锥，且， ， ， 则旋转形成的几何体的体积为. 故选：B.    24．（多选）（23-24高一下·云南大理·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【详解】对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确． 对于B：圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为， 球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确． 对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为， 圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误. 故选：ABC. 25．（多选）（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆台的高为2 B．圆台的侧面积为 C．圆台外接球的体积是 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 【答案】BCD 【详解】对于A,如图所示， 过作交于点，过作交于点, 根据题意在中，, 故A错误； 对于B，圆台的侧面积为，故B正确； 对于C，设圆台外接球的球心为，半径.由题意可得：. 设，则，由，即， 解得：.即重合，所以.圆台外接球的体积是.故C正确； 对于D，如图示， 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确. 故选：BCD. 26．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥底面半径为2，母线长为3，则此圆锥的侧面积为________． 【答案】 【详解】由题知，底面半径，母线长， 则圆锥侧面积. 故答案为：. 27．（24-25高一下·重庆南岸·期中）圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长，则圆台体积为_____． 【答案】 【详解】易知圆台的上底面面积为，下底面面积为； 又母线长为，所以圆台的高为； 所以圆台体积为. 故答案为： 28.（24-25高一下·四川成都·期中）三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球的表面积为__________. 【答案】 【详解】由三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，以三棱锥的侧棱为边补成正方体， 则正方体的棱长为6，且正方体的外接球即为所求，设半径为， 所以， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 29．（24-25高一下·广西防城港·期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 【详解】（1）设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得， 所以圆柱的底面半径为2. （2）由（1）知，正外接圆半径为2，则边长， 所以三棱柱的体积. 30.（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 【详解】（1）由题意得， ， 以下计算， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 所以三棱锥的表面积. （2）因为两两垂直， 所以三棱锥的外接球直径即为以长度为边长的长方体的体对角线， 根据长方体体对角线公式得， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球体积. 【考点五】异面直线的判定 31.（24-25高一下·山东泰安·期中）长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，三点确定一个平面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】A 【详解】如下图所示： 根据题意，连接，则， 所以四点共面，所以平面， 又，所以平面， 又平面，所以点在平面与平面的交线上面， 同理可得点在平面与平面的交线上面， 所以，，三点共线， 故A选项错误，B选项正确； 由异面直线定义可知C选项中为异面直线，故C选项错误； 由异面直线定义可知D选项中为异面直线，故D选项错误. 故选：A 32．（24-25高一下·湖南·期中）如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】在正方形中，， 所以在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面；    连接，因为点为正方形的中心，又是线段的中点， 所以，所以在平面内，所以与不是异面直线. 故选：. 33．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）三棱柱中，、、分别是、、中点，则下列直线中与直线异面的直线为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【详解】如图，连接，则且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，故C错误； 又，，所以，所以、、、四点共线， 即直线与直线共面，故A错误； 显然直线与直线均包含于平面，故D错误； 因为，，，又平面，所以直线与直线异面，故B正确. 故选：B 34.（多选）（24-25高一下·福建福州·期中）如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与平行 B．与是异面直线 C．与相交 D．与是异面直线 【答案】ABD 【详解】把正方体的平面展开图还原原正方体如图， 在正方体中，与平行，故A正确；由异面直线定义可得，与是异面直线，故B正确； 与是异面直线，故C错误；由异面直线定义可得，与是异面直线，故D正确； 故选：ABD. 35.（24-25高一下·山西·期中）在正方体中，与异面的棱有________条. 【答案】6 【详解】如图，正方体中，与异面的棱有，，，，，共6条. 故答案为：6.    【考点六】证明线面平行 36.（24-25高一下·河南·期中）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求（如图所示）.    证明如下： 根据已知，， 在直三棱柱中，，且， 四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，即平面. 又，， ，即的值为. 故选：A. 37．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（    ）    A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．棱始终与水面所在平面平行 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图所示时，是定值 【答案】C 【详解】对于A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面， 平面，平面，平面，平面都是平行四边形， 所以没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确； 对于B：面，面， 所以面，即棱始终与水面所在平面平行，故B正确； 对于C：如下图： 水面所在四边形的面积等于长方形的面积， 如下图： 水面所在四边形的面积大于长方形的面积，故C错误； 对于D：当容器倾斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱， 三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值， 可得底面三角形的面积为定值，故是定值，故D正确. 故选：C. 38.（多选）（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 【答案】AD 【详解】对于A选项，在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，故平面，A对； 对于D选项，连接、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，所以，故、、、共面，D对； 对于B选项，根据已有分析可知点在平面内，所以与平面有交点，因此B错； 对于C选项，由A选项可知，点在平面外，C错. 故选：AD. 39.（24-25高一下·吉林长春·期中）如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________． ①平面；②平面；③平面． 【答案】①③ 【详解】对于①，因为，平面，平面， 所以平面，所以①正确， 对于②，延长到，使，连接，如图， 因为为的中点，所以， 因为与平面交于点，所以与平面不平行，所以②不正确； 对于③，连接交于，连接，如图， 因为，为的中点，所以， 因为，所以四边形为平行四边形，所以为的中点， 因为为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面，所以③正确， 故答案为：①③ 40.（24-25高一下·广东广州·期中）如图，正三棱柱中，D为棱的中点． (1)证明：平面； (2)令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 【详解】（1）在正三棱柱中，连接，连接， 则为中点，而D为棱的中点，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）平面，由D为棱的中点，得，， 于是， 所以 【考点七】证明面面平行 41.（23-24高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】取中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 同理可证平面， 又，平面， 故平面平面，平面平面， 结合P为下底面ABCD上一点，故在上运动，且为直角三角形， 当时，最小，最小值为， 此时的面积最小，求得. 故选：A 42．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动（含边界），若平面，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】取的中点分别为，连接， 在正方形中，因为为中点，故且， 由正方体可得且， 所以，，故四边形为平行四边形， 故，而，故， 同理，故， 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面，而平面平面， 结合平面，故的轨迹为线段，其长度为， 故选：A. 43.（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，是的中点，是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为______． 【答案】 【详解】取的中点记， 在上取一点，使得，连接， 作图得： 是直线的中点， ∴，又平面，平面,∴平面， 又， 则，又平面，平面,∴平面， 又且平面， ∴平面平面， 又三点都在直四棱柱表面， 平面就是所得截面， ，由勾股定理得：，， 为等腰三角形， 过点作底边的高，记为，由勾股定理得， . 故答案为： 44．（23-24高一下·山西·月考）如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为________． 【答案】 【详解】在棱上取一点E，使得，连接，EM，如图所示，易得，， 所以四边形是平行四边形，所以，又平面， 平面，所以平面． 在棱上取一点F，使得，连接FN，FE，， 如图所示．同理可得平面， 又，平面，所以平面平面． 所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为． 因为正方体的棱长为3，所以， ， 所以点P的轨迹长度为． 故答案为：. 45.（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，．    【考点八】证明线面垂直 46.（24-25高一下·浙江·期中）在正四棱锥中，，球与四棱锥的所有侧棱相切，并与底面也相切，则球的半径为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】连接、，设，连接，则平面， 又，则，， 所以， 设内切圆的半径为，则，即，解得， 所以球的半径为. 故选：C 47.（24-25高一下·宁夏银川·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过点的平面与直线垂直，则截正方体所得截得的面积为________． 【答案】 【详解】如图，设分别为棱，的中点，连接，，，，，，， ∴，又，∴， ∴A，，四点共面． 又∵平面，平面，∴， 又∵，故， 因此, ∴， 又∵，，平面， ∴平面， 又∵平面，∴． 又∵平面，平面，∴， 又∵和分别为棱和的中点，,∴， 又∵，，平面，∴平面， 又∵平面，∴． 又∵，，平面， ∴平面，即平面为平面， 由，得，∴，， 得等腰梯形的高为， ∴截面的面积． 故选：B．    48．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，已知正四面体中，侧棱长为2，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则最小值是______. 【答案】 【详解】由题可得，平面SCF，则平面SCF. 取BC中点为G，连接EG与CF交于H，因，则平面SCF. 设P关于平面SCF的对称点为，由对称性可知，，则. 则当A，Q，三点共线时可得最小，此时， 则当时，取最小值. 在三角形中，由题可得 则. 综上，. 故答案为： 49．（23-24高一下·湖南长沙·期中）在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______． 【答案】 【详解】连接，正方体中由与平行且相等得是平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面， 平面，则平面， 所以动点的轨迹形成的区域为的边界及内部，的最大值为即的长， 的最小值为到平面的距离， 连接交于点，连接交于点，， 由平面，平面，得， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以，同理， 又因为，平面，所以平面， 同理可证，所以，从而， 故线段的长的取值范围是． 故答案为：． 50.（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，连，可证得四边形为平行四边形，则，从而利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知可得平面，则，再证得，从而利用线面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】（1）证明：连接交于，连， 在三棱柱中，矩形中，，则， 因为分别为的中点，所以且， 因为为中点，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）证明：因为底面，平面，所以， 因为∥，所以 因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 因为平面，所以， 因为在矩形中，为的中点， 所以， 因为底面，平面，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以，所以， 所以， 因为平面， 所以平面. 【考点九】证明面面垂直 51.（多选）（24-25高一下·云南昭通·期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B：若，，则，而，故，故B正确； 对于C，若，，，则或与是异面直线，故C错误； 对于D：若，，根据面面垂直的判定定理可得，故D正确； 故选：BD． 52.（23-24高一下·福建龙岩·期中）在四面体中，，，平面，分别为线段的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面上投影长度的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】如图，取的中点的中点，连接， ∵分别是线段的中点，∴，， ∵，，∴，， 则，，且，平面，∴平面，又平面，∴，∴， 在中，， 当四面体绕旋转时， ∵，平面，平面， ∴平面，与的垂直性保持不变，且，长度不变. 当与平面垂直时，在平面上的投影长最短为0， 此时在平面上的投影的长取得最小值，最小值为， 当与平面平行时，在平面上的投影长最长为， 此时在平面上的投影的长取得最大值，最大值为， 线段在平面上的投影长的取值范围是. 故答案为： 53．（24-25高一下·河南新乡·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）连接，由四边形是边长为的菱形，， 所以，，可知是正三角形. 因为是的中点，所以， 又，所以. 因为底面，平面，所以. 又、平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为底面，平面，所以. 又，，所以，. 在正三角形中，，是的中点，所以，且. 因为平面，平面，所以， 所以. 因为，底面， 设点到平面的距离为，所以. 而. 所以，即点到平面的距离为. 54.（23-24高一下·福建泉州·期中）在三棱锥中，为的中点. (1)证明：平面⊥平面. (2)过O点作一个平面，使得平面平面，请画出这个平面，并说明理由. (3)若，平面平面，求点到平面的距离. 【详解】（1）因为，为的中点， 所以， 又因为平面， 所以平面，又平面. 所以平面⊥平面. （2）取的中点E，的中点F，连接，，，又为的中点， 则，平面平面， 所以平面， 同理可得平面，，平面， 故平面平面， 所以平面即为所求的平面. （3）因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为，所以均为等边三角形， 故，故， 所以， 因为平面，平面， 所以，由勾股定理得， 取的中点，连接， 在中，，故⊥， 故，， 设点到平面的距离为，， 所以，解得. 所以点到平面的距离为. 55．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图，在三棱锥中，底面，，，． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，点在上且，过的截面平行于交于．求： ①截面分三棱锥得到的两个几何体的体积比的值 ②直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）证明：因为底面，平面， 所以，因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）①由（1）可知平面，平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 所以，即为等腰直角三角形，因为，故， 又，所以， 平面，平面平面面． ，平面平面； 又，， 即得； ， ； ②由题意可得， （为点到平面的距离）， 即，即， ． 在中，， 故 设直线与平面所成角为， 则，即 直线与平面所成角的大小为. 【考点十】求线面角、二面角 56.（24-25高一下·河南·期中）正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正三棱台三侧棱的延长线交于点，得三棱锥为正三棱锥， 过作平面于，交平面于，连接， 由，得，则，又，则， 则， 解得，则，设的边长为，则，解得， 由三棱锥为正三棱锥，得是的中心，， 由平面，得为侧棱与底面所成的角，所以. 故选：D 57．（24-25高一下·河北邢台·期中）在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 取棱的中点，连接，，又是棱的中点，所以， 因为平面，所以平面，则是直线与平面所成的角. 设，则，，. 在中，由余弦定理可得， 则，所以. 故选：A 58.（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为_______. 【答案】 【详解】如图，    设，取的中点为，连接， 由，可得， 所以为二面角的平面角， 由， 所以. 故答案为： 59．（23-24高一下·重庆渝中·期中）在直三棱柱中，所有棱长均相等，则二面角的正切值为______． 【答案】 【详解】不妨设直三棱柱的所有棱长均为2，取中点，连结， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面， 所以 则为二面角的平面角，， 即二面角的正切值为． 故答案为： 60.（24-25高一下·浙江·期中）已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为_______． 【答案】 【详解】设正四面体的顶点A在平面BCD上的射影为O，则O是正三角形BCD的中心. 因为正三角形BCD的边长为，则. 当直线a与DO平行时为D与正三角形BCD中心O的连线，直线a与直线DA所成角最小. 此时就是直线a与直线DA所成的角或其补角， 在直角三角形ABO中，，， 由勾股定理可得 在直角三角形ADO中，，， 则直线a与直线DA所成角的正弦值最小为 故答案为：. 61．（23-24高一下·吉林·期中）已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为__________. 【答案】 【详解】设过的一个平面,（不与平面重合）与正方体相交于, 取的中点，过作,过作，连接, 故平面平面， 过作于，由于平面，平面，故, 平面，故平面, 所以为与平面所成的角，故也为为与平面所成的角， 设正方体的棱长为2，则， , 要使最小，则需要最大即可， 由于, 故当时，此时取最大值， 此时的最小值为， 故答案为：    62.（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，正方体中，为的中点. (1)若点F满足，求证：四点共面； (2)求直线AB与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）连接，由，知，且， 因为为的中点，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为,，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，故四点共面. （2）延长交与，连接，则与面所成角就是与面所成角. 过作交与，连接，过作与，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面 所以就是与面所成角. 令，由，得， 在Rt中，由等面积法可求得， 同理在Rt中，， 在Rt中，， 故直线平面所成角的正弦值为. 63.（24-25高一下·山西忻州·期中）如图，在三棱锥D-ABC中，底面ABC为正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【详解】（1）如图，取AC的中点M，连接DM，BM． 在正三角形ABC中，因为M为AC的中点，所以． 因为，，， 所以，所以． 因为M为AC的中点，所以． 因为，平面，所以平面． 因为，所以． （2）由（1）知为二面角的平面角． 在正三角形ABC中，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以． 在中，，所以， 所以，所以二面角的平面角的正弦值为1． 64．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在多面体ABCED中，为等边三角形，．点为BC的中点，平面平面ABC. (1)求证：平面BCE； (2)设点为BE上一点，且，求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为平面平面ABC，且平面平面， 平面ACED， 故平面ABC， 因为平面ABC，所以． 又为等边三角形，为BC的中点，故， 因为， 平面BCE， 故平面BCE. （2）由于平面平面BCE，故， 因为为等边三角形，为BC的中点，故， 所以为二面角的平面角. 因为， 故， 所以， 故二面角的余弦值为. 65．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在三棱锥中，． (1)平面； (2)当时，求二面角的正弦值． 【详解】（1）在中，， 由余弦定理， 即，解得， 所以，即，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为平面，又平面，所以， 又，所以为二面角的平面角， 取的中点，连接，因为，所以， 又，所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义03 立体几何初步 【考点一】 由直观图还原几何体 【考点六】 证明线面平行 【考点二】 斜二测画法中有关量的计算 【考点七】 证明面面平行 【考点三】 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【考点八】 证明线面垂直 【考点四】 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 【考点九】 证明面面垂直 【考点五】 异面直线的判定 【考点十】 求线面角、二面角 一、空间几何体的结构特征（核心考点） （一）多面体 1. 棱柱 定义：有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，且相邻四边形公共边互相平行 分类： 斜棱柱：侧棱不垂直底面 直棱柱：侧棱⊥底面 正棱柱：底面为正多边形的直棱柱 特殊棱柱： 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 长方体：底面是矩形的直平行六面体 正方体：棱长都相等的长方体 2. 棱锥 定义：一个面是多边形（底面），其余各面是有公共顶点的三角形 正棱锥：底面正多边形，顶点在底面射影是中心，侧棱相等、侧面全等等腰三角形 3. 棱台 定义：平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面间部分 特征：上下底面平行相似，侧面梯形，侧棱延长线交于一点 （二）旋转体 几何体 定义（旋转生成） 结构要素 圆柱 矩形绕一边旋转 轴、底面、侧面、母线（平行相等） 圆锥 直角三角形绕直角边旋转 轴、底面、侧面、母线（共顶点） 圆台 平行于圆锥底面截圆锥 上下底面、侧面、母线（延长线共点） 球 半圆绕直径旋转 球心、半径、直径（截面为圆） 二、空间几何体的三视图与直观图（核心考点） （一）三视图 1. 构成：正视图（前→后）、侧视图（左→右）、俯视图（上→下） 2. 规则：长对正、高平齐、宽相等 3. 画法：可见轮廓线画实线，不可见画虚线 （二）斜二测画法（直观图） 1. 建系：建立平面直角坐标系xOy，直观图建x'O'y'，∠x'O'y'=45°（或135°） 2. 长度：平行x轴长度不变，平行y轴长度减半 3. 公式：直观图面积S'与原图面积S关系： 三、空间几何体的表面积与体积（核心考点·期中必考计算） （一）柱、锥、台表面积 1. 棱柱/圆柱： 圆柱侧面积：（r底面半径，l母线） 2. 棱锥/圆锥： 圆锥侧面积： 3. 棱台/圆台： 圆台侧面积：（r'上底半径） （二）体积公式（微软公式） 1. 柱体（棱柱/圆柱）：（S底面积，h高） 2. 锥体（棱锥/圆锥）： 3. 台体（棱台/圆台）：（S下底，S'上底） 4. 球 表面积： 体积： 截面关系：（r截面半径，d球心距） 四、空间点、直线、平面的位置关系（核心考点） （一）平面基本事实（公理） 1. 基本事实1：过不在一条直线上三点，有且只有一个平面 2.基本事实2：若直线上两点在平面内，则直线在平面内 3. 基本事实3：两不重合平面有公共点，则有且只有一条过该点的交线 （二）空间直线位置关系 1. 共面直线：平行、相交 2. 异面直线：不同在任何一个平面，不平行不相交 3. 平行公理：平行于同一直线的两直线平行（） 4. 等角定理：空间两角两边分别平行，则两角相等或互补 （三）线面、面面位置关系 1. 直线与平面：在平面内、平行、相交（含垂直） 2. 平面与平面：平行、相交（含垂直） 五、空间平行关系（核心考点·判定+性质） （一）线面平行 1. 判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行 2. 性质定理：线面平行，过线的平面与已知平面相交，则线线平行 （二）面面平行 1. 判定定理：一个平面内两条相交直线都平行另一平面，则面面平行 2. 性质定理：面面平行，第三个平面与它们相交，则交线平行 六、空间垂直关系（核心考点·期中重难点） （一）线面垂直 1. 定义：直线与平面内任意直线都垂直，记 2. 判定定理：直线垂直平面内两条相交直线，则线面垂直 3. 性质定理：垂直同一平面的两直线平行 （二）面面垂直 1. 定义：两平面所成二面角为直二面角（90°） 2. 判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则面面垂直 3. 性质定理：面面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面 【考点一】由直观图还原几何体 1．（24-25高一下·浙江·期中）如图，正方形边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（   ）    A．8cm B． C．4cm D． 2．（24-25高一下·浙江·期中）如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高一下·广东·期中）利用斜二侧画法画出的直观图如图阴影部分所示，其中，是线段的中点，则的面积为（   ）    A．2 B．4 C． D． 4．（24-25高一下·湖南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【考点二】斜二测画法中有关量的计算 5．（24-25高一下·重庆·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高一下·广东东莞·期中）已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广东·期中）用斜二测画法画出的直观图如图所示，在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则中AB边上的高为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 9．（24-25高一下·山东泰安·期中）若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 10.（多选）（24-25高一下·河南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的面积为 D． 11．（24-25高一下·河北石家庄·期中）如图所示，一个平面图形在斜二测画法下的直观图为直角梯形（上底为2，下底为4，高为2），则原平面图形的面积为________． 12.（24-25高一下·山西·期中）若用斜二测画法画的直观图是边长为2的正三角形，如图所示，则原的面积为______． 13．（24-25高一下·福建·期中）如图所示，一个水平放置的斜二测画法画出的直观图是，其中为平行四边形，则原的周长是___________. 【考点三】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 14.（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 15．（24-25高一下·云南德宏·期中）已知正三棱台的上底边长为，下底边长为，侧棱长为5，则该正三棱台的体积为（    ） A． B．63 C． D．21 16.（多选）（24-25高一下·四川德阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．棱锥的侧面一定都是三角形 C．棱台各侧棱的长都相等 D．在棱长为2的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是 17.（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，E是的三等分点（靠近点A），D是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是______.    18.（24-25高一下·广东湛江·期中）石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米． (1)求该石凳的体积； (2)求该石凳的表面积（不包含底面）． 【考点四】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 19．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知球的半径为2，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知圆柱的底面半径为1，高为2，圆柱的体积是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 22.（24-25高一下·广东惠州·期中）一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，圆内接四边形中，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 24．（多选）（23-24高一下·云南大理·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 25．（多选）（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆台的高为2 B．圆台的侧面积为 C．圆台外接球的体积是 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 26．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥底面半径为2，母线长为3，则此圆锥的侧面积为________． 27．（24-25高一下·重庆南岸·期中）圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长，则圆台体积为_____． 28.（24-25高一下·四川成都·期中）三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球的表面积为__________. 29．（24-25高一下·广西防城港·期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 30.（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 【考点五】异面直线的判定 31.（24-25高一下·山东泰安·期中）长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，三点确定一个平面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 32．（24-25高一下·湖南·期中）如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 33．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）三棱柱中，、、分别是、、中点，则下列直线中与直线异面的直线为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 34.（多选）（24-25高一下·福建福州·期中）如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与平行 B．与是异面直线 C．与相交 D．与是异面直线 35.（24-25高一下·山西·期中）在正方体中，与异面的棱有________条. 【考点六】证明线面平行 36.（24-25高一下·河南·期中）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（   ）    A． B． C． D． 37．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（    ）    A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．棱始终与水面所在平面平行 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图所示时，是定值 38.（多选）（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 39.（24-25高一下·吉林长春·期中）如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________． ①平面；②平面；③平面． 40.（24-25高一下·广东广州·期中）如图，正三棱柱中，D为棱的中点． (1)证明：平面； (2)令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 【考点七】证明面面平行 41.（23-24高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 42．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动（含边界），若平面，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C．2 D．1 43.（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，是的中点，是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为______． 44．（23-24高一下·山西·月考）如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为________． 45.（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【考点八】证明线面垂直 46.（24-25高一下·浙江·期中）在正四棱锥中，，球与四棱锥的所有侧棱相切，并与底面也相切，则球的半径为（   ） A． B．1 C． D． 47.（24-25高一下·宁夏银川·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过点的平面与直线垂直，则截正方体所得截得的面积为________． 48．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，已知正四面体中，侧棱长为2，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则最小值是______. 49．（23-24高一下·湖南长沙·期中）在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______． 50.（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 【考点九】证明面面垂直 51.（多选）（24-25高一下·云南昭通·期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 52.（23-24高一下·福建龙岩·期中）在四面体中，，，平面，分别为线段的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面上投影长度的取值范围是_____________. 53．（24-25高一下·河南新乡·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 54.（23-24高一下·福建泉州·期中）在三棱锥中，为的中点. (1)证明：平面⊥平面. (2)过O点作一个平面，使得平面平面，请画出这个平面，并说明理由. (3)若，平面平面，求点到平面的距离. 55．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图，在三棱锥中，底面，，，． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，点在上且，过的截面平行于交于．求： ①截面分三棱锥得到的两个几何体的体积比的值 ②直线与平面所成角的大小． 【考点十】求线面角、二面角 56.（24-25高一下·河南·期中）正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 57．（24-25高一下·河北邢台·期中）在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 58.（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为_______. 59．（23-24高一下·重庆渝中·期中）在直三棱柱中，所有棱长均相等，则二面角的正切值为______． 60.（24-25高一下·浙江·期中）已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为_______． 61．（23-24高一下·吉林·期中）已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为__________. 62.（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，正方体中，为的中点. (1)若点F满足，求证：四点共面； (2)求直线AB与平面所成角的正弦值. 63.（24-25高一下·山西忻州·期中）如图，在三棱锥D-ABC中，底面ABC为正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 64．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在多面体ABCED中，为等边三角形，．点为BC的中点，平面平面ABC. (1)求证：平面BCE； (2)设点为BE上一点，且，求二面角的余弦值. 65．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在三棱锥中，． (1)平面； (2)当时，求二面角的正弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $