期中真题必刷基础150题（21大考点专练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

期中真题必刷基础150题（21大考点专练） 【考点一】 相等向量与共线向量 【考点十二】复数的几何意义 【考点二】向量的加法运算 【考点十三】复数的加减运算及其几何意义 【考点三】向量的减法运算 【考点十四】复数的乘除运算 【考点四】向量的数乘运算 【考点十五】复数的三角表示 【考点五】向量的数量积 【考点十六】基本立体图形 【考点六】平面向量基本定理 【考点十七】立体图形的直观图 【考点七】平面向量加、减运算的坐标表示 【考点十八】简单几何体的表面积与体积 【考点八】平面向量数乘运算的坐标表示 【考点十九】空间点、直线、平面之间的位置关系 【考点九】平面向量数量积的坐标表示 【考点二十】空间直线、平面的平行 【考点十】平面向量的应用 【考点二十一】空间直线、平面的垂直 【考点十一】余弦定理、正弦定理 【考点一】相等向量与共线向量 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 3．（24-25高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C．共线的单位向量必相等 D．若与不共线，则与都是非零向量 4．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知是平面内不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．时间能称为向量 B．所有单位向量都是相等向量 C．模为0的向量与任一非零向量平行 D．若，则 6．（24-25高一下·陕西·期中）以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 7．（24-25高一下·河南洛阳·期中）下列结论正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C．直角坐标平面上的轴，轴都是向量 D．若与是平行向量，则 【考点二】向量的加法运算 8．（24-25高一下·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 9．（24-25高一下·四川眉山·期中）已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 11.（23-24高一下·广东广州·期中）已知正方形的边长为2，则为______． 【考点三】向量的减法运算 12．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列向量的运算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·四川·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 15.（24-25高一下·陕西渭南·期中）的化简结果为________. 16．（24-25高一下·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 17.（23-24高一下·四川·期中）（1）已知非零向量,求作向量，使； （2）（1）中表示的有向线段能构成三角形吗？说明理由． 【考点四】向量的数乘运算 18．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 20.（24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 21．（23-24高一下·湖北·期中）平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 22.（24-25高一下·贵州黔南·期中）在平行四边形中，已知点E在线段上，且，设向量，用表示，则_________． 23．（24-25高一下·四川成都·期中）在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足，点Q为线段AB的中点.则__________. 24．（24-25高一下·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 25.（24-25高一下·贵州毕节·期中）已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 26．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【考点五】向量的数量积 27.（23-24高一下·四川泸州·期中）已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·新疆·期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 31．（23-24高一下·湖北·期中）平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 32．（24-25高一下·云南文山·期中）已知非零向量，，其中，，且满足，则__________. 33.（23-24高一下·四川泸州·期中）已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 34．（24-25高一下·福建泉州·期中）（1）已知向量不共线，．若，求； （2）已知，，．若，且，求． 35．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知，，. (1)求与的夹角； (2)若，且，求t及. 【考点六】平面向量基本定理 36．（24-25高一下·河南郑州·期中）在中，E是靠近B点的三等分点，（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·广东深圳·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 38．（多选）（23-24高一下·广东深圳·月考）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 39.（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知在中，为上的一点，且，若，则_________． 【考点七】平面向量加、减运算的坐标表示 40．（24-25高一下·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 41．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知，，点P满足，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 42.（多选）（23-24高一下·河北张家口·期中）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则另一个顶点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 43.（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 44.（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知． (1)求线段的中点的坐标； (2)若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 【考点八】平面向量数乘运算的坐标表示 45．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（   ） A．1或 B． C．或 D． 46．（24-25高一下·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 47.（多选）（24-25高一下·四川成都·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 48.（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知，若，则__________. 【考点九】平面向量数量积的坐标表示 49．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C．4 D．9 50．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 51．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期末）已知平面向量，，若，则______． 52．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）平面内给定两个向量，． (1)求，夹角的余弦值； (2)求． 【考点十】平面向量的应用 53．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 54．（23-24高一下·湖南常德·期中）在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 55．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 56．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知平面上三点A，B，C，且，，． (1)若A，B，C不构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若为钝角三角形，求k的取值范围． 【考点十一】余弦定理、正弦定理 57．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 58．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 59．（24-25高一下·河南·期末）在△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的值为__________． 60.（24-25高一下·山西忻州·期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，求c． 【考点十二】复数的几何意义 61．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，则（   ） A．5 B． C． D． 62．（24-25高一下·浙江·期中）设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 63．（24-25高一下·广东东莞·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 64．（多选）（23-24高一下·河北唐山·期中）已知在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 65．（多选）（24-25高一下·山西·期中）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C． D．若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环 66．（24-25高一下·云南玉溪·期中）若，则________． 67．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知复数满足，当的虚部取最小值时，_____ 68．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知复数满足，则在复平面内复数对应的点的集合构成区域的面积为________. 【考点十三】复数的加减运算及其几何意义 69．（24-25高一下·河北唐山·期中）若复数，（为虚数单位），则（  ） A．2 B．3 C． D．1 70．（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 71．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 72．（24-25高一下·河北·期中）如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量，对应的复数分别为，，则（    ）    A． B．17 C．5 D． 73．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，，，若为纯虚数，则实数的值为______. 74．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数，且，则__________． 75．（24-25高一下·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 76．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数满足（为虚数单位），则______． 【考点十四】复数的乘除运算 77．（24-25高一下·广东佛山·期中）设，其中a，b为实数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 78．（24-25高一下·甘肃平凉·期中）=（    ） A． B． C． D． 79．（多选）（24-25高一下·重庆·月考）已知复数z满足：，则（   ） A． B．的虚部是3 C． D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限 80．（多选）（24-25高一下·江西·期中）已知，设，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为8 81．（24-25高一下·广东佛山·期中）复数的实部是_______. 82．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则______． 83．（24-25高一下·吉林·期中）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； 84．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，试证明下列结论. (1)； (2)； (3). 【考点十五】复数的三角表示 85．（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 86．（多选）（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，且，则 87．（24-25高一下·广东揭阳·期中）欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为_____． 88．（23-24高一下·内蒙古乌海·期中）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限. 89．（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为______． 90．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【考点十六】基本立体图形 91．（24-25高一下·陕西·期中）一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（    ） A．三棱锥 B．四棱柱 C．三棱台 D．五棱锥 92．（24-25高一下·山东淄博·期中）给出下列四个命题，正确的是（   ）． A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 93．（24-25高一下·甘肃武威·期中）下列立体图形为平行六面体的是（   ）. A． B． C． D． 94．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 95．（多选）（24-25高一下·山西·期中）下列命题中为真命题的有（    ） A．圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．棱柱的侧面都是菱形 D．四面体是棱锥 96．（多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 B．通过圆台侧面一点，有无数条母线 C．过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形都是等腰三角形 D．侧面是全等矩形的三棱柱一定是正三棱柱 97．（24-25高一下·河北邢台·期中）正三棱柱的底面边长为1，高为4，在棱上分别任取点E，F，则的最小值为_________． 98．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为__________公里. 99．（24-25高一下·河北·期中）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________. 100．（23-24高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【考点十七】立体图形的直观图 101．（24-25高一下·重庆·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 102．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ）    A．12 B．24 C． D． 103．（24-25高一下·海南海口·期中）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（   ）    A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的2倍 C．是等边三角形 D．的周长是 104．（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（    ） A．8cm B．6cm C．cm D．cm 105．（多选）（23-24高一下·云南·期中）已知梯形，按照斜二测画法画出它的直观图，如图，其中，，，下列说法正确的有（    ） A．线段平行于轴 B． C．梯形是直角梯形 D．梯形的面积是3 106．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期中）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 107．（24-25高一下·河北石家庄·期中）如图所示，一个平面图形在斜二测画法下的直观图为直角梯形（上底为2，下底为4，高为2），则原平面图形的面积为________． 108．（24-25高一下·四川广元·期中）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为_______． 109．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则的面积为________ 110．（24-25高一下·四川德阳·期中）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为_____.    【考点十八】简单几何体的表面积与体积 111．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知球的半径为2，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 112．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知圆柱的底面半径为1，高为2，圆柱的体积是（   ） A． B． C． D． 113．（24-25高一下·云南德宏·期中）已知正三棱台的上底边长为，下底边长为，侧棱长为5，则该正三棱台的体积为（    ） A． B．63 C． D．21 114．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 115．（多选）（23-24高一下·云南大理·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 116．（多选）（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆台的高为2 B．圆台的侧面积为 C．圆台外接球的体积是 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 117．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥底面半径为2，母线长为3，则此圆锥的侧面积为________． 118．（24-25高一下·重庆南岸·期中）圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长，则圆台体积为_____． 119．（24-25高一下·广西防城港·期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 120．（24-25高一下·山东菏泽·期中）请按所学立体几何相关内容，解答下面2个问题： (1)一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比. (2)已知正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长为2cm，求该棱台的体积. 【考点十九】空间点、直线、平面之间的位置关系 121．（24-25高一下·陕西榆林·期中）若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 122．（24-25高一下·江苏南通·期中）在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 123．（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 124．（24-25高一下·广东清远·期中）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（    ） A．直线在平面内 B．直线平行平面 C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行 125．（多选）（23-24高一下·吉林白山·期中）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 126．（多选）（24-25高一下·吉林·期中）已知是两条不同的直线，是平面，若，则可能（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 127．（23-24高一下·广东东莞·期中）在棱长为的正方体中，若为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为____________． 128．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，在三棱锥中，，点在棱上，点在棱上，且，设表示与所成的角，表示与所成的角，则的值为__________.    129．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 130．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【考点二十】空间直线、平面的平行 131．（24-25高一下·福建三明·期中）在空间中，，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则，为异面直线 C．若，，，则 D．若，，则 132．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 133．（24-25高一下·湖南·期中）已知α，β是两个不同的平面，直线l⊥β，则“”是“l⊥α”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 134．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（   ） A．3 B．2 C． D． 135．（多选）（24-25高一下·河南郑州·期中）下列关于平行的说法正确的是（   ） A．空间中平行于同一条直线的两直线平行 B．a、b、c是空间中的三条直线，若且，则 C． D． 136．（多选）（24-25高一下·河南·期中）已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是（    ） A．， B．， C．， D．，， 137．（24-25高一下·广东广州·期中）下列命题正确的有____________． ①若直线上有无数个点不在平面内，则 ②若直线与平面平行，则与平面内的所有直线都平行 ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 ④如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 138．（23-24高一下·安徽·期末）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为________． 139．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 140．（24-25高一下·重庆南岸·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若，证明：． 【考点二十一】空间直线、平面的垂直 141．（24-25高一下·云南红河·期中）若直线平面，直线平面，则与（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 142．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 143．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，正方体棱长为2，点M，N分别为，CD的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 144．（多选）（24-25高一下·云南楚雄·期中）若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（    ） A．内存在一条直线垂直于平面 B．， C．， D．， 145．（多选）（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）若直线与平面垂直，则下列说法正确的是（   ） A．直线与平面的所有直线都垂直 B．在平面内存在与直线异面的直线 C．在平面内存在无数条直线与直线相交 D．在平面内存在与直线平行的直线 146．（22-23高一下·云南保山·期中）在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为__________. 147．（23-24高一下·河南开封·期中）在三棱锥中，已知平面OAB，，，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则______．（用角度表示） 148．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为__________. 149．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 150．（24-25高一下·贵州毕节·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，垂直于底面，E为的中点，，O为中点． (1)求证：平面； (2)求证： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题必刷基础150题（21大考点专练） 【考点一】 相等向量与共线向量 【考点十二】复数的几何意义 【考点二】向量的加法运算 【考点十三】复数的加减运算及其几何意义 【考点三】向量的减法运算 【考点十四】复数的乘除运算 【考点四】向量的数乘运算 【考点十五】复数的三角表示 【考点五】向量的数量积 【考点十六】基本立体图形 【考点六】平面向量基本定理 【考点十七】立体图形的直观图 【考点七】平面向量加、减运算的坐标表示 【考点十八】简单几何体的表面积与体积 【考点八】平面向量数乘运算的坐标表示 【考点十九】空间点、直线、平面之间的位置关系 【考点九】平面向量数量积的坐标表示 【考点二十】空间直线、平面的平行 【考点十】平面向量的应用 【考点二十一】空间直线、平面的垂直 【考点十一】余弦定理、正弦定理 【考点一】相等向量与共线向量 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据题意，得到向量和的方向相同，结合选项，即可得到答案. 【详解】由都是非零向量，且， 因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以向量和的方向相同， 结合选项，可得成立的充分条件为. 故选：C. 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【答案】A 【分析】由，得到四边形为平行四边形，再由，得到，得出四边形为菱形. 【详解】由题意，四边形中， 因为，可得且，所以四边形为平行四边形， 又因为，可得， 所以四边形为菱形. 故选：A. 3．（24-25高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C．共线的单位向量必相等 D．若与不共线，则与都是非零向量 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义，向量相等，向量共线的概念分析各个选项即可得到答案. 【详解】对选项A，根据单位向量的定义，单位向量的方向不确定，故A选项错误；对选项B，两个向量相等只需要长度相等，方向相同，但起点不一定相同，故B错误；对选项C，共线的单位向量可能方向相反，此时两向量不相等，故C错误；对选项D，因为零向量与任意向量都共线，故若与不共线，则与都是非零向量，D正确. 故选：D 4．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知是平面内不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的判断方法，从两个方向判断即得. 【详解】因为是不共线的四点， 若，则有，，故四边形为平行四边形； 若四边形为平行四边形，则有. 故“”是“四边形为平行四边形”的充要条件. 故选：C. 5．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．时间能称为向量 B．所有单位向量都是相等向量 C．模为0的向量与任一非零向量平行 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量的概念判断A；根据相等向量的定义判断BD；根据平行向量的定义判断C. 【详解】时间只有大小，没有方向，不是向量，故A错误； 所有单位向量的模都为，但方向不一定相同，所以不一定是相等向量，故B错误； 模为0的向量是零向量，零向量与任何一个非零向量平行，故C正确； 相等向量要求大小和方向都相同，故D错误． 故选：C． 6．（24-25高一下·陕西·期中）以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 【答案】D 【分析】根据向量、共线向量、零向量、单位向量的概念逐一判断． 【详解】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故A错； 对于B，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，B错， 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小， 而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确； 故选：D． 7．（24-25高一下·河南洛阳·期中）下列结论正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C．直角坐标平面上的轴，轴都是向量 D．若与是平行向量，则 【答案】B 【分析】根据单位向量、方位角、平行（共线）向量等的定义判断各项的正误. 【详解】A：由单位向量只是模长相等，但方向任意，故不一定成立，错； B：如下图，上北右东，则南偏西60°的向量，北偏东60°的向量， 显然它们是方向相反的向量，即为共线向量，对； C：直角坐标系中，、轴有方向，但无大小，与向量的概念不符，错； D：与是平行向量，也有可能方向相反的情况，故不一定成立，错. 故选：B 【考点二】向量的加法运算 8．（24-25高一下·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法的三角形法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 9．（24-25高一下·四川眉山·期中）已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】在平面四边形ABCD中， ＋， 所以＋＋， 故选：A 10．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得. 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. . 故选：D 11.（23-24高一下·广东广州·期中）已知正方形的边长为2，则为______． 【答案】 【分析】根据向量的加法公式，以及正方形的性质，即可求解. 【详解】. 故答案为： 【考点三】向量的减法运算 12．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列向量的运算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解. 【详解】由，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：C. 13．（24-25高一下·四川·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算可得计算结果. 【详解】. 故选：D. 14．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量减法求解即得. 【详解】依题意得，，则，， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 15.（24-25高一下·陕西渭南·期中）的化简结果为________. 【答案】 【分析】根据向量加减运算法则直接得出结果. 【详解】易知. 故答案为： 16．（24-25高一下·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由向量的线性运算法则， 可得. （2）解：由向量的运算法则，可得. 17.（23-24高一下·四川·期中）（1）已知非零向量,求作向量，使； （2）（1）中表示的有向线段能构成三角形吗？说明理由． 【答案】（1）作图见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）当两个向量不共线时，利用平行四边形法则或者三角形法则作出，再作出其相反向量即是；当两个向量共线时,直接首尾相连做出，再作出相反向量即可； （2）通过（1）可得当两个向量不共线时，对应有向线段可以构成三角形，当两个向量共线时,不可以构成三角形. 【详解】解：（1）如图所示，当两个向量，不共线时，作平行四边形OADB， 使得，，则． 又 ，所以，即． 法二：利用向量的三角形法则，如图，作ABC， 使得，，，则，即． 当向量，两个共线时，如图，使得，，， 则 ，，所以 ，即 ． （2）由（1）可知，当向量，不共线时，表示，，的有向线段能构成三角形； 当向量，共线时，，，的有向线段不能构成三角形． 【考点四】向量的数乘运算 18．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 19．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算即可. 【详解】因，则， 则. 故选：A 20.（24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 【答案】 【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且， 所以 21．（23-24高一下·湖北·期中）平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，根据向量数量积的定义可得，不等式两边取平方计算得，利用向量的模长公式结合数量积的运算律计算得，利用换元法计算可得其最小值. 【详解】由题意，， ， 设向量与向量的夹角为，则， ，， 则，即，，解得， ， 令，则， 设， 则， ， 的最小值为，即的最小值是. 故答案为：. 22.（24-25高一下·贵州黔南·期中）在平行四边形中，已知点E在线段上，且，设向量，用表示，则_________． 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意. 故答案为：. 23．（24-25高一下·四川成都·期中）在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足，点Q为线段AB的中点.则__________. 【答案】 【分析】若分别为的中点，得到，根据已知得，进而可得，可求结论. 【详解】由，所以， 所以，所以 取分别为的中点，如下图， 则，即，所以，所以， 因为为的中点，所以，又，则， 所以，所以三点共线， 所以，，所以， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 24．（24-25高一下·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 【答案】内心 【分析】利用单位向量和加法运算的几何意义得平分，从而得结论. 【详解】分别表示同方向的单位向量， 故平分，即平分， 所以直线一定经过的内心. 故答案为:内心. 25.（24-25高一下·贵州毕节·期中）已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 【答案】， 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合方程组的思想求解即得. 【详解】由，得，而， 因此，解得，， 所以，. 26．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据向量的数乘运算求解； （2）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可； （3）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可； （4）（5）根据向量的加减法法则求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4）； （5） 【考点五】向量的数量积 27.（23-24高一下·四川泸州·期中）已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义，在方向上的投影向量为，代入计算即可. 【详解】根据定义，在方向上的投影向量为. 故选：B. 28．（24-25高一下·新疆·期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，故根据数量积定义、投影向量定义即可求解． 【详解】由题意可知，，得到，即， 所以， 则向量在向量上的投影向量是． 故选：B． 29．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C 30．（24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 【答案】 【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且， 所以 31．（23-24高一下·湖北·期中）平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，根据向量数量积的定义可得，不等式两边取平方计算得，利用向量的模长公式结合数量积的运算律计算得，利用换元法计算可得其最小值. 【详解】由题意，， ， 设向量与向量的夹角为，则， ，， 则，即，，解得， ， 令，则， 设， 则， ， 的最小值为，即的最小值是. 故答案为：. 32．（24-25高一下·云南文山·期中）已知非零向量，，其中，，且满足，则__________. 【答案】2 【分析】根据向量垂直的充要条件和数量积的定义即可求解. 【详解】∵， ∴，即， 则. 又∵，， ∴，解得：． 故答案为：. 33.（23-24高一下·四川泸州·期中）已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求出的值，即可求得答案； （2）根据向量的模的计算公式结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）由题意向量，，向量与的夹角为， ， 与垂直，即向量与的夹角为. （2）由（1）可知，而， 则 ， 当时，取得最小值45， 即的最小值为. 34．（24-25高一下·福建泉州·期中）（1）已知向量不共线，．若，求； （2）已知，，．若，且，求． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）由向量不共线和向量相等即可求解； （2）先由题设求出，再由题设得即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 因为向量不共线，所以； （2）由题可得， 所以由且得， 所以. 35．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知，，. (1)求与的夹角； (2)若，且，求t及. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由及，求解即可； （2）由及向量的线性运算，即可求出的值，再由向量的模的公式求解即可. 【详解】（1）解： ， 所以， 又， 所以. （2）解：由题意知 ， 即，解得， 所以， ， 所以. 【考点六】平面向量基本定理 36．（24-25高一下·河南郑州·期中）在中，E是靠近B点的三等分点，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意知在中，E是靠近B点的三等分点， 则 , 故选：C 37．（24-25高一下·广东深圳·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法法则和数乘向量的运算法则即可求出. 【详解】由点是线段的中点，得， 由，且四边形为平行四边形，得， 则 ， 故.    故选：A 38．（多选）（23-24高一下·广东深圳·月考）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性. 【详解】如图： 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：CD 39.（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知在中，为上的一点，且，若，则_________． 【答案】/ 【分析】结合向量的线性运算公式及平面向量基本定理可得，进而可求得的值，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 则. 故答案为：或. 【考点七】平面向量加、减运算的坐标表示 40．（24-25高一下·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由题意或，结合向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】由线段的一个三等分点为，得或， 若，则，所以； 若，则，所以． 故选：B. 41．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知，，点P满足，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，进而求出点的坐标. 【详解】点，，则，于是， 所以点的坐标为. 故选：C 42.（多选）（23-24高一下·河北张家口·期中）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则另一个顶点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，按平行四边形的对角线情况分类，结合向量的坐标运算得解. 【详解】记点分别为，第4个顶点为， 当线段为平行四边形对角线时，，则点，B是； 当线段为平行四边形对角线时，，则点，D是； 当线段为平行四边形对角线时，，则点，C是. 故选：BCD 43.（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 【答案】 【分析】根据给定信息，利用向量减法的坐标运算求解. 【详解】相对于的位移为. 故答案为： 44.（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知． (1)求线段的中点的坐标； (2)若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的分解式的坐标运算即可求解； （2）由向量的分解式的坐标运算即可求解. 【详解】（1） ， 因为的坐标是，所以线段的中点的坐标是； （2）若点是线段的一个四等分点，点靠近端， 则点是的中点， 类比第一问解析可得， 即点的坐标是. 【考点八】平面向量数乘运算的坐标表示 45．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（   ） A．1或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】分由三点共线，可得与共线，根据共线向量坐标表示求解. 【详解】因为三点共线，所以与共线， 则，解得或. 故选：A 46．（24-25高一下·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由单位向量的意义和共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对于A，因为向量的模为，故A错误； 对于B，因为，且向量的模为，故B正确； 对于C，因为向量的模为，故C错误； 对于D，因为，所以向量与向量不共线，故D错误. 故选：B. 47.（多选）（24-25高一下·四川成都·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】根据平面向量基底的定义，以及向量共线的条件，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A：零向量与任意向量都共线, 故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故A错误； 对于B：，所以，不共线，所以其可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底，故B正确； 对于C：，所以与不共线的，所以其可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确； 对于D：，所以与是共线的，故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故D错误. 故选：BC. 48.（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知，若，则__________. 【答案】13 【分析】由平面向量共线定理求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 解得， 故答案为：13 【考点九】平面向量数量积的坐标表示 49．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】D 【分析】利用向量垂直的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：D. 50．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】由可得， 即可得，解得. 故选：D 51．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期末）已知平面向量，，若，则______． 【答案】 【分析】由向量垂直求得，由模的坐标运算公式求解即可. 【详解】已知平面向量，，若，则,解得， 所以. 故答案为：. 52．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）平面内给定两个向量，． (1)求，夹角的余弦值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积公式，结合夹角余弦值公式，可得答案； （2）由向量的坐标，利用线性运算以及模长公式，可得答案． 【详解】（1）由题意可得，， 则，夹角的余弦值. （2）由题意可得，即. 【考点十】平面向量的应用 53．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 54．（23-24高一下·湖南常德·期中）在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 【答案】A 【分析】由数量积的运算律得到，即可得到，再由数量积的定义求出，即可判断. 【详解】因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：A 55．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 56．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知平面上三点A，B，C，且，，． (1)若A，B，C不构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若为钝角三角形，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或且 【分析】（1）根据三点共线，结合向量平行的坐标关系即可求解， （2）根据数量积的坐标运算，结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题可知，， 三点A，B，C不构成三角形，得A，B，C三点共线，故，共线， 所以，解得． 故当时，A，B，C不构成三角形， （2）当C为钝角时，， 所以，解得且， 当A为钝角时，，，， 即，，所以， 当B为钝角时，，， ，，无解． 所以或且． 【考点十一】余弦定理、正弦定理 57．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 58．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 59．（24-25高一下·河南·期末）在△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的值为__________． 【答案】2 【分析】由余弦定理得关系后，与已知比较即可得. 【详解】，则， 又，所以， 故答案为：2. 60.（24-25高一下·山西忻州·期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理进行求解； （2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解即可. 【详解】（1）变形为：， 所以，因为，所以； （2）因为，且，所以， 由正弦定理得：，即，解得：． 【考点十二】复数的几何意义 61．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数模的定义求解即得. 【详解】. 故选：A 62．（24-25高一下·浙江·期中）设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求出即可. 【详解】因为，所以对应复平面内点的坐标，所以位于第二象限， 故选：B 63．（24-25高一下·广东东莞·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义判断即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：D 64．（多选）（23-24高一下·河北唐山·期中）已知在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 结合选项可知，实数的值可以是0或1． 故选：BC． 65．（多选）（24-25高一下·山西·期中）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C． D．若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环 【答案】ACD 【分析】由题意可得，可求得的虚部和，可判断ABC；利用模的几何意义可判断D. 【详解】由题意得的虚部为，故AC正确，B错误； 由复数满足， 所以点的集合是以原点为圆心，分别以1和5为半径的两个圆所夹的圆环，故D正确． 故选：ACD. 66．（24-25高一下·云南玉溪·期中）若，则________． 【答案】 【分析】利用复数的模的公式计算即得. 【详解】因，则. 故答案为：. 67．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知复数满足，当的虚部取最小值时，_____ 【答案】 【分析】设，利用复数模长建立方程并求出的最小值，再求出的值即可求出复数. 【详解】设，则， 依题意，，即， 由，得，解得， 当的虚部取最小值时，即当时，则，解得， 所以. 故答案为： 68．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知复数满足，则在复平面内复数对应的点的集合构成区域的面积为________. 【答案】 【分析】利用复数的模的几何意义判断复平面内动点所在的区域形状，用面积公式计算即可. 【详解】设，， ，，即， 则复数对应的点所在区域为以为圆心，分别以1和3为半径的两个同心圆围成的圆环部分， . 故答案为：. 【考点十三】复数的加减运算及其几何意义 69．（24-25高一下·河北唐山·期中）若复数，（为虚数单位），则（  ） A．2 B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的减法运算及复数的模的计算公式即可求解. 【详解】， 故选：C. 70．（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将复数化为一般形式，利用复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】复数， 由此复数在复平面内对应的点在第四象限，有，解得. 故选：A. 71．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题分别求出，比较大小即可. 【详解】由题意得，所以． 故选：A. 72．（24-25高一下·河北·期中）如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量，对应的复数分别为，，则（    ）    A． B．17 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】在复平面内每个小方格的边长均为1，由图可得，， 所以，则． 故选：A． 73．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，，，若为纯虚数，则实数的值为______. 【答案】0 【分析】先求出，再结合纯虚数的定义求解即可. 【详解】由题意，，， 所以， 因为为纯虚数， 所以，解得. 故答案为：0. 74．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数，且，则__________． 【答案】2 【分析】根据复数运算及复数相等得出参数值，最后计算即可求解. 【详解】由，则， 所以，解得， 所以． 故答案为：2. 75．（24-25高一下·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 【答案】2 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可． 【详解】由复数，， 可得为纯虚数， 则，解得． 故答案为：2． 76．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数满足（为虚数单位），则______． 【答案】 【分析】设，再根据复数的模及复数的加减法运算化简即可得解. 【详解】设， 由，得， 所以，解得（舍去） 所以. 故答案为：. 【考点十四】复数的乘除运算 77．（24-25高一下·广东佛山·期中）设，其中a，b为实数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据复数相等计算求参. 【详解】因为，则. 故选：B. 78．（24-25高一下·甘肃平凉·期中）=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算法则计算即可. 【详解】 . 故选：B 79．（多选）（24-25高一下·重庆·月考）已知复数z满足：，则（   ） A． B．的虚部是3 C． D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【分析】先化简复数，结合选项逐个验证可得答案. 【详解】因为，所以， ，故A正确； 复数z在复平面内对应的点为位于第一象限，故D错误； ，其虚部为，故B错误； ，故C正确. 故选：AC. 80．（多选）（24-25高一下·江西·期中）已知，设，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为8 【答案】BC 【分析】对于A，举反例即可；对于B，根据条件求出即可得解；对于C，先求出，进一步得即可判断；对于D，由复数的几何意义即可判断. 【详解】设，显然满足，但，A错误； 由，得，所以， 则解得或，所以，B正确； 由，得，所以，C正确； 若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与点的距离，则距离的最大值为，D错误． 故选：BC． 81．（24-25高一下·广东佛山·期中）复数的实部是_______. 【答案】/ 【分析】利用复数的除法运算可得答案. 【详解】复数的实部是. 故答案为：. 82．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则______． 【答案】 【分析】根据复数的除法求出，再求共轭复数即可． 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：． 83．（24-25高一下·吉林·期中）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的乘法运算并结合纯虚数的定义解方程即可得出结果； （2）由共轭复数定义并计算出结果，再利用实数的虚部为0，解方程可求得. 【详解】（1）易知， 若复数为纯虚数，可得， 解得； （2）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； 84．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，试证明下列结论. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据共轭复数的概念求得，，利用复数的乘法法则得，利用复数模的运算得，即可证明； （2）利用复数商的运算法则及模的运算得，根据复数模的运算求得，即可证明； （3）利用复数加减运算法则及模的运算得，利用复数模的运算得，即可证明. 【详解】（1）因为，所以，所以， 而，所以，所以； （2）因为， 所以， ， 故； （3）因为， 所以， 所以， 而，所以， 所以. 【考点十五】复数的三角表示 85．（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意化简即可得解. 【详解】根据题意，由， 可得 . 故虚部为. 故选：C 86．（多选）（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，且，则 【答案】BCD 【分析】对于B,C,D选项，，可以选设复数的代数形式或者三角形式，利用复数的运算法则和共轭复数的定义运算判断结果；对于A选项，可以考虑举反例说明其错误. 【详解】对于A项，当时，而故A项错误； 对于B项，设其中， 则，则； 而 ，故B项正确； 对于C项，设其中， ，则，而，故C项正确； 对于D项，设其中，,依题，不全为零， 则由可得，化简得 ，即 因不全为零，不妨设，则有，即, 故得，即，故D项正确. 故选：BCD. 87．（24-25高一下·广东揭阳·期中）欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为_____． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出复数的代数形式即可得解. 【详解】依题意，， 所以的实部为． 故答案为： 88．（23-24高一下·内蒙古乌海·期中）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限. 【答案】四 【分析】根据欧拉公式及复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意得， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故答案为：四. 89．（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为______． 【答案】 【分析】结合复数定义，借助所给公式计算即可得. 【详解】， 故其虚部为. 故答案为：. 90．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明； （2）根据题意，将复数化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）证明： . （2）依题意，， 所以 . （3）设，则， 因此，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 【考点十六】基本立体图形 91．（24-25高一下·陕西·期中）一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（    ） A．三棱锥 B．四棱柱 C．三棱台 D．五棱锥 【答案】C 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的结构特性，即可得出每个几何体的面数. 【详解】三棱锥由4个面围成，四棱柱和五棱锥均由6个面围成，三棱台由5个面围成． 故选：C. 92．（24-25高一下·山东淄博·期中）给出下列四个命题，正确的是（   ）． A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【答案】D 【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可. 【详解】解：对于A，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A错误； 对于B，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B错误； 对于C，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C错误； 对于D，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直， 所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D正确. 故选：D. 93．（24-25高一下·甘肃武威·期中）下列立体图形为平行六面体的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行六面体是一种底面为平行四边形的四棱柱‌，属于特殊的四棱柱结构，其六个面均由平行四边形组成，即可依次判断ABCD. 【详解】由平行六面体的定义， 选项A,C,D底面不为平行四边形，故A,C,D错误； 选项B满足平行六面体的特征. 故选：B. 94．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开，利用，根据勾股定理求出即可得出结论. 【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开， 所以的周长为， 在正三棱锥中，，侧棱长为4， 所以， ， ， 故选：C. 95．（多选）（24-25高一下·山西·期中）下列命题中为真命题的有（    ） A．圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．棱柱的侧面都是菱形 D．四面体是棱锥 【答案】AD 【分析】根据空间几何体的结构特征判断即可. 【详解】对于A：圆柱的侧面沿母线展开得到的是一个矩形，故A正确； 对于B：用一个平行底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故B错误； 对于C：棱柱的侧面都是平行四边形，故C错误； 对于D：四面体是三棱锥，故D正确. 故选：AD 96．（多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 B．通过圆台侧面一点，有无数条母线 C．过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形都是等腰三角形 D．侧面是全等矩形的三棱柱一定是正三棱柱 【答案】ACD 【分析】利用棱锥，圆台，圆锥和正棱柱的定义和结构特征逐一判断选项即可. 【详解】对于A，因棱锥都是由一个多边形的底面和另外多个有一个公共顶点的三角形构成， 依题意平行四边形所在的面必是底面，故它一定是四棱锥，故A正确； 对于B，因圆台可由圆锥用平行于底面的平面截得，而圆锥的母线是连接圆锥顶点与底面圆上一点的连线， 所以经过圆台侧面一点，有且只有一条母线，故B错误； 对于C，因过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形是由两条母线和底面圆的一条弦构成的三角形，故它一定是等腰三角形，故C正确； 对于D，三棱柱的侧面是矩形，说明它是直三棱柱，这些矩形为全等矩形，可分为两种情况考虑： ①全等的矩形与底面的交线都相等，此时底面是正三角形，故是正三棱柱； ②全等的两个矩形中一个矩形的侧棱与另一个矩形的底面边相等，此时可推得棱柱的所有棱长相等，故也能推出正三棱柱，故D正确. 故选：ACD. 97．（24-25高一下·河北邢台·期中）正三棱柱的底面边长为1，高为4，在棱上分别任取点E，F，则的最小值为_________． 【答案】5 【分析】把正三棱柱的侧面沿剪开展在同一平面内，利用两点间线段最短求得答案. 【详解】将正三棱柱的侧面沿剪开展在同一平面内，连接，如图， 四边形是矩形，且， 所以． 故答案为：5 98．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为__________公里. 【答案】5 【分析】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为，由圆锥的结构特征求出的值，作出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理计算可得答案． 【详解】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为， 该圆锥中，底面半径为1公里，母线长为4公里，则有，变形可得， 如图为该圆锥的展开图， 有，，则， 故， 即符合题意最短的铁路的长度为5． 故答案为：5． 99．（24-25高一下·河北·期中）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________. 【答案】 【分析】根据题意在正方体中找到截面，算出各边长再求周长即可. 【详解】在正方体中，设直线与直线，分别交于，，连接，分别与，交于点，，连接，，则五边形是过、、的正方体的截面. 由为中点，为中点，得， ，则，同理. ，即，，同理，. ，，， 所以截面的周长为. 故答案为：. 100．（23-24高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积关系可得，进而可得母线长； （2）取的中点，由题意可得，利用基本不等式求面积最大值. 【详解】（1）因为轴截面的面积为，解得， 所以圆锥的母线长为. （2）取的中点，连接，则， 可得，则， 当且仅当，等号成立，此时， 所以截面面积的最大值. 【考点十七】立体图形的直观图 101．（24-25高一下·重庆·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据已知条件求出直角梯形的面积，然后根据原平面图形的面积与直观图的面积之间的关系求出结果. 【详解】根据题意，该图形的直观图是直角梯形， 则其面积， 那么该平面图形的面积为. 故选：D. 102．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ）    A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】利用斜二测画法的规则，即可还原三角形为直角三角形，从而可求三角形面积. 【详解】由斜二测画法的规则，可知原图是直角三角形， 且，， 故原图的面积为：， 故选：A. 103．（24-25高一下·海南海口·期中）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（   ）    A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的2倍 C．是等边三角形 D．的周长是 【答案】D 【分析】根据斜二测画法，求得高，并还原图形，对应表示出各边长，利用三角形的性质、面积以及周长公式，可得答案. 【详解】由题意，过作，垂足为，如下图：    则， 根据斜二测画法还原图形，可得下图：    则，，，， 易知为等腰三角形，故A错误；C错误； 由的面积， 的面积，则，故B错误； 的周长，故D正确. 故选：D. 104．（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（    ） A．8cm B．6cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】根据给定条件，作出三视图对应的原图形，进而求得周长. 【详解】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，， ，， 所以平行四边形的周长是. 故选：A 105．（多选）（23-24高一下·云南·期中）已知梯形，按照斜二测画法画出它的直观图，如图，其中，，，下列说法正确的有（    ） A．线段平行于轴 B． C．梯形是直角梯形 D．梯形的面积是3 【答案】ABC 【分析】将直观图还原为原图形，得到各边长和梯形面积，即可进行判断. 【详解】 直观图还原为原图形，是直角梯形， 如图，其中，，，线段平行于轴，故ABC正确； 梯形的面积为，故D错误； 故选：ABC． 106．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期中）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 【答案】AD 【分析】根据斜二测画法还原，然后求出三边即可得答案. 【详解】根据斜二测画法还原，如图所示： 由斜二测画法可知，， 则，所以为正三角形. 所以. 故选：AD 107．（24-25高一下·河北石家庄·期中）如图所示，一个平面图形在斜二测画法下的直观图为直角梯形（上底为2，下底为4，高为2），则原平面图形的面积为________． 【答案】 【分析】求出直观图面积，根据原图形面积与直观图面积关系求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 108．（24-25高一下·四川广元·期中）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为_______． 【答案】 【分析】得到，将直观图还原为原图，求出，由此即可得解. 【详解】由题意，所以，可得为直角三角形， 所以， 根据题意，将直观图还原为原图，如图所示， 可得为直角三角形，其中， 由勾股定理得， 所以的周长为． 故答案为：. 109．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则的面积为________ 【答案】4 【分析】应用斜二测画法确定原图相关线段的长度及，即可求面积. 【详解】由题设及斜二测画法知，，且， 所以的面积为. 故答案为：4 110．（24-25高一下·四川德阳·期中）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为_____.    【答案】4 【分析】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，    则是直角三角形，其中， 故的面积为． 故答案为：4. 【考点十八】简单几何体的表面积与体积 111．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知球的半径为2，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球的体积公式即可求得答案. 【详解】球的半径为2，则该球的体积为, 故选：B 112．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知圆柱的底面半径为1，高为2，圆柱的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱体积公式直接计算可得. 【详解】由圆柱体积公式可得. 故选：A 113．（24-25高一下·云南德宏·期中）已知正三棱台的上底边长为，下底边长为，侧棱长为5，则该正三棱台的体积为（    ） A． B．63 C． D．21 【答案】C 【分析】直接运用三角形面积公式，结合正三棱台的几何性质、棱台体积公式进行求解即可. 【详解】如图所示，，分别是上，下底面的中心，连接，，， 在平面内作于， 因为正三棱台的上底边长为，下底边长为， 所以上底面面积为， 上底面三角形外接圆半径为， 下底面面积为， 下底面三角形外接圆半径为， 于是该正三棱台的高为， 因此该正三棱台的体积为， 故选：C 114．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定直角梯形绕直角边旋转，形成圆台，然后通过梯形的边长确定圆台上、下底面半径及母线长，最后利用圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】 如图所示，直角梯形绕直角边旋转一周得到圆台，其中： 上底面半径，下底面半径，母线长为边的长度. 在梯形中，， 则圆台的侧面积． 故选：A. 115．（多选）（23-24高一下·云南大理·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式，体积公式逐项计算可得结论. 【详解】对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确． 对于B：圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为， 球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确． 对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为， 圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误. 故选：ABC. 116．（多选）（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆台的高为2 B．圆台的侧面积为 C．圆台外接球的体积是 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 【答案】BCD 【分析】在圆台轴截面利用勾股定理计算判断A选项；利用圆台的侧面积公式计算判断B选项；利用轴截面计算圆台外接球的半径，再利用球的体积公式计算得出结果判断C选项；在圆台的侧面上，从到的最短路径，在计算求得判断D选项； 【详解】对于A,如图所示， 过作交于点，过作交于点, 根据题意在中，, 故A错误； 对于B，圆台的侧面积为，故B正确； 对于C，设圆台外接球的球心为，半径.由题意可得：. 设，则，由，即， 解得：.即重合，所以.圆台外接球的体积是.故C正确； 对于D，如图示， 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确. 故选：BCD. 117．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥底面半径为2，母线长为3，则此圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面积公式（其中为底面圆半径，为母线长），代入已知参数求解. 【详解】由题知，底面半径，母线长， 则圆锥侧面积. 故答案为：. 118．（24-25高一下·重庆南岸·期中）圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长，则圆台体积为_____． 【答案】 【分析】利用半径和母线求出圆台的高，代入体积公式计算可得结果. 【详解】易知圆台的上底面面积为，下底面面积为； 又母线长为，所以圆台的高为； 所以圆台体积为. 故答案为： 119．（24-25高一下·广西防城港·期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的体积公式列出方程求解. （2）由（1）的结论，求出圆的内接正三角形的边长，再利用柱体体积公式求解. 【详解】（1）设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得， 所以圆柱的底面半径为2. （2）由（1）知，正外接圆半径为2，则边长， 所以三棱柱的体积. 120．（24-25高一下·山东菏泽·期中）请按所学立体几何相关内容，解答下面2个问题： (1)一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比. (2)已知正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长为2cm，求该棱台的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两者底面积、侧面积的关系可得正方体棱长、圆柱半径、母线长的关系，故可求它们的体积之比； （2）根据对角面可求体高，故可求体积. 【详解】（1）设正方体的棱长为，圆柱底面半径为，母线长为， 则且，故，， 故正方体的体积与圆柱的体积之比为. 如图，连接，则， 由侧棱长为可得正四棱台的高为， 故该棱台的体积为. 【考点十九】空间点、直线、平面之间的位置关系 121．（24-25高一下·陕西榆林·期中）若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点线面的关系即可求解. 【详解】由点、线、面关系的表示方式知A、B、D错误，C正确. 故选:C. 122．（24-25高一下·江苏南通·期中）在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据正四棱台的结构特征及异面直线的定义判断各项两条直线是否为异面直线. 【详解】由正四棱台的结构特征有，A不符； 由棱台的性质知，四条侧棱延长线交于一点，记为， 又分别为的中点，则也交于点，B不符； 由棱台结构易知平面， 由平面，平面平面，则，C不符； 由平面，又且都在平面内，，则和为异面直线，D符合. 故选：D 123．（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则. 故选：C 124．（24-25高一下·广东清远·期中）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（    ） A．直线在平面内 B．直线平行平面 C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系，结合题意即可判断． 【详解】由题，设直线为，平面为， 要使一条直线的两点到一个平面的距离为2，则由线面位置关系可得， 当时，可满足题意， 当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意， 当时，无法满足题意， 故直线与平面相交或平行． 故选：D． 125．（多选）（23-24高一下·吉林白山·期中）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 【答案】BCD 【分析】对于A，运用长方体举反例证明其错误；对于B，利用直线与平面平行的性质定理得到线线平行，再得到线线垂直；由平面与平面平行的性质定理判断C；由平行的传递性及线面角的定义判断D. 【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设为直线为直线， 四边形所在的平面为，四边形所在的平面为， 显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，A错误； 对于B，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线， 则，由 知，从而；B正确 对于C，由平面与平面平行的定义知，如果，那么C正确； 对于D，由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确． 故选：BCD． 126．（多选）（24-25高一下·吉林·期中）已知是两条不同的直线，是平面，若，则可能（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 【答案】BCD 【分析】根据直线与平面平行的性质，结合直线与直线的位置关系的定义来逐一分析选项. 【详解】若与相交，则与有公共点，因为，所以公共点在平面内，那么与有公共点，这与矛盾，所以与不可能相交，选项错误. 当，时，与可能平行.例如在正方体中，平面，平面，此时，所以与可能平行，选项正确. 当，时，与可能垂直.例如在正方体中，平面，平面，，所以与可能垂直，选项正确. 当，时，与可能异面.例如在正方体中，平面，平面，与异面，所以与可能异面，选项正确. 因此，与可能平行、垂直、异面. 故选：BCD. 127．（23-24高一下·广东东莞·期中）在棱长为的正方体中，若为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为____________． 【答案】18 【分析】取的中点，连接，则梯形为过三点的截面，然后求解其面积即可. 【详解】取的中点，连接， 因为为的中点，所以‖，， 因为‖，，所以‖，， 所以四点共面，即过三点的截面为梯形， 因为正方体的棱长为4， 所以， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故答案为：18 128．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，在三棱锥中，，点在棱上，点在棱上，且，设表示与所成的角，表示与所成的角，则的值为__________.    【答案】/ 【分析】如图，作，则，进而，得，即可求解. 【详解】作交于，连接，则. 而，所以，则. 由，得，所以， 又，， 所以，故. 故答案为：    129．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析， 【分析】（1）先证明，可推得相交于点，再证明即可； （2）依次连接，易证，可得四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周长. 【详解】（1）证明:正方体中，如图连接， 因，则四边形是平行四边形，则， 因分别是的中点，则， 故，所以四点共面，因， 则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 故，即点在直线上，所以直线交于同一点. （2） 如图所示，依次连接， 易证，故四点共面. 则即为所求截面. 而， 所以的周长为. 130．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出可得； （2）利用基本事实3可证三线共点. 【详解】（1）连接，到平面的距离为， 因为，故. 故，故. （2）在平面中，不平行，设，      则且，故平面 且平面， 故平面平面， 所以三线共点. 【考点二十】空间直线、平面的平行 131．（24-25高一下·福建三明·期中）在空间中，，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则，为异面直线 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据空间中点线面的位置关系，判断各选项正误. 【详解】 如图所示，当相交，直线垂直于相交的平面时，满足，，但是此时不满足，所以A错误. 如图所示，当两个平面平行时，被第三个面所截，得两条交线，此时，，不满足，为异面直线，所以B错误. 如图所示，此时满足，，，但是不满足，所以C错误. 根据面面平行的定义可知，平面没有交点，当时，与平面没有交点，此时，所以D正确. 故选：D. 132．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】做出平行线，找到异面直线所成角的平面角，即可求解. 【详解】 如图所示，不妨设正方体的棱长为1. 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 在中，， 所以为等边三角形，则， 因此，异面直线与所成的角为. 故选：C. 133．（24-25高一下·湖南·期中）已知α，β是两个不同的平面，直线l⊥β，则“”是“l⊥α”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据线面，面面的位置关系，结合充分必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，因为l⊥β，所以l⊥α成立； 若l⊥α，因为l⊥β，根据与同一条直线垂直的两个平面平行，所以成立， 所以“”是“l⊥α”的充分必要条件. 故选：A． 134．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点，由题意可得出是的重心，可得，即可得出答案. 【详解】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点， 则由，，得C是DG中点， 是PD中点，是的重心， ，即. 故选：A. 135．（多选）（24-25高一下·河南郑州·期中）下列关于平行的说法正确的是（   ） A．空间中平行于同一条直线的两直线平行 B．a、b、c是空间中的三条直线，若且，则 C． D． 【答案】AD 【分析】利用公理4判断A；举例说明判断B；面面平行的性质判断C；利用线面平行的判定判断D. 【详解】对于A，空间中平行于同一条直线的两直线平行，A正确； 对于B，直三棱柱的侧棱垂直于底面两边所在直线，B错误； 对于C，若，则或是异面直线，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 136．（多选）（24-25高一下·河南·期中）已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】ABC 【分析】A. 利用线面平行的判定定理判断；B.利用线面平行的性质定理判断；C.利用线面平行的判定定理判断；D.利用线面平行的判定定理判断. 【详解】A. ，或，故错误； B. ，或a与b异面，故错误； C. ，或，故错误； D. ，，，故正确； 故选：ABC 137．（24-25高一下·广东广州·期中）下列命题正确的有____________． ①若直线上有无数个点不在平面内，则 ②若直线与平面平行，则与平面内的所有直线都平行 ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 ④如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 【答案】③ 【分析】利用直线与平面平行的定义，判定及性质逐一判断各选项. 【详解】对于①，当直线与相交时，直线上除了交点之外的所有点都不在平面内，故①错误； 对于②，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或是异面直线，故②错误； 对于③，若直线与平面内某一条直线有公共点，则这个公共点也是直线与平面的公共点，这与直线与平面平行的定义矛盾，故③正确； 对于④，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条直线也可能在平面内，故④错误； 故答案为：③ 138．（23-24高一下·安徽·期末）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为________． 【答案】 【分析】过且过的平面与面的交线平行于即为，由此能求出过点的平面截该正方体所得的截面的周长． 【详解】正方体中，分别是棱的中点， ． 平面平面， 平面， 由正方体的棱长为4， 所以截面是以为腰，为上底，为下底的等腰梯形， 故周长为． 故答案为：. 139．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 【答案】2 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质及可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，则，即. 故答案为：2. 140．（24-25高一下·重庆南岸·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若，证明：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据中位线得到，从而证明出线面平行； （2）证明出四边形为平行四边形，故，所以平面，同理可得平面，证明出面面平行，由面面平行的性质得到线线平行. 【详解】（1）因为分别为线段的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）因为四边形是平行四边形， 所以且， 点分别为线段的中点， 故且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为，即平面平面， 平面平面， 所以. 【考点二十一】空间直线、平面的垂直 141．（24-25高一下·云南红河·期中）若直线平面，直线平面，则与（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质推理即得. 【详解】由直线平面，直线平面，得直线直线. 故选：D 142．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成的角的定义，利用平行线转化为相交直线所成角，即可求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成的角为. 故选：B 143．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，正方体棱长为2，点M，N分别为，CD的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，由四边形为平行四边形得出和所成角即为或其补角，再由余弦定理即可求解． 【详解】取的中点，连接，如图所示， 由正方体得，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为中点，所以，所以， 则和所成角即为或其补角， 连接，在中，， 在中，，则， 所以和所成角的余弦值为， 故选：A． 144．（多选）（24-25高一下·云南楚雄·期中）若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（    ） A．内存在一条直线垂直于平面 B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】根据面面垂直的定义和判定定理，对选项进行判断. 【详解】，，则与可能平行可能垂直，也可能只相交不垂直，不能得出， D选项不正确，其他选项均能得出． 故选：ABC 145．（多选）（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）若直线与平面垂直，则下列说法正确的是（   ） A．直线与平面的所有直线都垂直 B．在平面内存在与直线异面的直线 C．在平面内存在无数条直线与直线相交 D．在平面内存在与直线平行的直线 【答案】ABC 【分析】根据线面垂直的定义与性质，逐一分析各选项. 【详解】A选项：根据线面垂直的定义，若，则面内的所有直线，A正确； B选项：已知，设，平面内所有不过点的直线均与异面，因此存在无数条这样的直线，B正确； C选项：平面内所有过垂足的直线均与相交于，这样的直线有无数条，C正确； D选项：若，则平面内所有直线均与垂直，不可能存在与平行的直线，D错误. 故选：ABC. 146．（22-23高一下·云南保山·期中）在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为__________. 【答案】0 【分析】根据题意可证平面，进而可得结果. 【详解】连接， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 由平面，可得， 同理可证：，，平面， 可得平面， 所以直线与平面所成角为，余弦值为0. 故答案为：0.    147．（23-24高一下·河南开封·期中）在三棱锥中，已知平面OAB，，，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则______．（用角度表示） 【答案】 【详解】因为平面OAB， 所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为。 所以，是直角三角形，，又， 所以， 因为平面OAB， 所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为。 所以，是直角三角形，，又， 所以，又， 所以在中，，所以． 故答案为：.    148．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】由题可知，，都是直角三角形，只需平面即可， 所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上， 而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等， 所以的中点是外接球的球心，所以， 所以该鳖臑外接球的表面积为． 故答案为：. 149．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据中位线的性质，结合线面平行的判断定理，即可证明； （2）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，，即可证明线面垂直； （3）利用等体积，求点到平面的距离. 【详解】（1） 如图，连接，设，连接， 因，，可得是平行四边形，则， 又，则得， 因平面，平面，故平面. （2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面 平面则， 又平面，故平面. （3）在中，， 因平面 平面则 在中，，同理，，， 故满足勾股定理，则， 故 而 ，设点D到平面的距离为d， 由等体积法得 ， 得 = 故点D到平面的距离为 150．（24-25高一下·贵州毕节·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，垂直于底面，E为的中点，，O为中点． (1)求证：平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，交于O，连结，由可证平面； （2）利用线面垂直的性质和判定定理证明. 【详解】（1）连接，交于O，连结， ∵四棱锥的底面是边长为2的正方形， ∴O是的中点，∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2）∵为正方形的对角线 ∴ ∵，且 ∴， 又∵，， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $