第15讲 基本立体图形（知识清单+8题型讲解举三反三+强化训练）讲义【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

本讲义聚焦基本立体图形核心知识点，系统梳理棱柱、棱锥、棱台等多面体及圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的概念、结构特征，衔接斜二测画法，构建从平面到空间的认知支架，形成完整知识脉络。 资料以“举三反三”题型设计为特色，通过例题与变式强化空间观念和推理能力，如展开图最短距离问题培养转化思想，斜二测画法训练几何直观。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升学生用数学语言表达空间关系的能力。

第15讲 基本立体图形 知识清单 知识点01：棱柱 知识点02：棱锥 知识点03：棱台 知识点04：多面体 知识点05：如何确定多面体的截面 知识点06：圆柱、圆锥、圆台的相关概念 知识点07：球的相关概念 知识点08：旋转面和旋转体 知识点09：圆柱、圆锥、圆台基本量的计算 知识点10：斜二测画法画直观图 知识点11：平面图形的直观图及相关计算 题型讲解 （举三反三） 题型1：棱柱、棱锥、棱台的结构特征和分类 题型2：棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题 题型3：棱柱、棱锥、棱台的截面及有关计算 题型4：圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征与辨析 题型5：圆柱、圆锥、圆台的展开图及最短距离问题 题型6：圆柱、圆锥、圆台、球的截面的有关计算 题型7：斜二测画法辨析及用斜二测画法画平面与立体图形的直观图 题型8：由直观图还原几何图形及斜二测画法中有关量的计算 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01、棱柱 1. 棱柱的相关概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 图中的六棱柱可记作 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边 2. 棱柱的分类 　　按底面多边形的边数来分，底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别 称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3. 棱柱的特点 　　棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形. 知识点02、棱锥 1. 棱锥的相关概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 图中的四棱锥可记作 棱锥S-ABCD 底面：多边形； 侧面：有一个公共顶点的三角形 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 2. 棱锥的分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 3. 棱锥的特点：棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. 知识点03、棱台 1. 棱台的相关概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台 图中的四棱台可记作 棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面：平行于棱锥底面的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧棱与上、下底面的公共点 2. 棱台的分类 　　由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…… 知识点04、多面体 名称 定义 图形 相关概念 多面体 由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体 面：围成多面体的各个多边形； 棱：相邻两个面的公共边； 顶点：棱与棱的公共点 知识点05、如何确定多面体的截面 1. 平行于底面的截面： (1)用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱，得到的截面与底面全等. (2)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的截面与底面相似. (3)用一个平行于棱台底面的平面去截棱台，得到的截面与两个底面都相似. 2. 经过不相邻的两条侧棱的截面： (1)在棱柱中(三棱柱除外)，经过不相邻的两条侧棱的截面(也称为棱柱的对角面) 是平行四边形. (2)在棱锥中(三棱锥除外)，经过不相邻的两条侧棱的截面是三角形. (3)在棱台中(三棱台除外)，经过不相邻的两条侧棱的截面是梯形. 3. 作截面的步骤： 　　一是确定截面与多面体的哪些棱相交；二是找到截面与多面体相交棱的公共点；三是将所得的公共点依次连接起来，画出截面. 知识点06、圆柱、圆锥、圆台的相关概念 1. 圆柱、圆锥、圆台的相关概念 　　将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形分别叫作圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫作轴. 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面. 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线. 2. 圆柱、圆锥、圆台的图形表示 名称 圆柱 圆锥 圆台 图形 图中的圆柱记作圆柱OO' 图中的圆锥记作圆锥SO 图中的圆台记作圆台OO' 知识点07、球的相关概念 名称 球 定义 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体， 简称球 图形及表示 图中的球记作球O 相关概念 球心：半圆的圆心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 知识点08、旋转面和旋转体 1. 一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体. 2. 圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体. 知识点09、圆柱、圆锥、圆台基本量的计算 1. 解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高(母线)与矩形(圆柱的轴截面)之间的关系，注意在矩形中一边长为圆柱的高，其邻边长为圆柱的底面直径. 2. 解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，利用截面中的直角三角形建立底面半径r、高h、母线长l三者之间的关系：l2=h2+r2，即可解决问题. 3. 解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面(等腰梯形)入手，利用轴截面可以分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合题目条件求解. 另外，也可以将其两腰延长转化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决. 知识点10、斜二测画法画直观图 1. 斜二测画法画直观图的规则 (1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°. (2)画直观图时把它们画成对应的x'轴、y'轴和z'轴，它们相交于点O'，并使∠x'Oy'= 45°(或135°)，∠x'O'z'=90°，x'轴和y'轴所确定的平面表示水平面. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y' 轴或z'轴的线段. (4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的 线段，长度为原来的一半. 直观图的作法可以总结为“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”. 知识点11、平面图形的直观图及相关计算 1. 水平放置的平面图形与直观图的面积间的关系 　　由于斜二测画法中平行于x轴的线段在直观图中长度不变，而平行于y轴的线 段在直观图中长度要减半，并且∠x'O'y'=45°(或135°)，因此平面图形的直观图中任意一点到x'轴的距离都为原图形中相应点到x轴距离的sin 45°=. 设一个平面图形的面积为S原图，利用斜二测画法得到的直观图的面积为S直观图，则有S直观图=S原图. 题型1：棱柱、棱锥、棱台的结构特征和分类 【例1-1】（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在长方体中，，若点P在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的对称性有，即可确定最小值. 【详解】由长方体的结构特征知，关于平面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时取等号. 所以的最小值为. 故选：C 【例1-2】（2024高一下·全国·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【分析】由棱锥的定义可判断A，由棱台的定义可判断BCD. 【详解】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，故A错误； 两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，故B错误，D正确； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误． 故选：D. 【例1-3】观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号). 【答案】①④ 【分析】根据棱柱的定义直观分析即可求解. 【详解】①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成. ②③显然不是棱柱拼接而成. 故答案为：①④ 【变式1-1】（24-25高一下·浙江·月考）下列说法正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．棱台的侧棱都相等 【答案】C 【分析】根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例的方法来否定对概念的错误理解. 【详解】对于A，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误， 即A错误，反例如图： 对于B，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台错误， 即B错误，反例如图： 对于C，圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故C正确； 对于D，棱台是由平行于底面的平面截得的， 故棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，故D错误. 故选：C. 【变式1-2】四面体中.若.则点在平面内的射影点是三角形的（　　） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】由已知条件推导出，由此能求出点在平面内的射影点是三角形的外心． 【详解】设在平面射影为， ∵（公用边），， ∴， ∴. ∴是三角形的外心． 故选：B． 【变式1-3】（2024高一·江苏·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是________． 【答案】②③④ 【分析】根据棱锥和棱台的定义、结构特征依次判断命题即可求解. 【详解】①：若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥， 棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，故①错误； ②：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故②正确； ③：由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，故③正确； ④：由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，故④正确； ⑤：如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故⑤错误； 故答案为：②③④. 题型2：棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题 【例2-1】（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况，利用平面展开图求解可得. 【详解】如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为. 因为，所以小虫爬行的最短路程为. 故选：A 【例2-2】（24-25高一下·江苏·随堂练习）若一个几何体的平面展开图如图所示．    （1）该几何体是__________； （2）该几何体中与“祝”字相对的是__________，与“你”字相对的是__________． 【答案】 四棱台 前 程 【分析】还原几何体可得答案. 【详解】还原几何体如图：棱台的上底面为祝，下底面为前，左侧面为似， 右侧面为锦，前面为程，后面为你.    故答案为：①四棱台；②前；③程. 【例2-3】如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要多长？ 【答案】10cm． 【详解】将长方体展开，连接， 因为，，． 根据两点之间线段最短，得所用细线最短需要10cm． 【变式2-1】（24-25高一下·河北·期中）如图，在正三棱锥中，，三条侧棱两两夹角均为，，分别是，上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】沿展开，由平面图形结合余弦定理即可求解. 【详解】把正三棱锥沿剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：、、， 则，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，又， 根据余弦定理，. 故选：A. 【变式2-2】如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为________． 【答案】/ 【分析】将图形展成平面图形，进而解三角形即可求得答案. 【详解】如图，将侧面展开在一个平面， 由题意， 在中，， 所以在中，， 由余弦定理得， 所以， 即细绳的最短长度为. 故答案为：. 【变式2-3】如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求： （1）蚂蚁经过的最短路程； （2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示， 则的长就为最短路线，由勾股定理求出，再比较即可求解； （2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线，求和即可 【详解】（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示： 则的长就为最短路线． 若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1， 则经过的最短路程为， 若蚂蚁沿侧面爬行，如图2， 则经过的最短路程为， 若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3， 则经过的最短路程为， ， ∴所以蚂蚁经过的最短路程是； （2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线， 由， 所以最长路程是． 题型3：棱柱、棱锥、棱台的截面及有关计算 【例3-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）在正方体中，若的中点为，则过点三点的截面是（    ） A．三角形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】取中点，可证，且，可得过的截面的形状. 【详解】 如图所示：取的中点，连接和， 因为分别是的中点，所以且， 又，故且， 故四点共面，且四边形是过三点的截面， 又因为四边形是梯形，故选B. 故选：B 【例3-2】（24-25高一下·江苏常州·月考）如图，在棱长为2的正方体中，为中点，为中点，过、、三点作正方体的截面，则截面的周长为_________. 【答案】/ 【分析】根据题意作出截面，结合正方体的性质求出相关线段的长，即可求得答案. 【详解】设直线与直线分别交于，连接, 分别交于，连接， 则五边形即为过、、三点作正方体的截面； 由于为中点，为中点，故， 由于，故，同理, 又，则，则，， 同理可求得，， 则，， , 故截面的周长为， 故答案为：. 【例3-3】（24-25高一下·江苏镇江·月考）在边长为2的正方体中，是的中点，那么过点、、的截面图形为__________（在“三角形、矩形、正方形、菱形”中选择一个）；截面图形的面积为__________. 【答案】 菱形 【分析】利用直线与直线的平行关系确定截面；再利用菱形的面积公式求截面面积. 【详解】    如图，取的中点为，连接, 因为且, 所以四边形为菱形， 所以过点、、的截面图形为菱形； 连接,则, 所以截面图形的面积为， 故答案为: 菱形；. 【变式3-1】如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正三棱锥的侧面展开，结合侧面展开图，得到要使的周长的最小，则共线，再由正三棱锥的结构特征和数量关系，即可求解. 【详解】将正三棱锥沿剪开，得到侧面展开图，如图所示， 因为，即， 由的周长为， 要使的周长的最小，则共线，即， 又由正三棱锥侧棱长为，是等边三角形， 所以，即虫子爬行的最短距离是. 故选：B.    【变式3-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为______． 【答案】 【分析】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为周长的最小值，在，由勾股定理能求出的值． 【详解】解：如图，沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如下图所示： 则即为的周长的最小值，且， 在中，由勾股定理得：． 故答案为： 【变式3-3】一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为______. 【答案】 【分析】由正四棱台的几何特征知四边形为高为3的等腰梯形，进而结合梯形的面积公式即可求出结果. 【详解】 由正四棱台的几何特征知，,,且四边形为高为3的等腰梯形， 所以, 所以, 因此经过相对两侧棱的截面的面积为， 故答案为：. 题型4：圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征与辨析 【例4-1】下列命题是真命题的是（    ） A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形 【答案】D 【分析】利用空间几何体的结构，依次分析选项即可得到答案. 【详解】对于A，两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱，A错误． 对于B，正三棱锥的底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，B错误． 对于C，经过不共线的三个点只能确定一个平面，经过不共线的三个点的球有无数个，C错误． 对于D，直棱柱的侧面是矩形，D正确． 故选：D 【例4-2】（24-25高一下·江苏淮安·月考）下列说法正确的是（    ） A．空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球 B．以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥 C．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 【答案】D 【分析】根据球面的定义判断A，根据圆锥的定义判断B，根据圆台的定义判断C，根据棱柱的性质判断D. 【详解】空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球面，不是球，A错， 以直角三角形一边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体才是圆锥，B错， 用一个与底面平行的平面去截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台，C错， 由棱柱性质可得：棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，D对， 故选：D. 【例4-3】下列说法正确的是________.（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥； ④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 【答案】③④ 【分析】利用圆锥、圆柱、圆台的结构特征逐一判断，可得出结果. 【详解】对于①，以直角梯形直角腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台， 以直角梯形的斜腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，①错； 对于②，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，②错； 对于③，以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥，③对； 对于④，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面，④对. 故答案为：③④. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】D 【分析】作出满足选项条件的几何体即可判断A和B考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；根据圆台的定义，即可判断D． 【详解】         图1               图2 对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 故选：D． 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南通·期末）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公式可解． 【详解】根据题意圆锥的母线长，代入即可求得    ． 故选：B. 【变式4-3】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，四边形是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1，则该圆台的表面积为________，四棱锥的体积的最大值为__________． 【答案】 / 【分析】在中，先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆的半径，再根据圆台的表面积公式求解即可；在中，由余弦定理先求出的最大值，进而得到及底面面积的最大值，即可求出四棱锥的体积的最大值. 【详解】 如图，连接. 因为，所以. 在中，由余弦定理可得 所以. 由正弦定理可知外接圆的直径， 所以圆台的下底面半径，上底面半径， 圆台的侧面积， 上底面面积，下底面面积， 所以圆台的表面积. 在四边形中， ， 在中，由余弦定理可知， 即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的面积， 即底面面积的最大值为， 四棱锥的高， 所以四棱锥的体积的最大值为. 故答案为； 题型5：圆柱、圆锥、圆台的展开图及最短距离问题 【例5-1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）圆木长1丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺? 这个问题的答案为（注:1丈等于10尺） （　　） A．18尺 B．17尺 C．16尺 D．15尺 【答案】C 【分析】此题考察几何体侧面路径的最值求法，根据题意对侧面进行展开，利用两点之间线段最短求解. 【详解】如图为圆柱的侧面展开图，其中，，    所以， 因为，故A，B，D错误. 故选：C. 【例5-2】已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，圆台的轴截面如图所示，为的中点，则从点沿圆台的侧面到点的最短路径长是_______．    【答案】5 【分析】求出侧面扇环圆心角，画出圆台侧面展开图，利用勾股定理可得答案. 【详解】圆台上下底面半径分别为，，母线长为， 则圆台侧面扇环圆心角为， 圆台侧面展开图如图示，    在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为． 由题意可得A是FB的中点，因为， 所以．由为中点，可得， 所以． 故答案为：5 【例5-3】有一根高为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕1圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度． 【答案】． 【分析】将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示，然后利用勾股定理求解即可 【详解】因为圆柱型铁管的高为，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕1圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示． 其中矩形的宽为圆柱的周长，长为圆柱的高，则对角线的长即为铁丝的长度的最小值．此时铁丝的长度最小值为：， 即铁丝的最短长度为． 【变式5-1】一圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线AB长为20cm，其中A在上底面上，B在下底面上，从AB中点M，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为（    ） A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm 【答案】C 【分析】将圆台侧面沿展开，由弧长公式求出圆心角，进而得出这条绳子最短长. 【详解】将圆台侧面沿展开，并延长母线交于点，得到扇形，连接，则所求的最短距离是，设OA=R，圆心角是α，则由题意知， ①，②，由①②解得，cm ∴cm，cm，则cm 故选：C 【变式5-2】圆柱的轴截面是一个边长为5cm的正方形ABCD，则从A到C在圆柱侧面上的最短距离为____. 【答案】 【分析】把圆柱沿着一条母线剪开后展开，然后利用直角三角形中的勾股定理求解从到的最短距离． 【详解】解：如图， 圆柱的轴截面是边长为的正方形，侧面沿高展开后为矩形， 此时为圆柱底面圆的周长的一半，即，， 圆柱侧面上从到的最短距离为． 故答案为：． 【变式5-3】已知圆锥的底面半径为1，高为，轴截面为平面，如图，从点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到点，求最短绳长. 【答案】 【分析】沿将圆锥侧面展开为平面扇形，则线段为最短距离，在三角形中计算可得. 【详解】解：沿将圆锥侧面展开为平面扇形，如图. ，，，. 作交于点D，则. ， ∴最短绳长为. 【点睛】本题考查锥体上最小距离的计算，关键是化曲为直，属于基础题. 题型6：圆柱、圆锥、圆台、球的截面的有关计算 【例6-1】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（    ） A．棱锥 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体 【答案】C 【分析】判断出圆柱的截面图形即可求解. 【详解】圆柱的截面的图形不可能为三角形， 如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱. 故选：C 【点睛】本题考查了几何体的截面图形，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 【例6-2】（24-25高一下·江苏南通·月考）若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求出圆锥筒的高和底面半径，应用圆锥的体积公式求体积即可. 【详解】由题设，所得圆锥的底面周长为，易知圆锥的底面半径为，母线长为， 所以圆锥的高为，故圆锥筒的体积为. 故选：B 【例6-3】（24-25高一下·江苏·月考）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面直径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于____________． 【答案】/ 【分析】设圆锥的母线长为，根据题意，求得，得到圆锥的高为，设外接球的半径为，作出轴截面，结合球的截面圆的性质，列出方程，求得的值，利用球的表面积公式，即可求解 【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥底面直径为，且侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 可得，解得，则圆锥的高为， 设外接球的半径为，作出组合体的轴截面，如图所示， 在直角中，可得，即， 解得，所以球的表面积为. 故答案为： 【变式6-1】过半径为4的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则到该截面的距离是（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】作出球的截面图，根据几何性质计算，可得答案. 【详解】作出球的截面图如图：设A为截面圆的圆心，O为球心， 则截面，AM在截面内，即有， 故,所以 , 即到该截面的距离是2， 故选：C 【变式6-2】已知球的两个平行截面的面积分别为和，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0.5 【答案】B 【分析】作出图形，设球心到较大的截面圆圆心的距离为，并计算出两个截面圆的半径， 球体半径列出有关的方程，求出即可得出球体的半径的值. 【详解】如图所示， 设球的半径为，设截面圆的半径为，截面圆的半径为， 由题意可知，，截面圆的面积为，得. 截面圆的面积为，得. 设，则 ，即，解得， 则，因此，这个球的半径为. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一下·江苏常州·期末）若正方体的棱长为1，则以为球心，为半径的球面与底面的交线长为______. 【答案】/ 【分析】由题可得球面与底面的交线为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的一段弧，即可求出. 【详解】正方体中，平面， 所以平面与球的截面是以为圆心的圆，且半径为， 所以球面与底面的交线为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的一段弧， 该交线长为. 故答案为：. 题型7：斜二测画法辨析及用斜二测画法画平面与立体图形的直观图 【例7-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 【答案】C 【分析】利用斜二测画法规则，结合给定的图形分析判断得解. 【详解】依题意，轴，轴，是的中点， 由斜二测画法规则知，在原图形中应有，且为边上的中线， 因此为等腰三角形，为边上的高，所以相等且最长，最短. 故选：C 【例7-2】利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据斜二测画法画直观图的画法规则，对各结论逐一判断，即可得到结果. 【详解】由斜二测画直观图的画法知：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半. 对于①：三角形的直观图是三角形，①正确； 对于②：平行四边形的直观图是平行四边形，②正确； 对于③：正方形的直观图是平行四边形，③错误； 对于④：菱形的直观图是平行四边形，④错误； 故选：A. 【例7-3】（2024高一下·全国·专题练习）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的_______.（填序号） 【答案】③ 【分析】直接根据斜二测画法的规则求解. 【详解】正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的比为， 故答案为：③ 【变式7-1】下列空间图形画法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间图形画法：看得见的线画实线，看不见的线画虚线.即可判断出答案. 【详解】D选项：遮挡部分应画成虚线． 故选:D. 【变式7-2】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的作图规则结合反例，判断各选项. 【详解】如图：四边形为正方形， 由斜二测画法可得其直观图如下： 对于A，因为，而， 故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误，A错误； 对于B，因为，而 故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确，B正确； 对于C，由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行，C正确； 对于D，因为，而不垂直， 所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确，D正确. 故选：A. 【变式7-3】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且＝2，则原平面图形的面积为______. 【答案】8 【分析】利用斜二测画法还原直观图即得. 【详解】由题可知， ∴，还原直观图可得原平面图形，如图， 则， ∴原平面图形的面积为. 故答案为：. 题型8：由直观图还原几何图形及斜二测画法中有关量的计算 【例8-1】（24-25高一下·江苏扬州·月考）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的倍， 所以平面图形的面积. 故选：A 【例8-2】（24-25高一下·江苏无锡·月考）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为_________． 【答案】2 【分析】根据斜二测法，由直观图可作出原图形，再求面积即可. 【详解】根据题意可作出原图形， ，，，， ， 故答案为：2. 【例8-3】如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，求原平面图形的周长．    【答案】 【分析】由斜二测画法的规则可还原原平面图形，即可由长度关系求解周长. 【详解】由题可知，，，∴． 还原直观图可得原平面图形，如图所示：    则，，， ∴， ∴原平面图形的周长为． 【变式8-1】（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由斜二测画法和余弦定理计算可得. 【详解】由写二次画法可知，， 在中，由余弦定理， 所以. 故选：A. 【变式8-2】已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______ 【答案】 【分析】先求出直观图矩形的面积，再根据原图形与直观图面积关系求出四边形的面积. 【详解】由题意，， 原图形面积与斜二测直观图形面积之间的关系为， 可得． 故答案为：． 【变式8-3】（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 【答案】（1）（2）能（3）10 【分析】首先分析题意，利用面积公式求出原图形面积，再用斜二测画法进行求解. 【详解】（1）∵直观图的面积S直＝S原，S直＝a2，∴S原＝a2， 即原三角形ABC的面积为a2. （2）由斜二测画法规则知，故为直角三角形. （3）由已知得在直角中，， 故. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏·月考）下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的定义逐项判断即可. 【详解】根据简单组合体的概念知：选项A为简单组合体； 根据棱柱的概念可得选项B为棱柱； 根据棱台的定义知选项C为棱台； 根据棱锥的概念知选项D为棱锥. 故选：B 2．下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．存在三棱锥，其四个面都是直角三角形 【答案】D 【分析】利用两个底面全等的斜棱柱拼接可判断A；利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接可判断B；考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；在正方体中，取三棱锥即可判断D. 【详解】对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，A错误； 对于B，如图2，利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接而成的几何体满足B中条件， 但该几何体不是棱台，B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，C错误； 对于D，如图3，在正方体中，连接， 因为平面，平面， 所以，所以为直角三角形. 又平面，平面， 所以，所以为直角三角形. 所以三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确. 故选：D 3．（24-25高一下·江苏盐城·期中）下列命题中正确的是（    ） A．长方体是正四棱柱 B．圆锥的底面半径可以比圆锥的母线长 C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 D．四个面都是等边三角形的四面体是正四面体 【答案】D 【分析】根据题意，由常见几何体的几何结构，依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，正四棱柱的底面是正方形，则长方体不一定是正四棱柱，A错误； 对于B，从圆锥的轴截面可知，圆锥的底面半径不可能比母线长，B错误； 对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台，C错误； 对于D，四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故D正确． 故选：D． 4．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】由圆台的已知数据，利用勾股定理可求得母线长. 【详解】 由已知得：， 所以在直角梯形中，， 所以圆台的母线长为5. 故选：C. 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知有是等腰直角三角形且，结合斜二测画法确定原图的相关边长，进而求面积. 【详解】由题设，易知是等腰直角三角形且， 所以原图中，， 则原图面积为. 故选：A 6．（24-25高一上·江苏·假期作业）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可知平面平面，可知平面，再结合等体积法，即可求解． 【详解】底面为正方形，边长为4，当相邻的棱长相等时， 不妨设，， 分别取，的中点，，连接，，， 如图所示：    则，，且，，平面， 故平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，，， 则，即， 则， 故， 所以四棱锥的高为，当相对的棱长相等时，不妨设，， 因为，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况不存在． 故选：D． 7．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直观图与原图的关系，可确定直观图（三角形）的底和高，从而求得直观图的面积，得出答案. 【详解】 如图所示，正三角形的边长为，则高为， 根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为，底边长为， 所以直观图的面积为. 故选：C. 8．（24-25高一下·江苏苏州·月考）由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】过作的平行线交于M点，解三角形计算结合斜二测画法的意义即可得出结果. 【详解】    过作的平行线交于M点，则易知， 由正弦定理可知，则， 由斜二测画法知：在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏扬州·期中）利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（    ） A．三角形的直观图是三角形 B．正方形的直观图是正方形 C．菱形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图是平行四边形 【答案】AD 【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，逐项判定，即可求解. 【详解】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半. 对于A中，三角形的直观图中，三角形的高于底边的夹角为或，长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A正确； 对于B中，正方形的直角，在直观图中变为或，不是正方形，所以B错误； 对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为，所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误； 对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确. 故选：AD. 10．（24-25高一下·江苏淮安·月考）下列说法错误的是（ ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 【答案】BD 【分析】根据棱柱、正棱锥、棱台和圆柱的结构特征判断各项的正误即可. 【详解】A：由棱柱的结构特征知，其侧面都是平行四边形，对； B：正三棱锥是底面为正三角形，侧棱长都相等的棱锥，错； C：根据棱台与棱锥的关系，知棱台所有侧棱延长后必交于同一点，对； D：用一个平面截圆柱，截面可能是圆、椭圆及长方形等，错. 故选：BD 11．（24-25高一下·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．棱台的侧面是等腰梯形 【答案】BC 【分析】利用直四棱柱的定义可以判断A，由棱柱的定义可判断B，利用正棱锥的定义可以判断C，利用正棱台的定义可以判断D. 【详解】对于选项A，长方体为底面为长方形的直四棱柱，故A错误； 对于选项B，由棱柱的定义可知，上下底面全等且平行，所以侧面都是平行四边形，故B正确； 对于选项C，根据正棱锥定义，底面为正多边形，侧棱都相等，所以侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 对于选项D，若棱台为正棱台，则侧面都是等腰梯形，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 12．（2024高一·江苏·专题练习）给出以下说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形； ④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形． 其中正确的序号是________． 【答案】①④ 【分析】根据球的定义、结构特征以及球的截面依次判断命题即可. 【详解】①：根据球的定义知，球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长，故①正确； ②：因为球的直径必过球心，故②不正确； ③：因为球的任何截面都是圆面，故③不正确， ④：过圆柱轴的平面截圆柱所得的截图为矩形，故④正确． 故答案为：①④ 13．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为______. 【答案】 【分析】运用斜二测画法画出原图，进而求出四边形面积即可． 【详解】如图，运用斜二测画法画出原图. 在轴位置不变，，点在轴上，由得， 则，且，． 则四边形为平行四边形，面积为：． 故答案为：． 14．如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为______________.    【答案】 【分析】沿着正三棱柱的侧棱剪开，把侧面展成一个平面图形，得到一个矩形，结合矩形的对角线长，即可求解. 【详解】如图所示，沿着正三棱柱的侧棱剪开， 把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，可得一个长为，宽为一个矩形， 可矩形的对角线长为，即最短路线的长为. 故答案为：.    四、解答题 15．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得小圆锥与圆锥SO底面的面积之比为，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆锥SO的母线长． 【答案】12cm 【分析】由圆锥平行于底面的截面的性质计算． 【详解】解：因为截得小圆锥与圆锥SO底面的面积之比为，所以小圆锥与圆锥SO底面半径之比是． 如图，设SA的长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x，4x， 根据相似三角形的性质得．解得．所以圆锥SO的母线长为12cm． 16．（2024高一·江苏·专题练习）画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    【答案】作图见解析 【分析】根据斜二测画法的步骤，即可作出直观图. 【详解】（1）在已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴， 垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图①所示． （2）画相应的轴和轴，使，在轴上截取， 在轴上截取，过点作轴的平行线， 在上沿轴正方向取点使得.连接，如图②. （3）所得四边形就是直角梯形的直观图．如图③.    17．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角． 【答案】 【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则由题意可得，从而可判断出轴截面是等边三角形，进而可求得答案. 【详解】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r． 由侧面展开图恰好是一个半圆知， 所以轴截面是等边三角形， 故母线与底面直径所成角的大小是． 18．用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据题意，结合斜二测画法的规则，即可画出平面图形的直观图. 【详解】（1）解：在已知正方形中，，取所在直线为轴， 如图所示， 画出对应的轴，使，，，如图所示， 即四边形即为正方形的直观图.    （2）解：取等腰梯形底边的中点，连接，以为原点，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得等腰梯形的直观图为，    以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得平行四边形的直观图为.    19．如图，已知正方体中截去一部分，其中，剩下的较大的几何体是什么？    【答案】直五棱柱 【分析】利用直五棱柱定义即可得到剩下的较大的几何体是直五棱柱 【详解】正方体中截去一部分，其中， 剩下的较大的几何体中， 五边形与五边形全等且所在平面平行， 侧面均为矩形， 则该几何体为直五棱柱. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 基本立体图形 知识清单 知识点01：棱柱 知识点02：棱锥 知识点03：棱台 知识点04：多面体 知识点05：如何确定多面体的截面 知识点06：圆柱、圆锥、圆台的相关概念 知识点07：球的相关概念 知识点08：旋转面和旋转体 知识点09：圆柱、圆锥、圆台基本量的计算 知识点10：斜二测画法画直观图 知识点11：平面图形的直观图及相关计算 题型讲解 （举三反三） 题型1：棱柱、棱锥、棱台的结构特征和分类 题型2：棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题 题型3：棱柱、棱锥、棱台的截面及有关计算 题型4：圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征与辨析 题型5：圆柱、圆锥、圆台的展开图及最短距离问题 题型6：圆柱、圆锥、圆台、球的截面的有关计算 题型7：斜二测画法辨析及用斜二测画法画平面与立体图形的直观图 题型8：由直观图还原几何图形及斜二测画法中有关量的计算 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01、棱柱 1. 棱柱的相关概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 图中的六棱柱可记作 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边 2. 棱柱的分类 　　按底面多边形的边数来分，底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别 称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3. 棱柱的特点 　　棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形. 知识点02、棱锥 1. 棱锥的相关概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 图中的四棱锥可记作 棱锥S-ABCD 底面：多边形； 侧面：有一个公共顶点的三角形 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 2. 棱锥的分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 3. 棱锥的特点：棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. 知识点03、棱台 1. 棱台的相关概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台 图中的四棱台可记作 棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面：平行于棱锥底面的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧棱与上、下底面的公共点 2. 棱台的分类 　　由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…… 知识点04、多面体 名称 定义 图形 相关概念 多面体 由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体 面：围成多面体的各个多边形； 棱：相邻两个面的公共边； 顶点：棱与棱的公共点 知识点05、如何确定多面体的截面 1. 平行于底面的截面： (1)用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱，得到的截面与底面全等. (2)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的截面与底面相似. (3)用一个平行于棱台底面的平面去截棱台，得到的截面与两个底面都相似. 2. 经过不相邻的两条侧棱的截面： (1)在棱柱中(三棱柱除外)，经过不相邻的两条侧棱的截面(也称为棱柱的对角面) 是平行四边形. (2)在棱锥中(三棱锥除外)，经过不相邻的两条侧棱的截面是三角形. (3)在棱台中(三棱台除外)，经过不相邻的两条侧棱的截面是梯形. 3. 作截面的步骤： 　　一是确定截面与多面体的哪些棱相交；二是找到截面与多面体相交棱的公共点；三是将所得的公共点依次连接起来，画出截面. 知识点06、圆柱、圆锥、圆台的相关概念 1. 圆柱、圆锥、圆台的相关概念 　　将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形分别叫作圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫作轴. 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面. 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线. 2. 圆柱、圆锥、圆台的图形表示 名称 圆柱 圆锥 圆台 图形 图中的圆柱记作圆柱OO' 图中的圆锥记作圆锥SO 图中的圆台记作圆台OO' 知识点07、球的相关概念 名称 球 定义 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体， 简称球 图形及表示 图中的球记作球O 相关概念 球心：半圆的圆心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 知识点08、旋转面和旋转体 1. 一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体. 2. 圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体. 知识点09、圆柱、圆锥、圆台基本量的计算 1. 解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高(母线)与矩形(圆柱的轴截面)之间的关系，注意在矩形中一边长为圆柱的高，其邻边长为圆柱的底面直径. 2. 解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，利用截面中的直角三角形建立底面半径r、高h、母线长l三者之间的关系：l2=h2+r2，即可解决问题. 3. 解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面(等腰梯形)入手，利用轴截面可以分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合题目条件求解. 另外，也可以将其两腰延长转化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决. 知识点10、斜二测画法画直观图 1. 斜二测画法画直观图的规则 (1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°. (2)画直观图时把它们画成对应的x'轴、y'轴和z'轴，它们相交于点O'，并使∠x'Oy'= 45°(或135°)，∠x'O'z'=90°，x'轴和y'轴所确定的平面表示水平面. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y' 轴或z'轴的线段. (4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的 线段，长度为原来的一半. 直观图的作法可以总结为“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”. 知识点11、平面图形的直观图及相关计算 1. 水平放置的平面图形与直观图的面积间的关系 　　由于斜二测画法中平行于x轴的线段在直观图中长度不变，而平行于y轴的线 段在直观图中长度要减半，并且∠x'O'y'=45°(或135°)，因此平面图形的直观图中任意一点到x'轴的距离都为原图形中相应点到x轴距离的sin 45°=. 设一个平面图形的面积为S原图，利用斜二测画法得到的直观图的面积为S直观图，则有S直观图=S原图. 题型1：棱柱、棱锥、棱台的结构特征和分类 【例1-1】（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在长方体中，，若点P在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（2024高一下·全国·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【例1-3】观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号). 【变式1-1】（24-25高一下·浙江·月考）下列说法正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．棱台的侧棱都相等 【变式1-2】四面体中.若.则点在平面内的射影点是三角形的（　　） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【变式1-3】（2024高一·江苏·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是________． 题型2：棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题 【例2-1】（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一下·江苏·随堂练习）若一个几何体的平面展开图如图所示．    （1）该几何体是__________； （2）该几何体中与“祝”字相对的是__________，与“你”字相对的是__________． 【例2-3】如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要多长？ 【变式2-1】（24-25高一下·河北·期中）如图，在正三棱锥中，，三条侧棱两两夹角均为，，分别是，上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为________． 【变式2-3】如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求： （1）蚂蚁经过的最短路程； （2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程． 题型3：棱柱、棱锥、棱台的截面及有关计算 【例3-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）在正方体中，若的中点为，则过点三点的截面是（    ） A．三角形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【例3-2】（24-25高一下·江苏常州·月考）如图，在棱长为2的正方体中，为中点，为中点，过、、三点作正方体的截面，则截面的周长为_________. 【例3-3】（24-25高一下·江苏镇江·月考）在边长为2的正方体中，是的中点，那么过点、、的截面图形为__________（在“三角形、矩形、正方形、菱形”中选择一个）；截面图形的面积为__________. 【变式3-1】如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为______． 【变式3-3】一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为______. 题型4：圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征与辨析 【例4-1】下列命题是真命题的是（    ） A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形 【例4-2】（24-25高一下·江苏淮安·月考）下列说法正确的是（    ） A．空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球 B．以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥 C．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 【例4-3】下列说法正确的是________.（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥； ④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南通·期末）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，四边形是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1，则该圆台的表面积为________，四棱锥的体积的最大值为__________． 题型5：圆柱、圆锥、圆台的展开图及最短距离问题 【例5-1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）圆木长1丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺? 这个问题的答案为（注:1丈等于10尺） （　　） A．18尺 B．17尺 C．16尺 D．15尺 【例5-2】已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，圆台的轴截面如图所示，为的中点，则从点沿圆台的侧面到点的最短路径长是_______．    【例5-3】有一根高为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕1圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度． 【变式5-1】一圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线AB长为20cm，其中A在上底面上，B在下底面上，从AB中点M，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为（    ） A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm 【变式5-2】圆柱的轴截面是一个边长为5cm的正方形ABCD，则从A到C在圆柱侧面上的最短距离为____. 【变式5-3】已知圆锥的底面半径为1，高为，轴截面为平面，如图，从点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到点，求最短绳长. 题型6：圆柱、圆锥、圆台、球的截面的有关计算 【例6-1】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（    ） A．棱锥 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体 【例6-2】（24-25高一下·江苏南通·月考）若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（    ） A． B． C． D． 【例6-3】（24-25高一下·江苏·月考）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面直径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于____________． 【变式6-1】过半径为4的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则到该截面的距离是（    ） A．4 B． C．2 D．1 【变式6-2】已知球的两个平行截面的面积分别为和，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0.5 【变式6-3】（24-25高一下·江苏常州·期末）若正方体的棱长为1，则以为球心，为半径的球面与底面的交线长为______. 题型7：斜二测画法辨析及用斜二测画法画平面与立体图形的直观图 【例7-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 【例7-2】利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【例7-3】（2024高一下·全国·专题练习）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的_______.（填序号） 【变式7-1】下列空间图形画法错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 【变式7-3】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且＝2，则原平面图形的面积为______. 题型8：由直观图还原几何图形及斜二测画法中有关量的计算 【例8-1】（24-25高一下·江苏扬州·月考）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．3 【例8-2】（24-25高一下·江苏无锡·月考）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为_________． 【例8-3】如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，求原平面图形的周长．    【变式8-1】（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______ 【变式8-3】（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏·月考）下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．存在三棱锥，其四个面都是直角三角形 3．（24-25高一下·江苏盐城·期中）下列命题中正确的是（    ） A．长方体是正四棱柱 B．圆锥的底面半径可以比圆锥的母线长 C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 D．四个面都是等边三角形的四面体是正四面体 4．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（    ） A．3 B． C．5 D． 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏·假期作业）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏苏州·月考）由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（   ）    A． B．2 C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏扬州·期中）利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（    ） A．三角形的直观图是三角形 B．正方形的直观图是正方形 C．菱形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图是平行四边形 10．（24-25高一下·江苏淮安·月考）下列说法错误的是（ ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 11．（24-25高一下·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．棱台的侧面是等腰梯形 三、填空题 12．（2024高一·江苏·专题练习）给出以下说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形； ④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形． 其中正确的序号是________． 13．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为______. 14．如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为______________.    四、解答题 15．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得小圆锥与圆锥SO底面的面积之比为，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆锥SO的母线长． 16．（2024高一·江苏·专题练习）画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    17．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角． 18．用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 19．如图，已知正方体中截去一部分，其中，剩下的较大的几何体是什么？    1 学科网（北京）股份有限公司 $