第13讲 复数的几何意义（知识清单+4题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

第13讲 复数的几何意义 知识清单 知识点01：复数的几何意义 知识点02：复数的模 知识点03：复数的加、减法的几何意义 题型讲解 （举三反三） 题型1：判断复数对应的点所在的象限 题型2：根据复数对应坐标的特点求参数 题型3：复数模的相关计算 题型4：复数模的最值问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01、复数的几何意义 复数z=a+bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)和平面向量 (O为坐标原点)间的关系如图所示. 知识点02、复数的模 向量的模叫作复数z=a+bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，记作|z|或|a+bi|. 如果b=0，那么z=a+bi就是实数a，它的模等于|a|(即实数a的绝对值). 由模的定义可知|z|=|a+bi|=. 知识点03、复数的加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 如图1，设向量， 分别与复数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)对应，且， 不共线，以OZ1，OZ2为邻边画▱OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.   图1 图2 (2)复数减法的几何意义 如图2，若向量， 分别与复数z1，z2对应，则它们的差z1-z2对应着向量-，即向量. 如果作=，那么点Z对应的复数就是z1-z2. 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则z1-z2=(a-c)+(b-d)i，故|z1-z2|=||=||= ，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离. 方法与技巧：复数加、减法的几何意义的应用 1.形转化为数：利用复数加、减法的几何意义可以将复平面内几何图形中的点的坐标或向量的坐标转化成复数，将几何图形的变换转化成复数的运算进行解题； 2.数转化为形：对一些复数运算给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中. 3.利用复数加、减法的几何意义解题的常见结论 在复平面内，设z1，z2对应的点分别为A，B，z1+z2对应的点为C，O为坐标原点(点O，A，B不共线). (1)四边形OACB为平行四边形； (2)若|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形； (3)若|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形； (4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形. 题型1：判断复数对应的点所在的象限 【例1-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）在复平面内，复数所对应的点位于（ ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合复数的基本运算，可得，再结合复数的几何意义进行判断即可. 【详解】由已知，根据复数的运算可得，， 所以其所对应的点的坐标为，显然在第一象限. 故选：A. 【例1-2】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】求出复数，根据复数的几何意义确定正确选项. 【详解】因为， 所以复数对应的点为，位于第二象限. 故选：B 【例1-3】在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于第______象限． 【答案】四 【分析】根据复数的除法运算化简即可求解. 【详解】由可得，故对应的点为，位于第四象限， 故答案为：四 【变式1-1】（24-25高二下·江苏连云港·期末）复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为， 所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·江苏连云港·期末）复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由复数除法运算结合复数几何意义可得答案. 【详解】，则对应点为，在第二象限. 故选：B 【变式1-3】已知复数，，则在复平面内对应的点位于第______象限. 【答案】一 【分析】 先利用复数的除法运算求解复数，再利用复数的几何意义即可判断点所在的象限. 【详解】因为复数，， 所以，在复平面内对应的点为， 则点位于第一象限. 故答案为：一. 题型2：根据复数对应坐标的特点求参数 【例2-1】已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【分析】首先将复数化简，再根据复数的几何意义，列不等式求实数的取值范围. 【详解】复数，因为复数对于的点在第四象限， 所以，解得：. 故答案为： 【例2-2】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)求为何值时，为纯虚数； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可； （2）根据实部、虚部均小于得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以，解得； （2）复数在复平面内对应的点为， 依题意，解得，即的取值范围为. 【例2-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数（） (1)若，求实数m的值； (2)若z为虚数，求实数m的取值范围； (3)若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1)-1 (2) (3) 【分析】（1）根据得到为实数，从而得到方程和不等式，求出答案； （2）由求出答案； （3）根据第四象限的坐标特征得到不等式，求出答案. 【详解】（1），故为实数， ，解得； （2）z为虚数，故，所以； （3）由题意得，解得 【变式2-1】若复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据复数除法的运算性质，结合复数在复平面内对应的点的特征进行求解即可. 【详解】 因为复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于第三象限， 所以有， 故答案为： 【变式2-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知复数（，i是虚数单位） (1)若复数，且是实数，求实数m的值； (2)若复数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由复数的运算法则化简后可得，再根据复数的定义计算； （2）由复数的运算法则化简后可得，再由对应点所在象限求得参数范围． 【详解】（1）由，， 则， 因为是实数，所以，即. （2）由，， 则， 因为复数在复平面内对应的点在第一象限， 所以，解得， 则实数m的取值范围为． 【变式2-3】（24-25高一下·江苏南京·期中）设为实数，已知复数． (1)若对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)若为实数，且与复数相等，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由题设列出关于x的不等式组即可计算求解； （2）由复数相等得方程组，解方程组即可得解. 【详解】（1）由对应的点在第一象限得，解得， 所以的取值范围是； （2）由得，即， 所以，解得或． 题型3：复数模的相关计算 【例3-1】（24-25高一下·江苏淮安·期末）为虚数单位，的值为（    ） A． B．5 C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用复数的乘法运算结合复数模的计算公式可得结果. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 【例3-2】（24-25高一下·江苏南通·月考）若复数z满足，则______. 【答案】 【分析】根据复数的除法运算先求出，由共轭复数的意可求得，进而求出. 【详解】由，可得， 所以，. 故答案为： 【例3-3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）（1）已知，若为纯虚数，求的值. （2）设复数，.若是实数，求； （3）已知复数满足，求. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用乘法运算并结合纯虚数定义得到方程，即可求出参数的值； （2）由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得； （3）依题意可设，由复数相等解方程可得结果. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以且，解得； （2）因为，， 所以，又是实数， ，即，则， 所以； （3）因为，且，因此可设， 则， 由题意可得，所以， 解得，即. 【变式3-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知复数满足，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可求得的值. 【详解】由题意可得，故. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一下·江苏常州·期末）若，其中为虚数单位，则复数的模为______. 【答案】 【分析】利用复数的除法运算法则求得复数，进而可求得. 【详解】由，可得， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. (1)求复数； (2)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出复数，化简和，利用实数，虚部为0，即可求出复数； （2）化简复数，利用复数的几何意义转化为不等式组求解即可． 【详解】（1）为复数，和均为实数， 可设：，， ， 为实数，可得，解得， 复数，； （2）复数， 其复平面上对应的点在第四象限， 可得：，解得或． 题型4：复数模的最值问题 【例4-1】如果复数z满足，那么的最大值是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值. 【详解】设复数、在复平面内对应的点分别为， 复数在复平面对应的点为： 由可知：复数z在复平面内对应的点 到两点的距离之和为2， 而，所以点在线段上，故， 则， 当时，的最大值为， 故选：D 【例4-2】复数，，其中i是虚数单位，则的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】先求，再运用公式求复数的模即可. 【详解】由题意，， 所以故答案为： 【例4-3】已知复数 (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内的对应点位于第四象限，求实数的取值范围及 的最小值. 【答案】(1); (2),. 【分析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出． （2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出． 【详解】（1）为纯虚数， 且 （2）在复平面内的对应点为 由题意：，． 即实数的取值范围是． 而， 当时，． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 【变式4-2】设，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据复数的定义设的代数式，利用复数的加减运算结合模长计算可得到参数间的关系，再利用基本不等式可求得最值. 【详解】设，因为，即， 所以，则，解得 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，，求： (1)． (2)若，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）使用复数的除法运算法则即可求得，进而由复数的乘法运算即可求的值； （2）由复数减法的几何性质，可确定点的轨迹为，在复平面内对应的点为，由复数减法的几何性质，当最大值，点到的距离最大，结合圆的几何性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以． （2）设在复平面上的点为， 因为，由复数减法的几何意义可得：在以为圆心，以1为半径的圆上， 即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，即， 在复平面内对应的点为，在圆上，如图： 若要取的最大值，则动点与定点的距离最大， 所以当对应的点为时，的最大值为． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】求出复数在复平面内对应点坐标，进而求得答案. 【详解】复数对应的点在第一象限. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知复数z满足，则复数z的共轭复数对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先利用复数的除法法则化简，得出，即可求出其所对应的点坐标. 【详解】因，则， 则，其对应的点位于第四象限. 故选：D 3．已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数乘方，除法法则化简得到，从而确定所在象限. 【详解】， 故在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限. 故选：D 4．（2025高一·全国·专题练习）复数满足，那复数在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 【答案】D 【分析】解方程，得出的值，结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为复数满足，所以，解得或． 即点的轨迹为以原点为圆心，半径为和半径为的圆． 故选：D． 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由题意利用除法法则整理即可得到复数的坐标形式，进而求即可. 【详解】由，则， 故，即， 因此在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 6．已知复数z＝（m+1）+（m﹣1）i（i为虚数单位，m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则m的取值范围是（    ） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） C．（﹣1，1） D．[﹣1，1] 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义求解． 【详解】z＝（m+1）+（m﹣1）i（i为虚数单位，m∈R）在复平面内对应的点在第四象限， 所以m+1＞0且m﹣1＜0， 解得﹣1＜m＜1． 故选：C． 7．已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，利用圆上点到定点距离的最值的求法得解. 【详解】因为复数z满足， 所以复数对应的点的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径， 圆心到复数对应的点的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 8．（24-25高一下·江苏苏州·月考）在复平面内，若复数，则对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的概念，以及复数与复平面内点的对应关系，判断结果. 【详解】由，计算得，则，对应复平面内的坐标为，在第三象限. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则不可能是纯虚数 D．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为2π 【答案】ABC 【分析】对于A，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解，对于B，结合复数的概念求解即可，对于C，结合纯虚数的定义，即可求解，对于D，结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】对于A，设，，则， ，，故A正确； 对于B，由于虚数不能比大小，又，可得，都是实数，可得，故B正确， 对于C，当为纯虚数时， 则，无解， 故当，则不可能是纯虚数，故C正确， 对于D，，则在复平面内对应的点的集合确定的图形为以圆心，为半径的圆， 以及圆的内部，其面积为，故D错误． 故选：ABC． 10．（24-25高一下·江苏南京·期中）复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为1 D．在平面内的对应点位于第一象限 【答案】AD 【分析】由复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解. 【详解】由得， 则，，故A正确，B错误， 的实部和虚部之和为，故C错误， 对应的点为，位于第一象限，故D正确， 故选：AD 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】举例说明AB是错误的；根据复数模的概念，判断C的真假；利用复数乘法的运算法则，判断D的真假. 【详解】对A：设，，则，但复数，不能比较大小，故不成立，所以A错误； 对B：取，，则，，但，所以不成立，所以B错误； 对C：由，所以，故C正确； 对D：设，，. . 由，当时，有，代入得： . 结合，所以， 所以，所以； 当时，或. 若，则，所以，所以，可得； 若，则，因为，，所以，可得. 综上可知，D正确. 故选：CD 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏苏州·月考）复数的模长为_______． 【答案】5 【分析】首先利用复数的乘除计算对等式化简求出复数的表达式，然后求复数的模. 【详解】根据题意，. 所以. 故答案为：5. 13．（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为____________. 【答案】 【分析】根据复数的几何意义可得，设，由运算求得点的坐标，得解. 【详解】根据题意，，设， 由，则，解得， 所以点的坐标为，其对应的复数为. 故答案为：. 14．（2024高一下·全国·专题练习）设是复数且，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简得到，根据纯虚数得到方程和不等式，求出，利用除法法则得到，求出模长； （2）化简得到，根据所在象限，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）， ∵是纯虚数，，解得， ，则； （2）， 复数， ∵在复平面对应的点在第一象限，， 解得， 实数的取值范围是. 16．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知是虚数，． (1)求证：是实数； (2)在复平面内对应的点在射线上，，求实数，的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，且，根据复数的除法运算即可证明； （2）由条件得出，代入方程即可求解． 【详解】（1）证明：设，且， ． （2）由题可知，，则，解得或（舍）， 所以，代入方程得，， 整理得，， 所以，解得． 17．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设复数，. (1)若是实数，求； (2)在复平面内，复数所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求，再根据复数的乘法运算公式，以及共轭复数，即可求解； （2）首先根据复数的除法计算公式求解，再根据复数的几何意义，列不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， 若是实数，则，得， 所以，，， 则； （2）， 因为复数表示第四象限的点，所以， 得. 18．设复数，． (1)若是实数，求； (2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围； (3)若复数满足，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)4. 【分析】（1）由复数加法及结果特征求出，再利用复数乘法计算得解. （2）由复数乘方求出，再由对应点的特征列出不等式组，求解即得. （3）利用给定等式的几何意义，结合圆上的点与定点距离最值问题求解即得. 【详解】（1）复数，，则，由是实数，得，解得， ，因此. （2），依题意，在第二象限，于是，解得， 所以实数的取值范围是. （3）显然是复平面内表示复数的点与表示复数的点的距离为1， 因此点在以点为圆心，1为半径的圆上，而是点到原点的距离， 而，即原点在上述的圆外，则， 所以的最小值是4. 19．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）． (1)求的值； (2)复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用共轭复数意义及复数的乘法运算计算，再利用纯虚数的意义求得实数m的值； （2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解. 【详解】（1）依题意，，则， 由为纯虚数，得，所以. （2）由（1）得，复数， 由复数在复平面对应的点在第一象限，得，解得， 所以实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 复数的几何意义 知识清单 知识点01：复数的几何意义 知识点02：复数的模 知识点03：复数的加、减法的几何意义 题型讲解 （举三反三） 题型1：判断复数对应的点所在的象限 题型2：根据复数对应坐标的特点求参数 题型3：复数模的相关计算 题型4：复数模的最值问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01、复数的几何意义 复数z=a+bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)和平面向量 (O为坐标原点)间的关系如图所示. 知识点02、复数的模 向量的模叫作复数z=a+bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，记作|z|或|a+bi|. 如果b=0，那么z=a+bi就是实数a，它的模等于|a|(即实数a的绝对值). 由模的定义可知|z|=|a+bi|=. 知识点03、复数的加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 如图1，设向量， 分别与复数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)对应，且， 不共线，以OZ1，OZ2为邻边画▱OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.   图1 图2 (2)复数减法的几何意义 如图2，若向量， 分别与复数z1，z2对应，则它们的差z1-z2对应着向量-，即向量. 如果作=，那么点Z对应的复数就是z1-z2. 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则z1-z2=(a-c)+(b-d)i，故|z1-z2|=||=||= ，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离. 方法与技巧：复数加、减法的几何意义的应用 1.形转化为数：利用复数加、减法的几何意义可以将复平面内几何图形中的点的坐标或向量的坐标转化成复数，将几何图形的变换转化成复数的运算进行解题； 2.数转化为形：对一些复数运算给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中. 3.利用复数加、减法的几何意义解题的常见结论 在复平面内，设z1，z2对应的点分别为A，B，z1+z2对应的点为C，O为坐标原点(点O，A，B不共线). (1)四边形OACB为平行四边形； (2)若|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形； (3)若|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形； (4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形. 题型1：判断复数对应的点所在的象限 【例1-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）在复平面内，复数所对应的点位于（ ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例1-2】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例1-3】在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于第______象限． 【变式1-1】（24-25高二下·江苏连云港·期末）复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】（24-25高一下·江苏连云港·期末）复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】已知复数，，则在复平面内对应的点位于第______象限. 题型2：根据复数对应坐标的特点求参数 【例2-1】已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是______. 【例2-2】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)求为何值时，为纯虚数； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【例2-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数（） (1)若，求实数m的值； (2)若z为虚数，求实数m的取值范围； (3)若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【变式2-1】若复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________. 【变式2-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知复数（，i是虚数单位） (1)若复数，且是实数，求实数m的值； (2)若复数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围． 【变式2-3】（24-25高一下·江苏南京·期中）设为实数，已知复数． (1)若对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)若为实数，且与复数相等，求的值． 题型3：复数模的相关计算 【例3-1】（24-25高一下·江苏淮安·期末）为虚数单位，的值为（    ） A． B．5 C．2 D．4 【例3-2】（24-25高一下·江苏南通·月考）若复数z满足，则______. 【例3-3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）（1）已知，若为纯虚数，求的值. （2）设复数，.若是实数，求； （3）已知复数满足，求. 【变式3-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知复数满足，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·江苏常州·期末）若，其中为虚数单位，则复数的模为______. 【变式3-3】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. (1)求复数； (2)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 题型4：复数模的最值问题 【例4-1】如果复数z满足，那么的最大值是（    ） A． B．1 C．2 D． 【例4-2】复数，，其中i是虚数单位，则的最大值为___________． 【例4-3】已知复数 (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内的对应点位于第四象限，求实数的取值范围及 的最小值. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-2】设，且，则的最小值为__________. 【变式4-3】（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，，求： (1)． (2)若，且，求的最大值． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知复数z满足，则复数z的共轭复数对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025高一·全国·专题练习）复数满足，那复数在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知复数z＝（m+1）+（m﹣1）i（i为虚数单位，m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则m的取值范围是（    ） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） C．（﹣1，1） D．[﹣1，1] 7．已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高一下·江苏苏州·月考）在复平面内，若复数，则对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则不可能是纯虚数 D．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为2π 10．（24-25高一下·江苏南京·期中）复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为1 D．在平面内的对应点位于第一象限 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏苏州·月考）复数的模长为_______． 13．（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为____________. 14．（2024高一下·全国·专题练习）设是复数且，则的最小值为___________. 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知是虚数，． (1)求证：是实数； (2)在复平面内对应的点在射线上，，求实数，的值． 17．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设复数，. (1)若是实数，求； (2)在复平面内，复数所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 18．设复数，． (1)若是实数，求； (2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围； (3)若复数满足，求的最小值． 19．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）． (1)求的值； (2)复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $