精品解析：安徽合肥市肥西宏图中学2025-2026学年高一下学期第一次段考数学试卷

2025-2026学年度（下）高一年级第一次段考 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知点，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. 0 C. D. 3. ，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 已知向量满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 5. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，在中，，点是的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不得分，少选得部分分） 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 11. 已知向量，则下列结论正确的是（    ） A. B. 的单位向量为 C. 若，则实数的值为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量的夹角为，，则________． 13. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数________. 14. 已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，则______. 四、解答题 15. 已知向量与的夹角为，且，求 （1） （2） （3）设向量与的夹角为，求的值. 16. 已知点，，. （1）若，求的值； （2）若，其中为坐标原点，求的值. 17. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求向量与夹角的余弦值. 18. 如图，在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设，. （1）用，表示，； （2）若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求. 19. 如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. （1）判断的形状； （2）当时，求的值； （3）当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（下）高一年级第一次段考 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可. 【详解】由点，，得. 故选：D 2. （ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【详解】. 故选：D 3. ，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是； 对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是； 对于C，，和共线，不可作基底，C是； 对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是. 故选：C 4. 已知向量满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 6. 如图，在中，，点是的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 7. 已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据单位向量及相等向量的定义和性质，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】若，则的方向必相同，充分性成立， 若的方向相同，又是单位向量，则，必要性成立， 所以“是相等向量”是“的方向相同”的充要条件. 故选：A 8. 如图，中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三点共线求出 ，然后把当基底表示出，从而求出的值 【详解】 ， 三点共线， ，又 故选：C 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不得分，少选得部分分） 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用平面向量的坐标运算法则，以及向量共线的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设向量，因为由向量， 可得，即，解得， 所以，所以A正确； 对于B，由A知，所以，所以B不正确； 对于C，由B知，可得，所以，所以C正确； 对于D，由A知，可得，所以，所以D正确. 10. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，求出向量与的夹角即可判断A、B，再根据向量模的计算公式及向量垂直的性质判断C、D即可. 【详解】设与的夹角为， 由得， 将代入得，∴， 又，∴，故A正确，B错误; ，故C正确; ，故，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知向量，则下列结论正确的是（    ） A. B. 的单位向量为 C. 若，则实数的值为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量共线的坐标表示列方程求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，故B错误； 对于C，因，则， ，由可得， 解得，故C正确； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量的夹角为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积公式求出答案. 【详解】因为，所以， ． 故答案为： 13. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线，可得，待定系数，即可求得答案. 【详解】因为向量共线， 所以存在实数，使， 则，解得，则. 故答案为： 14. 已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用在上的投影向量的表达式化简求解可得. 【详解】由，得， 则向量在上的投影向量为， 则，所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量与的夹角为，且，求 （1） （2） （3）设向量与的夹角为，求的值. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义代入计算，即可得到结果； （2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，结合数量积的运算律以及向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由（1）得， . 【小问3详解】 由（1）（2）得， . 16. 已知点，，. （1）若，求的值； （2）若，其中为坐标原点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】1.根据向量的坐标运算，求出，，再根据，由向量的模长公式及同角三角函数的基本关系即可求解. 2. 由向量数量积的坐标运算及同角三角函数的基本关系即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：，， 因为 所以， 化简得， 所以. 【小问2详解】 由题意可得：，， 所以， 得：. 17. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量加减法和数量积的坐标运算求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，再由夹角的坐标公式计算可得结果. 【小问1详解】 因为，，所以， 又，所以，解得； 【小问2详解】 因为， 所以，解得，，所以， 所以， 即向量与夹角的余弦值为. 18. 如图，在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设，. （1）用，表示，； （2）若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求. 【答案】（1）； （2）5 【解析】 【分析】（1）利用向量加法减法的几何意义即可用，表示，； （2）利用向量共线充要条件求得的坐标，进而即可求得的值. 【小问1详解】 在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F， 【小问2详解】 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，， 则，， 则 设，则 由，可得，解之得 则，则 19. 如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. （1）判断的形状； （2）当时，求的值； （3）当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】（1）等边三角形 （2） （3）最小值， 【解析】 【分析】（1）根据数量积求出后可判断三角形形状； （2）结合向量的线性运算可得，故可求向量和的模； （3）设，利用向量的线性运算结合二次函数的性质可求的最小值. 【小问1详解】 ，， 则，即， 故为等边三角形. 【小问2详解】 当时，、为边的三等分点， 设为中点，且， 所以， 故. 【小问3详解】 设， 当时，、、为边的四等分点， ， 设，其中，则， ， 所以 ， 当且仅当即时，取最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $