专题02 运用勾股定理解决4种最短路径问题 （高效培优专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题02 运用勾股定理解决4种最短路径问题 题型一：用计算法解决平面中的最短问题 题型二：用对称法求平面中的最短问题 题型三：用展开法解决圆柱中的最短问题 题型四：用展开法解决长方体中的最短问题 题型一：用计算法解决平面中的最短问题 1．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，，两取水点之间相距．由于某种原因，村庄到取水点，的路线现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），求新建路线的最短距离． 4．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）已知和均为等腰直角三角形，，，点P为的中点，已知D为直线．上的一个动点，连接，当为最小值时，则： （1）___________度． （2）___________； 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 题型二：用对称法求平面中的最短问题 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．8 B．9.6 C．10 D．12 2.如图，在等腰直角中，，点在边上且，点，分别为边，上的动点，连接，，得到，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（    ） A．6 B． C．9 D． 4．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）如图，在锐角中，，，的平分线AD交BC于点D，点M，N分别是线段AD和AB上的两个动点，则的最小值是________． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）在等腰三角形中，，，为上一点，：：，，交于点，点为直线上一点，则的最小值为______． 6．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图，在等腰直角中，，点和点将斜边三等分，且， （1）若点在边上移动，则的最小值等于______； （2）若点在的边上移动，则满足的点的个数是______． 7．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，中，，，是的角平分线，是上的动点． （1）若，则的长度为______； （2）若是边上的动点，则的最小值为______． 8．（2024·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，，的平分线交于点C，点P，Q分别为线段，边上的动点． （1）的长为______ （2）的最小值为______． 9．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在中，，，，以为边在外作，且，则： （1）点D到的距离为 ________． （2）的最小值是 ________________． 10．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，，，，平分，交于点D， （1）的面积为______； （2）若P，Q分别是，上的动点，则的最小值是______． 11．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，平分交于点． （1）若，则______； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，.则的最小值为______． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点为边上的动点，点为边上的动点． （1）则的最小值为______． （2）则的最小值为______． 13．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）在中，． （1）若，则_____； （2）若，点，分别是线段上的两个三等分点，点是腰上一点，则的最小值为_____． 14．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，平分交于点． （1）若，则________________°； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，．则的最小值为_______________． 15.如图，A村和B村在河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元． （1）请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省； （2）求铺设水管的最省总费用． 16．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在平而直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作，使与关于轴对称； (2)若点P是x轴上的一动点，则的最小值是：______． 17．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中， (1)在图中作出关于轴对称的； (2)写出点的坐标（直接写答案）：____________；____________；____________； (3)的面积为____________（直接写答案）； (4)为轴上的一动点，的最小值为____________（直接写答案）． 18．（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 题型三：用展开法解决圆柱中的最短问题 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为______米． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为_____． 4．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面圆的周长为 (1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是______； (2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B处(如右图)，则蚂蚁爬行的最短路程是___． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 题型四：用展开法解决长方体中的最短问题 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为_______． 5．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为_______．    6．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是_________． 7．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是一块长方体木块，长，宽，高 ，棱 上的点处有一滴蜂蜜，，如果一只蚂蚁要从长方 体木块的顶点处，沿着长方体的表面爬行到点处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 _________ 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）已知 （1）则_______． （2）如图，这是一个长为，宽为，高为的长方体纸箱，点E处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点E处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离是_______． 9．（22-23八年级下·安徽六安·期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是，在的中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处沿盒子表面爬到处去吃，求小虫爬行的最短路程．    10．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 运用勾股定理解决4种最短路径问题 题型一：用计算法解决平面中的最短问题 题型二：用对称法求平面中的最短问题 题型三：用展开法解决圆柱中的最短问题 题型四：用展开法解决长方体中的最短问题 题型一：用计算法解决平面中的最短问题 1．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，． 点到公路的最短距离是中边上的高，根据三角形面积公式： 解得：． 故选：C． 2．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，，两取水点之间相距．由于某种原因，村庄到取水点，的路线现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），求新建路线的最短距离． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，此时为新建路线的最短距离， 设，则， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ， 即新建路线的最短距离为． 4．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）已知和均为等腰直角三角形，，，点P为的中点，已知D为直线．上的一个动点，连接，当为最小值时，则： （1）___________度． （2）___________； 【答案】 135 【详解】设Q是的中点，连接， ∵， ∴， 即， ∵，P为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵点D在直线上运动， ∴当时，最小， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，． （1）∵， ∴ ∴． 故答案为：135； （2）∵，点P为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴线段的最小值是为， 故答案为． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：在中，∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 当时，此时， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点E作交于点G，连接，则， ∴， 设，则， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为6或； （3）解： 如图，连接， 根据题意得：， 即当点在上时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 题型二：用对称法求平面中的最短问题 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．8 B．9.6 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：如图，作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N，则，为所求的最小值， ∵，D是边上的中点， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， ∵，，D是边上的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2.如图，在等腰直角中，，点在边上且，点，分别为边，上的动点，连接，，得到，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， ，点与点关于对称， ， ，，，在同一条直线上， ∵在等腰直角中，， ∴， ∵，， ∴由对称性可知：，，，，， ，， ， ， 的周长的最小值． 故选：． 3.如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】D 【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示： 则PA+PB的最小值即为的长， 将点A（3，a）代入y=2x， 得a=2×3=6， ∴点A坐标为（3，6）， 将点A（3，6）代入y=x+b， 得3+b=6， 解得b=3， ∴点B坐标为（0，3）， 根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6） ∴， ∴PA+PB的最小值为． 故选：D． 4．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）如图，在锐角中，，，的平分线AD交BC于点D，点M，N分别是线段AD和AB上的两个动点，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：如图，作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ∵是的平分线， ∴， ∴是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵的最小值是， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）在等腰三角形中，，，为上一点，：：，，交于点，点为直线上一点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：延长至，使得于点，延长至点，使得，如图所示． ∵， ∴． 即点与点关于直线对称，则． ∴， 即当点、、三点共线时，由两点之间线段最短可知，最短， 且最小值为． ∵，． ∴． ∴． 又∵：：， ∴． 连接，则， 又∵， ∴为等边三角形． ． 在中，（）． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图，在等腰直角中，，点和点将斜边三等分，且， （1）若点在边上移动，则的最小值等于______； （2）若点在的边上移动，则满足的点的个数是______． 【答案】 6 【详解】解：（1）如图，作点F关于的对称点，连接交于点N，连接交于点H，连接、、、，则，   点E，F将对角线三等分，且 ， 点M与点F关于对称， ， 即 ∴的最小值等于； 故答案为：； （2）由（1）知在线段存在点H到点E和点F的距离之和最小为 在点H右侧，当点P与点C重合时，则 点P在上时，，有一个点P使 在点H左侧，当点P与点B重合时， ，， 点P在上时，有一个点P使， 在线段上的左右两边各有一个点P使 同理在线段、上也都存在两个点使 即共有6个点P满足； 故答案为：6． 7．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，中，，，是的角平分线，是上的动点． （1）若，则的长度为______； （2）若是边上的动点，则的最小值为______． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，，即最小，最小值为的值， ∴此时有， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（2024·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，，的平分线交于点C，点P，Q分别为线段，边上的动点． （1）的长为______ （2）的最小值为______． 【答案】 【详解】解：（1）∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又是的平分线， ． ， 即， ． 故答案为：． 解：（2）是的平分线，点为动点， 作点关于的对称点在上， ． 作交于点P 当点、、三点共线且时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在中，，，，以为边在外作，且，则： （1）点D到的距离为 ________． （2）的最小值是 ________________． 【详解】解：（1）设D到的距离为h， ∵， 解得：， 故答案为：； （2）延长到M，使得，延长到F，使得，过M作，作B关于的对称点E，连接交于点D，连接， 则，，， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，，，，平分，交于点D， （1）的面积为______； （2）若P，Q分别是，上的动点，则的最小值是______． 【详解】解：过点D作于E， ，，， ， 平分，， 的面积， 故答案为：； 过点C作于E，交于，过点作于， 平分， ， ，此时的值最小，即为的长， ， ∴， 的最小值为 故答案为： 11．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，平分交于点． （1）若，则______； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，.则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：（1）∵，平分交于点 ∴ ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴ 在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点为边上的动点，点为边上的动点． （1）则的最小值为______． （2）则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：（1）由题意知，当时，取得最小值， 此时，，， ． 故答案为：． （2）取点关于的对称点，过点作于点，连接交于点， 可知当点与点重合时，点与点重合时， ，为最小值． ，， ，． ，， 在中，， ∴， ， 的最小值为． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）在中，． （1）若，则_____； （2）若，点，分别是线段上的两个三等分点，点是腰上一点，则的最小值为_____． 【答案】 9 【详解】解：（1）∵， ∴， 则， 过点作， 在中， ∴， 故答案为：9； （2）∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则， ∵点，分别是线段上的两个三等分点， ∴， 当点在时，作点关于的对称点，连接， ∴ ∵点是腰上一点， ∴连接交于一点， 当点与点G重合时， 则， 即的最小值为， ∵点关于的对称点， ∴， 即 在中， 即的最小值为， 当点在时， 同理得的最小值为， 综上：的最小值为， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，平分交于点． （1）若，则________________°； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，．则的最小值为_______________． 【答案】 100 【详解】解：（1）∵，平分交于点 ∴ ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴ 在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 15.如图，A村和B村在河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元． （1）请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省； （2）求铺设水管的最省总费用． 【答案】（1）见解析；（2）100000元 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）延长到，使，连接，交于，则为所求； （2）过作，交的延长线于，得出矩形，求出，长，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）延长到，使，连接，交于， 则在上选择水厂位置是时，使铺设管道的费用最省； （2）过作，交的延长线于， ，， ， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米千米千米， 在中，由勾股定理得：（千米）， ，， ， 千米， 铺设水管的最最省总费用是：20000元千米千米元． 16．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在平而直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作，使与关于轴对称； (2)若点P是x轴上的一动点，则的最小值是：______． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如下图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点连接，则此时最小， 由勾股定理得， 故答案为． 17．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中， (1)在图中作出关于轴对称的； (2)写出点的坐标（直接写答案）：____________；____________；____________； (3)的面积为____________（直接写答案）； (4)为轴上的一动点，的最小值为____________（直接写答案）． 【详解】（1）解：根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图如下： 即为所求图形． （2）解：根据作图可得，， 故答案为：． （3）解： 故答案为：． （4）解；如图所示， 点关于轴的对称点为， 连接交轴于点， ， ， 点三点共线， 此时的值最小， ， 故答案为：5． 18．（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【详解】证法再现：由题意，，，． 满足关系式：． 整理得：； 故答案为：， ，． 知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图． ∴ 又, 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短． （2）作交的延长线于E． 在中，∵米，米， ∴（米）． 故答案为：200． 题型三：用展开法解决圆柱中的最短问题 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，    根据题意，， ∴ 作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离， 则， 过点作，交的延长线于点E， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， ∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为． 故选：C 2．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为______米． 【答案】5 【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则彩灯带长为2个长方形的对角线长， 圆柱高3米，底面周长2米， ， ， 每根柱子所用彩灯带的最短长度为． 故答案为5． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为_____． 【答案】 【详解】解：如图所示，将圆柱沿着高展开， 由题意得，， ∴由勾股定理得：， ∴蚂蚁爬行路线的最短路径长为， 故答案为：． 4．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面圆的周长为 (1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是______； (2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B处(如右图)，则蚂蚁爬行的最短路程是___． 【答案】 【详解】(1)如图，把圆柱侧面展开，在中， ∵， ∴ ， 故答案为：． (2)如图所示，点与点关于对称，可得，， 则最短路程为 故答案为：． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 【答案】． 【详解】解：如图： 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点处， 底部周长的一半为，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 题型四：用展开法解决长方体中的最短问题 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：展开图如下， ， ∴． 故选B． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 综上可知：∵ ∴爬行到达点的最短路线长为， 故选：． 3．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 蚂蚁爬行的最短距离是． 故选A． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为_______． 【答案】 【详解】解：如图，把长方体沿边剪开，连接， 根据题意：，， 在中，由勾股定理得：. 故答案为：． 5．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为_______．    【答案】 【详解】解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，    ∵正方体的棱长为，O为的中点， ∴，，， 由勾股定理得， 答：蚂蚁需爬行的最短路程为， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是_________． 【答案】10 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故答案：． 7．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是一块长方体木块，长，宽，高 ，棱 上的点处有一滴蜂蜜，，如果一只蚂蚁要从长方 体木块的顶点处，沿着长方体的表面爬行到点处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 _________ 【答案】 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的上面和右面组成一个平面，   ，， ，， ，， 则所走的最短路径的长是； 第二种情况：把我们看到的前面与右面组成一个长方形，   ，， ，， 所以走的最短路径的长是； 第三种情况：把我们所看到的上面和后面组成一个长方形，   ，，， ， 则所走的最短路径的长是； ， 所走的最短路径的长是． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）已知 （1）则_______． （2）如图，这是一个长为，宽为，高为的长方体纸箱，点E处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点E处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离是_______． 【答案】 5； ； 【详解】解：（1）∵，， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由题意得可，展开图如图所示， 连接：， ∵两点间线段距离最短， ∴为蚂蚁爬行的最短距离， ∴或或， ∵， ∴最短路径为：， 故答案为：． 9．（22-23八年级下·安徽六安·期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是，在的中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处沿盒子表面爬到处去吃，求小虫爬行的最短路程．    【答案】从E处爬到C处的最短路程是． 【详解】解：分两种情况： ①如图展开，连接EC，    在中，，， 由勾股定理得：； ②如图展开，连接EC，    根据勾股定理同法可求； 故从E处爬到C处的最短路程是． 10．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $