10.2.1 代入消元法-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学教学课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“代入消元法解二元一次方程组”，通过篮球联赛得分问题导入，先回顾一元一次方程解法，再引出二元一次方程组，搭建从一元到二元的学习支架，帮助学生理解消元思想的必要性。 其亮点在于以真实情境（如消毒液分装、蔬菜种植）驱动教学，通过“转化、代入、求解”等六步流程培养数学思维，结合系数选择技巧强化运算能力。既让学生用数学眼光抽象现实问题，又通过随堂练习提升用数学语言表达和解决问题的能力，助力教师高效开展分层教学。

第十章 二元一次方程组 10.2.1 代入消元法 初中数学培优课堂 学习目标 情境导入 知识讲解 随堂练习 课后小结 目 录 初中数学培优课堂 学习目标 1.理解并掌握代入消元法的意义；(重点) 2.会用代入法解二元一次方程组.(难点) 初中数学培优课堂 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分．某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负分别是多少？请列出合适的方程表达式 . 解析：设胜 x 场，负 y 场. x＋y = 10， 2x＋y = 16. 解析：设胜 x 场，则负 (10－x) 场. 2x + (10－x) = 16. 情境导入 如何解出该二元一次方程组？ 初中数学培优课堂 知识点一 用代入法解二元一次方程组 观察下面两种列方程的方式，你能找出更简单的解二元一次方程组的办法吗？ 设一个未知数 设两个未知数 胜 x x 负 10 - x y 等量关系式 2x + (10 - x) = 16 x＋y = 10， 2x＋y = 16. 知识讲解 初中数学培优课堂 ∠1 = ∠2 2x + y = 16 y = 10 - x ， (10 - x ) 2x + (10 - x) = 16 ① ② x = 6 y = 4 总结：将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想. 转化 ∴ 方程组的解是 x = 6， y = 4. 知识讲解 初中数学培优课堂 x－y = 3 ， 3x－8y = 14. 转化 代入 求解 回代 写解 ① ② 所以这个方程组的解是 x = 2， y = －1. 把 y = －1代入③，得 x = 2. 把③代入②，得 3(y + 3)－8y = 14. 解析：由①，得 x = y + 3 . ③ 注意：检验方程组的解. 解方程组 解这个方程，得 y = －1. 思考：把③代入 ①可以得解吗？ 知识讲解 初中数学培优课堂 解二元一次方程组的基本思路：“消元” 二元一次方程组 一元一次方程 消元 转化 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解方程的方法称为代入消元法，简称代入法. 知识讲解 知识点一 用代入法解二元一次方程组 初中数学培优课堂 x + 3y = 8， ① 5x + 3y = 16. ② 例1. 解二元一次方程组： 方法二 解析：由 ① 得 3y = 8－x. ③ 将 ③ 代入 ② 得 5x + 8－x = 16. 解得 x = 2. 把 x = 2 代入 ③，得 y = 2. 所以原方程组的解为 x = 2， y = 2. 方法一 解析：由 ① 得 x = 8－3y. ③ 将 ③ 代入 ② 得5(8－3y) + 3y = 16. 解得 y = 2. 把 y = 2 代入 ③，得 x = 2. 所以原方程组的解为 x = 2， y = 2. 知识讲解 初中数学培优课堂 知识讲解 用代入法解二元一次方程组时 ，挑选系数简单的方程变形 . 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入； 当方程组中有未知数的系数为 1 或 -1 时 ，选择系数为 1或-1 的方程进行变形； 当未知数的系数都不是 1 或 -1 时 ，一 般选择未知数系数的绝对值较小的方程变形. 代入法求二元一次方程组的技巧： 初中数学培优课堂 例1.根据市场调查，某种消毒液的大瓶装 (500 g) 和小瓶装 (250 g) 两种产品的销售数量 (按瓶计算) 比为 2∶5.某厂每天生产这种消毒液 22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 等量关系： (1) 大瓶数：小瓶数 = 2：5； (2) 大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液 = 总生产量. 知识讲解 知识点二 用代入法解二元一次方程组的实际应用 初中数学培优课堂 设这些消毒液应该分装大瓶 x 瓶、小瓶 y 瓶. 根据题意可列方程组 请用代入消元法解此方程组. 知识讲解 5x = 2y， ① 500x + 250y = 22 500 000. ② 初中数学培优课堂 变形 代入 解得 解得 用x代替y,消去未知数y y = 50000 代入 一元一次方程 500x + 250y = 22500000 5x = 2y y = x = 20000 500x + 250× = 22500000 知识讲解 初中数学培优课堂 代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 转化 代入 求解 回代 写解 检验 知识讲解 初中数学培优课堂 例2. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得 2 分，负一场得 1 分，某队为了争取较好的名次，想在全部 20 场比赛中得到 35 分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 等量关系： (1) 胜球场数 + 负球场数 = 全部场数； (2) 胜球得分 + 负球得分 = 总得分. 知识讲解 初中数学培优课堂 解析： 设胜的场数是 x，负的场数是 y， 可列方程组： 由①得 y＝20 - x . ③ 将③代入②，得 2x + 20 - x = 35 ， 解得 x = 15. 将 x = 15 代入③得 y = 5. 则这个方程组的解是 答：这个队胜 15 场，负 5 场. x+ y = 20， ① 2x + y = 35. ② x = 15， y = 5. 知识讲解 初中数学培优课堂 解析 ：(1)把 ①代入②,得 2x-3(3x+1)=4. 解这个方程，得 x = -1. 把 x= -1代入①,得 y = -2. 所以这个方程组的解是 y = 3x+1，　①　 2x -3y = 4； ② 　 (1) (2) 2x = y - 5， ① 4x + 3y = 65. ② x = -1， y = -2 . 1.用代入消元法解下列方程组. 随堂练习 初中数学培优课堂 y = 3x+1，　①　 2x -3y = 4； ② (1) (2) 2x = y - 5， ① 4x + 3y = 65. ② 1.用代入消元法解下列方程组. x = 5， y = 15. 随堂练习 (2)由① ,得 y=2x+5.③ 把③代入②,得 4x+3(2x+5)= 65. 解这个方程，得x = ,把 x = 代入③，得 y = 15. 所以这个方程组的解是 初中数学培优课堂 2. 把下列方程分别用含 x 的式子表示 y，含 y 的式子表示 x： (1) 2x－y＝3；　　　　(2) 3x＋2y ＝1. 解析：（1）y =2x-3 , x = （2）y = , x = 随堂练习 初中数学培优课堂 3.已知关于 x, y 的方程组 的解满足方程 x+y =8,求m的值. 3x + 5y= m+2，① 2x+3y =m . ② 先消去m,得到关于 x, y的方程 与 x+y=8组成 二元 一 次 方程组 求出方程组的解 随堂练习 初中数学培优课堂 3.已知关于 x, y 的方程组 的解满足方程 x+y=8,求m的值. 解析 ：把 ②代入①,得 3x+5y = 2x+3y+2. 化简，得 x+2y = 2. ③ 把③与x+y=8联立组成方程组，得 3x + 5y = m+2，① 2x+3y =m . ② x + 2y = 2， x+y = 8 . 解这个方程组，得 x = 14， y = - 6 . 把 代入②，得 2×14+3×（-6）= m，所以m= 10. x = 14， y = - 6 . 随堂练习 初中数学培优课堂 随堂练习 4.已知 |a+2b+3|+ =0,求 的值. 解析：因为 |a+2b+3|+ =0, 所以 a+2b+3= 0， ① =0 . ② 由②,得 b=3a-5.③ 把③代入①, 得 a+2( 3a-5）+3=0 解这个方程 ，得 a=1. 把 a=1 代 入③, 得 b= -2. 所以== -1. 初中数学培优课堂 5.李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000 元，其中甲种 蔬菜每亩获利 2000 元，乙种蔬菜每亩获利 1500 元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 解析: 设甲、乙两种蔬菜各种植了 x、y 亩，依题意得 x + y = 10 ， ① 2000x + 1500y = 18000. ② 由①得 y = 10 - x . ③ 将③代入②，得 2000x + 1500(10 - x) = 18000 ， 解得 x = 6. 将 x = 6 代入③，得 y = 4. 答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了 6 亩、4 亩. 随堂练习 初中数学培优课堂 代入 消元法 最终思想 代入消元法的步骤 将两个未知数变成一个未知数求解—— 消元 代入消元法的常用解题技巧 1.转化 2.代入 3.求解 4.回代 5.写解 6.检验 选择系数为 1或-1 的方程进行变形 课后小结 选择未知数系数的绝对值较小的方程变形 初中数学培优课堂 $