8.2 立方根-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学教学课件（人教版·新教材）

第八章 实数 8.2 立方根 初中数学培优课堂 学习目标 情境导入 知识讲解 随堂练习 课后小结 目 录 初中数学培优课堂 1.了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根；(重点) 2.了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根.(难点) 学习目标 初中数学培优课堂 二阶魔方由几个小立方体构成______ 三阶魔方由几个小立方体构成______ 四阶魔方由几个小立方体构成______ 如果一个魔方由 27 个小立方体构成， 它应该是几阶魔方？ 8 27 64 情境导入 初中数学培优课堂 要做一个体积为 27 cm3 的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？ 你是怎么知道的？ 解析：设正方体的棱长为 x cm，则 x3 = 27 这就是要求一个数，使它的立方等于 27. 因为 33 = 27， 所以 x = 3，即正方体的棱长为 3 cm. 知识点一 立方根的概念 知识讲解 初中数学培优课堂 同学们能类比平方根的概念，给出立方根的概念吗？ 立方根的概念 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根，或三次方根． 知识讲解 初中数学培优课堂 互为逆运算 立方运算 开立方运算 ( -2 )3＝－8 －8 的立方根是 ( -2 ) 知识讲解 知识点一 立方根的概念 初中数学培优课堂 根据立方根的定义填空： 因为 = 8，所以 8 的立方根是 ( 　)； 因为( )3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是 ( 　)； 因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是 ( 　)； 因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是 ( 　)； 因为( )3 ＝ - ，所以 - 的立方根是 ( 　). 0 2 -2 0 -2 知识讲解 知识点二 立方根的性质 初中数学培优课堂 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零. 立方根是它本身的数有 1，-1，0； 平方根是它本身的数只有 0. 知识讲解 知识点二 立方根的性质 初中数学培优课堂 ( )3＝5 x 如果正方体的体积为 5 cm3，那么其边长是多少？ 思考：能否找到一个正数( x )来表示其边长？ 类比于平方根，一个数 a 的立方根如何表示？ 知识讲解 初中数学培优课堂 一个数 a 的立方根可以表示为 根指数 被开方数 其中 a 是被开方数，3 是根指数，3 不能省略. 读作：三次根号 a， 立方根的表示 x3 ＝5 知识讲解 5的立方根是 x = 初中数学培优课堂 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 平方根与立方根 的区别和联系 可以为任何数 非负数 知识讲解 初中数学培优课堂 例1.求下列各数的立方根： (1) ﹣27； (2) 解析：（1）∵ ∴ -27的立方根是 - 3. （2）∵ ∴ 的立方根是 . 知识讲解 初中数学培优课堂 解析：-5 的立方根是 . (3) 3； (4) 0.216； (5) -5. 解析：（3）∵ = 3 ∴ 3的立方根是 . （4） ∵ ∴ 0.216的立方根是0.6. 知识讲解 初中数学培优课堂 因为 =____，- =____， 所以 - ； 因为 =____， - =____， 所以 . –2 –2 = –3 –3 = - 你能归纳出立方根的另一性质吗？ 一般地， = 知识讲解 . 初中数学培优课堂 例2的算术平方根是 . 2 解析：原式 = 3 + 2 - (-1) = 5 + 1 = 6. 不要忘了负号 计算 的算术平方根时，注意先计算 = 4，再计算 4 的算术平方根. 例3.计算： + - 知识讲解 初中数学培优课堂 由于一个数的立方根可能是无限不循环小数，所以我们可以利用计算器求一个 数的立方根或它的近似值. 用计算器求下列各数的立方根：343， -1.331. 知识点三 用计算器求立方根 解析：依次按键： 显示：7，所以=7. 2ndF 4 3 3 = 依次按键： 显示：-1.1，所以= -1.1. 2ndF 1 (-) . 3 1 3 = 知识讲解 初中数学培优课堂 例1.用计算器求 的近似值（精确到 0.001）. 解析 ： 依次按键： 显示：1.259 921 05， 所以， ≈1.260. 2ndF = 2 知识讲解 初中数学培优课堂 总结：被开方数的小数点向左或向右移动 3n 位时，立方根的小数点就 相应的向左或向右移动 n 位 (n 为正整数). = 0.06 = 0.6 = 6 = 60 例2.用计算器计算 ， ， ， ，…，你能发现什么规律？ 知识讲解 初中数学培优课堂 1.算一算： （1）-______, ______; ( 2 ) 0.125的立方根是______; （3）- 0.5 -3 10 1 随堂练习 初中数学培优课堂 解析：33 = 27，43 = 64. 因为 27 < 50 < 64， 3. 立方根概念的起源与几何中的正方体有关，如果一个正方体的体积为 V， 那么这个正方体的边长为多少？ 2. 比较 3，4， 的大小. 所以 3 < < 4. 解析：这个正方体的边长为 . 随堂练习 初中数学培优课堂 4. 一个长方体的长为 9 cm，宽为 3 cm，高为 4 cm，而另一个正方体的体积 是它的二倍，求这个正方体的棱长. 解析：设正方体的棱长为 a cm， 则依题意得 a3 = 9×3×4×2 ， 解得 a = 6. 故这个正方体的棱长为 6 cm. 随堂练习 初中数学培优课堂 5. 已知一个正数的两个平方根分别为 a 和 (-2a - 5). (1) 求 a 的值，并求这个正数； (2) 求 34 + 2a3 的立方根. 解：(1) 由题意，得 a + (-2a - 5) = 0， 解得 a = -5，∴ 这个正数为 (-5)2 = 25. 随堂练习 (2) 34 + 2a3 = 34 + 2×(-5)3 = -216 ∴ 34 + 2a3 的立方根是 -6. 初中数学培优课堂 立方根 定义 表示 如果一个数x的立方等于 a，即x3 = a，那么这个数x就叫作 a 的立方根，或三次方根 特征 一个数 a 的立方根用符号表示为， a 是被开方数，3 是根指数 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零 课后小结 立方 开立方 互为逆运算 初中数学培优课堂 $